文档文本内容
1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题05 利用勾股定理解决折叠问题 常考题型·精准突破 题型1 长方形中折痕过对角线模型（重） 题型2 长方形中折痕过一顶点模型 题型3 长方形中折痕过任意两点模型（高频） 题型4 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型（难） 题型5 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型（难） 题型6 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 长方形中折痕过对角线模型 1．5 2．7 4 3．3 2 ◆题型2 长方形中折痕过一顶点模型 4．10 5．2 6．3 2 ◆题型3 长方形中折痕过任意两点模型 7．17 5 8．3 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9．10 3 / 1 33 ◆题型4 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 10．8 3 11．10 2 12．2 或4 5 ◆题型5 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 13．15 4 14．7 8 /0.875 15．24 ◆题型6 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 16．12 cm 5 17．8或 74 18． 55 16 7 4 4 CE 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．B 2．D 3．C 4．C 3 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5．D 二、填空题 6．3 7．3 8．2 9．17 4 或5 10．7 或26 3 三、解答题 11． 【答案】（1）解：连接BE， 在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ， 10 AB = ， 6 BC = ， 2 2 2 2 10 6 8 AC AB BC = − = − = ． 由折叠可知， 5 AD BD = = ，AE BE = ， 90 ADE = ． 设AE BE x = = ，则 8 CE AC AE x = − = −． 在Rt BCE 中，由勾股定理得： 2 2 2 BE BC CE = + ， ( ) 2 2 2 6 8 x x = + − ， 解得 25 4 x = ，即 25 4 AE = ． 在Rt ADE △ 中， 5 AD = ， 25 4 AE = ， 由勾股定理得： 2 2 15 4 DE AE AD = − = ． （2）解： 1 1 8 6 24 2 2 ABC S AC BC = = = ， 1 1 15 75 5 2 2 4 8 ADE S AD DE = = = △ ． 75 117 24 8 8 ABC ADE BCED S S S = − = − = 四边形 △ △ ． 12． 【答案】（1）解：ABC 是直角三角形，理由如下： 4 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 2 2 2 8 15 289 17 + = = ， ∴ 2 2 2 AC BC AB + = ， 即ABC 是直角三角形； （2）解：∵B刚好落在边AC 的中点上， ∴ 1 4 2 B C AC = = ， 设CE x = ， ∵把ABC 沿着直线DE 折叠，顶点B 的对应点B落在AC 边中点上， ∴ 15 BE B E BC CE x = = − = − ， ∴Rt B CE 中， 2 2 2 BC CE B E + = ， ∴ ( ) 2 2 2 4 15 x x + = − ， 解得： 209 30 x = ． 13． 【答案】（1）解：由折叠可知DE GE = ， 4 AG DC AB = = = ． 设DE x = ，则 = GE x ， 8 AE x = − ． 在Rt AEG 中， 2 2 2 AG GE AE + = ， ∴ 2 2 16 (8 ) x x + = − ， 解得 3 x = ， ∴ 3 DE = ． （2）解：如图，过点F 作FH AD ⊥ 于点H ，则 4 FH = ． 在Rt ABF 中， ∵AF FC = ， ∴由勾股定理，得 2 2 2 BF AF AB = − ， 即 2 2 (8 ) 16 BF BF = − − ， ∴ 3 BF AH = = ． ∵ 5 AE AD DE = − = ， ∴ 2 EH AE AH = - = ， ∴ 2 2 2 2 2 4 2 20 EF FH EH = + = + = ． （3）解：如图，过点G 作GM AD ⊥ 于点M ． 在Rt GAE 中， 3 GE = ， 5 AE = ， 4 AG = ． 由1 1 2 2 AG GE AE GM = ， 得 12 5 GM = ， 5 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 18 2 5 GED S GM DE = = △ ． 14． 【答案】（1）解：直角三角形AOB中， 6 AO = ， 8 BO = ， ∴ 2 2 10 AB OA OB = + = ； （2）∵折叠， ∴ 10 AB AB = = ，BM BM = ， ∴ 4 OB AB OA = − = ， 设OM x = ， ∴ 8 BM B M OB OM x = = − = −， 在Rt B OM 中， 2 2 2 B M OM OB = + ， ∴( ) 2 2 2 8 4 x x − = + ， 解得： 3 x = ； ∴ 3 OM = ； （3）由（2）可知： 5 BM B M OB OM = = − = ； 当点P 、M 、B为顶点的三角形是等腰三角形时： ①当 5 MP B M = = 时： 则： 4 OP OB = = ； ②当 5 B P B M = = 时： 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则： 1 OP B P OB = − = ，或 9 OP B P OB = + = ③当BP MP = 时： 设OP a = ，则： 4 B P PM OB OP a = = − = −， 在Rt POM 中，由勾股定理，得：( ) 2 2 2 4 3 a a − = + ， ∴ 7 8 a ， ∴ 7 8 OP = ； 综上： 7 8 OP = 或 4 OP = 或 9 OP = 或 1 OP = ． 15． 【答案】（1）解：根据折叠的性质，得AF CF = ． ∵四边形ABCD是长方形， ∴ 90 B = ． 设BF x = ， 则 10 AF CF AB BF x = = − = − ， 在Rt BFC 中， 2 2 2 BF BC FC + = ， ∴ 2 2 2 6 (10 ) x x + = − ， 解得 16 5 x = ， ∴ 16 5 BF = ． （2）解：∵四边形ABCD是长方形， ∴ 90 A C = = ． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据折叠的性质，得 90 , A A AD A D = = = ． 又∵BC AD = ， ∴ , A D CB A C = = ． ∵A B 交CD于点E ， ∴ A ED CEB = ， ∴ ( ) AAS A ED CEB ≌ ， ∴ED EB = ． 设CE y = ， 则 10 ED EB DC CE y = = − = − ． 在Rt BCE 中， 2 2 2 CE BC BE + = ， ∴ 2 2 2 6 (10 ) y y + = − ， 解得 16 5 y = ， ∴ 16 5 CE = ． ∴ 16 34 10 5 5 DE = − = ， ∴ 1 1 34 102 6 2 2 5 5 BDE S DE BC = = = ． （3）解：∵四边形ABCD是长方形， ∴ 90 A D = = ． 由折叠的性质， 得 90 , , 10 A A AP A P AB A B = = = = = ， ∴ 90 D A = = ． 又∵ , DF A F DFP A FE = = ， ∴ ( ) ASA DFP A FE ≌ ， ∴ , DP A E PF EF = = ， ∴DE PA = ． 又∵ 6 AD BC = = ， 设PA m = ， 则 6 , DP A E AD PA m DE PA m = = − = = − = ， ∴ ( ) 10 , 10 6 4 EC m BE m m = − = − − = + ． 在Rt ECB 中， 2 2 2 (4 ) 6 (10 ) m m + = + − ， 解得 30 7 m = ， 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 30 40 10 7 7 CE = − = ．
