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专题07 二次函数与四边形的综合问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、二次函数与平行四边形的综合问题
题型2、二次函数与矩形的综合问题
题型3、二次函数与菱形的综合问题
题型4、二次函数与正方形的综合问题
题型5、二次函数与四边形的综合问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
解决二次函数与四边形的综合问题，核心在于用坐标法把四边形的几何性质转化为代数关系；平行四
边形抓住对角线互相平分，矩形抓住直角或对角线相等，菱形抓住四边相等或对角线垂直，正方形则兼而
有之；要善于设出动点坐标，利用中点公式、距离公式、斜率与垂直关系建立方程；对于存在性问题必须
分类讨论，求出坐标后回代检验是否满足题设条件．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、二次函数与平行四边形的综合问题
典例1 （25-26 八年级下·浙江宁波·期中）已知抛物线
2
1 :
C
y
x
bx
c
= −
+
+ 与y 轴交于点(
)
0,3
A
，顶点P 在直
线
1
x = 上．
目 录
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(1)求抛物线
1
C 的解析式及顶点P 的坐标；
(2)将抛物线
1
C 向右平移
(
)
0
m m
个单位，再向下平移(
)
0
n n
个单位，得到新抛物线
2
C ，新抛物线
2
C 的顶
点为Q ，与抛物线
1
C 的交点为B ，如果四边形PABQ 是平行四边形．求m 、n 之间的关系式（结果用含m 的
代数式表示n ）；
(3)在（2）的条件下，若抛物线
2
C 的对称轴与直线AP 交于点E ，与抛物线
1
C 交于点F ，且
:
3:1
PEQ
BFQ
S
S
=
△
△
．
①求m 的值；
②若抛物线
1
C 上落在平行四边形PABQ 内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为t ，请直接
写出t 的取值范围．
题型模版
1.特征：抛物线上动点与定点构成平行四边形，或判断、求使四边形为平行四边形的点．
2.方法：利用平行四边形对角线互相平分（中点重合）列坐标方程；按已知三点为顶点时分第四点为边或对
角线分类讨论．
变式1-1 （2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数
2
1
3
y
x
bx
c
=
+
+
（b，c 为常数）的图象交x 轴于A，
B 两点，交y 轴于点C，已知点B 的坐标为(
)
9,0 ，点C 的坐标为(
)
0, 3
−
，连接AC
BC
，
．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P 为抛物线上的一个动点，连接PC ，当
PCB
OBC
=
时，求点P 的坐标．
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(3)将抛物线沿射线CA 的方向平移2 10 个单位长度后得到新抛物线，点E 在新抛物线上，点F 是原抛物线
对称轴上的一点，若以点B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E 的坐标．
变式1-2 （25-26 九年级上·浙江·单元复习）如图1，在平面直角坐标系中，直线
3
y
x
= −+
与坐标轴的交点
分别为点B 和点C，抛物线
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 经过点B、点C，且与x 轴交于另一点A．点P 为线段BC 上的一
个动点，连接AP ，在AP 上方作
APE
ABC
＝
，PE交抛物线于点E．
(1)请求出抛物线的解析式及点A 的坐标；
(2)如图2，当PE平分
APC
时，请求出PE的长；
(3)点N 是y 轴上的一点，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使得以点M、N、P、B 为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 坐标；若不存在，请说明理由．
变式1-3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
=
+
经过点(
)
4,0 ，A、B 为该抛物线上的两点，点A的
横坐标为m ，点B 的横坐标为
1
m−．当点A不在x 轴上时，过点A作x 轴的垂线交x 轴于点C ，以AB 、AC
为边作平行四边形ABDC ，将平行四边形ABDC 向x 轴正方向平移1 个单位长度得到平行四边形EFGH（点
A、B 、D 、C 的对应点分别为点E 、F 、G 、H ）．
(1)求抛物线
2
y
x
bx
=
+
的解析式；
(2)当平行四边形ABDC 是矩形时，求m 的值；
(3)当x 轴将平行四边形ABDC 分成面积相等的两部分图形时，求平行四边形ABDC 的面积；
(4)当抛物线
2
y
x
bx
=
+
在y 轴右侧的部分与平行四边形EFGH 有两个公共点，且右公共点与左公共点的横
坐标之差小于1 时，直接写出m 的取值范围．
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题型2、二次函数与矩形的综合问题
典例2 （24-25 九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD的一边AD长为4 ，且AD
位于第一象限，点A的坐标为(1,2) ，点
,
B C 在x 轴上．抛物线
2
:
T y
ax
bx
c
=
+
+ 经过点A和点D ，且抛物线
的顶点P 在线段BC 上，
(1)求抛物线T 的解析式；
(2)矩形
1
1
1
1
A BC D 与矩形ABCD关于原点对称，平移抛物线T ，
①若平移后的抛物线在矩形
1
1
1
1
A BC D 内的部分是轴对称图形，请探究抛物线T 如何平移？
②将抛物线向左平移m 个单位长度，向下平移n 个单位长度，
2
2
12
39
n
m
m
=
−
+
．若平移后的抛物线与矩
形
1
1
1
1
A BC D 的一组对边分别相交于点
,
E F ，是否存在直线EF 平分矩形
1
1
1
1
A BC D 面积的情形？若存在，请求
出m 和n 的值；若不存在，请说明理由．
题型模版
1.特征：在二次函数背景下构造矩形，求满足条件的动点坐标或进行证明．
2.方法：先保证平行四边形，再证有一个内角为直角或对角线相等；用勾股定理列方程求解．
变式2-1 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线
2
2
3
y
x
x
= −
+
+ 与x 轴正半轴交于点A，与y
轴交于点B．点P 为该抛物线上的任意一点，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，构造矩形PMON ，垂足分别
为M、N．设点P 的横坐标为m．
(1)分别求点A，点B 的坐标；
(2)当点P 在x 轴上方时，此时矩形PMON 的周长L 是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说
明理由；
(3)当抛物线在矩形PMON 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围．
变式2-2 平面直角坐标系xOy 中，对于任意的三个点
, ,
A B C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某
条坐标轴平行，且
, ,
A B C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点
, ,
A B C 的“三点矩形”．在点, ,
A B C
的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点
, ,
A B C 的“最佳三点矩形”．
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如图1，矩形DEFG ，矩形IJCH 都是点
, ,
A B C 的“三点矩形”，矩形IJCH 是点
, ,
A B C 的“最佳三点矩形”．
如图2，已知
(
)
(
)
4,1 ,
2,3
M
N −
，点(
)
,
P m n ．
(1)①若
2
m =
，
5
n = ，则点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______；
②若
2
m =
，点
,
,
M N P 的“最佳三点矩形”的面积为30，求n 的值；
(2)若点P 在直线
2
3
y
x
= −
+
上．
①求点
,
,
M N P 的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m 的取值范围；
②当点
,
,
M N P 的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P 的坐标；
(3)若点(
)
,
P m n 在抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 上，且当点
,
,
M N P 的“最佳三点矩形”面积为12 时，2
1
m
−
−或
0
2
m
，直接写出抛物线的解析式．
变式2-3 （24-25 九年级上·吉林·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ （b
c
、为常数）
经过点(
)
0, 3
−
和点(
)
3,0 ，点P 是抛物线上一动点，其横坐标为m ，过点P 作x 轴垂线交直线
2
y
x
=
于点Q ，
分别作点P
Q
、
关于y 轴的对称点N
M
、
，构造矩形PQMN ．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)当抛物线顶点落在矩形PQMN 的边上时，求矩形PQMN 的面积．
(3)当抛物线在矩形内部的图象y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围．
(4)抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2 时，直接写出m 的值．
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题型3、二次函数与菱形的综合问题
典例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 经过点(
)
3,0
A
，与y 轴交于点B，且关
于直线
1
x = 对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当1
x
t
−
时，y 的取值范围是0
2
1
y
t
−，求t 的值；
(3)点C 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点D，在y 轴上是否存在点
E，使得以B，C，D，E 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
题型模版
1.特征：构造菱形，使抛物线上的动点与定点满足四边相等或对角线互相垂直平分．
2.方法：利用四边相等或对角线垂直平分的性质列方程；结合距离公式与二次函数解析式求解．
变式3-1 如图，抛物线
2
1
4
4
y
x
= −
+ 与x 轴交于A和B 两点，A在B 点左边，与y 轴交于C 点．
(1)直接写出A，B ，C 三点坐标；
(2)如图1，D为OC 中点，在抛物线上找一点P ，使
2
PAO
DAO
=
，求出P 点坐标；
(3)如图2 ，将（2 ）中的点A和D 及抛物线均向下平移4 个单位，H 为新抛物线对称轴右侧上一点，直线HF
与新抛物线交于唯一公共点H ，与y 轴交于F ，是否存在以FH 为对角线的菱形EFGH ，使E 点在y 轴上，
G 点在AD延长线上，若存在，求菱形EFGH 的面积
EFGH
S四边形
，若不存在，请说明理由．
变式3-2 如图，抛物线y= - 1
2 x2+2x+6 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，其对
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称轴与抛物线交于点D，与x 轴交于点 E．
(1)求点A，B，D 的坐标；
(2)点G 为抛物线对称轴上的一个动点，从点D 出发，沿直线DE 以每秒2 个单位长度的速度运动，过点G
作x 轴的平行线，交抛物线于M，N 两点（点M 在点N 的左边）．设点G 的运动时间为 ts．
①当t 为何值时，以点M，N，B，E 为顶点的四边形是平行四边形；
②连接BM，在点C 运动的过程中，是否存在点M，使得∠MBD=∠EDB，若存在，求出点 M 的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)点Q 为坐标平面内一点，以线段MN 为对角线作菱形MENQ，当菱形MENQ 为正方形时，请直接写出t
的值．
变式3-3 如图，抛物线
2
1
2
6
2
y
x
x
= −
+
+ 与x 轴交于A，B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其
对称轴与抛物线交于点D，与x 轴交于点E ．
(1)求点A，B ，D的坐标；
(2)点G 为抛物线对称轴上的一个动点，从点D 出发，沿直线DE 以每秒2 个单位长度的速度运动，过点G 作
x 轴的平行线，交抛物线于M ，N 两点（点M 在点N 的左边）．设点G 的运动时间为ts ．
①当t 为何值时，以点M ，N ，B ，E 为顶点的四边形是平行四边形；
②连接BM ，在点G 运动的过程中，是否存在点M ，使得
MBD
EDB
=
，若存在，求出点M 的坐标；若
不存在，请说明理由；
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(3)点Q 为坐标平面内一点，以线段MN 为对角线作菱形MENQ ，当菱形MENQ 为正方形时，请直接写出t 的
值．
题型4、二次函数与正方形的综合问题
典例4 （25-26 九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象经过三点
(
)
(
)
(
)
1,0 ,
3,0 ,
0, 3
A
B
C
−
−
，它的顶点为M ，且正比例函数y
kx
=
的图象与二次函数的图象相交于D
E
、两点．
(1)求该二次函数的表达式和顶点M 的坐标；
(2)若点E 的坐标是(
)
2, 3
−
，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变
量x 的取值范围；
(3)试探究：点P 是x 轴上一动点，以BP为边作正方形BPQN ，除点B 外还有一个顶点在抛物线上，求出满
足条件的点N 的坐标．
题型模版
1.特征：构造正方形，兼具矩形与菱形的双重性质，常与旋转、对称结合．
2.方法：利用邻边相等且垂直、对角线相等且垂直；常通过旋转90°或坐标平移转化，列方程并回代检验．
变式4-1 如图，抛物线
² 2
1
y
kx
kx
=
−
−与y 轴交于点C．已知抛物线顶点坐标为(
)
1,
2
−
，点P 在此抛物线上，
其坐标为(
)
m
n
，
．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当1
2
m
−
时，结合图象，直接写出n 的取值范围．
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(3)若此抛物线在点P 左侧部分(包括点P)恰有三个点到x 轴的距离为1，求m 的取值范围．
(4)当
1
m 时，以PC 为边作正方形，当此正方形的另外两个顶点中有一个顶点在此抛物线的对称轴上时，
直接写出m 的值．
变式4-2 综合与探究
如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点(
)
1, 1
A
−
−
和点(
)
3,3
B
，点P 是线段AB 上一动点（不与
,
A B 重合），直线l
是抛物线的对称轴，设点P 的横坐标为m ．
(1)求抛物线的函数表达式及直线AB 的函数表达式．
(2)当点P 在直线l 右侧的线段部分上运动时，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，分别过点P
Q
，
作直线l
的垂线，垂足分别为C
D
，
，求四边形PCDQ 周长的最大值．
(3)若点E 是抛物线上一点，平面内是否存在点F ，使得以点A E
F
P
，，，为顶点的四边形是正方形时，若
存在，请直接写出所有满足条件的点F 的坐标．若不存在，请说明理由．
变式4-3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
4
y
x
x
=
−
的顶点为A，点M ，点N 为抛物线上不重合
的两个点，点M 的横坐标为t ，点N 的横坐标为
3
t + ．
(1)点A的坐标为___________；
(2)当
1
2
t =
时，求MN 的长度；
(3)当抛物线上
,
M N 两点之间的部分（包括
,
M N 两点）对应的函数值y 随x 的增大而先减小后增大时，设
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函数值最大值与最小值差为d ，求d 与t 的关系式，并写出自变量t 的取值范围；
(4)过
,
M N 两点中较高的点作y 轴的垂线交抛物线于另一个交点P ，以这个较高的点与点P 的连线为边向其
下方作正方形．当点O在该正方形内部，点A在该正方形外部，且点A到该正方形边的最小距离是1，求t 的
值．
题型5、二次函数与四边形的综合问题
典例5 小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边
形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：
(1)【理解应用】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC是垂等四边形，点A 的坐标为(
)
4 0
，，
点C 的坐标为(
)
0 3
，，求点B 的坐标；
(2)【规律初探】如图2，正方形ABCD的边长为a，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，点G 在边CD上，
点H 在边AD上，若四边形满足EG
FH
=
，请直接写出四边形EFGH 面积S 的取值范围；
(3)【综合探究】如图3，已知抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 与x 轴交于M，N 两点，点M 在点N 的左侧，P，Q 两
点在该抛物线上．若以M，N，P，Q 为顶点的四边形是垂等四边形且MN
PQ
．设点P 的横坐标为m，点
Q 的横坐标为n，且m
n
，求m 的值．
题型模版
1.特征：一般四边形或多种特殊四边形混合，涉及判定、面积、周长、最值等综合问题．
2.方法：根据条件选择对应判定定理，用坐标法表示边、角、对角线；综合运用二次函数性质与几何模型求
解．
变式5-1 （25-26 九年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线
2
3
y
x
bx
= −
+
+ （b
为常数）与x 轴交于点
(
)
1,0
A
和点B ，与y 轴交于点C ，点P 在抛物线上，其横坐标为m ，直线BC 交该抛
物线的对称轴于点D，点P 、C 关于点D 的对称点分别为Q、E，顺次连接点P、C、Q、E，得到四边形PCQE ．
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(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)写出点D的坐标___________；
(3)当点P 在第一象限时，四边形PCQE 的边与抛物线共有两个交点（四边形的顶点除外），求m 的取值范围；
(4)直接写出使得四边形PCQE 成为轴对称图形时m 的值．
变式5-2 （25-26 九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+
的顶点坐标为(
)
2, 5
−
，与y 轴的交点坐标为(
)
0, 1
−
，点A、B 是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、3
2
m
−
，
已知点
(
)
2,0
E
，作点A 关于点E 的对称点C，作点B 关于点E 的对称点D，构造四边形ABCD．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式．
(2)设抛物线在A、B 两点之间的部分（含A、B 两点）为图象G，若图象G 的最高点与最低点的纵坐标之差
为3，求m 的值．
(3)当
1
m 时，若抛物线在四边形ABCD内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大，求m 的取值范围．
(4)当四边形ABCD是矩形时，直接写出m 的值．
变式5-3 如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中
(
)
4,0
B
，
(
)
0,4
C
，对
称轴是直线
1
x = ．动点M 以每秒1 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点B 运动，设运动时间为t（0
4
t
）
秒，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P．
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(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线的对称轴交BC 于点E，顶点是点D，当t 为何值时，四边形DENP 为平行四边形；
(3)动点M 开始运动时，另一动点Q 同时以每秒0.5 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点A 运动．当t 为
何值时，四边形PCQB 的面积最大，并求最大面积．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
21．（2025·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
2
3
y
x
=
−与直线:
1
l y = 交于
A、B 两点（B 在A左侧），点P 在抛物线上，横坐标为m ，点P 不与点A和点B 重合，连接AP 、BP．
(1)点A的坐标为_______；点B 的坐标为_______；
(2)当ABP
是直角三角形时，求m 的值；
(3)以AB ，AP 为边构造平行四边形ABQP ．
①当抛物线的图象在平行四边形ABQP 内部（不包括边界）的部分对应的函数值y 随x 增大而减小时，直
接写出m 的取值范围；
②设点C 是抛物线
2
3
y
x
=
−的顶点，平行四边形ABQP 的边与直线BC 的交点为M （点B 、C 、Q 、P 除
外），当线段BM 将平行四边形ABQP 的面积分成1:7时，求m 的值．
22．已知二次函数的图象经过点
(
)
(
)
1,0
6,0
A
B
、
和
(
)
0,4
C
．
(1)求此二次函数的解析式、对称轴及顶点坐标；
(2)设点
(
)
,
D x y 是函数图象上一动点，且位于第四象限，四边形ODBE 是以OB 为对角线的平行四边形．求
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平行四边形ODBE 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(3)当平行四边形ODBE 的面积为24 时，判断平行四边形ODBE 是否为菱形？并判断是否存在点D ，使得平
行四边形ODBE 为正方形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．综合与探究
如图，抛物线
2
1
4
4
3
3
y
x
x
= −
−
+
与x 轴交于A，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C，P 是直线BC
上方抛物线上一动点．
(1)求A，B，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式．
(2)连接PB，PC ，求
PBC
△
面积的最大值及此时点P 的坐标．
(3)在（2）的条件下，若F 是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q 为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（25-26 九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，抛物线
2
:
L y
x
bx
c
= −
+
+
与x 轴交于(
)
5,0
A −
和B 两点，
与y 轴交于点
(
)
0,5
C
．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，将原抛物线L 向左平移4 个单位长度得到抛物线L，L 与原抛物线L 相交于点M ，点N 为原抛物
线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H ，使以点A，M ，N ，H 为顶点的四边形为矩形，
若存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：
2
1
y
x
bx
= −
+
+ 与y 轴交于点A，
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对称轴是直线
1
x = ，点P
Q
，
在此抛物线上，其横坐标分别为m ，2 (
0)
m m
．
(1)求抛物线L 的解析式；
(2)过点P 作PM
y
⊥
轴于M ，以MA MP
，
为邻边作矩形AMPN ．若抛物线L 在矩形AMPN 内部的部分y 随
x 的增大而增大，则m 的取值范围是______，
(3)记P
Q
，
两点之间的竖直距离为
P
Q
d
y
y
=
−
；
①求d 与m 的函数关系式；
②若存在3个不同的m 值对应的d 值相同，直接写出d 的取值范围．
26．（25-26 九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
2
y
ax
x
c
=
+
+ 经过原点O，与x 轴
正半轴交于另一点A，点B(
)
1, 3
−
−
在抛物线上，点M 是抛物线上一点（不与点B 重合），其横坐标为m，
以BM 为对角线作矩形BCMD ，BC 垂直于y 轴．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当抛物线在矩形BCMD 内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m 的取值范围；
(3)当矩形BCMD 内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2 时，求m 的值；
(4)当矩形BCMD 为正方形时，直接写出m 的值．
27．已知抛物线
2
1
3
2
2
2
y
x
x
= −
+
+
与x 轴交于点B、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A．
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(1)判断ABC
的形状，并说明理由．
(2)设点(
)
,
P m n 是抛物线在第一象限部分上的点，过点P 作PH
x
⊥
轴于H，交AC 于点Q，设四边形OAPC
的面积为S，求S 关于m 的函数关系式，并求使S 最大时点P 的坐标和
QHC
△
的面积；
(3)在（2）的条件下，点N 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N 为
顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M 的坐标．
28．（24-25 九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点
(
)
5,0
A
在x 轴正半轴
上，点C 的坐标为(
)
3,4 ，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 经过O，A 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线与线段BC 的交点为D，连接OD ，将OCD
沿直线OD 折叠，点C 的对应点为E，连接AE ，求
AE 的长度．
(3)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得
1
4
OPE
OABC
S
S
=
菱形
，请写出点P 的坐标．
29．抛物线
2
y
x
bx
= −
+
与x 轴交于原点和点
(
)
4,0
A
，点B 为抛物线的顶点，点
(
)
1
,
M m y
，
(
)
2
3,
N m
y
+
为抛
物线
2
y
x
bx
= −
+
上不重合的两个点．
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(1)求b 的值；
(2)试判断是否存在实数m 使得
1
2
2
9
y
y
+
=
？若存在，求出m 值；若不存在，请说明理由；
(3)记点M ，N 两点之间的部分（包括M ，N 两点）为图象G ，点B 在图象G 上，设图象G 的最高点与最
低点的纵坐标之差为d ．
①求d 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
②图象G 上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点P ，再以最低点与点P 的连线为边向其上方作正方
形，点B 到正方形边的最小距离记为f ．当点O在该正方形内部，点B 在该正方形外部，且
3
2
f =
时，直接
．．
写出
．．m 的值．
30．定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线y
ax
a
=
−为抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的“衍生直线”．如图
1，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与其“衍生直线”交于A，B 两点（点B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧），与x 轴负
半轴交于点
(
)
3,0
C −
．
(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A 的坐标；
(2)如图2，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的“衍生直线”与y轴交于点
1
D ，依次作正方形
1
1 1
D E FO ，正方形
2
2
2
1
D E F F ，…，
正方形
1
n
n
n
n
D E F F −（n 为正整数），使得点
1
D ，
2
D ，
3
D ，…，
n
D 在“衍生直线”上，点
1F ，
2
F ，
3
F ，…，
n
F
在x 轴负半轴上．
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①直接写出下列点的坐标：
1
E ______，
2
E ______，
3
E ______，
n
E ______；
②试判断点
1
E ，
2
E ，…，
n
E 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
31．（25-26 九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是原点．抛物线
2
4
y
ax
bx
=
+
+
与x
轴交于点
(
)
(
)
3,0 ,
2,0
A
B
−
，与y 轴交于点C．点P 是抛物线上的一个动点，其横坐标是m．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当PC
AB
时，求点P 的坐标；
(3)设此抛物线在点A 与点P 之间的部分（包括点A 和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当
0
m
，
且
4
h
m
=
时，求m 的值；
(4)取OC 的中点M，连接PM ，以PM 为对角线作正方形PQMN ，当
0
m
，且正方形PQMN 的顶点N 或Q
落在x 轴上时，请直接写出m 的值．
32．已知抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
．
(1)画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时a
和c 之间的数量关系；
x
1
−
1
y
2
2
(2)已知点C 为抛物线与y 轴的交点，点A、B 在抛物线上，连接OA、AC 、CB 和OB ．
①如果四边形OACB为正方形，那么b 的值是 ，a 和c 之间的数量关系是 ；
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②如图，当
0
a
时，已知四边形OACB为菱形，cot
2
AOC
=
．点P 在抛物线上且横坐标为2，连接PA、
PC ，如果PAC
的面积为12，求抛物线的表达式．
33．
（25-26 九年级下·四川内江·期中）如图，已知抛物线
1
C 与坐标轴的交点依次是
(
)
4,0
A −
，(
)
2,0
B −
，(
)
0,8
E
．
(1)求抛物线
1
C 的解析式；
(2)抛物线
1
C 与
2
C 关于原点对称，设抛物线
1
C 的顶点为M，抛物线
2
C 与x 轴分别交于C、D 两点（点C 在点
D 的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A、点D 同时以每秒1 个单位的速度沿水平方向分
别向右、向左运动；与此同时，点M，点N 同时以每秒2 个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，
直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值
范围；
(3)当t 为何值时，四边形MDNA的面积S 有最大值，并求出此最大值；
(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．
34．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线
2
6
5
y
x
x
=
+
+
经过A、B 两点，顶点为M，对称轴l 与x 轴交
于点D，与直线AC 交于点E．
(1)将抛物线沿直线AB 平移，使得点A 落在点B 处记为A，此时点C的对应点为C，求点C的坐标，判断
四边形AA CC
的形状，并说明理由．
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(2)设G 是坐标平面内一点，当以A、C、G、M 为顶点的四边形是平行四边形时．求点G 的坐标．
(3)设G 是抛物线上的对称轴上一点，K 是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K 为顶点的
四边形是矩形，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．
35．已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a ，b ，c 为常数，
0
a
）与x 轴相交于A，B 两点（点A在点B 的左侧），
抛物线顶点为P ，对称轴与x 轴交点为D ，对称轴上有M ，N 两点，点M 在x 轴上方．
(1)若
1
a = −，
2
b = ，
3
c = ，求该抛物线顶点P 的坐标；
(2)若
1
a = −，
2
0
c
b
+
=
，当点M 与点P 重合时，且四边形AMBN 为正方形时，求b 的值；
(3)若
( 1,0)
A −
，四边形AMBN 为菱形，在线段AD上有动点E ，抛物线上有点F ，使得四边形AEFM 为平
行四边形，当
2
MN =
时，NE
NF
+
的最小值取得13 ，求此时点F 的坐标和a 的值．
