文档内容
重难点突破09 一类与斜率和、差、商、积问题的探究
目录
1、已知 是椭圆 上的定点，直线 （不过 点）与椭圆交于 ， 两点，且
，则直线 斜率为定值 ．
2、已知 是双曲线 上的定点，直线 （不过 点）与双曲线交于 ， 两点，且
，直线 斜率为定值 ．
3、已知 是抛物线 上的定点，直线 （不过 点）与抛物线交于 ， 两点，若
，则直线 斜率为定值 ．
4、 为椭圆 上一定点，过点 作斜率为 ， 的两条直线分别与椭
圆交于 两点．
（1）若 ，则直线 过定点 ；
（2）若 ，则直线 过定点 ．5、设 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过 作两条直线 ， 交椭圆
于 、 、 、 ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，弦 ， 的中点记
为 ， ．
（1）若 ，则直线 过定点 ；
（2）若 ，则直线 过定点 ．
6、过抛物线 上任一点 引两条弦 ， ，直线 ， 斜率存在，分别记
为 ，即 ，则直线 经过定点 ．
题型一：斜率和问题
例1．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点 ， ， 是异于A，
的动点， ， 分别是直线 ， 的斜率，且满足 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)在线段 上是否存在定点 ，使得过点 的直线交 的轨迹于 ， 两点，且对直线 上任意一点
，都有直线 ， ， 的斜率成等差数列.若存在，求出定点 ，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意 ，即 ，
又直线 ， 的斜率存在，所以点 的轨迹方程为
（2）若存在这样的定点，不妨设为 ，令 ， ， ，
直线 的方程为 ，
，
由韦达定理得： ， ， ，
，
，对任意 成立，所以
由 得，
所以 ，
对任意 成立， ，经检验，符合题意，
所以，存在 满足题意.
例2．（2023·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线 与抛物线
在第一象限交于点 .
(1)已知 为抛物线 的焦点，若 的中点坐标为 ，求 ；
(2)设 为坐标原点，直线 的斜率为 .若斜率为 的直线 与抛物线 和 均相切，证明 为定值，
并求出该定值.
【解析】（1）由 得 ，设 ，
因为 的中点坐标为 ，所以 ，
解得 .
（2）联立 ，解得 或 ，
所以 ，
所以直线 的斜率 .
设直线 的方程为 .
联立 ，消去 得 ，
因为直线 与抛物线 相切，
所以 ，即 ，
若 ，则 ，不符合题意，
所以 ，即 ，①
联立 ，消去 得 ，
因为直线 与抛物线 相切，
所以 ，即 ，②
由①②可得 ，所以 ，
故 为定值，该定值为0.
例3．（2023·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线 ，渐近线方
程为 ，点 在 上；
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的两条直线 ， 分别与双曲线 交于 ， 两点（不与 点重合），且两条直线的斜率 ，
满足 ，直线 与直线 ， 轴分别交于 ， 两点，求证： 的面积为定值.【解析】（1） ， ，依题意， ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）依题意可知 斜率存在，设方程为 ， ， ，
，
， ①，
，
整理得 .
1） ， ，过 舍去，
2） ， ，过点 ，
此时，将 代入①得 ，
与 交于点 ，故 （定值）
变式1．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两定点 ， ，M是平面内一
动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且 ．
(1)求动点M的轨迹 ；
(2)设过 的直线交曲线 于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为 ，
， ，且满足 ．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，
请说明理由．
【解析】（1）设 ，则 ，由题意知－4＜x＜4．
∵ ，∴ ，即 ，故动点M的轨迹 为 ．（2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下：
当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1．
设 ， ， ，则 ， ， ，由此知 ．
将y＝kx＋1代入 ，得 ，于是
， ．①
条件 即 ，也即 ．
将 ， 代入得
．
显然 不在直线y＝kx＋1上，∴ ，从而得 ，即
．
将 ， 代入得 ．将式①代入得
，解得 ．
当直线CD的斜率不存在时，经检验符合题意．
因此存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）设 是抛物线 上一点，不过点A的直线l交E于M，
N两点，F为E的焦点．
(1)若直线l过F，求 的值；
(2)设直线AM，AN和直线l的斜率分别为 ， 和k，若 ，求k的值．
【解析】（1）因直线l过 ，可设其方程为y＝kx＋1，设 ， ．
将y＝kx＋1代入 ，得 ．于是 ， ．
由焦点弦公式，得 ， ．
∴ ．
（2）显然直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，设 ， ．
将y＝kx＋m代入 ，得 ．于是 ， ，
， ，且 ，∴
．
∵ ，∴ ，即 ．
∵直线l：y＝kx＋m不过点 ，∴2k＋m－1≠0，故k＝1．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 经过点 ，离心率为 ．过点
的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为 和 ，求 的值．
【解析】（1）由题意， ， ，且 ，解得 ， ．
故椭圆E的方程为 ．
（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋2，设 ， ．
将y＝kx＋2代入 ，消去y得 ；消去x得
．于是
， ， ， ．
∴
．
当直线l的斜率不存在时， ， ，此时 ．
综上， ．
变式4．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点 为双曲线上一点， 的左焦点 到一条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)不过点 的直线 与双曲线 交于 两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线
过定点，并求该定点的坐标.
【解析】（1）设 到渐近线 ，即 的距离为 ，
则 ，结合 得 ，
又 在双曲线 上，所以 ，得 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
（2）联立 ，消去 并整理得 ，
则 ， ，即 ，
设 ， ，
则 ， ，
则
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
所以 ，
因为直线 不过 ，即 ， ，
所以 ，即 ，所以直线 ，即 过定点 .
变式5．（2023·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系 中，已知点 、 ， 的内
切圆与直线 相切于点 ，记点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线 上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接 .若直线 的
斜率与直线 的斜率之和为0，试比较 与 的大小.
【解析】（1）因为点 、 ， 的内切圆与直线 相切于点 ，
所以 ，
因此根据双曲线的定义可知，点 的轨迹为以 ， 为焦点的双曲线的右支，
设点 的轨迹C的方程为 ，焦距为 ，
所以 ， ，
所以 ， ， ，
所以点 的轨迹方程C为
（2）由题意，直线 的斜率互为相反数，记 ，
则 ， ， ， ， ，
设 ，则直线 ， .
联立直线 和双曲线方程 ，
整理得 .
该方程有两个不等实根 ， ，则
根据韦达定理可得 ， ，
同理可得 ， .
又因为 ， .
， .
则 ，
同理可得
即
进而可得 相似于 ，
即 ， ，
也即A，B，Q，P四点共圆，可得
从而得 .
因此
变式6．（2023·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知椭圆 的离心率为
分别为椭圆 的左右顶点， 分别为椭圆 的左右焦点， 是椭圆 的上顶点，且 的外
接圆半径为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设与 轴不垂直的直线 交椭圆 于 两点（ 在 轴的两侧），记直线 的斜率分
别为 ．
（i）求 的值；
（ii）若 ，则求 的面积的取值范围．
【解析】（1）由于椭圆 的离心率为 ，故 ，
故 ，则 ，又 ，则 ，
又 的外接圆半径为 ，则 ，
解得 ，故 ，
故椭圆方程为 ；
（2）（i）设l与x轴的交点为D，由于直线 交椭圆 于 两点（ 在 轴的两侧），
故直线l的斜率不为0，
设l的方程为 ，联立 ，
则 ，需满足 ，
设 ，则 ，
又 ，故 ，
同理可得 ；
（ii）因为 ，
则 ，
又直线l与x轴不垂直可得 ，则 ，
即 ，所以 ，
即 ，
即 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
因为 在 轴的两侧，故 ，则 ，
故 ，此时直线l为 ，过定点 ，与椭圆C交于不同两点；
此时 ，
，
令 ，由于l与 轴不垂直，故 ，所以 ，
故 ，
设 ， 时， ，
即 在 上单调递增，即 ，
故 ，即 的面积的取值范围为 .
变式7．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与
E交于A，B两点，且 ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设 为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN
的斜率分别为 和 ．求证： 为定值．
【解析】（1）由题意， ，直线l的方程为 ，代入 ，得 ．于是
，∴焦点弦 ，解得p＝2．故抛物线E的方程为 ．
（2）因 在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为 ，代入 ，得
．由 ，解得t＝1，∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得
．易知直线MN的斜率存在，设其方程为 ，设 ， ．
将 代入 ，得 ．于是 ， ，且 ，
．
∴
．
故 为定值2．
变式8．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，
点 在椭圆 上，且 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的右焦点为 ，过点 斜率不为0的直线 交椭圆 于 两点，记直线 与直线 的斜
率分别为 ，当 时，求：
①直线 的方程；
② 的面积．
【解析】（1）由题意知 ，又 ，则
，解得
由 在椭圆 上及 得 ，解得
椭圆 的方程为
（2）由（1）知，右焦点为
据题意设直线 的方程为
则
于是由 得 ，化简得 （*）
①由 消去 整理得
由根与系数的关系得： ．
代入（*）式得： ，解得
直线l的方程为
②方法一
由①可知：
由求根公式与弦长公式得： ．
设点 到直线l的距离为 ，则 ．
．
方法二
由题意可知
由①知，直线l的方程为
代入 消去 得
∴
．
变式9．（2023·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系 中，已知圆心
为C的动圆过点 ，且在 轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．(1)求E的方程；
(2)已知 及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线BD
经过定点．
【解析】（1）设圆心 ，半径为 ，
因为圆心为C的动圆过点 ，所以 ，
因为圆心为C的动圆在 轴上截得的弦长为4，所以 ，
所以 ，即 ，所以曲线E是抛物线.
（2）证明：由题意 点坐标适合 ，即点A在E上，
由题意可知BD斜率不会为0，设直线 ： ，
联立 ，消去 并整理得 ，
需满足 ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，将 ， 代入得 ，
即 ，
所以直线 ： ，即 ，
所以直线BD经过定点 .
变式10．（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知椭圆C： 过点
，且C的右焦点为 ．(1)求C的离心率；
(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线 上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分
别为 ， ， ，证明： ．
【解析】（1）由 得C的半焦距为 ，所以 ，
又C过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ， ．
故C的离心率为 ．
（2）
由（1）可知C的方程为 ．
设 ， ， ．
由题意可得直线MN的方程为 ，
联立 ，消去y可得 ，
则 ， ，
则
，
又 ，
因此 ．变式11．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知椭圆 的左右焦点分别为
是椭圆的中心，点 为其上的一点满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设定点 ，过点 的直线 交椭圆 于 两点，若在 上存在一点 ，使得直线 的斜率与直线
的斜率之和为定值，求 的范围．
【解析】（1）设 ，在 中，设 ，
，
，
，
，
所以椭圆 的方程为：
（2）设 ，直线 的方程为 ，
，
，
，
设
，
若 为常数，则 ，
即 ，而此时 ，又 ，即 或 ，
综上所述， 或 ，存在点 ，使得直线 的斜率与直线 的斜率之和为定值
变式12．（2023·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知定点 ，定直线 ，
动圆 过点 ，且与直线 相切．
(1)求动圆的圆心 所在轨迹 的方程；
(2)已知点 是轨迹 上一点，点 是轨迹 上不同的两点（点 均不与点 重合），设直线
的斜率分别为 ，且满足 ，证明：直线 过定点，并求出定点的坐标．
【解析】（1）设点 ，圆 与直线 的切点为 ，
因为动圆 过点 ，且与直线 相切，则 ，
所以点 的轨迹是以原点 为顶点，以点 为焦点的抛物线，
则动圆 的圆心轨迹 的方程为 ．
（2）若直线 的斜率为0，则直线 与抛物线只有1个交点，不合要求，
设直线 的方程为
，消去 可得： ，
则 ，因为 为抛物线 上一点，所以 ，解得 ，
，
解得 ，代入 ，
解得 或 ，
结合点 均不与点 重合，则 ，则 ，解得 ，
故 且 或 ，
所以直线 即
所以直线 恒过定点 .
题型二：斜率差问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆C： 的离心率 ， ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD
交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明： 为定值．
【解析】（1）由椭圆的离心率 ，则 ，又 ，
解得： ， ，
则椭圆的标准方程为： ；
（2）证明：因为 ，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为
联立 整理得 ．
则 ，故 ，则 ．
所以
又直线AD的方程为 ．
联立 ，解得
由三点 ， 共线，
得 ，所以 ．
的斜率为 ．
则 ．
为定值 ．
例5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知定点A(1，0)，点M在 轴上运动，点
N在 轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足 .
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)点Q为圆 上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记 分别为切线QS，QT的斜
率，当Q运动时，求 的取值范围.【解析】(1) 设N(0，b)M(a，0)，P(x，y).
因为
所以 ，即
因为
所以
所以x＝-a，y＝2b，
所以y2＝4x
(2)设Q(x，y)，x∈[-3，-1]
由题意知:切线斜率存在，设为k
切线方程为:y-y＝k(x-x)，
0 0
联立 ，化简得:ky2-4y+4y-4kx=0
0 0
△＝16-16k(y-kx)=0
0
∴ 将 代入得
，
∴ .
∴ 的取值范围是
例6．（2023·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设 、 为抛物线 上的两点，
与 的中点的纵坐标为4，直线 的斜率为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知点 ， 、 为抛物线 （除原点外）上的不同两点，直线 、 的斜率分别为 ， ，
且满足 ，记抛物线 在 、 处的切线交于点 ，线段 的中点为 ，若
，求 的值.【解析】（1）设 ， .
又 、 都在抛物线 上，
即所以 ， .
由两式相减得 ，
直线 的斜率为 ， .
两边同除以 ，且由已知得 ，
所以 ，即 .
所以抛物线 的方程为 .
（2）设 ， ， .
因为
所以 ，所以 ，
设直线 的斜率为 ，则直线 ，
由 消 得 .
由 ，得 ，即 .
所以直线 ，
同理得直线 .
联立以上两个方程解得
又 ，
所以 ，
所以 .变式13．（2023·全国·高三专题练习）如图,已知点 是抛物线 ： 的焦点,点 在抛物线
上,且 .
（1）若直线 与抛物线 交于 两点,求 的值;
（2）若点 在抛物线 上,且抛物线 在点 处的切线交于点 ,记直线 的斜率分别为 ,且
满足 ,求证： 的面积为定值.
【解析】（Ⅰ）设 ,由题意,得 ,
故 ,即
代入 中,得 ,所以 ,
所以抛物线方程为 ,
联立方程,得
消去 ,得 ,
,记 ,
根据根与系数的关系,得 ,
故 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,抛物线方程为 , ,
设 , , ,
因为直线MP,MQ的斜率分别为 ,则 ,
又因为 ,所以 ,
直线 ,直线 ,
易得
因为直线 ,
如图,过S作y轴平行线交PQ于点E ,
将 的值代入直线PQ的方程,可得 ,
所以 .
所以 的面积为定值32.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别
是椭圆 的左、右顶点，右焦点 ， ，过 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，
在 轴上方．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)记 ， 的面积分别为 ， ，若 ，求 的值；
(3)设线段 的中点为 ，直线 与直线 相交于点 ，记直线 ， ， 的斜率分别为 ，
， ，求 的值．
【解析】（1）设椭圆的焦距为 ．
依题意可得 ， ，
解得 ， ．
故 ．
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）设点 ， ， ， ．
若 ，则 ，即有 ，①
设直线 的方程为 ，与椭圆方程 ，
可得 ，
则 ， ，②
将①代入②可得 ，解得 ，
则 ；
（3）由（2）得
， ，
所以直线 的方程为 ，令 ，得 ，即 ．
所以 ．
所以 ，
，
，
.
变式15．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆 的两焦点分
别为 ，A是椭圆 上一点，当 时， 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ，过 作垂直 轴的直线
在第二象限交椭圆 于点S，过S作椭圆 的切线 ， 的斜率为 ，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意得 ，
由椭圆定义可得 ，又 ，
由余弦定理可得：
，
所以 ，又 ，解得 ，
所以 ，故椭圆 的方程为 .
（2）直线 ，设 ，联立 与 得 ，所以 ，
恒成立，
所以 ，
故 ，
设直线 为 ， ，
联立 ，所以 ，
由 可得 ，
所以 ，则 ，所以得 ，所以 ，
则 ，
由于函数 在 上为减函数，所以函数 在 上为增函数，
所以函数 在 上为减函数，所以 ，
所以 .
题型三：斜率积问题
例7．（2023·黑龙江鸡西·高三鸡东县第二中学校考期末）已知双曲线 ( ， )的两条
渐近线互相垂直，且过点 ．(1)求双曲线C的方程；
(2)设P为双曲线的左顶点，直线l过坐标原点且斜率不为0，l与双曲线C交于A，B两点，直线m过x轴
上一点Q(异于点P)，且与直线l的倾斜角互补，m与直线PA，PB分别交于M，N(M，N不在坐标轴上)两
点，若直线OM，ON的斜率之积为定值，求点Q的坐标．
【解析】（1）由 可得渐近线方程为： ，
因为两条渐近线互相垂直，所以 ，可得 ，
又因为 ，解得： ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）设 ， ， ， ，
由（1）知： ，设直线 ， 的斜率分别为 ，
因为 三点共线，所以 ，即 ，
因为直线 过 轴上一点 （异于点 ），且与直线 的倾斜角互补，
所以 ，即 ，所以 ，
由 可得 ，所以 ，
同理可得 ，
因为直线 ， 的斜率之积为定值，设定值为 ，
则 ，整理可得： ，其中 ，
因为上式对任意的 都成立，所以 ，可得 ， ，
所以点 的坐标为 .
例8．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，椭圆 的左、右顶点分别为 ，
， 为椭圆上的动点且在第一象限内，线段 与椭圆 交于点 （异于点 ），直线 与直
线 交于点 ， 为坐标原点，连接 ，且直线 与 的斜率之积为 ．
(1)求椭圆 的方程．
(2)设直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值．
【解析】（1）设直线 与 的斜率分别为 ，则 ，
设 ，由椭圆 ，且 分别为其左右顶点，则 ， ，
因为 在椭圆 上，则 ，即 ，
设直线 与 的斜率分别为 ，
则 ，
由 ，则 ，化简可得 ，
解得 ，由 ，解得 ，
则椭圆 .（2）由（1）可得 ， ，易知直线 斜率存在，否则直线 过点 ， 就不在第
一象限.
设直线 ，由 在直线 上，则 ，即 ，
设 ， ，联立可得 ，即 ，
化简可得： ， ，
由韦达定理，可得 ， ，
直线 ，直线 ，
联立可得： ，则 ， ，
即 ，故 ，则 ，
故 ， ，
可得 ，由 ， ，代入 ，
则 ，
由 ，则
，
将 ， 代入上式，并分子分母同乘以 ，
则
，将 代入上式，则
.
例9．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）椭圆 的离心率 ，过点
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与椭圆交于 两点，椭圆的左顶点为 ，求直线 与直线 的
斜率之积.
【解析】（1）因为椭圆 的离心率 ，
所以 ，即 ，
又因为椭圆过点 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）如图所示：
当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，
与椭圆方程联立求得 ，又 ，
所以 ，
所以 ；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
由 ，消去y得： ，
，
由韦达定理得 ，
所以 ，
，
.
变式16．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，
椭圆的上顶点到右顶点的距离为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为 、 ，过点 作直线与椭圆交于 、 两点，且 、 位于第一象
限， 在线段 上，直线 与直线 相交于点 ，连接 、 ，直线 、 的斜率分别记为 、
，求 的值．
【解析】（1）由题意知， ，椭圆的上顶点到右顶点的距离为 ，即 ，解得 ， ， ，
因此，椭圆的方程为 ．
（2）如下图所示：
不妨设 、 ，由图可知，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，因为点 ，则 ，则 ，
联立 可得 ，
，可得 ，即 ，
解得 ，
由韦达定理可得 ，解得 ，
所以， ，易知 、 ，
由于 在直线 上，设 ，
又由于 在直线 上，则 ，所以， ，.
变式17．（2023·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆 的离心率
为 ，以C的短轴为直径的圆与直线 相切．
(1)求C的方程；
(2)直线 与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且
平分 ，设直线 的斜率为 （O为坐标原点），判断 是否为定值？并说明理由．
【解析】（1）由椭圆的离心率为 ，得 ，即有 ，
由以C的短轴为直径的圆方程为 ，
由 与直线 相切得： ，
联立解得 ，
∴C的方程为 ；
（2） 为定值，且 ，理由如下：
由题意，直线AP，BP的斜率互为相反数，即 ，设 ，
由 ，消去y得： ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
即
，
∴ ，
∴ ，
化简得 ，
又∵ 在椭圆上，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 不在直线 ，
则有 ，即 ，
∴ 为定值，且 .变式18．（2023·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知椭圆 ： 的右顶点为 ，
点 在圆 ： 上运动，且 的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)不经过点 的直线 与 交于 ， 两点，且直线 和 的斜率之积为1.求直线 被圆 截得的弦长.
【解析】（1）如图所示：
由题可知 ，圆 ： 的圆心为 ，半径 ，又因为
，所以 ，所以 ，所以椭圆
的方程 .
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意.
故设 ， ，直线 ： ，联立 ，消去 整理得一元二次方程
，
其判别式 ，则 ；因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，整
理得 .
若 ，则 ，则直线 过定点 ，与题意矛盾；
若 ，则 ，则直线 过定点 .
因为圆 的圆心为 ，半径 ，所以直线 被圆 截得的弦长为4.
变式19．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线 的左、
右顶点分别为A、B，渐近线方程为 ，焦点到渐近线距离为1，直线 与C左右两支分别交于P，Q，且点 在双曲线C上.记 和 面积分别为 ， ， ， 的斜率
分别为 ，
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，试问是否存在实数 ，使得 ， ， .成等比数列，若存在，求出 的值，不存在说
明理由.
【解析】（1）由题可得 ，解得 ，所以双曲线C的方程为 ；
（2）由点 在 上可得： .
联立 和 整理得： ，
设 ， ，则有： ， ，
，
又由直线交左右两支各一点可得： ，所以 ，即 ，
所以 ，
又 到直线 的距离 ，
到直线 的距离 ，
所以 ，所以 ，
所以 （ ），解得 ，
又 ，
其中 ，，
所以 ，假设存在实数 ，使得 ， ， 成等比数列，
则有 ，所以 ，解得 ，故存在 满足题意.
变式20．（2023·陕西西安·高三校联考开学考试）已知椭圆 的右顶点为 ，
离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)不经过点 的直线 与 交于 两点，且直线 和 的斜率之积为1，证明：直线 过定点.
【解析】（1）由题可知 ，
因为 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）
证明：当直线 的斜率不存在时，显然不符合题意，
故设 ， ，直线 ，
联立 消去 整理得 ，方程 的判别式 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
整理得 .
若 ，则 ，则直线 过定点 ，与题意矛盾；
若 ，则 ，则直线 过定点 .
变式21．（2023·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点 ， ，动点 满足直线
与 的斜率之积为 ，记点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程，并说明 是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交曲线 于 ， 两点，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连结 并延长交
曲线 于点 .
（ⅰ）证明：直线 与 的斜率之积为定值；
（ⅱ）求 面积的最大值.
【解析】（1）因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，化解得 ，
所以 为中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）（ⅰ）设直线 的斜率为 ，则其方程为 ，
由 ，得 ，记 ，则 ， ， ，
于是直线 的斜率为 ，方程为 ，
由 ，得 ①，
设 ，则 和 是方程①的解，
故 ，由此得 ，
从而直线 的斜率 ，
所以 ，即直线 与 的斜率之积为定值 ；
（ⅱ）由（ⅰ）可知 ， ， ，
所以
，
当且仅当 时取等号，所以 面积的最大值为 .
变式22．（2023·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点 ，动点 满足直线PM与
PN的斜率之积为 ，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连接BD并延长交
曲线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值．
【解析】（1）由题设得 ，化解得 ，
所以 为中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）
设直线 的斜率为 ，则其方程为 ．
由 得 ，
记 ，则 ， ， ．
于是直线 的斜率为 ，方程为 ．
由 得 ．①
设 ，则 和 是方程①的解，则 ，
故 ，由此得 ．
从而直线 的斜率 ，所以 ．
所以直线 与 的斜率之积为定值 ．
变式23．（2023·山西大同·高三统考开学考试）已知双曲线 的离心率为 ，且
过点 ．
(1)求C的方程；
(2)设A，B为C上异于点P的两点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，试判断
直线 是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）由题意知 ，
解得 ， ， ，
所以C的方程为 ．
（2）证明：设 ， ．
又 ，则 ， ．
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
当直线 的斜率为0时， ， ，所以 ，解得 或 ，不符合题意，所以直线
的斜率不为0．
设直线 的方程为 ，
由 得 ，
，即 ，
所以 ， ．
因为 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
所以 ，
整理得 ，
即 ，则 或 ．当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过定点 ；
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过定点 ．
即为 ，因为A，B为C上异于点 的两个动点，所以不符合题意．
故直线 过的定点为 ．
变式24．（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知 是椭圆 上的两点， 关于原点
对称， 是椭圆 上异于 的一点，直线 和 的斜率满足 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线 交椭圆 于 两点 异于椭圆 的上、下顶点），当 的
面积最大时，求 的值.
【解析】（1）设 ，易知 ，由 ，
得 ，
化简得 ，
故椭圆 的标准方程为 .
（2）
设 的方程为 ， ， ，
将 代入椭圆方程整理得，， ，
， ，
则 ，
又原点 到 的距离为 ，
故 ，
当且仅当 时取等号，
此时 ， 的面积最大.
故
.
变式25．（2023·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系 中，点 到点 的距离与到直线 ：
的距离之比为 ，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过 上两点 ， 作斜率均为 的两条直线，与 的另两个交点分别为 ， .若直线 ， 的斜
率分别为 ， ，证明： 为定值.
【解析】（1）设 ，由题意可知，
所以 的方程为 ；
（2）设 ， ，
∴ 方程： 代入椭圆方程
，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴
同理设 ， ，∴ ，
∴ 为定值.
变式26．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考阶段练习）已知椭圆 的离
心率为 ，以C的短轴为直径的圆与直线 相切．直线l过右焦点F且不平行于坐标轴，l与C有
两交点A，B，线段 的中点为M．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线 的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段 与椭圆C交于点P，若四边形 为平行四边形，求此时直线l的斜率．
【解析】（1）由椭圆C的离心率为 得： ，即有 ，
由以C的短轴为直径的圆与直线 相切得： ，
联立解得 ， ，
所以C的方程是 ．
（2）设直线l的方程为 ， ， ，
联立 ，消去y得， ，则 ， ，
∵M为线段 的中点，∴ ， ，
∴ ，∴ 为定值．
（3）若四边形 为平行四边形，则 ，设 ，
∴ ， ，
∵点P在椭圆上，∴ ，解得 ，即 ，
∴当四边形 为平行四边形时，直线l的斜率为 ．
变式27．（2023·四川泸州·统考三模）已知椭圆 的右焦点为 ，短轴长等
于焦距．
(1)求 的方程；
(2)过 的直线交 于 ，交直线 于点 ，记 的斜率分别为 ，若
，求 的值．
【解析】（1）根据题意得到 ， ，解得 ，
故 ，
故椭圆方程为 ；
（2）当过 的直线斜率不存在时，此时该直线与直线 无交点，舍去；
当过 的直线斜率存在时，设为 ，令 ，得 ，
故 ，联立 与 得， ，
其中 ，
设 ，
则 ，
，
故
，
故 ，即 ，解得 ，
不妨令 ，则直线方程为 ，
，则 ，
，
故
，
当 时，同理可得 ，
综上： .
题型四：斜率商问题例10．（2023·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线 的实轴长为 ，
左右两个顶点分别为 ，经过点 的直线 交双曲线的右支于 两点，且 在 轴上方，当
轴时， .
(1)求双曲线方程.
(2)求证：直线 的斜率之比为定值.
【解析】（1）由题意可得 ，
当 轴时，直线 ，
则 ，
又 ，所以 ；
（2）
由题意可知 ，
不妨设 ： , ，易知 ，
联立双曲线方程得 ，
则 ，且 ，不难发现
由斜率公式可知 ，
则 ，
故 是定值.
例11．（2023·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图， 为抛物线 上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点 ，直线AN过点
(1)记A，B的纵坐标分别为 ，求 ；
(2)记直线AN，BM的斜率分别为 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在
说明理由
【解析】（1）设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
则 .
（2）设直线 的方程为 ，同（1）可求得 ，
设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
所以 .
，
同理可求得 ，
则 ，
所以存在 使得 .
例12．（2023·广东·高三校联考阶段练习）过原点O的直线交椭圆E： （ ）于A，B两点，
， 面积的最大值为 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)连AR交椭圆于另一个交点C，又 （ ），分别记PA，PR，PC的斜率为 ， ， ，求的值.
【解析】（1）由题知： ，
所以 ，故椭圆的方程为 .
（2）如图所示：
设 的方程为 ， ，
由 ，
， ， ，
设 ，则 ， ，
变式28．（2023·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知随圆 的左､右焦点分别为
点 在 上， 的周长为 ，面积为 .
(1)求 的方程.
(2)设 的左､右顶点分别为 ，过点 的直线 与 交于 两点（不同于左右顶点），记直线
的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则是否存在实常数 ，使得 恒成立.【解析】（1）依题意，得 ，即 ，
解得 ，所以 的方程 ；
（2）依题意，可设直线 的方程为 ，
联立方程 ，化简整理，得 ，
易得 恒成立，
设 ，由韦达定理，
得 ，可得 ，
于是
，
故存在实数 ，使得 恒成立.
变式29．（2023·河南·高三校联考开学考试）已知双曲线 实轴左右两个顶点分别为 ，双曲线 的焦距为 ，渐近线方程为 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 交于 两点．设 的斜率分别为 ，且 ，求 的方程．
【解析】（1） 双曲线 的焦距 ， ；
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ， ，
又 ， ， ， 双曲线 的标准方程为： .
（2）由（1）得： ， ，
设 ， ，
由题意知：直线 的斜率一定存在，则可设 ，
由 得： ，
，解得： 且 ，
， ， ；
， ，即 ，
，
解得： 或 ，又 且 ， ，直线 的方程为： ，即 .
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的焦距为 ， 为坐标原点，椭
圆的上下顶点分别为 ， ，左右顶点分别为 ， ，依次连接 的四个顶点构成的四边形的面积为4．
(1)求 的方程；
(2)过点 的任意直线与椭圆 交于 ， （不同于 ， ）两点，直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ．求证： ．
【解析】（1）依题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为
（2）由（1）可知 ， ，
由题意，直线l的斜率不为0，设直线 ， ， ，
由
可得 ，则 ， ，
因为直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
由 ， ，得 ，
所以 ，
所以直线 和 的斜率之比为 ，即变式31．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为
， ， 分别为椭圆 的左、右顶点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ，求证： 为定值；
(3)在（2）的条件下，直线 与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上.
【解析】（1）依题可得 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）设 ， ，因为直线 过点 且斜率不为 ，
所以可设 的方程为 ，代入椭圆方程 得 ，
其判别式 ，所以 ， .
两式相除得 ，即 ．
因为 分别为椭圆 的左、右顶点，所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
所以 ， ．
从而 ．（3）由（1）知 ，设 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
所以直线 与直线 的交点 的坐标为 ，
所以点 在定直线 上.
变式32．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线
MA与直线 垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线 垂直，B为垂足且位于第二象限.
四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)点 ，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为 ， ， .若
，求△PQE周长的取值范围.
【解析】（1）因为直线 、 相互垂直，则四边形OAMB为矩形，
设 ，且 ，可得 ，
则点 到直线 、 的距离分别为 、 ，
可得 ，整理得 ，
所以C的方程为 .
（2）设直线 ，
联立方程 ，消去y得 ，由题意可得： ，①
因为 ，则 ，
整理得 ，
即 ，
整理得 ，解得 或 ，
若 ，则直线 ，过定点 ，
此时①式为 ，无解，不符合题意；
当 时，则直线 ，过定点 ，
此时①式为 ，解得 ，即 或 ，
则 ，
因为 ，则 ，可得 ，
所以 ，
又因为 为双曲线 的左、右焦点，则 ，即 ，
可得△PQE周长为 ，
所以△PQE周长的取值范围 .
变式33．（2023·全国·高三专题练习）已知 分别为椭圆E： 的左、右顶点，直线 过定
点 ，记直线 的斜率为 ，求 的值．
【解析】（蝴蝶定理法）过点 ，交 于点 ， 显然 的中点；
由蝴蝶定理得： 的中点，即 ； ．
变式34．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交
C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．(1)求C的方程；
(2)设直线 与C另一个交点分别为A，B，记直线 的斜率为 ，求 的值．
【解析】（1）抛物线C的方程为
（2） 解法一：
设 ，直线 ，
联立直线 ，得 ， ，
联立直线 ，得 ， ，
∴ ，同理可得 ，
由斜率公式可得 ， ，∴ ．
解法二：三点共线
设 ，
由M、N、F三点共线，得 ，
由M、D、A三点共线，得 ，由N、D、B三点共线，得 ，
则 ，AB过定点（4，0）．
变式35．（2023·高二课时练习）在平面直角坐标系 中，已知点 ，抛物线 的焦点为
F，M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，直线ME，NE分别交抛物线C于
点P，Q．
(1)当 轴时，求直线PQ与x轴的交点坐标；
(2)设直线MN，PQ的斜率分别为 ， ，试探究 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理
由．
【解析】(1)由题意 ,当 轴时，则直线 的方程 ，代入抛物线可得
不妨设 ，则
所以直线 的方程为 由 ，解得 或 （舍）,
即 ,所以 ,所以点
则
所以直线 的方程为 ,由 ，解得 或 （舍）,
即 ,所以 所以点
所以直线PQ的方程为 ，所以直线PQ与x轴的交点坐标
(2)设直线 的方程为：
设
由 ，则
所以 （1）
设直线 的方程为： ，
由 ，则
则 （2）设直线 的方程为： ，
由 ，则
则 （3）
由 ， ，可得
由 ， ， ，可得
同理由 ， ， ，可得
，
所以 为定值2.
