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2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空
格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合 A1,3,m，
B
3,4，
AB
1,2,3,4则m 2 。
解析：考查并集的概念，显然m=2
2x
2.不等式 0的解集是 x|4 x 2 。
x4
2x
解析：考查分式不等式的解法 0等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4S，得5 n1 2 ， 2 ，最小正整数n15．
n1 n 6 5 nlog 5 25 114.9
6
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小
题满分8分。
若实数x、y、m满足 xm ym ，则称x比y接近m .
（1）若 比3接近0，求 的取值范围；
x2 1 x
（2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 接近 ；
a b a2bab2 a3b3 2ab ab
（3）已知函数 f(x)的定义域 D x xk,kZ,xR .任取 xD， f(x)等于
和 中接近0的那个值.写出函数 的解析式，并指出它的奇偶性、最
1sinx 1sinx f(x)
小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
解析：(1) x(2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有 ， ，
a2bab2 2ab ab a3 b3 2ab ab
因为 ，
|a2bab2 2ab ab||a3 b3 2ab ab|(ab)(ab)2 0
所以 ，即a2bab2比a3b3接近 ；
|a2bab2 2ab ab||a3 b3 2ab ab| 2ab ab
(3) 1sinx, x(2k,2k) ,kZ，
f(x) 1|sinx|,xk
1sinx, x(2k,2k)
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0，
函数f(x)在区间[k ,k)单调递增，在区间(k,k ]单调递减，kZ．
2 2
23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分.
已知椭圆 的方程为 x2 y2 ， 、 和 为 的三个顶
1(ab0) A(0,b) B(0,b) Q(a,0)
a2 b2
点.
1
（1）若点M 满足AM (AQ AB)，求点M 的坐标；
2
第5页 | 共7页（2）设直线 交椭圆 于 、 两点，交直线 于点 .若
l : y k x p C D l : y k x E
1 1 2 2
b2 ，证明： 为 的中点；
k k E CD
1 2 a2
（3）设点 在椭圆 内且不在 轴上，如何构作过 中点 的直线 ，使得 与椭圆
P x PQ F l l
的两个交点 、 满足 ？令 ， ，点 的坐
P P PP PP PQ PP PP PQ a10 b5 P
1 2 1 2 1 2
标是（-8，-1），若椭圆
上的点P、P 满足
PP PP PQ
，求点P、P 的坐标.
1 2 1 2 1 2
a b
解析：(1) M( , )；
2 2
yk x p
(2) 由方程组 1 ，消y得方程 ，
x2 y2 (a2k2 b2)x2 2a2k pxa2(p2 b2)0
1 1 1
a2 b2
因为直线 交椭圆 于 、 两点，
l : y k x p C D
1 1
所以>0，即 ，
a2k2 b2 p2 0
1
设C(x,y)、D(x,y)，CD中点坐标为(x,y)，
1 1 2 2 0 0
x x a2k p
x 1 2 1
则 0 2 a2k2 b2 ，
1
b2p
y k x p
0 1 0 a2k2 b2
1
由方程组yk x p，消y得方程(kk)xp，
1 2 1
yk x
2
p a2k p
x 1 x
又因为 b2 ，所以 k k a2k2 b2 0 ，
k 2 1 1
2 a2k
1 yk x
b2p
y
2 a2k2 b2 0
1
故E为CD的中点；
(3) 因为点P在椭圆 内且不在x轴上，所以点F在椭圆 内，可以求得直线OF的斜率
b2
k ，由PP PP PQΓ知F为PP 的中点，根据(2)可得直线Γl的斜率k ，从而得直
2 1 2 1 2 1 a2k
2
线l的方程．
1 1 b2 1
F(1, )，直线OF的斜率k ，直线l的斜率k ，
2 2 2 1 a2k 2
2
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y x1
2
解方程组 ，消y：x22x480，解得P
1
(6,4)、P
2
(8,3)．
x2 y2
1
100 25
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