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专题 07 二次函数中特殊三角形存在性问题的三种考法
类型一、等腰三角形存在性问题
例．如图，抛物线 与 轴交于 ， ，与 轴交于点 ，点
在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接 ，若点 为直线 上方抛物线上的点，过点 作 轴交 于点
，作 轴交 于点 ，若 的面积为2，求 点坐标；
(3)如图2，点 为抛物线的顶点，当 时，在抛物线上是否存在点 使 是等腰
三角形？若能，请直接写出点 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ， ，
【分析】（1）把 ， 抛物线 ，待定系数法求解析式即可求
解；
（2）先求得 ，根据 ，得出 ，求得直线 的
解析式为： ，设点 ，则 ，根据 ，建立方
程，解方程即可求解；
（3）根据 ，画出图形，分两种情况讨论，①当 时，则 与 点重合，则
，②当 时，如图所示，连接 ，作 的垂直平分线交 轴于点 ，的中点为 ，设 与 轴交于点 ，则 ， 求得直线 的解析式为
，联立抛物线解析式即可求解．
【详解】（1）解：把 ， 抛物线
得： 解得：
∴该抛物线的解析式为
（2）把 代入 ，得： ，
∴
∵ ，
∴
∵ 轴，作 轴
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
设直线 的解析式为 ，设直线 的解析式为 ，把 ， 代入
得
解得
∴直线 的解析式为：
设点 ，则
∴
解得： ，
∴∴
（3）解：∵
∴
①当 时，则 与 点重合，则
②当 时，如图所示，连接 ，作 的垂直平分线交 轴于点 ， 的中点
为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 与 轴交于点 ，则 ，
则
∴
∴
设直线 的解析式为
∴解得：
∴直线 的解析式为
联立
解得： 或
∴ ， ，
综上所述， ， ，
【点睛】本题考查了二次函数的性质，三角形面积问题，等腰三角形的性质，余弦的定义，
熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练1】综合与探究
如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，
点 是第一象限内抛物线上的一个动点．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)是否存在这样的点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说
明理由；
(3)若点 是直线 上一点，是否存在点 ，使得以点 为顶点的三角形是等腰三
角形？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)存在， 或 或 或
【分析】（1）令 ，求出 值，令 ，求出 的值，进而得到点A，B，C的坐标；
（2）根据 ，得到 点的横纵坐标之间的数量关系，再跟点 在抛物线上，进
行求解即可；
（3）分 ，三种情况进行讨论及求解即可；
【详解】（1）解：∵ ，
当 时， ，当 时， ，解得： ，
∴ ；
（2）解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： （负值已舍掉）；
∴ ；
（3）存在，设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ；
设 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，当 时： ，解得： ；
∴ 或 ；
当 时： ，解得： （舍去）或 ，
∴ ；
当 时： ，解得： ，
∴ ，
综上： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解，
是解题的关键．
【变式训练2】如图，抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交
于点 ，顶点为D，连接 ，P是第一象限内抛物线上的动点，连接
，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当t为何值时， 的面积最大？并求出最大面积；
(3)M为直线 上一点，求 的最小值；
(4)过P点作 轴，交 于E点．是否存在点P，使得 为等腰三角形？若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)当 时， 的面积最大，最大面积为32
(3)
(4)存在，P点的坐标为 ， ，
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）利用抛物线的解析式求出点B的坐标，得到直线 的解析式，过点P作 轴，
交x轴于点F，交 于点G，利用 求出解析式，利用函数性质解答即
可；
（3）作O关于直线 的对称点为 ，得到四边形 为正方形，则 ，则
，当A、M、 三点共线时， 最小，即为线段 的长，勾
股定理求出 即可．
（4）分三种情况：当 时，当 时，当 时，分别求出点P的坐标
【详解】（1）解：由题意得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）当 时，得 或 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得
∴直线 的解析式为 ．
如图，过点P作 轴，交x轴于点F，交 于点G．
设点 ， ．
∴ ．∴ ，
∴当 时， 的面积最大，最大面积为32；
（3）作O关于直线 的对称点为 ，连接 ，如图，
∵ ， ，
∴四边形 为正方形，则 ，
则 ，
当A、M、 三点共线时， 最小，即为线段 的长，
∴ 最小值为 ．
（4）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，，
，
当 时， ，解得 或 ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
综上，P点的坐标为 ， ， ．
【点睛】此题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称问
题，等腰三角形的性质，图形面积问题，综合掌握各知识点是解题的关键．
【变式训练3】综合与实践
如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
是直线 下方抛物线上一点，设点 的横坐标为 ．过点 作 ，交 于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 的长度最大时，求线段 的最大值，并写出此时点 的坐标；(3)连接 ，试探究，在点 运动的过程中，是否存在点 ，使得 是等腰三角形，
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)线段 的最大值为 ，此时
(3) 或
【分析】（1）使用待定系数法求解即可；
（2）过点 作 轴的平行线，交 于点 ，先证明 ，从而得到
，利用待定系数法可得直线 的函数表达式为 ，由
得到 ，从而得到
，据此可解；
（3）设 ，则 ， ，
，再分 ， ， 三种情况讨论得到
关于t的方程，求出t的值后代入 即可得解．
【详解】（1）解：将 ， 分别代入 中，
得 解得
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）在 中，令 ，得 ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ．
如图，过点 作 轴的平行线，交 于点 ，∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ，∴ ，即 ，∴ ．
设直线 的函数表达式为 ，
将 ， 代入，得 ，解得
∴直线 的函数表达式为 ．
∵ 是直线 下方抛物线上一点，点 的横坐标为 ， ，
∴ ，∴ ，∴
，
∴ ，∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
此时点 的坐标为 ；
（3）存在点 ，点 的坐标为 或 ．
补充求解过程如下：
∵点D在线段 上，由（2）得直线 的解析式为 ，∴设
∵ ， ，
∴ ， ， ，
①当 时，
解得： (点C与点D重合，舍去)将点 代入 得：
②当 时， ，解得： ，
将点 代入 得：
③当 时， ，
解得： (点D不在线段 上，舍去)，
将点 代入 得：
综上所述：存在点 ，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数得解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数
的图象与性质，等腰三角形的存在性问题等知识，掌握相关基础知识利用数形结合思想求
解是解题的关键．第二问的解题技巧是过点P作x轴的平行线，从而将斜线的长度转化为
横线的倍数来求解；第三问的解题技巧是设出点D的坐标，利用两点间的距离公式求出
三条边的长度，再利用分类讨论思想解题．
类型二、等腰直角三角形存在性问题
例．综合与探究：如图1，已知抛物线 与x轴相交于A，B两点（点A在点B
的左侧），与y轴相交于点C，直线 与y轴相交于点D，交线段 于点E且 ．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求直线 的函数表达式；
(3)如图2，已知点M在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为 ，点P是该抛物线上位于第
四象限的动点，且在直线l右侧，点Q是直线 上的动点，试探究是否存在以点M为直角
顶点的等腰直角三角形 ，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，(2)
(3)存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形 ，点P的坐标为 或
【分析】（1）将 代入 得到 ，解方程即可求出 ，
，将 代入 即可求出 ；
（2）首先利用待定系数法求出直线 的函数表达式为 ，过点E作 轴
于F，证明出 ，利用相似三角形的性质求出 ，然后得到
，最后利用待定系数法求解即可；
（3）首先求出点M的坐标，根据题意分两种情况：点Q在直线l右侧和点Q在直线l左侧，
然后分别设出点P的坐标，根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）由 ，得 ，
解，得 ， ，
点A，B的坐标分别为 ， ，
由 ，得 ，
点C的坐标为 ；
（2）如图，设直线 的函数表达式为 ，
将点 ， 代入，得 ，
，
直线 的函数表达式为 ，
过点E作 轴于F，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
将 代入直线 中，
得 ，
，
设直线 的函数表达式为 ，
，
，
直线 的函数表达式为 ；（3）∵ ，
∴抛物线对称轴为 ，
∵点M在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为 ，
∴ ，
分两种情况：
①当点Q在直线l右侧时，
如图所示，过点P作 于G，过点Q作 于H，
∴设 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵直线 额函数表达式为 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
当 时， ，
∴ ；
②当点Q在直线l左侧时，
如图所示，
过点P作 于G，过点Q作 于H，设点 ，
∴ ， ，
同理可得 ，
∴ ， ，∴ ，
∵直线 额函数表达式为 ，
∴ ，解得 或 （舍去），
当 时， ，∴ ，∴综上所述，存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形 ．
点P的坐标为 ， ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角
形的判定和性质，一次函数，难度较大，解题时要理解题意，根据等腰直角三角形的性质
构造全等三角形．
【变式训练1】综合与探究
如图，已知直线 与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线 经过点
A，B，点P为线段 上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线
于点M，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线解析式；
(2)当 ，t的值为___________；
(3)若点N到直线 的距离为d，求d的最大值；
(4)在y轴上是否存在点Q，使 是以 为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)1；(3)
(4)存在， ， ，
【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点，然后代入二次函数求解即可；
（2）根据点 ，确定点 ， ，得出 ，
，根据题意代入求解即可；
（3）点N到直线 的距离为d，求d的最大值即为求 面积的最大值，连接 ，
根据（2）中 代入确定面积最大值，然后由等面积法求解即可；（4）分两种情况分析：当 时，当 时，分别利用全等三角形的判
定和性质及二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴点A的坐标为 ；
当 时， ，解得； ，
∴点B的坐标为 ．
将 ， 代入 ，
得： ，
解得： ，
∴这个抛物线的解析式为 ；
（2）点 ，则点 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （与点B重合，舍去），
故答案为：1；
（3）点N到直线 的距离为d，求d的最大值即为求 面积的最大值，
连接 ，如图所示：∵点B的坐标为 ．
∴ ， ，
由（2）得 ，
∴ ，
∴面积最大为：8，
∵ ，
∴ ，解得： ；
（4）存在， ， ， ，理由如下：
当 时，如图所示： ，
过点N作 轴，过点B作 轴交 延长线于点C，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，解得： ，（负值舍去）
∴ ；
当 时，如图所示： ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 或 ，
∵点Q在x轴下方，
∴ ， ；
综上可得： ， ， ．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段及面
积问题，特殊三角形的问题及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，综
合运用这些知识点是解题关键．
【变式训练2】如图（1）所示，在平面直角坐标系中，平行于 轴的直线与抛物线相交于 ， 两点．设点 的横坐标为 ．
(1)求 的长（用含 的代数式表示）；
(2)如图（2）所示，点 在直线 上，点 的横坐标为 ．若 ， ，求顶点在
轴上且经过 ， 两点的抛物线的顶点坐标；
(3)点 在直线 上， ，过 ， ， 三点的抛物线的顶点为 ，其对应函数的
二次项系数为 ．
①求 的值；②当 ， 为等腰直角三角形时，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)① 或 ；② 或
【分析】（1）依据抛物线的对称性可求得点A的横坐标为 ，然后依据 求
解即可；
（2）先求得经过B、C且顶点在x轴上的抛物线的对称轴为 ，然后将 代入可
求得顶点的横坐标，然后依据x轴上各点的纵坐标为0求解即可；
（3）①当点D在点B的右侧时．先用含m的式子表示点B、D的坐标，然后可得到抛物线
的对称轴为 ，设过点O、B、D三点的抛物线的解析式为 ．将
代入求得k的值，得到抛物线的解析式，然后依据B、D两点的纵坐标相等可得到关
于a、a 的等式于是可求得 的值；同理可求得当点D在点B左侧时 的值；②当点D在
1
点B的右侧时．过点P作 轴，交 与点E．先求得 的长，然后依据
列出关系式，然后将 代入可求得a的值；当点D在点B的左侧时，连接 ，
交x轴与点E．先求得 的长，然后依据 列出关系式，然后将 代入可求得a的值．
【详解】（1）解：∵点 的横坐标为 ，点 与点 关于 轴对称，
∴点 的横坐标为 ．
∴ ；
（2）解：∵点 和点 关于经过 ， 两点的抛物线的对称轴对称，
∴经过 ， 且顶点在 轴上的抛物线的对称轴为直线 ．
∵ ，
∴所求抛物线的对称轴为直线 ．
∴经过 ， 两点且顶点在 轴上的抛物线的顶点坐标为 ；
（3）解：①如图所示，当点 在点 的右侧时，
∵点 的横坐标为 ， ， ，
∴ ．
∴点 的横坐标为 ．
∴过点 ， ， 三点的抛物线的对称轴为直线三点的抛物线的对称轴为直线 ．
设过点 ， ， 三点的抛物线的解析式为 ．
将 代入得 ．
∴抛物线的解析式为 ．
∵点 为两抛物线的交点，
∴ ，整理得 ．
∵ ，
∴ ，即 ；
如图所示，当点 在点 左侧时．∵点 的横坐标为 ， ， ，
∴ ．
∴点 的横坐标为 ．
∴过点 ， ， 三点的抛物线的对称轴为直线 ．
设过点 ， ， 三点的抛物线的解析式为： ．
将 代入得 ．
∴抛物线的解析式为 ．
∵点 为两抛物线的交点，
∴ ，
整理得 ．
∴ ；
综上所述， 的值为 或 ；
②如图所示．当点 在点 的右侧时，
过 作 轴于 ，交 于点 ．
∵点 的横坐标为 ，由①可知 ，
过点 ， ， 三点的抛物线的解析式为： ．
∴ ．
又∵ ，∴ ．
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，解得 ；
如图所示．当点 在点 的左侧时，连接 ，交 轴于点 ．
由①可知 ，过点 ， ， 三点的把的解析式为 ．
∴ ．
又∵ ，∴ ．
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，即 ．
∵ ， ，
∴ ，解得 ．
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的对称性、
函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，由点B为两抛物线的交点即B的纵坐标相等
列出a与 的关系式是解答本题的关键．
【变式训练3】如图，抛物线 过点 、点 ，交y轴于点C．(1)求b，c的值．
(2)点 是抛物线上的动点
①当 取何值时， 的面积最大？并求出 面积的最大值；
②过点P作 轴，交 于点E，再过点P作 轴，交抛物线于点F，连接 ，
问：是否存在点P，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)①当 时， 的面积由最大值，最大值为 ；
②当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形
【分析】（1）将将 、 代入抛物线 即可求解；
（2）①由（1）可知： ，得 ，可求得 的解析式为 ，过点
P作 轴，交 于点E，交 轴于点 ，易得 ，根据
的面积 ，可得 的面积
，即可求解；
②由题意可知抛物线的对称轴为 ，则 ，分两种情况：当点 在对
称轴左侧时，即 时，当点 在对称轴右侧时，即 时，分别进行讨论求解
即可．
【详解】（1）解：将 、 代入抛物线 中，
可得： ，解得： ，即： ， ；
（2）①由（1）可知： ，
当 时， ，即 ，
设 的解析式为： ，
将 ， 代入 中，
可得 ，解得： ，
∴ 的解析式为： ，
过点P作 轴，交 于点E，交 轴于点 ，
∵ ，则 ，
∴点E的横坐标也为 ，则纵坐标为 ，
∴ ，
的面积
，
∵ ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值为 ；②存在，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知 ，
由题意可知抛物线的对称轴为直线 ，
∵ 轴，
∴ ， ，则 ，
当点 在对称轴左侧时，即 时，
，当 时， 为等腰直角三角形，
即： ，整理得： ，
解得： （ ，不符合题意，舍去）
此时 ，即点 ；
当点 在对称轴右侧时，即 时，，当 时， 为等腰直角三角形，
即： ，整理得： ，
解得： （ ，不符合题意，舍去）
此时： ，即点 ；
综上所述，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形．
【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及
图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类
讨论．
类型二、直角三角形存在性问题
例．如图所示，已知抛物线 （ ）与 轴交于点 和点 ，
与 轴交点 ．
(1)求抛物线的解折式；
(2)点 是线段 上异于 ， 的动点，过点 作 轴于点 ，交抛物线于点 ．当
为直角三角形时，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）如图，过 作 于 ，证明 ，可得 ，而
轴，分两种情况讨论：当 ，当 时，如图，再利用数形结合的方法
即可解题．
【详解】（1）解：∵ （ ）与 轴交于点 和点 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线为： ；（2）如图，过 作 于 ，
由抛物线 ，当 ，则 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，而 轴，
当 ，∴ ∴ ，
∵ ， ，
设直线 为 ，∴ ，解得： ，∴直线 为 ，
设 ，则 ，∴ ， ，∴ ，
解得： ， （不符合题意舍去）∴ ，
当 时，如图，
则 关于抛物线的对称轴对称， ，∴ ，
解得： ， （不符合题意舍去）∴ ，综上： 或 ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，等腰直
角三角形的判定与性质，抛物线的性质，清晰的分类讨论，熟练的利用数形结合的方法解
题是关键．
【变式训练1】如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，B点坐标为 ．与y
轴交于点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线 与直线BC交于点E，与y轴交于点
F，求 的最大值；
(3)点D为抛物线对称轴上一点．当 是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐
标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)当 时， 的最大值为
(3)点D的坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）得 的解析式为 ，先证明 为等腰直角三角形，作 轴于 ，
轴交 于 ，如图1，则 为等腰直角三角形， ，设
，则 ，接着利用 表示 、 ，所以
，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）如图2，抛物线的对称轴为直线 ，设 ，利用两点间的距离公式得
到 ， ， ，讨论：当 是以 为直角边， 为
斜边的直角三角形时， ；当 是以 为直角边， 为斜边的
直角三角形时， ，分别解方程求出 即可得到对应的 点坐标；
【详解】（1）把 ， 代入
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）由题意可得 的解析式为 ，
直线 与直线 平行，直线 与直线 垂直，
，
为等腰直角三角形，
作 轴于 ， 轴交 于 ，如图1， 为等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
， ，
，
，
当 时， 的最大值为 ；
（3）如图2，抛物线的对称轴为直线 ，
设 ，则 ， ， ，
当 是以 为直角边， 为斜边的直角三角形时，
，即 ，
解得 ，
此时 点坐标为 ；
当 是以 为直角边， 为斜边的直角三角形时，
，即 ，
解得 ，
此时 点坐标为 ；
综上所述， 点坐标为 或 ．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象
上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距
离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想
解决数学问题．
【变式训练2】已知直线l与 轴、 轴分别相交于 、 两点，抛物线
经过点 ，交 轴正半轴于点 ．
(1)求直线 的函数解析式和抛物线的函数解析式；
(2)在第一象限内抛物线上取点 ，连接 、 ，求 面积的最大值及点 的坐
标．
(3)抛物线上是否存在点 使 为直角三角形，如果存在，请直接写出点 的坐标；如
果不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数解析式为： ，二次函数解析式为：
(2) ，
(3)存在，点 的坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）先利用待定系数法求得直线 的函数解析式，求得点B的坐标，从而可以求
得抛物线的解析式；
（2）根据题意可以求得点A的坐标，然后根据题意和图形可以用含m的代数式表示出S，
然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；
（3）分三种情况讨论，分别当 为斜边时，利用勾股定理列方程即可求解．
【详解】（1）解：设 ，
把 ， 代入得： ，
， ，
一次函数解析式为： ，把 代入 ，
，
，
二次函数解析式为： ；
（2）解：连接 ，
把 代入 得， ，
或3，
抛物线与 轴的交点横坐标为 和3，
设点 ，
在抛物线上，且在第一象限内，
，
的坐标为 ，
，
当 时， 取得最大值 ．
此时 的坐标为 ；
（3）解：设点 ，
则 ， ， ，
当 为斜边时，则 ，
解得 （舍去）或 ，
∴点 ；
当 为斜边时，则 ，
解得 （舍去）或 ，∴点 ；
当 为斜边时，则 ，
解得 （舍去）或 （舍去）或 或 ，
∴点 的坐标为 或 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、勾股定理，待定系数法求二
次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助
线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答．
【变式训练3】如图，已知抛物线的顶点坐标为 ，与x轴交于A、B两点（点A在点
B的右侧），与y轴交于点 ，点P在 所在直线下方的抛物线上，过点P作
轴，交 于点D．
备用图
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)连接 ，问是否存在点P，使得 是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标为 或
【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式，代入 即可求解；
（2）由 为锐角可知分两种情况：①当点P为直角顶点时，可得点 与点B重合，求
出点B坐标即可；②当点A为直角顶点时，证明 、 关于x轴对称，求出直线 的解
析式，设 ，则 ，根据关于x轴对称的点的坐标特征列方程
求解即可．【详解】（1）解： 抛物线的顶点坐标为 ，
可设该抛物线的解析式为 ，
将 代入得： ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，即 ；
（2）由题意可知， 为锐角，
需分点P为直角顶点和点A为直角顶点两种情况进行分析：
①当点P为直角顶点时，如图，点P、D分别在点 、 的位置．
， 轴，
轴，
点A在x轴上，
点 也在x轴上，
此时点 与点B重合，
令 ，得 ，
解得 ， ，
点A在点B的右侧，
， ， 此时点 的坐标为 ；
②当点A为直角顶点时，如图，点P、D分别在点 、 的位置．
， ， ，
为等腰直角三角形， ，
，
， 平分 ，
又 轴，
， 、 关于x轴对称，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
，解得 ， （舍），当 时， ， 此时点 的坐标为 ．
综上可得，存在点P，使得 是直角三角形，点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法的应用，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，
等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解
题的关键．
【变式训练4】综合与实践
如图，抛物线 与 轴交于 和 两点（点 在点 的右侧），与 轴交于点
，抛物线的顶点是点 ．
(1)求点 ， ， 和点 四点的坐标；
(2)如图1，连接 ， 和 ，求 的面积；
(3)点 在抛物线的对称轴上运动， 是以 为直角边的直角三角形，借助图2，直接
写出点 的坐标．
【答案】(1) ， ， ，
(2)
(3) 或者
【分析】（1）令 ，则有： ，即可得 ， ，令 ，则有：，可得 ，将 化为顶点式为： ，
即可得顶点D的坐标；
（2）过点D作 于K点，根据（1）所求的点坐标可得 ， ， ，
， ，根据 即可作答；
（3）先求出抛物线对称轴为： ，即设E点坐标为： ，结合 ，
，可得 ， ，
，再根据勾股定理，分类讨论即可作答．
【详解】（1）令 ，则有： ，
解得： ， ，
∴ ， ，
令 ，则有： ，
∴ ，
将 化为顶点式为： ，
∴顶点D的坐标为： ；
（2）过点D作 于K点，如图，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
即： ，
∴ ， ， ，∵ ，
∴ ；
（3）如图，
∵ ， ，
∴抛物线对称轴为： ，
即设E点坐标为： ，
∵ ， ，
∴ ， ，
，
∵ 是以 为直角边的直角三角形，
即分类讨论：
当 为斜边时，有： ，
∴ ，
解得： ，
∴此时点 的坐标 ，
当 为斜边时，有： ，
∴ ，
解得： ，
∴此时点 的坐标 ，
综上：点 的坐标为 或者 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线对称轴，二次函数与一元二次方
程，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
课后训练
1．综合与探究如图，直线 分别与x轴，y轴交于点A，点B，过点B的抛物线的解析式为
．抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，过点B作 轴，两
直线交于点D，点P不与点B，D重合．
(1)求A，B两点的坐标和抛物线的解析式．
(2)连接 ，当 时，求 的长．
(3)将 绕点B逆时针旋转 ，得到 ，当点P的对应点 落在坐标轴上时，
请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) ， 或 ，
【分析】（1）先根据一次函数表达式，求出点 、 的坐标，再用待定系数法求出抛物线
解析式；
（2）设 ，分别表示出 的三边，根据勾股定理列出方程，求出 值，可得结
果；
（3）分点 落在 轴和 轴两种情况计算即可．①当点 落在 轴上时，过点 作
轴，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为 ，交 于点 ，先利用互余和
旋转角相等得出 是等腰直角三角形，根据 ，建立方程即可；②
根据等腰直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解： 直线 分别与 轴、 轴交于 点与 点，
令 ，得 ，令 ，得 ，
， ，
抛物线 经过点 ，
，
抛物线解析式为 ；（2）如图，当 时，设 ，
， ， ，
， ， ，
在 中， ，
，解得 ，
；
（3）①当点 落在 轴上时，过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，垂
足为 ，交 于点 ，
设点 的坐标为 ，
，
轴， ，
轴，
由旋转得 ， ，
，
，是等腰直角三角形，
，
同理 ，
，
，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
当 时， ，
点 的坐标为 ， ；
②当点 落在 轴上时，如图，
过点 作 轴，交 于 ，过点 作 轴，交 的延长线于点 ，
设点 的坐标为 ，
，
由旋转得 ，
是等腰直角三角形，
，
，
解得 或0（舍去），
当 时， ，点 的坐标为 ， ；
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ， ．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形
的性质，解本题的关键是构造直角三角形．
2．如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，与y轴交于点C，点D
与点C关于x轴对称，点 是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线 交抛物线于
点Q，交直线 于点M，交直线 于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 平分 时，试求Q点的坐标；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使 是以 为直角边的直角三角形？若存
在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出直线 和 的表达式，然后得到 ， ，
，进而表示出 ，
，最后利用 平分 列方程求解即可；
（3）首先根据题意表示出 ， ， ，然后分两种情况讨论，分别根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）将 ， 代入 得，
，解得
∴ ；
（2）当 时，
∴
∵点D与点C关于x轴对称，
∴
∴设直线 的表达式为
∴ ，解得
∴直线 的表达式为
同理可得直线 的表达式为
∵
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分
∴
∴
∴解得 ， （舍去）
∴ ；
（3）∵ ， ，∴ ， ，
当 时，
∴
∴
∴解得 或 （舍去），
∴ ；
当 时，
∴
∴
∴解得 或 （舍去）
∴
综上所述，点Q的坐标为 或 ．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用自变量与函数值的对应关系；
解（2）的关键是利用对称得出D点坐标，又利用了待定系数法求函数解析式；解（3）的
关键是利用勾股定理得出关于m的方程，并分类讨论，以防遗漏．
3．综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点
，与 轴交于点 ，过动点 作平行于 轴的直线 ，直线 与抛物线
相交于点 ， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求 的取值范围；
(3)直线 上是否存在一点 ，使得 是以 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)存在，2或4．
【分析】（1）把点 和点 代入 ，求解即可；
（2）将抛物线解析式化成顶点式，求得 的最小值为 ．由直线 与抛物线有两个交点，
即可得出 ；
（3）分两种情况：①当 ， 时，②如图，当 ， 时，
分别 求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 和点 ，
∴解得
∴抛物线的表达式为 ．
（2）解：
∴ 的最小值为 ．
∵直线 与抛物线有两个交点，
∴ ．
（3）解：存在．
当 时， ．
∴点 的坐标为 ．
①如图，当 ， 时，过点 作 轴于 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
延长 至 使得 ，此时 也是等腰直角三角形．易得，此时 ．（不合题意，舍去）
②如图，当 ， 时，过点 作 轴于 ，
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
延长 ，使得 ，此时 也是等腰直角三角形．
同理可得， ．（不合题意，舍去）
综上所述，直线 上存在一点 ，使得 是以 为直角边的等腰直角三角形．
的值为2或4．
【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函
数图象性质，二次函数图象与直线交点问题，全等三角形判定与性质，等腰直角 三角形性
质，属中考常考试题目，要求学生熟练掌握相关性质并能灵活运用是解题的关键，注意
（3）问要分类讨论，以免漏解．
4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
且 ，与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，对称轴与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式，并直接写出顶点 的坐标；
(2)如图1，点 在线段 上，作等腰 ，使得 ，且点 落在直线 上，若满足条件的点 有且只有一个，求点 的坐标．
(3)如图2，在平面直角坐标系 中，直线 分别与 轴， 轴相交于 ， 两
点．
①求 的度数；
②设直线 与抛物线相交于 两点（点 在点 的左侧），当直线
与直线 相交所成的一个角为 时，求点 的坐标．
【答案】(1) ；顶点 的坐标为
(2)
(3① ；② 或
【分析】（1）由 可设 )， )，代入抛物线解析式即得到关于 、 的
二元方程，解方程求出 即求得抛物线解析式，配方即得到顶点 的坐标．
（2）以点 为圆心， 长为半径的 ，由于满足 即点 在 上 且点 在直
线 上的点 有且只有一个，即 与直线 只有一个公共点，所以直线 与 相切
于点 ．由 得点 、 坐标可知直线 与 夹角为 ， 为等腰直角三角形，
．设点 纵坐标为 ，用 表示 和 的长并列得方程即可求 的
值．由于点 在线段 上，故 的值为负数，舍去正数解．
（3）①取点 ，连接 ，过点 作 轴，于点 ，则 ，
进而证明 是等腰直角三角形，即可得出结论；
②依题意，直线 过定点 ，得出 ， ，进而根据
平行线的性质得出直线 的解析式为 或 ，联立
抛物线，解方程组，根据点 在点 的左侧，取舍方程组的解即可．
【详解】（1）∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，且 ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
解得： ，∴ ， ，
∴抛物线解析式为 ，
∴顶点 的坐标为 ；
（2）如图，过点 作 于点 ，以点 为圆心、 为半径作圆
，
点 在 上
有且只有一个点 在 上又在直线 上
与直线 相切于点
，
由 ，当 ，则 ，即 ， ，
由 得： ， ， ，
， ，即 ，
，
为等腰直角三角形
，
,
设 ， ，
， ,
，
解得： ， 舍去 ，
点 坐标为 ， ；
（3）①如图所示，取点 ，连接 ，过点 作 轴，于点由 ，当 时， ，则 ， ，
则 关于 轴对称，点 在 轴上，
∴
∴
由 得： ， ， ，
则 ，
在 与 中，
∴
∴ ， ，
∵
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴
②∵ ，当 时 ，则直线 过定点 ，
由①可得直线 或
∵ ， ， ， ，
设直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ,
∴ ，
解得：
∴ ，∴直线 的解析式为 或
联立
解得： 或
∵点 在点 的左侧
∴ ，
联立
解得： 或
∵点 在点 的左侧
∴ ，
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，切线的性质，等腰直角三角形的
判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．如图1，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C，顶
点为D．点P是直线 上方抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点E，交直线
于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段 的最大值；(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接 ．是否存在点P，使得 为
等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在一点P，当点P的横坐标为 时， 为等腰三角形
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，进而求出直线 的解析式，设 ，则
，则 ，由此即可求出答案；
（3）先证明 ，则当 为等腰三角形，只存在 这一种情况，设
，则 ，则 ，解方程即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 中得： ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
把 ， 代入 中得 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，∴
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ；
（3）解：∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴当 为等腰三角形，只存在 这一种情况，
设 ，则 ，
同理可得 ，
又∵ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴存在一点P，当点P的横坐标为 时， 为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，
等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
