文档文本内容
1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题04 证明 （题型突破·举一反三） 题型01 写出一个命题的已知、求证以及证明过程 题型02 已知证明过程，写理论依据 题型03 选择信息作为条件、结论，并证明 题型04 三角板中的外角 题型05 反证法 题型06 逻辑推理与论证 题型07 角平分线与外角 题型08 三角形外角的实际应用 题型09 平行线与外角 ▌题型01 写出一个命题的已知、求证以及证明过程 证明：通过逻辑推理，从已知条件或公理出发，推导出结论的过程。 命题：可以判断真假的陈述句，由条件（前提）和结论组成。 【典例1】请你完成命题“平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”的证明． 【分析】根据题意写出已知和求证，根据垂直的定义、平行线的判定证明． 【解答】已知：如图，直线a⊥c，b⊥c． 求证：a∥b． 证明：∵a⊥c，b⊥c（已知）， ∴∠1＝90°，∠2＝90°（垂直的定义）， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）． 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边． 【分析】根据题意画出图形，写出已知和求证，根据三角形的外角性质得到∠EAC=∠B+∠C，得到∠EAD=∠B， 根据平行线的判定证明． 已知：在△ABC 中，∠B=∠C，AD 平分△ABC 的外角∠EAC， 求证：AD∥BC． 证明：∵AD 平分∠EAC， ∴∠EAD= 1 2∠EAC， ∵∠EAC 是△ABC 的外角， ∴∠EAC=∠B+∠C， ∵∠B=∠C， ∴∠B= 1 2∠EAC， ∴∠EAD=∠B， ∴AD∥BC． 【变式1-2】证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题． 已知： 求证： 证明： 【分析】先写出已知、求证，再画图，然后证明．过点A 作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1＝∠B，∠ 3 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2＝∠C，而∠1+∠2+∠BAC＝180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C＝180°． 【解答】解：已知：△ABC， 求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°， 证明：过点A 作EF∥BC， ∵EF∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C， ∵∠1+∠2+∠BAC＝180°， ∴∠BAC+∠B+∠C＝180°． 即知三角形内角和等于180°． 【变式1-3】证明“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”． 【分析】根据三角形的内角和和平角的定义即可得到结论． 【解答】解：已知：△ABC，∠ACD 是△ABC 的外角， 求证：∠ACD＝∠A+∠B， 证明：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝∠A+∠B， ∴三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． ▌题型02 已知证明过程，写理论依据 一、整体步骤 1. 拆分证明：把每一句推导单独分开，一句对应一条依据 2. 圈出条件与结论：分清“已知给出的信息”和“推导出的新结论” 3. 匹配对应知识点：看由什么推出什么，锁定公理/定理/定义/性质 4. 规范书写依据：用课本标准术语，不口语化 4 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 二、分情况判断依据模板 1. 题干给的条件 出现：已知、如图、由题意 依据：已知 2. 等量替换类 同一个量重复使用：等量代换 线段/角相等叠加、相减：等式的基本性质 3. 平行线相关 两直线平行→同位角/内错角相等、同旁内角互补：两直线平行，XX 角相等/互补 角相等→两线平行：XX 角相等，两直线平行 4. 三角形相关 内角相加180°：三角形内角和定理 外角等于不相邻两内角和：三角形外角定理 5. 垂直、直角 垂直得90°：垂直的定义 90°的角是直角：直角定义 同角/等角的余角相等；同角/等角的补角相等 6. 线段中点、角平分线 中点分线段相等：中点定义 平分线分角相等：角平分线定义 7. 对顶角、邻补角 对顶角相等 邻补角之和为180° 【典例1】已知：如图，直线EF，GH 被直线MN 所截，AB⊥GH，B 为垂足，∠1＝∠2． 求证：AB⊥EF（填空）． 证明：∵∠1＝∠2（ 已知 ）， ∴EF∥GH （ 内错角相等，两直线平行 ）， ∴∠FAB+∠HBA＝ 180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ）， ∵AB⊥GH（已知）， ∴∠HBA＝90° （ 垂直定义 ）． ∴∠FAB＝180°﹣∠HBA＝180°﹣90°＝90°， ∴AB⊥EF（ 垂直定义 ）． 5 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据平行线的判定与性质即可完成填空． 【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∴EF∥GH（内错角相等，两直线平行）， ∴∠FAB+∠HBA＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB⊥GH（已知）， ∴∠HBA＝90° （垂直定义）． ∴∠FAB＝180°﹣∠HBA＝180°﹣90°＝90°， ∴AB⊥EF（垂直定义）． 【变式1-1】（2026 春•临淄区期末）推理填空：如图，点E，F 在四边形ABCD 的边BC 上，点G 在四边形 ABCD 的边AD 上，连接AE，过点G，F 的线段PQ 交BA 的延长线于点P，交DC 的延长线于点Q．若 AE∥PQ，∠1＝∠4，∠B＝∠D，求证：∠P＝∠Q． 证明：∵AE∥PQ（已知）， ∴∠1＝ ∠2 （ 两直线平行，同位角相等 ）， ∵∠1＝∠4（已知）， ∴∠4＝ ∠2 （ 等量代换 ）， ∴AD∥BC （ 内错角相等，两直线平行 ）， ∴ ∠5 +∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠B＝∠D（ 已知 ）， ∴∠B+∠5＝180°， ∴BP∥DQ （同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠P＝∠Q（ 两直线平行，内错角相等 ）． 【分析】根据平行线的性质与判定定理结合已给推理过程进行证明即可． 6 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【解答】证明：∵AE∥PQ（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝∠4（已知）， ∴∠4＝∠2（等量代换）， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠5+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠B＝∠D（已知）， ∴∠B+∠5＝180°， ∴BP∥DQ（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠P＝∠Q（两直线平行，内错角相等）． 【变式1-2】（2026 春•北辰区期末）（Ⅰ）如图①，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD． 请完成下面证明： ∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠CGD（ 对顶角相等 ）， ∴∠2＝∠CGD（等式的基本事实）． ∴CE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ）． ∴∠C＝∠BFD（ 两直线平行，同位角相等 ）． 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠BFD ＝∠B（等式的基本事实）． ∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）． （Ⅱ）如图②，点Q 在直线AB 上，PQ⊥HQ，∠1＝58°，∠2＝32°，AB 与CD 平行吗？为什么？ 【分析】（1）根据对顶角相等，结合题意得到∠2＝∠CGD，即可判定CE∥BF，根据平行线的性质推出 ∠BFD＝∠B，即可判定AB∥CD； （2）根据已知条件可得∠1+∠2＝90°，结合PQ⊥HQ，得∠HPQ+∠2＝90°，所以∠1＝∠HPQ，根据 平行线的性质即可判定AB∥CD． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠CGD（对顶角相等）， ∴∠2＝∠CGD（等式的基本事实）， ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）， 7 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠BFD＝∠B（等式的基本事实）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BFD；等式的基本事实； 内错角相等，两直线平行． （2）AB 与CD 平行，理由如下： ∵∠1＝58°，∠2＝32°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵PQ⊥HQ， ∴∠HPQ+∠2＝90°， ∴∠1＝∠HPQ， ∴AB∥CD． 【变式1-3】（2026 春•丰台区期末）如图，AD∥BC，∠BAD 的平分线交CD 于点F，交BC 的延长线于点 E，∠B+∠BCD＝180°．求证：∠CFE＝∠E． 将下面的证明过程补充完整： 证明：∵AD∥BC， ∴∠2＝∠E （ 两直线平行，同位角相等 ）（填推理的依据）． ∵AE 平分∠BAD， ∴∠1＝∠ 2 ． ∴∠1＝∠E． ∵∠B+∠BCD＝180°， ∴AB ∥CD （ 同旁内角互补，两直线平行 ）（填推理的依据）． ∴∠1＝∠CFE（ 两直线平行，同位角相等 ）（填推理的依据）． ∴∠CFE＝∠E． 【分析】根据题目中的每一步推理过程，结合图形填写平行线的判定和性质即可． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠2＝∠E，（两直线平行，同位角相等）， ∵AE 平分∠BAD， 8 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠E， ∵∠B+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠1＝∠CFE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠CFE＝∠E． ▌题型03 选择信息作为条件、结论，并证明 （1）审题：拆解题干论断 （2）组命题：写成标准“已知→求证”格式 （3）找思路：从结论倒推 （4）写证明：规范书写 【典例1】如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息： ①AC⊥BC； ②BC 平分∠DCH； ③∠ACD＝∠DAC． 请在上述3 条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件 是 ①② ，结论是 ③ ．（只要填写序号），并说明理由． 【分析】根据角平分线定义，平行线的性质，垂直定义逐一求解即可． 【解答】解：条件：①②，结论：③，理由如下： ∵BC 平分∠DCH， ∴∠BCD＝∠BCH， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCD＝90°， ∵∠ACG+∠ACD+∠BCD+∠BCH＝180°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACD＝∠ACG， 9 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵EF∥GH， ∴∠ACG＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC， 故答案为：①②，③． 【变式1-1】如图，在三角形ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，射线CE 在∠DCA 的内部．给出下列信 息：①AB∥CE；②CE 平分∠DCA；③∠A＝∠B．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作 为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析部分． 【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明； 【解答】解：选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD， ∵∠A＝∠B， ∴∠ECA＝∠ECD， ∴CE 平分∠DCA； 选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD， ∵CE 平分∠DCA， ∴∠ECA＝∠ECD， ∴∠A＝∠B； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵CE 平分∠DCA， ∴∠ECA＝∠ECD， ∵∠A＝∠B，∠A+∠B＝∠ACD＝∠ECD+∠ECA， ∴∠A＝∠ECA＝∠B＝∠ECD， ∴AB∥CE 【变式1-2】如图，∠ACD 是∠ACB 的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个 10 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 作为结论，得出一个真命题．①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE 平分∠ACD． （1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“⊗⊗⇒⊗”的形式一一书写出来； （2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，结合平行线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题． （2）任选一个命题，根据平行线的性质或角平分线的定义进行证明． 【解答】解：（1）上述问题有三种正确命题，分别是： 命题1：①②⇒③；命题2：①③⇒②；命题3：②③⇒①． （2）解：选择命题2：①③⇒②． 证明：∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B． ∵CE 平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE． ∴∠A＝∠B． 【变式1-3】如图，有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B＝∠D；③∠E＝∠F． （1）从三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可得到一个命题．请按“⊗⊗→⊗”的形式将所 有真命题一一书写出来（用序号表示）； （2）从（1）中选择一个真命题进行证明． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质判断解答即可； （2）根据平行线的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）有三个真命题，分别是：①②→③；①③→②；②③→①； （2）选择①②→③， 证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠DCF， ∵∠B＝∠D， 11 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠D＝∠DCF， ∴DE∥BF， ∴∠E＝∠F； 选择①③→②， 证明：∵AB∥CD， ∴∠DAB+∠D＝180°， ∵∠E＝∠F， ∴DE∥BF， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∴∠B＝∠D； 选择②③→①， 证明：∵∠E＝∠F， ∴DE∥BF， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠DAB+∠D＝180°， ∴AB∥CD． ▌题型04 三角板中的外角 1. 两块三角板叠放，求夹角 解题步骤： （1）标出图中所有已知三角板固定角度； （2）找到目标角所在三角形，识别外角； （3）套用外角定理：外角 = 两个三角板内角相加/相减； （4）列式计算。 2. 三角板顶点重合，形成拐角、“飞镖”模型 （1）把不规则拐角补成三角形外角； （2）利用外角拆分，拆成两个三角板标准角； （3）遇直角：90°直接参与加减； （4）出现对顶角、互余，搭配外角定理一起算。 12 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例1】将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1 的度数是（ ） A．105° B．135° C．150° D．165° 【分析】由题意得出∠CAD＝60°、∠B＝45°、∠CAB＝120°，根据∠1＝∠B+∠CAB 可得答案． 【解答】解：如图，由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝90°﹣45°＝45°， ∴∠CAB＝120°， ∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°． 故选：D． 【变式1-1】（2026•四川校级模拟）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠2＝149°36'，则∠1 ＝ 59.6 度． 【分析】根据三角形外角性质和对顶角性质得∠3＝∠4＝59°36′，根据平行线的性质得∠3＝∠1＝ 59.6°． 【解答】解：如图所示， 13 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠2＝90°+∠4＝149°36′， ∴∠4＝59°36′， ∴∠3＝∠4＝59°36′， 根据题意可知a∥b， ∴∠1＝∠3＝59°36′＝59.6°（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：59.6． 【变式1-2】（2026•鼓楼区校级模拟）将一副三角板按图中方式叠放，则∠α 等于（ ） A．45° B．60° C．75° D．90° 【分析】根据三角形的外角的定义计算即可． 【解答】解：将一副三角板按图中方式叠放，如图，∠α 为△BCF 的外角，由题可知， ∠EBD＝30°，∠ACB＝45°， ∴∠α＝∠EBD+∠ACB＝75°． 故选：C． 【变式1-3】（2026•江城区一模）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方 式摆放，其中点A，E，C，F 在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．当 AD∥BC 时，求∠ADE 的大小． 14 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据平行线的性质得到∠DAE＝∠BCA＝45°，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠ACB＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠ACB＝45°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠DEF＝∠DAE+∠ADE＝60°， ∴∠ADE＝15°， 则∠ADE 的大小为15°． ▌题型05 反证法 先假设结论不成立 → 推出矛盾 → 说明假设错 → 原结论正确。 （1）假设 假设原命题的结论不成立（也就是结论的反面成立）。 （2）推导 从这个假设出发，结合已知条件、定义、定理进行推理。 （3）矛盾 推出与已知、定义、公理、定理相矛盾的结果。 （4）结论 假设不成立，因此原命题成立。 【典例1】（2026 春•新吴区期末）用反证法证明“在△ABC 中，若∠A＞∠B，则BC＞AC”，应假设（ ） A．∠A＜∠B B．∠A≤∠B C．BC＜AC D．BC≤AC 【分析】根据反证法是假设结论不成立，反面成立逐一判断即可． 【解答】解：反证法是假设结论不成立，反面成立， ∴应假设BC≤AC， 故选：D． 【变式1-1】（2025 秋•浦东新区校级期末）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角 形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 15 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 证明： 【分析】先通过反设结论（假设三个内角都大于60°），推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而 肯定原命题成立． 【解答】解：已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 为其三个内角． 求证：∠A、∠B、∠C 中至少有一个内角小于或等于60°． 证明：假设△ABC 的三个内角都大于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°， 则将三个不等式相加，得∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°＝180°， 此结论与“三角形内角和为180°”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°． 【变式1-2】（2026 春•虹口区期末）用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．反证法是数学中常 用的一种证明方法，其步骤是：（1）先假设求证的结论是错误的；（2）由此推导出与已知定义、公理、 定理或条件等相矛盾的结果；（3）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性． 如图，已知：直线l1、l2 被直线l3 所截，l3 分别交l1、l2 于点M、N，∠1+∠2＝180°， 求证：l1∥l2． 把以下证明过程补充完整 （1）证法一：如图1，假设直线l1 与直线l2 不平行，且l1 与l2 相交于点P， 所以∠1+∠2+∠P＝ 180° （ 三角形内角和等于180° ）， 所以∠1+∠2 ＜ 180°，这与“∠1+∠2＝180°”矛盾， 故假设不成立，所以l1∥l2． （2）证法二：如图2，假设直线l1 与直线l2 不平行，那么可以过点M 作直线GH∥l2，则∠1≠∠HMN． 因为GH∥l2， 所以∠2+∠HMN＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）， 因为∠1+∠2＝180°， 所以 ∠1＝∠HMN （ 同角的补角相等 ）， 这与“∠1≠∠HMN”矛盾，故假设不成立，所以l1∥l2． 16 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据反证法的基本步骤，结合三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可． 【解答】解：（1）证法一：如图1，假设直线l1 与直线l2 不平行，且l1 与l2 相交于点P， 所以∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和等于180°）， 所以∠1+∠2＜180°，这与“∠1+∠2＝180°”矛盾， 故假设不成立， 所以l1∥l2， 故答案为：180°；三角形内角和等于180°；＜； （2）证法二：如图2，假设直线l1 与直线l2 不平行，那么可以过点M 作直线GH∥l2，则∠1≠∠HMN． 因为GH∥l2， 所以∠2+∠HMN＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 因为∠1+∠2＝180°， 所以∠1＝∠HMN（同角的补角相等）， 这与“∠1≠∠HMN”矛盾，故假设不成立， 所以l1∥l2， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；∠1＝∠HMN；同角的补角相等． 【变式1-3】阅读正文并解答下列问题： 如图，已知在△ABC 中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠ABC． 证明：假设∠ACB≤∠ABC， ①若∠ACB＜∠ABC，则在BC 上取点D，联结AD，使∠ADB＝∠B． ∵∠ADB＝∠B， ∴AD＝AB； 在AC 上取点E，使AE＝AD，则AC＝AE+CE＝AD+CE＞AD， 即：AC＞AD， ∴AC＞AB． 这与已知AC＜AB 相矛盾， ∴假设不成立； ②若∠ACB＝∠ABC， … 综上，∠ACB＞∠ABC． （1）上述证明过程采用的方法是 B （填写：“A”或“B”）； A．直接证明法；B．反证法． （2）请你补充②中所缺失的部分． 17 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）这是反证法； （2）根据等角对等边即可解答． 【解答】解：（1）上述证明过程采用的方法是B； 故答案为：B； （2）②若∠ACB＝∠ABC， ∴AB＝AC， 这与已知AC＜AB 相矛盾， ∴假设不成立； 综上，∠ACB＞∠ABC． ▌题型06 逻辑推理与论证 1. 推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特 殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． 2. 论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的 规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 【典例1】在狼人杀游戏中，有一个板子叫做“灯影预言家”，规则如下：好人阵营有“真预言家”和“灯 影预言家”两名预言家，但两人均不知道自己是否是灯影，两人每晚可查验一名玩家：1．真预言家若查 验到好人，则显示为好人，若查验到狼人，则显示是狼人；2．灯影预言家若查验到狼人，则显示为好人， 若查验到好人，则显示是狼人．现在有12 人玩游戏，4 个狼人，1 个预言家，1 个灯影预言家，1 个女巫， 1 个守卫，1 个骑士，3 个平民．第一天白天时，1 号起跳预言家报明4 号为好人，4 号起跳报1 号好人， 5 号起跳报1 号狼人，8 号起跳报4 号狼人，若没有好人假跳预言家，则这4 个人中是狼人的组合可能是 （ ） A．1 号和4 号 B．4 号和5 号 C．1 号和5 号 D．5 号和8 号 18 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】先明确好人预言家的查验规则和“4 个跳预言家的人中恰好 2 个好人、2 个狼人”的前提，再 对每个选项假设其狼人组合成立，验证剩余两人能否分别满足真预言家和灯影预言家的查验结果，存在 符合规则的身份分配则选项正确，所有分配均矛盾则排除，即可得出答案． 【解答】解：关键规则：预言家（好人）：查好人→显示好人，查狼人→显示狼人；灯影预言家（好人）： 查狼人→显示好人，查好人→显示狼人：跳预言家的4 人（1、4、5、8）中，只有2 个好人（真预言家和 灯影预言家），另外2 个是狼人（无好人假跳）． 报验情况： 1 号跳预言家：报4 号为好人， 4 号跳预言家：报1 号为好人， 5 号跳预言家：报1 号为狼人， 8 号跳预言家：报4 号为狼人， 选项A：1 号和4 号是狼人 若1、4 是狼人，则5、8 是真预言家和灯影预言家： 5 号报1 号为狼人（1 是狼人），若5 是真预言家，符合规则；若5 是灯影预言家，查狼人应显示好人， 矛盾→5 只能是真预言家． 8 号是灯影预言家，查4 号（狼人）应显示好人，但8 号报4 号为狼人，矛盾，故A 错误，该选项不符合 题意． 选项C：1 号和5 号是狼人 若1、5 是狼人，则4、8 是真预言家和灯影预言家： 4 号是灯影预言家，查1 号（狼人）→显示好人，与4 号报1 号为好人一致． 8 号是真预言家，查4 号（好人）→应显示好人，但8 号报4 号为狼人，矛盾，故C 错误，该选项不符合 题意． 选项B：4 号和5 号是狼人 若4、5 是狼人，则1、8 是真预言家和灯影预言家： 1 号是灯影预言家，查4 号（狼人）→显示好人，与1 号报4 号为好人一致，符合规则． 8 号是真预言家，查4 号（狼人）→显示狼人，与8 号报4 号为狼人一致，符合规则． 5 号（狼人）报1 号为狼人（1 是好人）、4 号（狼人）报1 号为好人（1 是好人），均为狼人乱报，无矛 盾．故B 正确，该选项符合题意． 选项D：5 号和8 号是狼人 若5、8 是狼人，则1、4 是真预言家和灯影预言家： 1 号是真预言家，查4 号（好人）→显示好人，与1 号报4 号为好人一致． 4 号是灯影预言家，查1 号（好人）→应显示狼人，但4 号报1 号为好人，矛盾，故D 错误，该选项不符 合题意． 故选：B． 19 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只 设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”； 小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”． 若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】先阅读理解题意，再逐一进行检验进行简单的合情推理即可． 【解答】解：理解题意，再逐一进行检验： ①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小李、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误， ②若获得一等奖的团队是乙团队，则小张预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误， ③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误， ④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小王预测结果是对的，与题设相符，即假设正确， 即若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是：丁； 故选：D． 【变式1-2】（2026•邵阳二模）四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃 打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（ ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【分析】根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可． 【解答】解：小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾， ∴两人的话必有一真一假， ∵“只有一个小孩说真话”， ∴小张和小明的话都是假话， ∴说明小明打破了玻璃． 故选：C． 【变式1-3】某中学举办数学竞赛，A、B、C、D、E 五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人 的名次排列情况． 20 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A 说：B 第三名，C 第五名； B 说：E 第四名，D 第五名； C 说：A 第一名，E 第四名； D 说：C 第一名，B 第二名； E 说：A 第三名，D 第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一名为（ ） A．D B．C C．B D．A 【分析】利用“每个名次都有人猜对”的条件，从只有一人猜测的名次入手逐步推导，即可得到第一名． 【解答】解：利用“每个名次都有人猜对”的条件，从只有一人猜测的名次入手逐步推导： ∵每个名次都有人猜对，所有猜测中，第二名只有D 猜测B 是第二名， ∴B 是第二名； ∵B 已经是第二名，因此A 猜测“B 第三名”错误，第三名必须有人猜对，此时只有E 猜测“A 第三名”， ∴A 是第三名； ∵A 已经是第三名，因此C 猜测“A 第一名”错误，第一名必须有人猜对，此时只有D 猜测“C 第一名”， 故C 是第一名． 故选：B． ▌题型07 角平分线与外角 1. 一个内角和一个外角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与CP 相交于点p，求∠P 与∠A 之间的关系 解：∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线， ∴∠PBC= 2 1 ∠ABC，∠PCD= 2 1 ∠ACD． ∵∠ACD 是△ABC 的外角，∠PCD 是△BPC 的外角， ∴∠ACD=∠ABC+∠A，∠PCD=∠PBC+∠P， ∴ 2 1 ∠ACP= 2 1 ∠ABC+ 2 1 ∠A， 21 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 1 ∠ABC+ 2 1 ∠A=∠PBC+∠P， 即∠P= 2 1 ∠A． 2. 两外角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，△ABC 的外角平分线BO, CO 相交于点O,求∠O 与∠A 之间的关系 解：∵BO、CO 分别是△ABC 的外角∠DBC、∠ECB 的角平分线， ∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A， ∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°， 又∵∠1+∠2+∠BOC=180°， ∴2∠BOC=180°-∠A， 即∠BOC=90°- 2 1 ∠A． 【典例1】（2025 秋•甘肃校级期末）综合与探究 【感知】如图1，在△ABC 中，BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线． 【应用】 （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC＝ 120° ；若∠BAC＝70°，则∠BPC＝ 125° ； （2）求∠BPC 与∠A 之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形ABCD 中，BP、CP 分别是∠ABC 和∠BCD 的角平分线，求∠BPC 与∠A+∠D 的 数量关系． 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； 22 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【解答】解：（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°， 由条件可知∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 25°，∠𝑃𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 35°， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝120°． 若∠BAC＝70°， ∵BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝑃𝐶𝐵= 180° −1 2 (180° −∠𝐵𝐴𝐶) = 90° + 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶， ∵∠BAC＝70°， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 90° + 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 90° + 1 2 × 70° = 125°， 故答案为：120°；125°； （2）∠𝐵𝑃𝐶= 90° + 1 2 ∠𝐴；理由如下： ∵BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB ＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） = 180° −1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −1 2 (180° −∠𝐴) = 90° + 1 2 ∠𝐴； （3）∠A+∠D＝2∠BPC． 如图，延长BA，CD，交于点E，由（2）知，∠𝐵𝑃𝐶= 90° + 1 2 ∠𝐸， 由条件可知∠BAD+∠CDA＝∠E+∠E+∠ADE+∠DAE＝180°+∠E， ∴∠E＝∠BAD+∠CDA﹣180°， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 90° + 1 2 ∠𝐸 = 90° + 1 2 (∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐴−180°) = 90° + 1 2 (∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐴) −90° 23 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 = 1 2 (∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐴)， 即∠BAD+∠CDA＝2∠BPC． 【变式1-1】（2026 春•沛县期末）已知：在△ABC 中，点D 在边AC 上，∠ABD＝∠C． （1）如图1，∠BAC 的平分线与BC，BD 分别交于点E，F．求证：∠BFE＝∠BEF； （2）如图2，∠GAC 为△ABC 的一个外角，∠GAC 的平分线与直线BD 交于点H．判断∠HBC 与∠H 的 数量关系，并说明理由． 【分析】（1）通过外角性质将∠BFE 和∠BEF 分别表示出来，利用已知相等角进行代换； （2）利用外角平分线和三角形外角性质，建立∠H 与∠HBC 的等量关系． 【解答】（1）证明：∵∠BFE 是△ABF 的外角， ∴∠BFE＝∠ABF+∠BAF， ∵∠BEF 是△AEC 的外角， ∴∠BEF＝∠C+∠CAE， ∵AE 平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAE， 又∵∠ABF＝∠ABD，且∠ABD＝∠C， ∴∠ABF＝∠C， ∴∠BFE＝∠C+∠CAE， ∴∠BFE＝∠BEF； （2）解：∠HBC＝2∠H，理由如下： ∵∠GAC 是△ABC 的外角， ∴∠GAC＝∠ABC+∠C， ∵AH 平分∠GAC， ∴∠GAB= 1 2∠GAC= 1 2（∠ABC+∠C）， ∵∠GAB 是△ABH 的外角， 24 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠GAB＝∠H+∠ABH， ∴∠H＝∠GAB﹣∠ABH， ∵∠ABH＝∠ABD＝∠C， ∴∠H= 1 2（∠ABC+∠C）﹣∠C= 1 2（∠ABC﹣∠C）， ∵∠HBC＝∠ABC﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠C， ∴∠H= 1 2∠HBC， 即∠HBC＝2∠H． 【变式1-2】某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了 探究： （1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P，∠A＝62°，则∠BPC＝ 121° ； （2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E，其中∠A＝58°， 求∠BEC 的度数； （3）如图3，∠CBM、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM、∠BCN 的平分线交于点Q，其中∠A＝α．求 ∠BQC＝ 90°−1 2α （用α 表示）； （4）如图4，△ABC 外角∠CBM、∠BCN 的平分线交于点Q，∠CBQ、∠BCQ 的平分线交于点P，则延 长BC 至点E，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R，则∠R 与∠BPC 的数量关系为 ∠BPC﹣∠ R＝90° ． 【分析】（1）由∠A＝62°，求得∠ABC+∠ACB＝118°，因为∠PBC= 1 2∠ABC，∠PCB= 1 2∠ACB，所 以∠PBC+∠PCB= 1 2（∠ABC+∠ACB）＝59°，则∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝121°，于是得 到问题的答案． （2）由∠A＝58°，得∠ABD﹣∠ACB＝∠A＝58°，因为∠BCE= 1 2∠ACB，∠DBE= 1 2∠ABD，所以∠ BEC＝∠DBE﹣∠BCE= 1 2（∠ABD﹣∠ACB）＝29°． （3）由∠QBC= 1 2∠CBM= 1 2（180°﹣∠ABC），∠QCB= 1 2∠BCN= 1 2（180°﹣∠ACB），得∠QBC+∠ QCB＝180°−1 2（∠ABC+∠ACB），则∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）= 1 2（∠ABC+∠ACB），而 25 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，且∠A＝α，所以∠BQC＝90°−1 2α，于是得到问题的答案． （4）因为点E 在BC 的延长线上，所以∠BCQ+∠ECQ＝180°，由∠PCQ= 1 2∠BCQ，∠RCQ= 1 2∠ECQ， 得∠PCR＝∠PCQ+∠RCQ= 1 2（∠BCQ+∠ECQ）＝90°，所以∠CPR＝90°﹣∠R，由∠BPC+90°﹣∠ R＝180°，得∠BPC﹣∠R＝90°，于是得到问题的答案． 【解答】解：（1）∵∠A＝62°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝118°， ∵∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P， ∴∠PBC= 1 2∠ABC，∠PCB= 1 2∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= 1 2（∠ABC+∠ACB）＝59°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝121°， 故答案为：121°． （2）∵∠ABD＝∠A+∠ACB，且∠A＝58°， ∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A＝58°， ∵△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E， ∴∠BCE= 1 2∠ACB，∠DBE= 1 2∠ABD， ∵∠DBE＝∠BEC+∠BCE， ∴∠BEC＝∠DBE﹣∠BCE= 1 2（∠ABD﹣∠ACB）＝29°， ∴∠BEC 的度数为29°． （3）∵∠CBM、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM、∠BCN 的平分线交于点Q， ∴∠QBC= 1 2∠CBM= 1 2（180°﹣∠ABC），∠QCB= 1 2∠BCN= 1 2（180°﹣∠ACB）， ∴∠QBC+∠QCB= 1 2（180°﹣∠ABC）+ 1 2（180°﹣∠ACB）＝180°−1 2（∠ABC+∠ACB）， ∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣[180°−1 2（∠ABC+∠ACB）]= 1 2（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，且∠A＝α， ∴∠BQC= 1 2（180°﹣∠A）＝90°−1 2α， 故答案为：90°−1 2α． （4）∵点E 在BC 的延长线上， ∴∠BCQ+∠ECQ＝180°， ∵CP 平分∠BCQ，CR 平分∠ECQ， ∴∠PCQ= 1 2∠BCQ，∠RCQ= 1 2∠ECQ， ∴∠PCR＝∠PCQ+∠RCQ= 1 2（∠BCQ+∠ECQ）＝90°， 26 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠CPR＝90°﹣∠R， ∵点R 在BP 的延长线上， ∴∠BPC+∠CPR＝180°， ∴∠BPC+90°﹣∠R＝180°， ∴∠BPC﹣∠R＝90°， 故答案为：∠BPC﹣∠R＝90°． 【变式1-3】（1）在△ABC 中，∠A＝60°，图1，∠O 是两内角平分线的夹角；图2，∠O 是内角和外角角 平分线的夹角；图3，∠O 是两外角平分线的夹角，请直接写出∠O 的度数． 如图1，∠O＝ 120° ；如图2，∠O＝ 30° ；如图3，∠O＝ 60° ； （2）如图4 所示，在△ABC 中，∠ABC 的三等分线BO1、BO2 和∠ACB 的平分线CO1 相交于点O1 和点 O2，∠2＝135°，∠1＝115°，求∠A 的度数． 【分析】（1）如图1，由角平分线的定义得出∠𝐶𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵，再结合三角形的内角 和定理得出∠O＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO 计算即可得解；如图2，由角平分线的定义得出∠𝐶𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶， ∠𝐷𝐶𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；如图3，由角平分线的定义得出∠𝐶𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐶𝐵𝐸，∠𝐵𝐶𝑂= 1 2 ∠𝐵𝐶𝐹，由邻补角结合三角形内角和定理求出∠BCF+∠CBE＝240°，从而得到∠CBO+ ∠BCO＝120°，再运用三角形内角和定理求解即可； （2）由题意得出∠𝐶𝐵𝑂2 = 2 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶𝐵𝑂1 = 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑂2 = 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝑂1𝐵𝑂2 = 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶，由三角 形外角的定义及性质得出∠O1BO2＝∠2﹣∠1＝20°，从而得出∠ABC＝3∠O1BO2＝60°，再由三角形 内角和定理得出∠BCO1＝180°﹣∠CBO1﹣∠2＝25°，即可得出∠ACB＝2∠BCO1＝50°，最后再由三 角形内角和定理计算即可得解． 【解答】解：（1）如图1： 由题意可得：∠𝐶𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠O＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO = 180° −1 2 ∠𝐴𝐵𝐶−1 2 ∠𝐴𝐶𝐵 = 180° −(1 2 ∠𝐴𝐵𝐶+ 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) 27 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 = 180° −1 2 (180° −∠𝐴) = 180° −1 2 (180° −60°) ＝120°； 如图2： 由题意可得：∠𝐶𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐷𝐶𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷， ∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC＝60°+∠ABC， ∴∠𝑂= ∠𝐷𝐶𝑂−∠𝐶𝐵𝑂= 1 2 (60° + ∠𝐴𝐵𝐶) −1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 30°； 如图3， ∵BO 平分∠CBE，CO 平分∠BCF， ∴∠𝐶𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐶𝐵𝐸，∠𝐵𝐶𝑂= 1 2 ∠𝐵𝐶𝐹， ∵∠CBE＝180°﹣∠ABC，∠BCF＝180°﹣∠ACB， ∴∠BCF+∠BCO ＝180°﹣∠ACB+180°﹣∠ABC ＝360°﹣（∠ACB+∠ABC） ＝360°﹣（180°﹣∠BAC） ＝360°﹣（180°﹣60°） ＝240° ∴∠𝐶𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐶𝑂= 1 2 (∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹) = 120°， ∴∠O＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝60°． 故答案为：120°，30°，60°． （2）由题意可得： ∠𝐶𝐵𝑂2 = 2 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶𝐵𝑂1 = 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑂2 = 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝑂1𝐵𝑂2 = 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶， ∵∠2＝∠1+∠O1BO2，∠2＝135°，∠1＝115°， ∴∠O1BO2＝∠2﹣∠1＝20°， ∴∠ABC＝3∠O1BO2＝60°， ∴∠𝐶𝐵𝑂1 = 1 3 ∠𝐴𝐵𝐶= 20°， ∴∠BCO1＝180°﹣∠CBO1﹣∠2＝25°， ∴∠ACB＝2∠BCO1＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°． ▌题型08 三角形外角的实际应用 28 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1. 建模 把生活实物（衣架、剪刀、零件、三角板摆放、道路拐角）抽象成三角形，标出内角、外角。 2. 标已知角度 把题目给出的度数、直角、45°/30°/60°特殊角、角平分线等分角全部标注。 3. 选定理列式 求大外角：外角 = 两个不相邻内角相加 求内部内角：内角 = 外角 − 另一个不相邻内角 比较角度大小：外角＞任一不相邻内角 4. 规范推理书写 每一步标注依据：三角形外角定理、角平分线定义、垂直定义、已知等。 【典例1】（2025 秋•东丰县期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果 ∠1＝120°，则∠2 的度数是（ ） A．30° B．40° C．60° D．120° 【分析】根据三角形的外角性质进行求解即可． 【解答】解：根据三角形外角性质得，∠1＝∠2+90°， ∵∠1＝120°， ∴∠2＝30°， 故选：A． 【变式1-1】一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1 所示的地锁，图2 为其示意图，妈妈对淇 淇说：“若∠3 是100°，你能说出∠1 比∠2 小多少度吗？”淇淇很快给出了结果，他的结果是（ ） 29 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．80° B．90° C．100° D．110° 【分析】由三角形外角的定义及性质可得∠1+∠4＝∠3＝100°，从而可得∠1＝100°﹣∠4，再结合∠2 ＝180°﹣∠4，计算即可得出结果． 【解答】解：如图： ∵∠1+∠4＝∠3＝100°（三角形外角的性质）， ∴∠1＝100°﹣∠4， ∵∠2＝180°﹣∠4， ∴∠2﹣∠1＝180°﹣∠4﹣（100°﹣∠4）＝80°， 故选：A． 【变式1-2】（2026•长沙二模）如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子AC 与水 平地面CD 的夹角∠ACD 为35°，绳子与人体AB 的夹角∠BAC＝40°，则人体的倾斜角∠ABD 为（ ） A．30° B．40° C．75° D．105° 【分析】根据三角形外角的性质得出∠ABD＝∠BAC+∠ACD 解答即可． 【解答】解：由三角形外角的性质可知，∠ABD＝∠BAC+∠ACD＝35°+40°＝75°， 故选：C． 【变式1-3】电脑支架是我们工作学习的帮手，也隐藏着数学问题，如图①是从侧面看一台笔记本电脑放在 电脑支架上的平面图，如图②是图①的简易示图，若笔记本电脑的屏幕AB 垂直于支架底座CD 的位置． （1）∠ABC 与∠BCD 的数量关系是 ∠ABC﹣∠BCD＝90° ，并写出证明过程； （2）若图②中的撑杆FE⊥BC 于点E，试探索∠ABC 与∠DFE 的数量关系？并说明理由． 30 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）延长AB 交CD 于点H，根据AB⊥CD 得∠BHC＝90°，再根据三角形外角性质得∠ABC ＝∠BHC+∠BCD，进而得∠ABC﹣∠BCD＝90°，据此即可得出答案； （2）根据FE⊥BC 于点E 得∠FEC＝90°，再根据三角形外角性质得∠DFE＝∠FEC+∠DCB，进而得∠ DFE﹣∠DCB＝90°，然后根据（1）的结论即可得出∠ABC 与∠DFE 的数量关系． 【解答】解：（1）∠ABC 与∠BCD 的数量关系是：∠ABC﹣∠BCD＝90°，证明如下： 延长AB 交CD 于点H，如图所示： ∴AB⊥CD， ∴∠BHC＝90°， ∵∠ABC 是△BCH 的外角， ∴∠ABC＝∠BHC+∠BCD， ∴∠ABC﹣∠BCD＝∠BHC＝90°； （2）∠ABC 与∠DFE 的数量关系是：∠ABC＝∠DFE，理由如下： ∵FE⊥BC 于点E， ∴∠FEC＝90°， ∵∠DFE 是△FEC 的外角， ∴∠DFE＝∠FEC+∠DCB， ∴∠DFE﹣∠DCB＝∠FEC＝90°， 由（1）的结论可知：∠ABC﹣∠BCD＝90°， ∴∠ABC﹣∠BCD＝∠DFE﹣∠DCB， 31 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠ABC＝∠DFE． ▌题型09 平行线与外角 1．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 2．平行线的性质 两直线平行，同位角相等； ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝑀= ∠𝐶𝐹𝑀，∠𝑀𝐸𝐵= ∠𝑀𝐹𝐷. 两直线平行，内错角相等； ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐷，∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐶. 两直线平行，同旁内角互补； ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐹𝐶= 180°，∠𝐵𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°. 【典例1】为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A、E、C、F 在同一条 直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，若AD∥BC，∠ADE 的大小为（ ） A．5° B．15° C．25° D．35° 【分析】根据平行线的性质得到∠DAE＝∠BCA＝45°，再根据三角形的外角性质，进行求解即可． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠ACB＝45°， ∵AD∥BC， 32 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠DAE＝∠ACB＝45°， ∵∠DEF＝∠DAE+∠ADE＝60°， ∴∠ADE＝15°． 故选：B． 【变式1-1】（2026•临汾二模）将含30°角的直角三角板按如图所示的位置摆放，已知l1∥l2，∠α＝110°， 则∠β 的度数为（ ） A．80° B．100° C．110° D．120° 【分析】根据邻补角的定义求出∠EAB 的度数，再根据平行线的性质求出∠DBC 的度数，再由三角形外 角性质得到答案． 【解答】解：将含30°角的直角三角板按如图所示的位置摆放， ∵∠α＝110°， ∴∠EAB＝70°， ∵l1∥l2， ∴∠DBC＝∠EAB＝70° ∴∠β＝∠DBC+30°＝100°． 故选：B． 【变式1-2】（2026 春•姜堰区期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点E 在BC 上，点F 在CA 的延长线上，EF 交AB 于点G，∠AGF＝∠F． 求证：EF∥AD． 证明：∵AD 平分∠BAC（已知）， ∴∠CAD= 1 2∠BAC（ 角平分线的定义 ）． ∵∠BAC 是△AFG 的外角（已知）， 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠BAC＝∠AGF+∠F （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∵∠AGF＝∠F（已知）， ∴∠BAC＝2∠F， 即∠F= 1 2∠BAC（ 等式的性质 ）． ∴∠CAD＝∠F（ 等量代换 ）． ∴EF∥AD（ 同位角相等，两直线平行 ）． 【分析】由AD 平分∠BAC，根据角平分线的定义得∠CAD= 1 2∠BAC，因为∠BAC 是△AFG 的外角，所 以∠BAC＝∠AGF+∠F，而∠AGF＝∠F，则∠BAC＝2∠F，根据等式的性质得∠F= 1 2∠BAC，由等量代 换推导出∠CAD＝∠F，即可根据“同位角相等，两直线平行”证明EF∥AD，于是得到问题的答案． 【解答】证明：∵AD 平分∠BAC（已知）， ∴∠CAD= 1 2∠BAC（角平分线的定义）． ∵∠BAC 是△AFG 的外角（已知）， ∴∠BAC＝∠AGF+∠F（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∵∠AGF＝∠F（已知）， ∴∠BAC＝2∠F， 即∠F= 1 2∠BAC（等式的性质）． ∴∠CAD＝∠F（等量代换）． ∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）． 【变式1-3】同一平面内的两条直线相交或平行，下面我们就来研究其中某种位置关系中角所存在的几种数 量关系． （1）问题探究1：如图①，若AB∥CD，点P 在AB、CD 之外，则有∠D＝∠BOD，又因为∠BOD 是△ POB 的外角，所以∠BOD＝∠BPD+∠B，所以∠BPD＝∠D﹣∠B，将点P 移到AB、CD 之间，如图②， 以上结论是否成立？请说明理由． 34 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）问题探究2：如图③，直线AB 与CD 相交于点Q，则∠BPD、∠B、∠PDQ、∠BQD 之间有何数量 关系？请证明你的结论； （3）根据（2）的结论直接写出图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 360 °． 【分析】（1）要判断结论是否成立，通过作平行线，利用平行线的性质，将角进行转化来推导． （2）通过连接辅助线，利用三角形外角的性质，把角的关系进行转化，从而得出数量关系． （3）根据（2）的结论，将所求角转化为四边形的内角和来计算即可． 【解答】解：（1）不成立，理由如下： 过点P 作PE∥AB． ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD． ∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，即∠B+∠BPD+∠D＝360°， ∴原结论不成立； （2）∠BPD＝∠B+∠PDQ+∠BQD，证明如下： 连接QP 并延长到E． ∵∠BPE 是△BPQ 的外角，∠DPE 是△DPQ 的外角， ∴∠BPE＝∠B+∠BQE（三角形外角的性质），∠DPE＝∠PDQ+∠DQE． ∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠BQE+∠PDQ+∠DQE，即∠BPD＝∠B+∠PDQ+∠BQD； （3）根据（2）得∠EMF＝∠B+∠F+∠E， ∵∠A+∠C+∠D+∠AMD＝360°，∠EMF＝∠AMD， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， 故答案为：360． 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
