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第十九章 一次函数 重难点检测卷
（满分120分，考试时间120分钟，共28题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：一次函数全部内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）下列函数中，y是关于x的一次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的定义．一般地，形如 （ 是常数，且 ）的函数，叫做一次
函数．
根据一次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A． 不符合一次函数的一般形式，是二次函数，故该选项不符合题意；
B． 不符合一次函数的一般形式，是反比例函数，故该选项不符合题意；
C． 符合一次函数的一般形式，是一次函数，故该选项符合题意；
D． 自变量次数不为 ，不是一次函数，故该选项不符合题意；
故选：C．2．（2025·广东江门·一模）函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，根据二次根式以及分式有意义的条件列出关于x的不
等式组求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知： ，且 ，
解得： ，
故选：A
3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）春节假期小明一家自驾车从长沙到离家约 的铜仁旅游，出发
前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程 与油箱剩余油量 之间的部分数据：
轿车行驶的路程 10 40
0 200 300 …
0 0
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
下列说法不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶 耗油
C．当小明一家到达铜仁时，油箱中剩余油
D．油箱剩余油量 与行驶的路程 之间的关系式为
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，观察表格即可判断AB，根据该车每行驶 耗油 列式计算即
可判断C，根据油箱剩余油量 最开始油箱的油量 消耗的油量即可判断D．
【详解】解：由表格可得，该车的油箱容量为 ，故A正确，不符合题意；
由表格可得，该车每行驶 耗油 ，故B正确，不符合题意；
，故当小明一家到达铜仁时，油箱中剩余油 ，故C错误，符合题意；
油箱剩余油量 与行驶的路程 之间的关系式为 ，故D正确，不符合题
意；故选：C．
4．（24-25八年级下·广西南宁·期中）若关于x的一次函数 不经过第三象限，则m的取
值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由x的一次函数 不经过第三象限，可列出
关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．
【详解】解：根据题意可知： ，
解得： ，
故选：C
5．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，直线 与直线 交于点 ，不
等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】题目主要考查利用一次函数交点确定不等式的解集，结合图象求解是解题关键．
根据函数图象直接得出结果即可．
【详解】解： 直线 与直线 交于点 ，
∵
当 时， ，
∴
故选C．6．（广西南宁二中初中大学区2024--2025学年下学期期中考试八年级数学试题）一辆快车从 地开往
地，一辆慢车从 地开往 地，两车同时出发，设快车离 地的距离为 ，设慢车离 地的距离为
，行驶时间为 ，两车之间的距离为 与 的函数关系图象如图1所示， 与 的函数
关系图象如图2所示，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图象准确获取信息．由S与x之间的函数的图象可知 ，即
得快车的速度为 ，由慢车 行驶 ，知慢车的速度为 ，据此即可求解．
【详解】解：由 与 之间的函数的图象可知：当位于 点时，两车之间的距离增加变缓，
由此可以得到 ，
快车的速度为 ，
由图可得，慢车 行驶 ，
慢车的速度为 ，
，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
7．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，点A的坐标为 ，直线 与x轴交于点C，与
y轴交于点D，点B在直线 上运动．当线段 最短时，点B的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等待，当线段 最短时，
，判定出 是等腰直角三角形，得出 ，作 于点H，根据等腰三角形三线合
一的性质和直角三角形斜边中线的性质，得出 ，进而得出 ，即点B的横坐标，
然后把点B的横坐标代入 ，即可得出点B的坐标．
【详解】解：当线段 最短时， ，
在 中，当 时， ；当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
作 于点H，则 都是等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
即点B的横坐标为 ，
把点B的横坐标代入 ，可得： ，
∴ ．
故选：A．
8．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像与x轴交于点 ，
当 时，不等式 恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数交点情况，一次函数与不等式，根据题意得到 ，再结合当 时，不
等式 恒成立，得到 ，对 进行讨论得到 ，进而得到m的取值范围，
即可解题．
【详解】解： 一次函数 的图像与x轴交于点 ，
，
整理得 ，
当 时，不等式 恒成立，整理得 ，
当 时，有 ，与当 时，不等式 恒成立矛盾，
当 时，有 ，即当 时，不等式 恒成立，所以 ，
，即 ，有 ，
即 ，解得 ，
综上 ，
， ，
即 ，解得 ，
故选：B．
9．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将 放置在第一象限，且
轴．直线 从原点出发沿 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度 与直线在
轴上平移的距离 的函数图象如图2所示，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象与图形结合问题，解题关键是掌握 时直线与 轴所夹锐角为 ．
通过图象中 可得直线运动到 三点时所移动距离，从而求出 长度，再通过添加
辅助线构造直角三角形求出平行四边形的高而求解．
【详解】解：由图象可知，直线经过 时移动距离为3，经过 时移动距离为7，经过 时移动距离为8，
，
如图，当直线经过点 时，交 于点 ，作 垂直于 于点 ，由图2可知 ，
∵ 轴，直线
∴直线与 夹角为 ， ，
，
∴ 面积为 ．
故选：B．
10．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）定义：若实数x，y满足 ，且 ，a为常数，
则称点 为“线点”．已知：在直角坐标系 中，点 ．下列说法正确的是 （ ）
A．线点P的坐标满足 或者
B． 是线点
C．线点P在直线 上（ 除外）
D．线点P在直线 上（ 除外）
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，涉及一次函数图象上点的坐标特征，平方差公式因式分解等知识点，理解新
定义是解题的关键．
A：由题意得 ，两式相减得到 ，即可判断；B：将 分
别代入 ，根据新定义判断即可；C、D：由A可知 ，则 ，那么线
点P在直线 上，由于 ，则 除外，故可判断C，D．【详解】解：A、由题意得 ，
两式相减得到， ，
∴ ，
，
，
，
故A错误，不符合题意；
B、将 分别代入 得： ，
，
，
，
，
∴ 不是“线点”，故B错误，不符合题意；
C、由A可知 ，
∴ ，
∴线点P在直线 上，
∵ ，
∴ 除外，
∴线点P在直线 上，（ 除外），故C错误，不符合题意，D正确，符合题意，
故选：D．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知正比例函数 的图象过点 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，关键是掌握凡是图象经过的点都能满足解析式．
利用待定系数法把 点代入正比例函数 中即可算出k的值．【详解】解：把 点代入正比例函数 中，
得到 ，
解得 ，
故答案为： ．
12．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）一次函数 的图像经过第二、三、四象限，那么 的
取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了一次函数图像分布与k，b的关系，根据图像分布，列出不等式，准确求解即可．
根据题意，得 ， ，求解即可．
【详解】解：∵一次函数 的图像经过第二、三、四象限，
∴ ，即 ，
，即 ，
∴k的取值范围是 ，
故答案为： ．
13．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知直线 过点 ，若将该直线向下平移得直线
，那么平移的距离是 ．
【答案】8
【分析】此题主要考查了一次函数图象得平移及待定系数法确定函数解析式，熟练掌握一次函数图象的平
移是解题关键．
根据题意得出 ，将点 代入确定函数解析式，然后即可得出结果．
【详解】解： 直线 向下平移得直线 ，
∵
，
，
∴
直线 过点 ，
∵
，
∴解得： ，该直线向下平移8个单位长度，
∴故答案为：8．
14．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知直线 经过点 ，点 、 在该
函数图象上，则 与 的大小关系为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是
解题的关键．
将 代入 得到 ，得出直线 ，得到 随 的增大而增大，得出 ．
【详解】解： 直线 经过点 ，
，
，
直线解析式为 ，
，
随 的增大而增大，
点 、 在该函数图象上，
，
故答案为： ．
15．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如果函数 的自变量x的取值范围是 ，
相应的函数值的取值范围是 ，那么此函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质， 时，根据一次函数的增减性得
到当 时， ，当 时， ，据此利用待定系数法讨论求解即可．
【详解】解： 当 时，y随x增大而减小，∵当 时， ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴此函数解析式为 ；
故答案为： ．
16．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，直线 与x轴的正半轴相交于点A，与直线 相交于
点 ，则关于x的不等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据图象即可确定不等式组的解集．从函数的角
度看，就是寻求使一次函数 的值大于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，
就是确定直线 在 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【详解】解：把 代入 ，
可得 ，
解得 ，
，由图象可得关于x的不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）直线 的表达式为 交x轴于点A，y轴上一点 ，
点C在直线 的左侧， ，且 ，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题涉及到一次函数、等腰三角形的性质．结合图形，正确添加辅助线是正确解答此题的关键．
首先通过直线表达式求出点A的坐标，再利用等腰三角形和角度相等的条件构造全等三角形，从而求出点
C的坐标．
【详解】解：当 时， ，解得 ，所以点A的坐标为 ．
过点C作 轴于点D．设直线 与 轴交于点 ，
当 时 ，
，
，
，
，
，
， ，，
， ，
．
则 ， ．
又 ， ，
，即 ，
，
．
故答案为： ．
18．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点
B，C是x轴上一动点，连接 ，将 沿 所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为
．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理等知识点，根据勾股定理得
到 ，分类讨论，如图1，当点 落在 轴的正半轴上时，如图2，当点 落在 轴的负半轴上时，
根据勾股定理即可得到结论，熟练掌握其性质并能正确的作出图形是解决此题的关键．
【详解】解：∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
， ，
，，
如图1，当点 落在 轴的正半轴上时，
设点 的坐标为 ，
将 沿 所在的直线折叠，当点 落在 轴上时，
，
，
，
；
如图2，当点 落在 轴的负半轴上时，
设点 的坐标为 ，
将 沿 所在的直线折叠，
当点 落在 轴上时，
，
，，
，
综上所述，当点 落在 轴上时，点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 .
三、解答题（8小题，共66分）
19．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）已知一次函数 的图象经过 ， 两点．求该一
次函数的表达式．
【答案】
【分析】本题主要考求一次函数的解析式．利用待定系数法解答，即可求解．
【详解】解： 一次函数 的图象经过 ， 两点，
，解得 ，
该一次函数的表达式为 ．
20．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）已知一次函数 ，求满足下列条件的 的值：
(1)函数值 随 的增大而增大；
(2)函数的图像过第二、三、四象限
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质．
（1）当y随x的增大而减小时， ，解得即可得出结论；
（2）函数的图像过第二、三、四象限时， ，解得即可得出结论．
【详解】（1）解：∵函数值y随x的增大而增大，
∴ ，
解得： ，∴当 时，函数值y随x的增大而增大；
（2）解：∵函数的图象过二、三、四象限，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，函数的图象过二、三、四象限．
21．（2025·陕西西安·一模）某医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果按绸定剂量服用，
每毫升血液中含药量 （微克）随时间 （时）的变化情况如图所示．
(1)求 与 之间的关系式；
(2)若每毫升血液中含药量为4微克及以上时治疗疾病最有效，求这个有效时间的范围．
【答案】(1)
(2)5小时
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，分段函数的表示，解题的关键是利用待定系数法求一次函数的
解析式．
（1）根据图象信息，利用待定系数法求出分段函数的解析式即可；
（2）根据分段函数解析式以及点的纵坐标求出横坐标，进而求出有效时间．
【详解】（1）解：当 时，设 与 的函数关系式为 ，
点 在该函数图象上，
，
解得： ，
即当 时， 与 的函数关系式为 ；
当 时，设 关于 的函数解析式是 ，∵点 ， 在该函数图象上，利用待定系数法可得，
解得 ，
即当 时， 关于 的函数解析式是 ；
综上可得， ；
（2）解：由（1）可知， 或 ，
将 代入 得： ，
解得： ；
将 代入 得： ，
解得： ；
这个新药的有效时长是 （小时），
即这个新药的有效时间是5小时．
22．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ．
(1)求直线 的函数解析式；
(2)若 为直线 上一动点， 的面积为3，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为 或
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键：（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据 ，求出点 的坐标即可．
【详解】（1）解：依题意，设直线 的解析式为： ，
∵点 ， 的坐标分别为 ， ．
把 ， 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
∴点P的坐标为 或 ．
23．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）下面是画函数 的图象的过程．
列表：
x … 0 1 …
_____ _____ _____
y … …
_ _ _
描点并连线：请根据上面的信息回答问题：
(1)补全表格中y对应的值．
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数 的图象．
(3)若点 在函数 的图象上，求出m的值．
【答案】(1) ； ；2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据解析式，计算自变量对应的函数值，解答即可．
（2）根据描点法画图象解答即可．
（3）根据点 在函数 的图象上，得点的坐标满足函数的解析式，代入转化为m的方程，
解方程求出m的值．
本题考查了坐标与解析式，图象的画法，解方程，熟练掌握坐标与解析式的关系，解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：由 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
故答案为： 2．
（2）解：根据题意，如答图所示，图象即为所求．
（3）解： 点 在函数 的图象上，
将 代入 ，
得 ．
解得 ．
24．（2025·广东深圳·模拟预测）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，每次购进同一种商品的进价
相同，具体情况如下表所示：
购进数量（件）
所需费用（元）
A B
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)为满足市场需求，商场在售完前期所有商品之后，决定再次以同样的价格购进A、B两种商品共1000件，
其中A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，且A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出
售．请你为商场确定获得最大利润的进货方案，并求出最大利润．
【答案】(1)A种商品每件的进价是20元，B种商品每件的进价是80元；
(2)当购进A种商品800件，B种商品200件时，获得利润最大，最大利润为12000元．
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式
和一次函数的解析式，是解题的关键：（1）设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元，根据题意，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进B种商品m件，则购进A种商品 件，根据A种商品的数量不少于B种商品数量的4
倍，列出不等式求出 的范围，设获得的利润为w元，根据总利润等于两种商品的利润和，列出一次函数
解析式，利用一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元，
由题意得： ，
解得： ，
答：A种商品每件的进价是20元，B种商品每件的进价是80元；
（2）设购进B种商品m件，则购进A种商品 件，
由题意得： ，
解得： ，
设获得的利润为w元，
由题意得： ，
，
∵w随m的增大而增大，
∴当 时，w取最大值 ，
∴此时， ，
答：当购进A种商品800件，B种商品200件时，获得利润最大，最大利润为12000元
25．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在长方形 中， ，点P从点
A出发，沿 向终点C运动，在边 上的运动速度分别为 和 ，同时点Q从点A
出发，沿 向终点C运动，在边 上的运动速度分别为 ，连结 ．设点P的
运动时间为t秒，四边形 的面积为 ．(1)当点P到达 的中点时，则 ；
(2)连接 ，当直线 将矩形 的面积分成 的两部分时，则 秒；
(3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，掌握矩形的性质定理、灵活
运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）根据题意用表示出 ，然后求出t的值，再根据勾股定理即可求解即可；
（2）分点在边 上、点在边 上两种情况，根据题意列出方程求解即可；
（3）分点在边 上、点在边 上两种情况，根据矩形面积公式、三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，当点P在线段 上时， ，
当点P到达边 的中点时， ，即 ，解得∶ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：当点P在边 上时，由题意得， ，
即 ，解得 ，当点P在边 上时， ，
∴ ，
由题意得， ，
即 ，解得： ．
综上，当直线 将矩形 的面积分成 的两部分时，则 或 ．
故答案为： 或 ．
（3）解：当点P在边 上时，即 时，
，
当点P在边 上时，即 时， ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， ．
26．（24-25八年级下·广西南宁·期中）已知：如图，直线 和直线 相交于点 ，
直线 的图象分别与 轴， 轴相交于点 ，直线 与 轴相交于点 ．(1)求点 的坐标；
(2)点 为线段 上的一个动点，连接 ．
①若 ，求点 的坐标；
②点 是否存在某个位置，将 沿着直线 翻折，使得点 恰好落在直线 下方的坐标轴上？若
存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；② 或
【分析】（1）根据两直线的交点的计算方法，联立方程组求解即可；
（2）①根据题意得到 ，由直线与坐标的交点得到 ， ，则
，如图，过点 作 轴于点 ，则 ，且 ，则有
，设 ，过点 作 轴于点 ，则 ，由面积的计算
得到 ，即可求解；
②第一种情况，过点 作 轴于点 ，当点 落在 轴正半轴上（记为点 ）时，如图，可证
，得 轴，点Q的纵坐标为5，代入计算即可；第二种情况，当点 落在轴负半轴上（记为点 ）时，如图，由面积的计算得到 ，在 中，由
勾股定理，得 ，由此列式解得 ，即可求解．
【详解】（1）解：依题可得： ，
解得： ，
．
（2）解：① ，
，
在 中，令 ，则 ，
，
在 中，令 ，则 ，
，
，
如图，过点 作 轴于点 ，则 ，且 ，
，∴ ，
设 ，过点 作 轴于点 ，则 ，
，
解得 ，
∴ ，
∴Q的坐标为 ；
② 或 ．
第一种情况，过点 作 轴于点 ，当点 落在 轴正半轴上（记为点 ）时，如图，
，
，
由翻折得 ，
在 和 中， ，
，
，由翻折得 ，
，
轴，
∴点Q的纵坐标为5，
在 中，当 时， ，
；
第二种情况，当点 落在 轴负半轴上（记为点 ）时，如图，
过点 作 ，垂足分别为点 ，
由翻折得 ，
，
由（2）①知 ，即 ，
，
在 中，由勾股定理，得 ，
，解得 ，
∴ ，
．
综上所述，点Q的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查两直线交点与二元一次方程组，一次函数与几何图形面积的计算，折叠的性质，全
等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握一次函数图象的性质，数形结合，分类讨论思想是关键．
