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专题05 二次函数中的特殊三角形存在性问题
常考题型·精准突破
题型1 二次函数中的等腰三角形存在性问题（难）
题型2 二次函数中的直角三角形存在性问题（难）
题型3 二次函数中的等腰直角三角形存在性问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 二次函数中的等腰三角形存在性问题
1．（2026·安徽宿州·三模）已知抛物线
2
2
2
4
y
x
ax
a
=
−
+
−（a 为常数），与x 轴交于A，B 两点（A 在B 的左
侧）．
(1)当
3
a = 时，求抛物线的解析式及点A，B 的坐标；
(2)已知点
(
)
2,
M
M
y
在该抛物线上．
（i）若
0
M
y
=
，求a 的值；
（ii）当
1
a = 时，设抛物线的顶点为P，点Q 在抛物线的对称轴上，若
PMQ
△
是等腰三角形，求点Q 的坐
标．
2．（25-26 九年级下·河南周口·期中）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于
(
)
1,0
A −
，B 两点，与y 轴交
于点
(
)
0,3
C
，D 是其对称轴与x 轴的交点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA
MC
+
的值最小，求点M 的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD
是等腰三角形？如果存在，请直接写出P 点坐标；如果不
存在，请说明理由．
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3．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于
(
)
1,0
A −
、
(
)
3,0
B
两点，与y 轴交于点
C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D 是抛物线上第一象限内的动点，连接CD、BD，求BCD
面积的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使ACP
为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
◆题型2 二次函数中的直角三角形存在性问题
4．（25-26 九年级上·江西上饶·期末）如图，已知抛物线
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
+
经过
(
)
1 0
A ，，
(
)
3 0
B −，两点．
(1)求a
b
、的值．
(2)若点D 为抛物线上一动点，ABD
的面积为8 时，求点D 的坐标．
(3)设点P 为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使BPC
为直角三角形的点P 的坐标．
5．（25-26 九年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，已知抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的对称轴为直线
1
x = −，且经过
(
)
1,0
A
，
(
)
0,3
C
两点，与x 轴的另一个交点为B ．
(1)若直线y
mx
n
=
+
经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；
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(2)在直线BC 上方的抛物线上找一点M ，求点M 的坐标，使BCM
面积最大．
(3)设点P 为抛物线的对称轴
1
x = −上的一个动点，是否存在点P ，使BPC
为直角三角形，直接写出点P 的
坐标．
6．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过点
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
，
(
)
0,3
C
．
(1)求抛物线的解析式及顶点E 的坐标；
(2)将抛物线沿y 轴向下平移m（
0
m
）个单位长度，平移后的抛物线与直线BC 恰好只有一个公共点．求m
的值；
(3)点P 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P ，使得PBC
是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求
出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
◆题型3 二次函数中的等腰直角三角形存在性问题
7．
（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点(
)
3,0
B
、(
)
0, 6
C
−
，与直线
3
y
x
=
−
交于B、D 两点，点P 是抛物线上一动点，记点P 的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P 位于直线BD下方时，求BDP
面积的最大值及此时点P 的坐标；
(3)过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点H，若AHP
是等腰直角三角形，求点P 的坐标．
8．（25-26 九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与直线
2
y
x
=
−
交于点(
)
0, 2
A
−
和
点
(
)
4,
B
n ，对称轴是直线
1
x = ，过B 平行于x 轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M 是抛物线上任意一
点，其横坐标是m．
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(1)求抛物线的函数关系式；
(2)当点M 在直线AB 上方时，若
1
2
ABM
ABC
S
S
=
△
△
，求m 的值；
(3)设N 是直线BC 上的点，是否存在点M 和点N 的位置，使AMN
是以AN 为斜边的等腰直角三角形？若
存在，请求所有m 的值；若不存在，请说明理由．
9．（25-26 九年级下·黑龙江绥化·开学考试）综合与探究
如图，抛物线
2
5
y
ax
bx
=
+
−交x 轴于A、B 两点，交y 轴于点C．直线
5
y
kx
=
−经过B、C 两点，若点
(
)
1,0
A
，
(
)
5,0
B −
，点P 是抛物线上的一个动点（不与点A、B 重合）．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点P 作直线PD
x
⊥
轴于点D，交直线BC 于点E，当
3
PE
ED
=
时，求P 点坐标；
(3)若点F 是直线BC 上的一个动点，请判断在点B 右侧的抛物线上是否存在点P，使
AFP
△
是以PF 为斜边
的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26 九年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 的图象交x 轴于
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(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
两点，交y 轴于点C．点M 是线段OB 上一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点
E，交直线BC 于点F．
(1)求抛物线和直线BC 的表达式；
(2)求线段EF 的最大值；
(3)如图2，是否存在以点C，E，F 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存
在，请说明理由．
2．（25-26 九年级上·江西九江·期末）如图，已知抛物线
2
6
y
ax
bx
=
+
−
经过(
)
(
)
1, 4 ,
3,0
A
B
−−
两点，与y 轴
交于点C ，连接AC ，BC ．P 是线段OB 上一动点，过点P 作PM
x
⊥轴，交抛物线于点M ，交线段BC 于
点N ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当
1
3
PN
OC
=
时，求出点M 和点N 的坐标；
(3)连接AN ，当ACN
是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．
3．
（25-26 九年级上·四川德阳·期末）如图，已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与y 轴交于点B ，与x 轴交于(
)
4,0
A −
，
(
)
1,0
C
，点
(
)
,0
M m
是线段OA上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l ，分别与直线AB 和抛物线交于D 、E
两点，连接AE 、BE．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)求出当ABE
的面积为3 时，m 的值；
(3)在x 轴上有一个点F ，
ABF
△
恰好是等腰三角形，请直接写出点F 的坐标．
4．（25-26 九年级上·四川眉山·期末）如图，已知二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
−与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交
于点C ，A、B 两点坐标为(
)
3,0
A −
、
(
)
1,0
B
．
(1)求二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
−的表达式；
(2)点P 在直线AC 下方的抛物线上，连结PA、PC ，求PAC
的最大面积；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使Q 、A、C 为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点Q 的
坐标，若不存在请说明理由．
5．（25-26 九年级上·山东济南·期末）综合与探究，如图，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 与y 轴交于点
(
)
0,2
A
，对称
轴为直线
2
x = −，平行于x 轴的直线与抛物线交于B、C 两点，点B 在对称轴左侧，
6
BC =
．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知在x 轴上存在一点D，使得ABD
的周长最小，则点D 的坐标为 ；
(3)若点P 在直线AB 上，直线CP 将ABC
的面积分成2 :3两部分，求点P 坐标．
(4)点Q 在直线BC 上，在抛物线上是否存在点M，使AQM
是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若存
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在，直接写出点Q 的坐标，不存在，请说明理由．
6．（25-26 九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知抛物线
2
6
y
ax
bx
=
+
+
与坐标轴分别交于点A，B，C
三点，点
(
)
6,0
B
，点
(
)
2,0
C −
，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求PAB
面积的最大值；
(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D，再过点P 作PE
x
∥轴交抛物线于点E，连接DE ，请问是否存
在点P，使PDE
为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
7．（25-26 九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与x 轴交于点
(
)
1,0
A −
、(3,0)
B
，
顶点为M ．
(1)求抛物线的解析式和点M 的坐标；
(2)点E 在抛物线上，且在直线BC 上方的一个动点，设
BEC
的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点
E 的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以A、P 、C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接
写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．
（25-26 九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于(
)
1,0
A −
，(
)
5,0
B
两点，与y 轴交于点
(
)
0,5
C
．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B 不重合），过点D 作DF
x
⊥
轴于点F ，交直线BC 于
点E ，连接BD和CD，当CDB
的面积为10时，求点F 的横坐标；
(3)若M 为抛物线对称轴上一动点，，使得MBC
为直角三角形，请求出点M 的坐标．
9．（25-26 九年级上·广东汕头·期末）已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 的图象经过点
(
)
1,0
B
，与y 轴交于点A，其
对称轴为直线:
2
l x =
，过点A作AC
x
∥轴交抛物线于点C ，
AOB
的角平分线交线段AC 于点E ，点P 是
抛物线上的一个动点，设其横坐标为m ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连接PE、PO，当m 为何值时？四边形AOPE 面积最大，
并求出其最大值；
(3)如图2，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使POF
为以点P 为直角顶点的等腰
直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（25-26 九年级上·吉林松原·期末）如图，已知抛物线
2
4
5
y
x
x
= −
+
+ 与x 轴相交于A、B 两点，与y 轴
相交于点C ．设点P 为抛物线上的一点，其横坐标为m ．
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(1)直接写出坐标：点A__________，点B ______________；
(2)当点P 与点C 关于抛物线对称轴对称时，求m 的值；
(3)若抛物线上点A与点P 之间（包含点A和点P ）的部分的图象记为图象G ，图象G 的最高点和最低点纵
坐标的差记为d ．
①当
1
m = 和
3
m =
时，分别求d 的值；
②当
9
d =
时，直接写出m 的取值范围；
(4)点E 是线段BC 上异于B 、C 的动点，过点E 的直线EN
x
⊥
轴于点N ，交抛物线于点M ，当
ECM
△
为
直角三角形时，请直接写出点M 的坐标．
