文档内容
难点与易错点 08 二次函数与三角形、相似三角形、四边形的存在性
（5 大热考题型）
题型一：等腰三角形的存在性问题
题型二：直角三角形的存在性问题
题型三：相似三角形的存在性问题
题型四：平行四边形的存在性问题
题型五：特殊平行四边形存在性问题
题型一：等腰三角形的存在性问题
顶点确定法
1.确定等腰三角形顶点位置的常见方法
已知点A,B和直线l,在l上找点P,使APAB为等腰三角形
（1）如图①,若AB 为腰,分别以点 A,B为圆心,以 AB 长为半径画圆,与直线l的交点 即为所求;
（2）如图②,若 AB 为底,作线段 A8 的垂直平分线与直线l的交点 、即为所求
2.求点坐标的常用方法
(1)代数法(三角形三边长度可直接表示)分别表示出点 A,B,P 的坐标,再表示出线段 AB,BP,AP 长度,由
①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP,分别列方程解出坐标:
(2)几何法
作等腰三角形底边的高(即底边的垂直平分线),用勾股定理或相似建立等量关系【中考母题学方法】
【典例1】易错点 等腰三角形的边不确定,则需分情况讨论
（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 ，
两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段 上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点
Q，当线段 的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且 ．在y轴上是否存在
点E，使得 为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点 或 或 或 或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 ，即可求解；
（3）先求出点 ，再分类求解即可．【详解】（1）解：由题意得： ，
则 ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）解：由抛物线的表达式知，点 ，
由点B、C的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
∵ ，故 有最大值，
此时 ，则 ，
即点 ；
（3）解：存在，理由：
设直线 的表达式为 ，
由点 的坐标得， ，解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
令 ， ，故 ，
过点 作 轴交 轴于点 ，则 ，，
则 ，
即直线 和 关于直线 对称，故 ，
设直线 的表达式为 ，
代入 ， ，得 ，
解得： ，
则直线 的表达式为： ，
联立上式和抛物线的表达式得： ，
解得： (舍去)或5，
即点 ；
设点 ，由 的坐标得， ，
当 时，则 ，
解得： ，即点 或 ；
当 或 时，同理可得： 或 ，
解得： 或 ，
即点 或 或 ；
综上，点 或 或 或 或 ．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【变式1-1】（2024·内蒙古通辽·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D是第一
象限抛物线上的一个动点，若点D的横坐标为m，连接 ， ， ， ．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线 的函数表达式．
(2)当四边形 的面积有最大值时，求出m的值．
(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点M，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ， ，
(2)当四边形 的面积最大时，m的值为2
(3)存在， 或 或 或
【分析】（1）分别令 和 即可求出A，B，C三点的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线
的函数表达式；（2）过D作x轴的垂线交 于P，设 ，则 ，根据题意表示出四边
形 的面积，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）首先根据勾股定理求出 ，设 ，表示出 ，根据
求出 或 ；然后根据 时得到 ，过
D作 于E，证明出 ，得到 ，然后代数求解；然后当 时，利
用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）令 ，得 ，
解得 或 ，
∴A(−2,0)，B(4,0)，
令 ，得 ，
∴C(0,6)；
设直线 的解析式为 ，
把B(4,0)，C(0,6)代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）如图，过D作x轴的垂线交 于P，设 ，则 ，
∴四边形 的面积
，
∵ ，
∴当 时，四边形 的面积最大，
∴当四边形 的面积最大时，m的值为2；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
当 ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ 或 ；
当 时，则点M在 的垂直平分线上，
作 的垂直平分线交x轴于M，交 于H，则 ，
过D作 于E，∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∵
∴
∴点M的横坐标为
∴点M的坐标为
综上所述， 或 或 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四
边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解
题的关键．【变式1-2】（2024·上海·模拟预测）如图，直线 交y轴于点A，交抛物线 于点
，抛物线经过点 ，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作 交DB所在直线于
点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 为等腰直角三角形时，求：P点坐标；
(3)在（2）的条件下，连接 ，将 沿直线AB翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 的对称点坐标为
【分析】（1）把 代入 即可得到结论；
（2）由 求得 ，根据等腰直角三角形的性质得到 ，列方程即可得到结论；
（3）分为①当 点在直线 的上方时，②当 点在直线 的下方时，根据勾股定理和锐角三角形解答
即可．
【详解】（1）解：把 代入 得，
，，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：设 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 轴，
∵ ，
∴ ，
∴ ，或 ，
∵ 为等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
或 ，
解得： （不合题意，舍去），
或 ，
∴ 或 ；
（3）解：①当 点在直线 的上方时，如图1，设点 关于直线 的对称点为 ，过 作
于 ，
由（2）知，此时， ，，
，
，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ， ，解得： ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
故点 的纵坐标为 ，横坐标为 ，
；
②当 点在直线 的下方时，如图2，设点 关于直线 的对称点为 ，过 作 于 ，
由（2）知，此时， ，
，
，
，∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ， ，解得： ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
故点 的纵坐标为 ，横坐标为 ，
∴ ，
综上所述， 的对称点坐标为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，
折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式1-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如图，抛物线 与 轴交
于点 ， ，与 轴交于点 ，其中 ，且 为等腰直角三角形．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点 为点 的对应点，平移后的抛物线与 轴交于点
， 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 为腰的 是等腰三角形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ，此时点
(3)点 的坐标为 ，或 或 ，见解析
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求出直线 的表达式为： ，过点 作 轴的平行线交 于点 ，则 ，
可得 ，设点 ，则点 ，由 即可求解；
（3）求出平移后的抛物线的表达式为： ，则点 ， ，设点 ，然后
分 、 两种情况，列出等式，即可求解．
【详解】（1）由题意得： ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）令 ，则 或3，则点 ，
由点 、 知，直线 的表达式为： ，
过点 作 轴的平行线交 于点 ，则 ，
则 ，则 ，
则 ，设点 ，则点 ，
则 ，
即 的最大值为： ，此时点 ；
（3）平移后的抛物线的表达式为： ，
则点 ， ，设点 ，
则 ， ， ，
当 时，则 ，
解得： ，
则点 的坐标为 ；
当 时，则 ，
解得： 或 ，
则点 的坐标为： 或 ；
综上，点 的坐标为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数的性质、等腰三角形的性
质、解直角三角形等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．【中考模拟即学即练】
1．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 和点C，与y轴交于点B(0,3)，
点 是抛物线上点 与点 之间的动点（不包括点 ，点 ）．
备用图
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点 在抛物线上，且在直线 上方，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移 个单位，点 为点 的对应点，平移后的抛物线与 轴交于
点 ， 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，求出所有符合条
件的点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2)最大值为 ， ；
(3) 或 或 ．
【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象
和性质，等腰三角形的性质，即可．
（1）把点 ， 的坐标代入函数解析式，即可；
（2）设直线 的解析式为 ，根据点 ， 的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交AB于点
H，求出 ，根据 ，即可；（3）根据函数平移的性质，则平移的函数解析式： ，根据点 为点 的对应点，求出点
的坐标，平移后的抛物线与 轴交于点 ，求出点 的坐标，根据两点间的距离公式，求出
， ， ，分类讨论等腰三角形的形状，即可．
【详解】（1）∵抛物线经过 ，B(0,3)，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）设直线 的解析式为 ，
∵直线 经过 ，(0,3)
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
过点 作 轴的垂线交 于点 ，设 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 面积 ，∴ ，
∴当 时， 面积最大值为 ，
此时 ．
（3）抛物线整理得： ，
∴平移后的抛物线表达式为： ，
∵点 为点 的对应点， ，
∴点 ，
∵平移后的抛物线与 轴交于点 ，
∴当 时， ，
∴点 ，
设点 ，
∴ ， ， ，
当 时，则 ，解得： ，
∴点 的坐标为： ；当 时，则 ，解得： ，
∴点 的坐标为： ，
检验得点 ，点 ，点 三点不共线．
综上所述，点 的坐标为： 或 或 ．
2．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 交 轴于点A(−4,0)，
，交 轴于点C(0,6)，在 轴上有一点 ，连接 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点 为抛物线在 轴负半轴上方的一个动点，求 面积的最大值及此时 点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点 ，使 为以 为底的等腰三角形？若存在，请直接写出 点的坐标
即可；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2) 面积的最大值为 ，此时D点坐标为
(3)存在，点P的坐标为
【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形
结合与分类讨论数学思想是解题的关键．
（1）直接用待定系数法求解即可；（2）可求得直线 的表达式为 过点D作 轴于点G， 交 于点F， 设
则 所以 ，则 ，即可求得
面积的最大值是 ；
（3）先求得抛物线的对称轴为直线 设 ，再根据 为等腰三角形，且以 为底边，利
用坐标两点距离公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ，
，
解得
∴二次函数的表达式为 ．
（2）解：设直线 的表达式为 则
解得
∴直线 的表达式为
如图1，过点D作 轴于点G，交 于点F，设 则
，
，
，
∴当 时， ，
此时， ，
面积的最大值是 ，此时D点坐标为 ；
（3）解：存在，理由如下：
，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设 ，
为等腰三角形，且以 为底边，
，
，A(−4,0)，解得 ，
．
题型二：直角三角形的存在性问题
顶点确定法
1.确定直角三角形顶点位置的常见方法已知点A.B和直线l,在l上找点P,使△PAB为直角三角形
(1) 如图①,分别过线段端点A,B作 AB 的垂线,与直线l的交点 即为所求;
(2)如图②,以 AB 为直径画圆,与直线l的交点 即为所求.
2.求点坐标的常用方法
(1)代数法
分别表示出点 A,B,P的坐标,再表示出 AB²,BP²,AP²,分情况讨论:①∠PAB=90°,即AB²+AP²=BP²;
②∠ABP=90°,即AB²+BP²=AP²;③∠APB=90°,即AP²+BP²=AB²分别列方程求解即可;
(2)几何法
过直角顶点作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型,利用相似或全等三角形解题“一线三垂直”
模型
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线 的图象经过点 ，与 轴交
于点A，点 ．(1)求抛物线 的表达式；
(2)将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线 ，求抛物线 的表达式，并判断点
是否在抛物线 上；
(3)在 轴上方的抛物线 上，是否存在点 ，使 是等腰直角三角形．若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，点 在抛物线 上
(3)存在，点 的坐标为： 或
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，
灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键．
（1）将点D的坐标代入抛物线表达式 ，求得a的值即可；
（2）由题意得： ，当x=1时，
，即可判断点 是否在抛物线 上；
（3）分 为直角、 为直角、 为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标．
【详解】（1）解：将点 的坐标代入抛物线表达式 得： ，解得： ，
则抛物线的表达式为： ．
（2）解：由题意得： ，
当 时， ，
故点 在抛物线 上．
（3）解：存在，理由如下：
①当 为直角时，如图1，过点 作 且 ，则 为等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
∴ ， ，
∴点 ，
当 时， ，即点 在抛物线 上，
∴点 即为点 ；②当 为直角时，如图2，
同理可得： ，
∴ ， ，
∴点 ，
当 时， ，
∴点 在抛物线 上，
∴点 即为点 ；
③当 为直角时，如图3，
设点E(x,y)，
同理可得： ，
∴ 且 ，解得： 且 ，
∴点 ，
当 时， ，
即点 不在抛物线 上；
综上，点 的坐标为： 或 ．【变式2-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线 （ 、 为常数，且 ）与
轴交于 ， 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ， ．抛物线的对称轴与 轴交于点
，与经过点 的直线 交于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在抛物线上存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形，点 的坐标为 或 或
【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平
移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键．
（1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）先根据二次函数的性质求得 ，点 的坐标为 ，进而可得 ；当
时，则 ，可得 ，设点 的坐标为 ，然后解方程求得t值即可；
求直线 的函数表达式，然后平移至经过点 ，此时直线与抛物线的交点分别为 ， ，可得
，再利用待定系数法求得直线 的函数表达式，然后联立方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵点 的坐标为 ， ，点 在点 左侧，
∴点 的坐标为 ，将 ， 代入 ．
，解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：在抛物线上存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形．
理由如下：由 得抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∵抛物线的对称轴与经过点 的直线 交于点 ，
∴当 时， ，
∴点 的坐标为 ，则 ，
∴
当 时，则 ，过点 作 于点 ，如图．
则 是等腰直角三角形，
∴ ，
设点 的坐标为 ，
∴ ，
解得： ， （舍），
当 时， ，
点 的坐标为 ；设直线 的函数表达式为 ，
将点 ， 代入，得 ，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
将直线 平移至经过点 ，此时直线与抛物线的交点分别为 ， ，
则 ，可设直线 的函数表达式为 ，
将 代入，得 ，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
∴ ，解得： 或 ．
∴点 的坐标为 或 ．
综上可得，在抛物线上存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形，点 的坐标为 或
或 ．
【变式2-2】（2024·宁夏银川·模拟预测）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图
①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答：
(1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点
，求抛物线的解析式；
(2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成 ，试求 面积
的最大值；
(3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝 （ 足够长），钢珠Q可以沿着铁丝 上下滑动，点Q，A，C构成 ，是否存在某一时刻，使 为直角三角形．若存在，请求出所有符合条件的点Q的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 最大面积为
(3) 点的坐标为 ， ， 或
【分析】（1）根据抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点 ，待定
系数法求解析式即可；
（2）连接 ，先求得 的解析式，设 ，过点 作 轴的垂线，交 于点 ，则
，根据 列出关于 的式子，进而根据配方法求得最值；
（3）根据题意，设 ，分三种情况讨论，分别以 为直角顶点，根据勾股定理即可求解
【详解】（1）解： 抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点 ，
设抛物线解析式为 ，将 代入得：
解得
抛物线解析式为
即
（2）解：如图，过点 作 轴的垂线，交 于点 ，，
则直线 的解析式为
设 ，则
当 时， 最大，最大值为
（3）解：存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为
设 ，
则 ，
①如图，当 时， ，解得
②如图，当 时， ，
解得
③如图，当 时， ，
∴ ，
解得综上所述， 点的坐标为 ， ， 或 ；
【点睛】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求解析式，求二次函数的最值，勾股定理，一元二次方
程的解法，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式2-3】难点已知边为斜边的直角三角形存在性问题,可构造相似三角形求解
（2024·湖北·模拟预测）若抛物线 交x轴于 交y轴于
(1)请求出抛物线的解析式并直接写出 的解集．
(2)在抛物线对称轴上有一点P．当三角形 为直角三角形时请求出P点的坐标．
(3)以B为圆心2为半径做圆， 上有一点M，连接 ．请求出 的最小值．
【答案】(1) ，
(2)当 的坐标为 、 、 或 时三角形 为直角三角形
(3)
【分析】（1）将 、 、 代入 即可求解；由图象可知当 时， ；
据此即可求解；
（2由题意得其对称轴，设 ，分别求出直线 、直线 、直线 的解析式，分类讨论 、、 三种情况即可求解；
（3） 在 上做一点 ，使 ，可证 ，推出 ，即可求解；
【详解】（1）解： 抛物线过 、 、
可得方程组
解得
由图象可知：当 时， ；
∴ 的解集为
（2）解： ∵
抛物线的对称轴为直线
设 ，
∵ 、
∴ ， ，
当 时， ，
即：
解得 ；
当 时，有 ,
即：
解得 ；当 时，有 ;
即：
解得 、 ；
当 的坐标为 、 、 或 时三角形 为直角三角形
（3）解：在 上做一点 ，使 ，连TC，TM，MB
在 与 中，
，
，
，
，
，
的最小值为 ，
的最小值为 即
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了二次函数与不等式的关系、待定系数法、二次函数与特殊
三角形综合、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相关函数性质是解题关键.
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东·模拟预测）综合运用如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 A．C(点 A 在点 C的右侧)．与y
轴交于点 B．直线 经过点A，B．
(1)求A，B，C 三点的坐标及直线 的表达式．
(2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作 轴交直线 于点 Q，设点 P 的横坐标为
． 的长为 L．
①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围；
②若 与 交于点D， 求 m的值．
(3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点 N，使得 为直角三角形？若存在，直接写出点
N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)① ②
(3)存在， 或 或 或
【分析】（1）令 ，求出 值，令 ，求出 的值，进而得到 的坐标，待定系数法求出直线
的解析式即可；
（2）①求出 点坐标，根据两点间的距离求出 的解析式，根据点 在第二象限，写出m的取值范围即
可；
②证明 ，得到 ，进行求解即可；（3）分别以 为直角顶点， 为直角顶点和 为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，解得： ，
∴ ，
∵直线 经过点A，B
∴ ，解得： ，
∴ ；
（2）①∵点 P 的横坐标为 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵P是第二象限内抛物线上的一个动点，
∴ ；
∴ ；
②∵ 轴， 与 交于点D，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （舍去）或 ，
∴ ；
（3）存在，设点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
①当点 为直角顶点时： ，解得： ，
∴ ；
②当点 为直角顶点时， ，解得： ，
∴ ；
③当点 为直角顶点时： ，解得： 或 ，
∴ 或 ；
综上： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，相
似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行
求解，是解题的关键．
2．（2024·广东·模拟预测）综合探究如图（1）所示，在平面直角坐标系 中，已知菱形 的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在
二次函数 （a为常数，且 ）的图象上，且 轴， 与y轴交于点E， ．
(1)求 的长．
(2)求a的值．
(3)如图（2）所示，F是射线 上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转 得点 ，当
是直角三角形时，求 的长．
【答案】(1)1
(2)1
(3) 或
【分析】（1）由菱形可得 ，根据二次函数对称性可得 ，再根据
求解即可；
（2）设 则 代入 计算即可；
（3）过点C作 于点N，设直线 交射线 与点M，连接 ，根据菱形的性质及
解三角形得出 ，再由旋转的性质分三种情况讨论：①当以 为直角顶点时，②当以A为直角顶点时，
③当以 为直角顶点时，分别利用旋转的性质，相似三角形的判定和性质及解一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是菱形，∴ ， ，
∵ 轴，
∴ ，
∵二次函数 对称轴为 轴， B，C，D在二次函数的图象上，
，
；
（2）解：由（1）可得 ， ， ，
设 则
代入 得 ，
解得 ，
∴ ；
（3）解：如图2，过点C作 于点N，设直线 交射线 与点M，连接 ，
在菱形 中， ，，
，
，
，
∴在 中， ， ，
∵点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转 得点 ，则 绕点F逆时针旋转 得到 ，
，
∵ ，
，
，
由 是直角三角形，可知需分三种情况讨论：
①当以 为直角顶点时，如图，
∵ ，
∴点 落在 的延长线上，且与点M重合，
∵ ，
∴ ，
∴点 F与点N重合，
∴ ，
∴ ；
②当以 为直角顶点时，如图 ，，
∴点 落在 的延长线上，且与点M重合，
， ，
，
在 中， ，
，
；
③当以A为直角顶点时，如图，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，设 ，则 ，
∴ ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
化简得 ，
，
无解，
不存在此种情况，不符合题意，
综上所述，当 是直角三角形时， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，
三角形相似的判定与性质，解一元二次方程，解直角三角形等知识，利用分类讨论和数形结合是解题的关
键．
3．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点
，连接 ．(1)求抛物线的表达式．
(2)点 是抛物线上位于线段 下方的一个动点，连接 ， ，求 面积最大时点 的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出
所有满足条件的点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)点 的坐标为
(3)存在，满足条件的点 的坐标为 或 或 或
【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案；
（2）过点 作 轴的垂线，交 于 ，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角
形的面积求法得到 ，进而由二次函数最值的求法即可得到答案；
（3）当 为直角三角形时，分三种情况：① ；② ；③ ；如图所
示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于 ， 两点，
设抛物线的交点式为 ，即抛物线的表达式为 ；
（2）解：过点 作 轴的垂线，交 于 ，如图所示：由（1）知抛物线的表达式为 ，
抛物线与 轴交于点C(0,−3)，
设直线 ，将 、C(0,−3)代入得 ，解得 ，
直线 ，
点 是抛物线上位于线段 下方的一个动点，
设 ，则 ，
，
，
抛物线开口向下，当 时， 有最大值，此时点 的坐标为 ；
（3）解：存在，
当 为直角三角形时，分三种情况：① ；② ；③ ；如图所示：设 ，
、C(0,−3)
，
当 时，即抛物线上的 点（在第一象限， ），由勾股定理可得 ，则
，即 ，解得 （舍去）或 ，
；
当 时，即抛物线上的 点（在第三象限， ），由勾股定理可得 ，则
，即 ，解得 （舍去）或 ，
；
当 时，即抛物线上的 点，由勾股定理可得 ，则
，即 ，解得 （与 重合，舍去）
或 （与 重合，舍去）或 或 ，
、 ；综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标
系中求三角形面积、二次函数最值、二次函数与直角三角形综合、两点之间距离公式、解一元二次方程等
知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．
题型三：相似三角形的存在性问题
相似三角形问题的解题步骤
第一步：找关键点
根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等
第二步：找等角
找到两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角，或通过互余(互补)进
行转化等方法得到的等角
第三步：求点坐标
根据相似三角形对应边成比例列关系式
【中考母题学方法】
【典例3】易错点 相似三角形的对应边不确定,需分情况讨论
（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像经
过原点和点 ．经过点 的直线与该二次函数图象交于点 ，与 轴交于点 ．(1)求二次函数的解析式及点 的坐标；
(2)点 是二次函数图象上的一个动点，当点 在直线 上方时，过点 作 轴于点 ，与直线
交于点 ，设点 的横坐标为 ．
① 为何值时线段 的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点 ，使得 与 相似．若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)①当 时， 有最大值为 ；②当P的坐标为 或 时， 与 相似
【分析】（1）把 ， ， 代入 求解即可，利用待定系数法求出直线
解析式，然后令 ，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出 ，然后分 ，
两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【详解】（1）解：把 ， ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，当 时， ，
∴ ；
（2）解：①设 ，则 ，
∴
，
∴当 时， 有最大值为 ；
②∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 轴，
∴ 轴，
∴ ，
当 时，如图，
∴ ，
∴ 轴，
∴P的纵坐标为3，
把 代入 ，得 ，解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴P的坐标为 ；
当 时，如图，过B作 于F，
则 ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为 或 时， 与 相似．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似
三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论
是解题的关键．
【变式3-1】（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知抛物线 上点 的坐标分别为(0,2)，，抛物线与 轴负半轴交于点 ，连接 ，点 为抛物线上的点．
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标．
(2)抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 的横坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点 为 轴负半轴上的点，且 ，点 是线段 （包含点 ）上的动点，过点 作 轴的垂
线，交抛物线于点 ，交直线 于点 ．若以点 为顶点的三角形与 相似，请求出点 的
坐标．
【答案】(1) ，
(2)存在，
(3) 或
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性
质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；然后令 ，求得x的值，即可确定点B的坐标；
（2）如图：取 的中点 ，可确定 ；如图：过点 作 的平行线 ，与抛物线的交点即为点
．然后运用待定系数法分别求得直线 的表达式为 ，直线 的表达式为 ，然后将
直线 的表达式与抛物线联立即可解得；（3）先说明 ，即点 与点 不是对应点．然后分 和 两种情况分别
运用相似三角形的性质及正切函数即可解答．
【详解】（1）解： 抛物线 过点 ， ，
，
解得 ,
抛物线的解析式为 ．
令 ，得 ，
解得 ， ，
．
（2）解：如图：取 的中点 ，则 ，
．
如图：过点 作 的平行线 ，与抛物线的交点即为点 ．
设直线 的表达式为 ，将 代入，得 ．
将 代入，得 ，解得： ，
直线 的表达式为 ．
设直线 的表达式为 ，
将 代入，得 ．
直线 的表达式为 ．
由 ，得 ．
（3）解： ，以点 为顶点的三角形与 相似，
以点 为顶点的三角形也是直角三角形．
轴，直线 交直线 于点 ，
，即点 与点 不是对应点．
①如图：当 时，点 与点 重合，
则点 的坐标即点 的坐标，
点 的坐标为 ．
②如图：当 时，， ， ．
设点 的横坐标为 ，则 ，
，
．
解得 ， （舍去），
点 的坐标为 ．
综上，点 的坐标是 或 ．
【变式3-2】（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于
、 两点，与y轴交于点B．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)若点D是抛物线上的一个动点，满足 与 的面积相等．求出点D的坐标；
(3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作 轴于点F，交 于点P，且满足 与 相似，
求出点E的横坐标．【答案】(1) ，顶点坐标为
(2)
(3)点E的横坐标为2或
【分析】（1）把 ， 代入 ，求出a和b的值，即可得出函数解析数，
将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）根据点 是抛物线上的一个动点， 与 的面积相等，于是得到 ，求得 点的
纵坐标为4，解方程即可得到 ；
（3）设直线 的解析式为 ，解方程得到直线 的解析式为 ，设 ，则
， ，根据已知条件得到 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，
求得 ，得到 ，①当 时，②当 时，根据相
似三角形的性质解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
∵ ，
∴顶点坐标为 ；（2）解： 抛物线 与 轴交于点 ，
，
设 在 上的高为 ， 在 上的高为 ，
∵ 与 的面积相等，
∴ ，
，
点的纵坐标为 ，
当 时，即 ，
解得 （舍去）， ，
；
（3）解：设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，直线 的解析式为 ，
设 ，则 ， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当 时，
则 ，
，
解得 或 ，
且 ，
，
当 时，
则 ，
，解得 或 不合题意舍去 ，
点 的横坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待
定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键．
【变式3-3】（2024·重庆·模拟预测）如图，二次函数 顶点D(1,4)， 与x轴交A，B
两点， 交y轴于点C，点 ，
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图，连接 ，点P为线段 上方抛物线上一动点，过点P作直线 分别交y轴于点E，x轴
于点F，求 的最大值以及此时点P的坐标
(3)连接 ， 将抛物线沿射线 平移 个单位长度得到新抛物线 的顶点为H，过点H作
轴于点N，连接 ，在新抛物线 对称轴右侧平面内是否存在点Q，使得 与 相似，
若存在，请直接写出所有符合题意点Q的坐标，若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ，此时点P的坐标为(2,3)(3)存在； 或 或 或
【分析】（1）求出点B的坐标，可得抛物线解析式为 ，再把D(1,4)代入，求出a的值，
即可求解；
（2）过点C作 轴交 于点G，证明 是等腰直角三角形，可得到 是等腰直角三角形，
从而得到 ，进而得到当点P与点G重合时， 最大，最大值为 的长，
然后求出直线 的解析式，即可求解；
（3）分四种情况讨论，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．
【详解】（1）解： 是顶点， 是抛物线与 轴的交点
设抛物线为：
是抛物线与 轴的交点，
将D(1,4)代入得：
解得：
二次函数的解析式
（2）解：如图，过点C作 轴交 于点G，由（1）得：点 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当点P与点G重合时， 最大，最大值为 的长，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
∵ 轴，点 ，抛物线的对称轴为直线 ，
∴点P的坐标为(2,3)，
把(2,3)代入 ，得：，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∴点 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的最大值为 ，此时点P的坐标为(2,3)；
（3）解：∵点D(1,4)， ，
∴ ，
∵将抛物线沿射线 平移 个单位长度得到新抛物线 ，
∴将抛物线沿x轴向右平移4个单位，再向上平移8个单位得到新抛物线 ，
∴新抛物的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，D(1,4)，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设点Q的坐标为 ，
如图，若 ， ，即 ，分别过点D，Q作 轴，轴，垂足分别为M，K，则 ， ，此时 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点Q的坐标为 ；
如图，若 ， ，即 分别过点D，Q作 轴，
轴，垂足分别为M，K，则 ， ，此时 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
同理点Q的坐标为 ；
如图，若 ， ，即 过点D作直线 轴于点M，过点
Q作 于点L，此时 ， ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴点Q的坐标为 ；
如图，若 ， ，即 过点Q作直线 轴于点K，过点
D作 于点P，此时 ， ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴点Q的坐标为 ；
综上所述，点Q的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，相似
三角形的判定和性质，，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数 的图象与x轴交于 、 两点，与y轴交于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)作直线 ，分别交x轴、线段 、抛物线于D、E、F三点，连接 ，若以B、D、E为顶
点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值；
(3)点M为y轴负半轴上一点，且 ，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为
点 ，点C的对应点为点 ， 与 交于点N．在抛物线平移过程中，当 的值最小时，试
求 的面积．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）分两种情况：当 时，当 时，分别画出图形，求出结果即可；
（3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点 ，
证明 ， ，说明当 取最小值时， 的值最小，作出点B关于直线
对称的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 ，根据两点之间线段最短，得出此时
最小，即 取得最小值，求出直线 的解析式是： ，求出 ，得
出平移的距离是 ，根据平行四边形面积公式和平行四边形的性质得出结果即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象与x轴交于 、 两点，∴ ，
解得： ，
∴这个二次函数的表达式为 ；
（2）解：以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，则存在 或 为直角，
当 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴ ，
∴点F的纵坐标为2，
把 代入 得：
，
解得： ， ，
∴ 的横坐标为 ，
此时 ；当 时，过点F作 轴于点G，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
解得： 或 （舍去），
此时 ；
综上， 或 ；
（3）解：设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到
点 ，作出图形如下：由平移的性质可知， ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
同理得： ，
∴当 取最小值时， 的值最小，
显然点 在直线 上运动，
作出点B关于直线 对称的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，即 取得最小值，
∵点B关于直线 对称的对称的点是点 ，B(4,0)，
∴ ，
设直线 的解析式是： ，将点 ， 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式是： ，
令 ，解得： ，
∴ ，
∴平移的距离是 ，
∴ ，
根据平移可知： ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵N是对角线 与 的交点，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定和
性质，平行四边形的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
2．（2024·青海西宁·三模）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，顶点为点D，连接 与抛物线的对称轴交于点E．(1)求点A，B，C的坐标．
(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形 的面积为60时，求点P的坐标．
(3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线 上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三
角形与 相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．点 的坐标为 ；
(2) 或
(3)在射线 上存在一点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，点 的坐标为 或
或
【分析】（1）令 ，则 ，得出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．令 ，得
．得出点 的坐标为 ；
（2）根据A(−2,0)， ，可得 ，设点 的坐标为 ，根据三角形 的面积
为60列出方程，即可求解；
（3）设 ， ．分三种情况：①当 ， 时， ，根
据点 与点 的纵坐标相同，为 ．②当 ， 时， ，过点
作 于点 ．③当 ， 时， ，分别求得点 的坐标．
【详解】（1）令 ，则 ，
解得 ， ．
点 在点 的左侧，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．令 ，得 ．
点 的坐标为 ；
（2） ， ，
，
设点 的坐标为 ，
．
， ．
当 时， ，
当 时， ，
点 的坐标为 或 ；
（3）在射线 上存在一点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形与 相似．点 的坐标为 或
或 ．理由如下：
， ，
．
，
是等腰直角三角形．
抛物线的对称轴为直线 ．
设直线 的表达式为 ．
将 ， 代入，
得解得 ．
直线 的表达式为 ．
将 代入 ，得 ．
．
点 在射线 上，
点 的横坐标为3．
设 ， ．
分三种情况：
①当 ， 时， ，如图2．
则 轴，
点 与点 的纵坐标相同，为 ，
，
解得 （不合题意，舍去）， ．
点 的坐标为 ．
②当 ， 时， ，如图3，过点 作 于点 ．由①得点 的坐标为 ，
，
．
， ，
．
点 的坐标为 ．
③当 ， 时， ，如图4．
则 轴，
点 与点 的纵坐标相同，为 ，
，
解得 ， （不合题意，舍去），
，，
点 的坐标为 ，
综上，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，二次函数图象与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，熟
练掌握相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
3．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点点
和点 ，与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)如图1，连结 ， ，求 的面积的最大值；
(3)如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与 交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶
点的三角形与 相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可；
（2）过点P作 轴，交直线 于点E，结合抛物线，直线 解析式，设 ，则，则 ，表示出
，利用二次函数的最值解答即可．
（3）根据点 ，点 ，得到 ，继而得到 ，分 和
两种情况解答，设 ，则 列出比例式计算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ．
（2）解：过点P作 轴，交直线 于点E，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入直线 的解析式得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为： ．
设 ，则 ，则 ，
∴ ，
∴当 ， 的面积最大，且最大值为 ．
故当 ， 的面积取得最大值，且最大值为 ．
（3）点 、 、 为顶点的三角形与 相似，且 或 ．
理由如下：
当 时，
得 ，
∴ ，
∵点 ， ，
∴点 是抛物线上的一对对称点，
设 ，则 ，
解得 ，
此时 ；
当 时，∵点 ，点 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去），或 （舍去）， （舍去），
此时 ；
综上所述，点 、 、 为顶点的三角形与 相似，且 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，构造二次函数，配方法求最值；两点间距离公式；三角形相似
的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值，准确解方程是解题的
关键．
4．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 （点 在点
左侧），与y轴交于点 ，连接 ．(1)如图1，求 的值及直线 的解析式；
(2)如图2，点 为直线 上方抛物线上一动点，连接 ，设直线 交线段 于点 ．当
时，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点 的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点 ，使得以 为顶点的三角
形与 相似，如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，直线 的解析式为
(2)点 坐标为 或
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）由待定系数法求解即可得到答案；
（2）证明 ，得到 ，即可求解；
（3）当点 在 轴时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似，存在 、
两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点 在 轴上时，同理可解．
【详解】（1）解： 抛物线 与y轴交于点 ，
把 代入 得 ，即抛物线的解析式为 ；
抛物线 与 轴交于点 （点 在点 左侧），，
当 时， ，解得 或
，
直线过 、 ，
设直线 ，将 、 代入 得： ，解得： ，
直线 的解析式为 ；
（2）解：分别过点 、点 作 轴的平行线，交直线 于点 和点 ，如图所示：
设点 ， ，则 ，
当 时， ，
， ，
，
，
，
，则 ，
，解得 ， ，
点 坐标为 或 ；
（3）解：存在，
理由如下：
由题意得，点 ；由点 、 、 的坐标得， ， ，
∴
则 ，则 ， ， ，
当点 在 轴时，如图所示：以 、 、 为顶点的三角形与 相似，
当 时，则 ，得 ，则点 ；
当 时，此时，点 、 重合且符合题意，故点 ；
当点 在 轴上时，只有 ，则 ，则点 ，
综上，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、三角
形相似的判定与性质、解直角三角形、面积的计算等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合
题型解法，尤其注意分类求解是解题的关键．
题型四：平行四边形的存在性问题
顶点确定法
1.确定平行四边形中动顶点的位置,常见方法如下(1)三定顶点、一动顶点:
如图①,分别过 A,B,C三个定点作对边的平行线,所作三条直线两两的交点 即为所求动点;
(2)两定顶点、两动顶点:
①如图②,若 AB为平行四边形的边,平移 AB,确定另外两点位置:②)如图③,若 AB 为平行四边形的对角线,取 AB 中点,作过中点的直线确定另外两点的位置.
2.根据平移法或坐标公式法求点坐标,具体如下:(1)平移法:
如图④,由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到 ,的规律(点C到点 , 同理);
(2)平行四边形顶点坐标公式法
设 平 行 四 边 形 ABCD 的 顶 点 坐 标 分 别 为 则
【中考母题学方法】
【典例4】（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F： 经过点
，与y轴交于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接 交AB于点D，求 的最大值及此时点C的坐标；
(3)作抛物线F关于直线 上一点的对称图象 ，抛物线F与 只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线 对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求
G点坐标．
【答案】(1) ；
(2)最大值为 ，C的坐标为 ；
(3)点G的坐标为 ， ， ．
【分析】（1）本题考查了待定系数法解抛物线分析式，根据题意将点 坐标分别代入抛物线解析式，
解方程即可；
（2）根据题意证明 ，再设 的解析式为 ，求出 的解析式，再设
，则 ，再表示出 利用最值即可得到本题答案；
（3）根据题意求出 ，再分情况讨论当 为对角线时，当 为边时继而得到本题答案．
【详解】（1）解： ， 代入 ，
得： ，解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ．
（2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交 于点M．
∴ 轴，
∴ ，∴ ，
设 的解析式为 ，
把 ， 代入解析式得 ，
解得： ，
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴当 时， 最大，最大值为 ．
∴ 的最大值为 ，此时点C的坐标为 ．
（3）解：由中心对称可知，抛物线F与 的公共点E为直线 与抛物线F的右交点，
∴ ，
∴ （舍）， ，
∴ ．
∵抛物线F： 的顶点坐标为 ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，
∴抛物线 的对称轴为直线 ．
如图2，当 为对角线时，由题知 ，∴ ，
∴ ．
如图3，当 为边时，由题知 ，
∴ ，
∴ ．
如图4，由题知 ，∴ ，
∴ ，
综上：点G的坐标为 ， ， ．
【变式4-1】（2024·宁夏·中考真题）抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
点 是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，过 作 轴于点 ，交直线 于点 ．设点 的横坐标为 ，当 时，求 的
值；
(3)如图 点F(1,0)，连接 并延长交直线 于点 ，点 是 轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件
下， 轴上是否存在一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或 或 或
【分析】（1）将点 代入抛物线解析式，可得关于 的一元一次方程，解方程即可求出 的值，进
而得出抛物线的解析式；
（2）令 ，可得B(4,0)，令 ，可得 ，则 ，利用待定系数法可求
得 的解析式为 ，根据题意可知点 的坐标为 ， ，把 分别代入抛物线和直
线 的解析式，可得 ， ，进而可得 ， ，由
轴可得 轴，据此可证得 ，于是可得 ，即 ，则
，由已知条件可得 ，由此可建立关于m的方程，解之即可；
（3）由C、F的坐标可求得直线 的解析式为 ，进而可得 ，当 时，
，解方程即可求得点 的坐标为(−2,3)或 ，然后分情况讨论：当 时，
；当 时， ；分别求解即可得出答案．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得：
，解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：令 ，则 ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，
， ，
，
根据题意得，点 的坐标为 ，则 ，
把 代入 ，得：
，
点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把 ， 代入，得：
，
解得： ，
直线 的解析式为： ，当 时， ，
点 的坐标为 ，
，
，
又 轴，
∴ 轴，
，
，
，
，
又 ，
，
解得： ， （不合题意，故舍去），
∴ 的值为 ；
（3）解：存在，点 的坐标为 或 或 或 ，
理由如下：
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入，得：
，解得： ，
的解析式为： ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，
又 点 是 轴上方抛物线上的一点，
当 时， ，
解得： ， ，
点 的坐标为(−2,3)或 ，
分情况讨论：
当点 的坐标为(−2,3)时，
，
点 的坐标为 或 ；
当点 的坐标为 时，
，点 的坐标为 或 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，
相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点，熟练掌
握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
【变式4-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y
轴交于点C，已知 ，对称轴为直线
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点 的直线（不与直线 重合）与抛物线
交于G，H两点，直线 分别交x轴于点M，N，画出图形，试探究 是否为定值？若是，
求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为 或 或
(3)是定值，定值为
【分析】（1）根据题意可得点B的坐标为 ，进而得抛物线的表达式为：，即可求解；
（2）设点P的坐标为： ，点 ，分类讨论当 或 或 为对角线三种情况即可
求解；
（3）设直线 的表达式为： ，点G、H的坐标分别为 ， ；联
立 和 可得 ；
由点G、D的坐标得，直线 的表达式为： ，据此即可求解；
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ，对
称轴为直线
点B的横坐标为
点B的坐标为 ，
抛物线的表达式为： ，
即
∴ ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）解：由题意得：
设点P的坐标为： ，点 ，
当 或 为对角线时，由中点坐标公式得
解得 （舍去）或2，
则点 ；
当 为对角线时，同理可得：
解得：则点P的坐标为： 或
综上所述，点P的坐标为 或 或
（3）解：是定值，理由：
直线 过点 ，故设直线 的表达式为：
设点G、H的坐标分别为 ，
联立 和 并整理得：
则
由点G、D的坐标得，直线 的表达式为：
令 ，则 ，即点 ，
则 ,
同理可得，
则
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了二次函数的解析式求解、二次函数与特殊四边形问题、二
次函数与一次函数综合问题等知识点，掌握函数的性质是解题关键．
【变式4-3】难点平行四边形的顶点顺序不确定,需分情况讨论
（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线 与直线 相交于点B和C，点B在x轴
上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图2，将直线 绕点B逆时针旋转 交y轴于点D，在直线 上有一点P，求 周长的最小
值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，在新抛物线 上
有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有
符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ；
(3)存在； 或 或 或
【分析】（1）求出点 和 ，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）在直线 上取一点 ，使 ，连接 交 于点P，证明
，则当A、 、P三点共线时， 有最小值为 ．求出
，得到 的最小值为 ，求出直线
的解析式为 ，进一步得到 ，求出直线 解析式为 ，联立直
线 与直线 即可求出交点P的坐标；（3）求出平移后新抛物线为 ，设点M的坐标为 ，要使点M
与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当 为对角线时，②当 为对角线时，③当
为对角线时，分别画出图形进行解答即可；
【详解】（1）解： 在 中，
令 ，得 ，
，
令 ，得 ，
，
把 两点的坐标代入 中得，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：在直线 上取一点 ，使 ，连接 交 于点P，
垂直平分 ， ，
，
为定值，
当A、 、P三点共线时， 有最小值为 ．点B为 的中点，
在 中，
令 ，得 （舍），
，
，
的最小值为 ，
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
，
，
，
，
设直线 解析式为 ，
则 ，解得 ，
直线 解析式为 ，
直线 与直线 的交点P的坐标满足方程组：
，
解得 ，
点P的坐标为 ．
（3）解： 将抛物线 沿射线CB方向平移 个单位长度， ，
相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，
∴平移后新抛物线为
设点M的坐标为 ，
，
要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：
①当 为对角线时，点N的坐标为 ；
此时若点N在抛物线 上，
则 ，解得 ，
，②当 为对角线时，点N的坐标为 ，
此时若点N在抛物线 上，
则 ，解得 ，
，
③当 为对角线时，点N的坐标为 ；
此时若点N在抛物线 上，
则 ，解得 ，
当 时，得到 ，当 时，得到
综上，点M的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、
二次函数的平移、勾股定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中， ，等腰直角三角形 的顶点
A的坐标为 ，点B在第四象限，边 与x轴交于点C，点M，R分别是线段 的中点，过点M
的抛物线 （m，n为常数）的顶点为P．(1)点M的坐标为___________，用含m的代数式表示n为___________；
(2)如图2，点N为 中点，抛物线 经过点N，E，点F在线段 上，当以 和 为对边
的四边形是平行四边形时，求点E的坐标；
(3)当点P在等腰直角三角形 的边上或内部，且抛物线 与 有且只有一个公共点时，求
出m的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)点 的坐标为 或
(3) 或 或
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，平移的性质，分类
讨论思是解题的关键.
（1）根据中点坐标公式解答即可；把 代入解析式 变形解答即可.
（2）根据 ， ， 是等腰直角三角形，得到 ， ，
，得到 , ，
结合点 为 中点，得到 ，代入解析式，结合 计算即可得到函数解析式，根据 ，
得到 的解析式为 ；根据点点 为 中点，得到 ，
设 ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，分点向左平移1的单位和向右平移1个单
位，计算即可.（3）分抛物线经过原点，抛物线的顶点在M处和抛物线在 中点的右侧和 得左侧或上面求解即可.
【详解】（1）∵ ，等腰直角三角形 的顶点 的坐标为 ，点 分别是线段
的中点，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ； .
（2）∵ ， ， 是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ , ，
∵点 为 中点，
∴ ，
代入解析式 得 ，
∵ ，
解得 ，
故抛物线的解析式为 .
设 的解析式为 ；
把 代入解析式为 ，得 ，
解得 ，
故 的解析式为 ；
∵点 为 中点， ， ，
∴ ，∵ ， ，点F在线段 上，
设 ，
当点R向左平移1个单位长度得到M时，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向左平移1个单位长度，得到 ,此
时四边形 是平行四边形；
∵点E在抛物线上 ，
∴ ，
解得 (舍去),
故点 ；
当点M向右平移1个单位长度得到R时，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向右平移1个单位长度，得到 ,此
时四边形 是平行四边形；
∵点E在抛物线上 ，
∴ ，
解得 (舍去),
故点 ；
综上所述，符合条件的点E的坐标为 或 .
（3）当 经过原点时，
，
∵ ，
∴ ，此时顶点为原点， 也在抛物线上，符合题意；
故 ；
∵ ，
∴抛物线的顶点 ，
当抛物线的顶点在M上时，也是符合题意的，
此时 即 ；
∵ ， ，
∴它们的中点 ，
∵点 在等腰直角三角形 的边上或内部，且抛物线 与 有且只有一个公共点，
∴抛物线的对称轴 ，
∴ ，
解得 ；
综上所述，符合题意的m取值为 或 或 .
2．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 两点，与y轴交于点C，P是抛物
线上一动点，设点P的横坐标为 ，连接 ．(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标．
(2)当 的面积等于 的面积的 时，求m的值．
(3)在（2）的条件下，若M为x轴上一动点，N是抛物线上一动点，是否存在以点C，P，M，N为顶点的
平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，点C的坐标为
(2)1
(3)点M的坐标为 或 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，令 ，可得点C的坐标．
（2）过点P作x轴的垂线，交 于点E．利用待定系数求出直线 的函数表达式 ，设点P的
坐标为 ，则点E的坐标为 ，用含m的式子表示出 ，再根据点的坐标计
算出 ，即可求解．
（3）分两种情况：①当 为边时，点 向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点 ，同样点
向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点 ，由此列方程组； 当 为对角线时，由
中点公式列方程组．
【详解】（1）解： 抛物线 经过 两点，解得
抛物线的函数表达式为
令 ，则 ．
点C的坐标为 ．
（2）解：如图，过点P作x轴的垂线，交 于点E．
设直线 的函数表达式为 ，
将 代入，得 ，
解得 ，
直线 的函数表达式为 ．
设点P的坐标为 ，则点E的坐标为 ，
．
，
．的面积等于 的面积的 ，
，
解得 或 （舍去），
的值为1．
（3）解：存在，点M的坐标为 或 或 或 ．
当 时，点 ，
设点 ，点
①当 为边时，
点 向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点 ，同样点 向左平移1个单位，再向上平移1
个单位得到点 ，
故 或 ，
解得 或 或 或 ，
故点M的坐标为 或 或 或 ．
当 为对角线时，
由中点公式得 ，方程无解．
综上所述，点M的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像中的面积问题，平
行四边形的存在性问题等，熟练运用数形结合与及分类讨论思想是解题的关键．
3．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图所示，在 的顶点 、 在 轴上，点 在 轴上正半轴上，且， ， ．
(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式．
(2)设抛物线的对称轴 与 边交于点 ，若 是对称轴 上的点，且满足以 、 、 为顶点的三角形与
相似，求 点的坐标；
(3)在对称轴 和抛物线上是否分别存在点 、 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
若存在，请直接写出点 、点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 点的坐标为 或 ；
(3) ， 或 ， 或 ， ．
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ．将 点的坐标代入函数解析式求得系数的值即可；
（2）分类讨论 和 ，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度，从而求得
点的坐标；
（3）存在．假设直线 上存在点 ，抛物线上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为平行
四边形．分类讨论：平行四边形 是平行四边形、平行四边形 是平行四边形、四边形
为平行四边形．由平行线的性质和坐标与图形的性质求得符合条件的点 、点 的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线过点 ，
因此可设抛物线的解析式为
将 代入得 ，即抛物线的解析式为 ；
（2）解： ，
对称轴为直线 ，
如图2，当 时， ，则 ，
当 时， ，
，
∴ ，
，
，
∴ ，
因此 点的坐标为 或 ；
（3）解：存在．
假设直线 上存在点 ，抛物线上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形．
如图3，当平行四边形 是平行四边形时，此时， 的横坐标为 ，
∴ ，
∴ ， ，
当平行四边形 是平行四边形时，同理 ， ，
如图4，当四边形 为平行四边形时， 与 互相平分，此时可设 ，则 ，
点 在抛物线 上，
此时 ， ，
综上所述， ， 或 ， 或 ， ．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和
性质等知识．在（1）中求得 是解题的关键，在（2）、（3）中都需要用到数形结合和分类
讨论的数学思想．
题型五：特殊平行四边形的存在性问题
顶点确定法
1.确定矩形的顶点位置
A,B为两个定点,点C为直线l上的一动点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点作矩形
(1)若AB为矩形的边,如图①,分别过点A,B作 ⊥AB, ,⊥AB 确定点 C,再利用矩形对边平行的性质确
定点 D
(2)若 AB为矩形的对角线,如图②,以 AB 为直径构造辅助圆,圆与直线l的交点即为所求的点C,过点A,B分别
作 BC,AC 的平行线确定点 D.
2.确定菱形的顶点位置
A,B为定点,C为直线l上一动点,D为平面内一点,以A.B.C,D为顶点作菱形
(1)若AB为菱形的边,如图①,以点B为圆心,AB长为半径作⊙B交直线l于点C,再分别过点 A,C作 BC,AB 的
平行线交于点 D;如图②,以点A为圆心,AB 长为半径作⊙A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线交
于点D;
(2)若 AB 为菱形的对角线,如图③,作 AB 的垂直平分线交直线l于点 C,交 AB 于点 0.再以点0为圆心,以
0C长为半径作0,与垂直平分线另一端交于点D.
3.确定正方形的顶点位置
已知两个定点 A,B,在平面内找点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为正方形.
(1)若AB为正方形的边,如图①,过点A.B分别作垂直于 AB 的直线,再利用正方形的边长相等,确定另两点的
位置:(2)若AB为正方形的对角线,如图②.可作 AB的垂直平分线,再利用正方形的对角线相等且互相垂直平分,确
定另两点的位置。
【中考母题学方法】
【典例5】（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过
点 ，与y轴交于点B，且关于直线 对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 时，y的取值范围是 ，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线 于点D，在y轴上是否存在
点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为 或2
【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论
的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分 和 ，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）分 为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，与y轴交于点B，且关于直线 对称，
∴ ，解得： ，
∴ ；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵ 时， ，
①当 时，则：当 时，函数有最大值，即： ，
解得： 或 ，均不符合题意，舍去；
②当 时，则：当 时，函数有最大值，即： ，
解得： ；
故 ；
（3）存在；
当 时，解得： ，当 时， ，
∴ ，B(0,3)，
设直线 的解析式为 ，把 代入，得： ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ， ， ，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当 为边时，则： ，即 ，解得： （舍去）或 ，
此时菱形的边长为 ；
②当 为对角线时，则： ，即： ，
解得： 或 （舍去）
此时菱形的边长为： ；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为 或2．
【变式5-1】（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数 的图象经过点 和点 ．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点 ， 都在该二次函数的图象上，试比较 和 的大小，并说明理由；
(3)点 在直线 上，点 在该二次函数图象上．问：在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， ，
为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 时， ； 时， ； 时，
(3)存在， 或 或 或 或 或
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入 ，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；
（2）根据题意得出 ， ，再用作差法得出
，进行分类讨论即可；
（3）求出直线 的函数解析式为 ，然后进行分类讨论：当 为正方形的边时；当 为正方对角
线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．【详解】（1）解：把 ，B(2,1)代入 得：
，
解得： ，
∴这个二次函数的表达式为 ；
（2）解：∵ ， 都在该二次函数的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ；
（3）解：设直线 的函数解析式为 ，
把 ，B(2,1)代入得： ，
解得： ，
∴直线 的函数解析式为 ，
当 为正方形的边时，
①∵B(2,1)，∴ ，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作 的垂线，垂足为点H，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，则 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴点N的纵坐标为 ，
即 ，
∵以 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ， （舍去），
∴ ；②如图：构造 ，
和①同理可得： ， ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
把 代入 得： ，
解得： （舍去），
∴ ；
③如图：构造 ，
和①同理可得： ， ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
把 代入 得： ，解得： （舍去），
∴ ；
④如图：构造 ，
和①同理可得： ， ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
把 代入 得： ，
解得： ， （舍去），
∴ ；
当 为正方形对角线时，
⑤如图：构造矩形 ，过点P作 于点K，
易得 ，∴ ，
设 ，则 ，
和①同理可得： ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
把 代入 得： ，
解得： （舍去），
∴ ；
⑥如图：构造 ，
同理可得： ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，把 代入 得： ，
解得： （舍去），
∴ ；
综上： 或 或 或 或 或
．
【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关
键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．
【变式5-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线 交 轴于
点 ， ，顶点坐标为 ．抛物线 交 轴于点 ， ，顶点坐标为 ，
（ ）．(1)求线段 的长；
(2)若点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．试讨论 和 大小；
(3)若点 ， 在抛物线 上，且满足 ，求 的取值范围；
(4)若S、T分别为 、 上的动点，当 为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四
边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
(4)不存在，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的综合应用：
（1）根据对称性，求出两个函数的对称轴，求出 的横坐标，进而求出线段 的长即可；
（2）两点式设出两个抛物线的解析式，根据两个顶点的纵坐标相同，求出两个函数的二次项的系数之间
的关系，进而求出 ，比较大小即可；
（3）根据增减性，得到点 距离对称轴近，列出不等式进行求解即可；
（4）根据菱形的性质，求出 的坐标，进而求出两条抛物线的解析式，分 为矩形的边和矩形的对角
线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线 的对称轴为直线
，∴ ， ，
∴ ；
（2）设抛物线 的解析式为： ，抛物线 的解析式为： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线 的解析式为： ，
∵点 在抛物线 上，点 在抛物线 上，
∴ ， ，
∵两条抛物线的开口向上，
∴ ，
∴ ；
（3）∵抛物线 的对称轴为直线 ，开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点 ， 在抛物线 上，且满足 ，
∴点 距离对称轴近，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
当 时，解得： 或 ，
∵抛物线 的开口向下，
∴当 时， 或 ；
∴当 或 时， ；
（4）不存在，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由图象可知： ，
∴ ，
∴ ， ，
把 ， ，分别代入 和 ，
得： ，
∴抛物线 的解析式为 ，
抛物线 的解析式为
当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，分两种情况：
①当 为边时，不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形；②当 为对角线时，则 的中点也是 的中点，
∵ ，设 的中点为 ，则： ，
以 为圆心， 的长为半径画圆，当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，则： 都在圆 上，
且 也为圆 的直径，
如图：
由图可知，不存在点 分别在两条抛物线上且为圆 的直径，
故不存在以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形；
综上：不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，利用二次函数求不等式的解集，圆周角
定理，等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题
的关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
如图1，抛物线 的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点 ，与y轴交于
点C(0,−3)．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接 ，点P为直线 下方抛物线上的点，过点P作 轴交 于点M，求 的最大
值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛
物线 ，在 的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，
请直接写出所有满足条件的点E的坐标．
【答案】(1)
(2) ，
(3)存在点 或 或 或
【分析】（1）把 和C(0,−3)代入 求解即可．
（2）先解得直线 的解析式为 ，设 ， ，得到的 的值，当 时，
最大即可解答．
（3）分情况讨论，当 为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当 为矩形一边时，且点D在x轴的上
方；当 为矩形对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把 和C(0,−3)代入 ，得：，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）设直线 的解析式为 ，把B，C点的坐标代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为
点P为直线 下方抛物线上的点，
设 ，
，
，
当 时， ，
；
（3）由题意可得： ，
的对称轴为 .∵ ，C(0,−3)，
∴ ，
如图3.1：当 为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作 轴于点F，
∵D在 的对称轴上，
，
∵ ， ，
∴ ，
， ，即点 ，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位
可得到点 ；
如图3.2：当 为矩形一边时，且点D在x轴的上方， 的对称轴为 与x轴交于点F，
∵D在 的对称轴上，∴ ，
，
，即 ，
，即点 ，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位
可得到点 ；
如图3.3：当 为矩形对角线时，设 ， ， 的中点F的坐标为 ，
依意得： ，解得 ，
又 ，
，
解得： ，
联立 ，
解得： ，
∴点E的坐标为 或 .综上，存在点 或 或 或 ，
使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形．
【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的
性质解决问题是解本题的关键．
2．（2024·吉林松原·模拟预测）如图1，已知抛物线 与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半
轴上，连接 ，交抛物线于点 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)如图2，过点C作 轴于点D，点P为线段 上方抛物线上的一个动点，连接 ，交 于点
E，过点P作 轴于点G，交线段 于点F，设点P的横坐标为m．
①求线段 的长（用含m的代数式表示）；
②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接
写出此时m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②当点 为顶点的四边形是正方形时， 或
【分析】（1）运用待定系数法把把点 代入抛物线 即可求解；（2）根据二次函数图象的性质，令 时，解一元二次方程即可；
（3）根据正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当 是正方形的边；当 是正方形的对角线；
由此列式求解即可．
【详解】（1）解：把点 代入抛物线 得， ，
解得， ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：在 ，当 时， ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
∴ ；
（3）解：①∵ 轴， 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是抛物线 的一点，且横坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∵过点 作 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；②设直线 的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把 代入y=kx+b(k≠0)中得 ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点 在直线 的图象上，且点 的横坐标为 ，
∴ ，
由①得， ，点 ，
∴ ，
设 ，
∵点 的纵坐标相同，
∴ 轴， ，
当 为正方形的边时， ，则点 与点 重合，点 与点 重合，或是点 与点
重合，点 与点 重合，如图所示，
∴ ，
解得， ；
当 为正方形的对角线时，连接 ，交 于点Q，∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴四边形 是矩形，则 ，
∴ ，
解得， ；
综上所述，当点 为顶点的四边形是正方形时， 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，
相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关
键．
3．（2024·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知直线 与y轴交于点A，与x轴交于
点B，点C在线段 上，点C不与点B重合，以点C为顶点的抛物线 经过点B，与x
轴的另一个交点为 ．(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)当 时，求抛物线M的解析式；
(3)当 时，求a的取值范围；
(4)平移抛物线M至Q，点B，C的对应点分别是 ， ，当 在y轴上， 轴，且以B，C， ，
为顶点的四边形是矩形时，求抛物线Q的解析式．
【答案】(1)
(2)抛物线M的解析式为
(3)
(4)抛物线Q的解析式为
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、解不等式、
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，
熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）分别令 ， 可求解点A、B坐标；
（2）可得 ，先求得 ，再利用待定系数法求解即可；
（3）设 ，则抛物线M可设为 ，将点B坐标代入可得
，求得 ，由对称轴可得 ，由 得 ，进而可求解；（4）过点C作 轴于E，当 在y轴上， 轴，根据矩形的性质得 ，
， ，证明 得到 ，结合矩形的性质得到 ，进而
求得 ，证明 ，
求得 ，则 ， ，设抛物线Q的解析式为 ，利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：在 中，令 ，则 ，令 由 得 ，
∴A(0,3)，B(4,0)；
（2）解：当 时，
抛物线M的对称轴为直线 ，
点C的横坐标为1，
在线段 上，
∴当 时， ，
∴ ，
由 得
解得 ，
抛物线M的解析式为 ；（3）解：设 ，
则抛物线M可设为 ，又过B(4,0)，
∴ ，
整理得： ，
点C不与点B重合，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ①；
点C在线段 上，点C不与点B重合，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ②，由①②得： ；
（4）解：如图，过点C作 轴于E，当 在y轴上， 轴，且以B、C、 、 为顶点的四边
形是矩形时，
则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵K是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设抛物线Q的解析式为 ，把 代入得， ，
解得： ，
抛物线Q的解析式为： ．
4．（2024·山东泰安·二模）如图，抛物线 经过点A(−2,0)，点B(4,0)，与 轴交于点 ，
过点 作直线 轴，与抛物线交于点 ，作直线 ，连接 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2) 是抛物线上的点，求满足 的点 的坐标；
(3)点 在 轴上，且位于点 的上方，点 在直线 上，点 为直线 上方抛物线上一点，是否存在
点 使四边形 为菱形，如果存在，请直接写出点 的坐标．如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2) 或
(3)存在， 点坐标为
【分析】（ ）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（ ）分两种情况进行讨论：当点 位于直线CD下方时，当点 位于直线CD上方时，分别画出图形求出
结果即可；
（ ）在第一象限内取点 ，过点 作 轴，交 于 ，过点 作 ，交 轴于 ，过点
作 轴，垂足为 ，设点 ，则 ， ，求出直线 的解析式为
，得出 ，根据 ，得出 ，求出 的值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 的图象经过点A(−2,0)，点B(4,0)，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：如图 ，
①当点 位于直线CD下方时，过点 作 ，垂足为 ，设满足条件的点 在抛物线上，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵A(−2,0)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （不合，舍去）， ，
∴ ；
②当点 位于直线CD上方时，过点 作 直线CD，垂足为 ，设 ，则 ，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得 （不合，舍去）， ，∴ ，
∴点E的坐标为 或 ；
（3）解：存在．
如图 ，在第一象限内取点 ，过点 作 轴，交 于 ，过点 作 ，交 轴于 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
过点 作 轴，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，设点 ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，
∵B(4,0)， ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 轴，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （不合，舍去）或 ，
∴ 点坐标为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，三角函数，二次函数的几何应用，掌握二次
函数的图象和性质是解题的关键．
