文档内容
第 07 讲 抛物线及其性质
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·四川成都·校联考二模）已知点 是抛物线 的焦点，点 ，且点 为
抛物线 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为点 是抛物线 的焦点，所以 ，解得 ，所以抛物线 的方程
为： ．
由抛物线的定义知：点 到点 的距离等于点 到准线 的距离，
结合点 与抛物线 的位置关系可知， 的最小值是点 到准线 的距离，故
的最小值为7．
故选：C.
2．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线 （ ）上一点 到焦
点的距离是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设焦点为 ，则 ，解得 ．故选：D
3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点 是抛物线C： 的焦点，点M在抛物
线C上，点 ，且 ，则点M到y轴的距离为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】因为点 是抛物线C： 的焦点，所以 ， ．
又因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，故点M到y轴的距离为8．
故选：B
4．（2023·四川绵阳·统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪
江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线
的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的
最高点的距离为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：设鸽子所在位置为点 ，
因为它到抛物线焦点的距离为10米，
所以 ，解得 ，
则 ，
所以鸽子到拱顶的最高点的距离为 ，
故选：B
5．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线
C分别交于A，B两点，且 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【解析】由抛物线定义可知 ，
因为 ，所以 为等边三角形，
故 ， ，
所以 ，
其中准线l与 轴交点为 ，则 ，故 ，
所以 .
故选：D
6．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和 距离之和的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】由题可知 是抛物线 的准线，设抛物线的焦点为 ，则 ，
所以动点 到 的距离等于 到 的距离加1，即动点 到 的距离等于 .
所以动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值为焦点 到直线 的距离加1，
即其最小值是 .
故选：D
7．（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线 的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且 平
行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若 ，则梯形 的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】由题知 ，抛物线的焦点F为 ，准线l为 ，如图所示.
由题知 ，因为 ，所以 ，
则 .
因为 ，所以 ，
由抛物线的定义知 ，所以 是正三角形，所以 ，则 .
故选：D
8．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知过抛物线C： 的焦点 的直线与抛物线C交
于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若 ，
为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】依题意， ，所以抛物线 的方程为 .
依题意可知 与抛物线的准线 垂直，
在直角三角形 中， ，
则 ，
所以直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
易得 ， ，则 ，
原点 到直线 的距离为 ，
所以 .
故选：B
9．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，圆的半径为1，过点 的直线与圆 相切于点 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】因为抛物线 ，所以焦点坐标为 ，如下图所示：
连接 ，过 作 垂直准线 于 ，
则在直角 中， ，
所以
由抛物线的定义得： ，则由图可得 的最小值即抛物线顶点 到准线 的距离，即
，
所以 .
故选：B
10．（2023·河南·统考三模）已知抛物线 的准线为 ，焦点为F，过点F的直线与
抛物线交于 ， 两点，点P在l上的射影为 ，则下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设 ，则
D．过点 与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【答案】D
【解析】由抛物线 的准线为 ，则 ，故 ，
由题意 ，故A正确；
拋物线 的准线 ，且 ，以 为直径的圆的半径 ，线段 的中点坐标为 ，则线段 的中点到准线的距离为 ，
所以 为直径的圆与准线 相切，故B正确；
拋物线 的焦点为 ，则 ，
当且仅当 三点共线时，取等号，所以 ，故C正确；
当直线斜率不存在时，直线方程为 ，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，联立 ，消 得 ，
当 时，方程得解为 ，此时直线与抛物线只有一个交点，
当 时，则 ，解得 ，
综上，过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误.
故选：D
11．（多选题）（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知抛物线 经过点 ，
其焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于点 ， ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为抛物线 经过点 ，所以 ，解得 ，故A正确；
所以抛物线方程为 ，则焦点 ，
设直线 ，则 ，消去 整理得 ，
则 ，所以 ， ，
则 ，，
所以 ，故B正确；
所以 ， ，所以 ，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
12．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设 为抛物线 ： （
）的焦点， 为坐标原点， 为 上一点，且 ，则（ ）
A．
B．
C．直线 的斜率为
D． 的面积为
【答案】ABD
【解析】由题意得 ，又 ，故解得 ，所以抛物线 的方程为 ，焦点 ，故
A，B正确；
由抛物线定义及 ，所以 代入抛物线方程可得 得 ，
所以 ，故C不正确；
则 的面积 ，故D正确.
故选：ABD.
13．（多选题）（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知A，B是抛物线 ： 上两动点， 为抛物
线 的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时， 最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为 时，C．若AB中点M的横坐标为2，则 最大值为5
D．
【答案】BC
【解析】对于A项，过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ，
过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，准线与 轴的交点为 ，
设直线 的倾斜角为 ，画图为：
根据抛物线的定义： ，从图可知 ， ，
，在 中， ，
所以 ，同理 ，
则
，故当 时 ，
故 最小值为 ，此时 垂直于 轴，所以A不正确；
对于B项，由A可知， ，故B正确；
对于C项， ，
当且仅当直线 过焦点 时等号成立，所以 最大值为5，故C正确；
当直线 过焦点 时， ，
当直线 不过焦点 时， 不是定值，举例当 时，此时 ， ，
即 ， ， ，故D错误；
故选：BC.
14．（多选题）（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，
点 为 的准线与 轴的交点，若直线 与 交于 ， 两点，则下列结论正确的为（ ）
A．
B．存在唯一实数 ，使得直线 与 相切
C．恰有2个实数 ，使得 成立
D．恰有2个实数 ，使得 成立
【答案】BD
【解析】对于A，由抛物线的焦点 ，则 ，解得 ，故A错误；
对于B，由题意，可作图如下：
由点 为抛物线 的准线与 轴的焦点，则 ，
由选项A可知，抛物线 ，则可得函数 ，即 ，
设切点 ，切线 的斜率 ，可得切线方程 ，
整理可得： ，将 代入，可得： ，解得 ， .
由 为直线 的斜率，则 ，故B正确；
对于C，联立可得 ，消去 可得： ， ，
设 ， ，则 ， ，
由 ， ，则 ，，
，
，
由 ，则 ，
可得： ，化简可得： ，
由 ，则 ，将 ， 代入，
则 恒成立，故C错误；
对于D，由C可知： ， ， ， ，
则 ， ，
，
，
由 ，则 ，
代入 ， ，化简可得： ，
由一元二次方程公式法可得： ，故D正确.
故选：BD.
15．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）抛物线有如下光学性质：从焦点发
出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经
抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于 轴的光线 从点 射入，经过抛物线 上的点
反射，再经过 上另一点 反射后，沿直线 射出，经过点 ，则（ ）A．若 的方程为 ，则
B．若 的方程为 ，且 ，则
C．分别延长 交于点 ，则点 在 的准线上
D．抛物线 在点 处的切线分别与直线 ， 所成角相等
【答案】BCD
【解析】对于选项A、B：
若 的方程为 ，则 ，又 ，
直线 的斜率 ， 直线 的方程为： ，
联立 ，得 ，
， ， ，
，所以A选项错误；
由 ， ，得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
若 ，则点 在 的平分线上，点 到直线 和到直线 的距离相等，设 ，
则有 ，由 ，解得 ，所以 ，B选项正确；
对于选项C：抛物线 ，焦点坐标 ，准线方程 ，
设 ， ，由 ，得 ， 即 ，由 ，
得 ，
又直线 的斜率 ， 直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，分别延长 交于点 ，由 得 ，即点 横坐标为-2，所以点 在 的准线上，
C选项正确；
对于选项D：设抛物线在 处的切线方程为： ，
联立 ，得 ，
由 ，解得 ．
该切线与直线 所成角的正切值为 ．
设该切线与直线 所成角为 ，
则 ，
该切线与直线 所成角的正切值与该切线与直线 所成角的正切值相同，
即抛物线 在点 处的切线分别与直线 、 所成角相等，D选项正确．
故选：BCD.
16．（多选题）（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知直线 过抛物线C： 的焦点F，
且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设 ，
， ，则下列选项正确的是：（ ）
A．
B．以线段AB为直径的圆与直线 相离
C．当 时，
D． 面积的取值范围为
【答案】AB
【解析】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，设直线l的方程为 ，
由 消去y得： ，于是得 ，，A正确；
以线段AB为直线的圆的圆心 ，则 ，点
到直线 距离 ，
由抛物线定义得 ，显然 ，即以线段 为直径的圆与直
线 相离，B正确；
当 时，有 ，即 ，而 ，于是得 ，
，C不正确；
由 求导得 ，于是得抛物线C在A处切线方程为： ，即
，
同理，抛物线C在B处切线方程为： ，联立两切线方程解得 ，
，
点 到直线l： 的距离 ，
于是得 面积 ，当且仅当 时取“=”，
面积的取值范围为 ，D不正确.
故选：AB.
17．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于
不同的两点 ， .若 ，则 .
【答案】 /
【解析】抛物线 的焦点为 ，设 ，由抛物线的对称性不妨令 ，
如图，显然 ，而 ，则 ， ，
于是直线 的方程为 ，由 得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
18．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点 为抛物线 的焦点，
过点 且倾斜角为 的直线交抛物线 于 两点，若 ，则 .
【答案】 /
【解析】由题意知 的方程为 ，
代入 的方程，得 ，
设 ，则 ；
因为 ，且 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
结合 ，解得 .
故答案为： .19．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知 是抛物线 的焦点，P是抛物
线C上一动点，Q是曲线 上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由抛物线 ，可得焦点坐标为 ，准线方程为 ，
又由曲线 ，可化为 ，
可得圆心坐标为 ，半径 ，
过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，交抛物线于 ，如图所示，
根据抛物线的定义，可得 ，
要使得 取得最小值，只需使得点 与 重合，此时 与 重合，
即 ，当且仅当 在一条直线上时，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
20．（2023·甘肃陇南·统考一模）设 为抛物线 的焦点， ， ， 为该抛物线上不同的三点，若
， 为坐标原点，则 .
【答案】14
【解析】设 ， ， ，
易知 ， ，则 ， ， .
因为 ，所以 ，
即 .
由抛物线的定义可得 ， ， ，
所以 .
故答案为：14
21．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在平面直角坐标系 中，已知直线
（ ），定点 与定直线 ，过P向直线 作垂线，垂足为H．
，若动点P的轨迹为曲线C，且直线 与曲线C相切，则 ．
【答案】 /
【解析】由题意可知，动点P的轨迹是以F为焦点，以 为准线的抛物线 ，
即曲线 的方程为： ，
将直线 与抛物线方程联立得：
，消去x化简得： （ ），
因为直线 与曲线C相切，
所以 （ ），解得： ，
故答案为： .
22．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知 为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点 ，与抛物线 及其准线依次交于 三点（其中点 在 之间），若 .
则 的面积是 .
【答案】 /
【解析】过点 作 垂直于准线，垂足为 ，过点 作 垂直于准线，垂足为 ，设准线与 轴相交
于点 ，如图，则 ，
在 中， ，所以 ，所以 ，
故在 中， ，所以 ，则 .
又 轴， ，所以 ，
又抛物线 ，则 ，所以 ，
所以抛物线 ，点 .
因为 ，所以直线 的斜率 ，则直线 ，
与抛物线方程联立 ，消 并化简得 ，
易得 ，设点 ，则 ，
则 ，
又直线 ，可化为 ，
则点 到直线 的距离 ，
所以 .
故选：B.
23．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知点P是抛物线 上的动点，Q是圆
上的动点，则 的最大值是 .
【答案】 /【解析】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
过点 作 垂直准线 ，垂足为 ，由抛物线的定义可知 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
所以当 即 时， 取到最大值 ，
所以 的最大值为 ，
因此， ，所以 的最大值是 .
故答案为： .
24．（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 、 是 上异于点
的两点（ 为坐标原点），若 ，过 的中点 作 于点 ，则 的最小值为
．
【答案】1
【解析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
设 ， ，所以 ，
因为
，
所以 ，则 的最小值为 ，当且仅当 时，等号成立．
故答案为： .
1．（2020•新课标Ⅲ）设 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若
，则 的焦点坐标为
A． ， B． ， C． D．
【答案】
【解析】法一：将 代入抛物线 ，可得 ， ，可得 ，
即 ，解得 ，
所以抛物线方程为： ，它的焦点坐标 ， ．
故选： ．
法二：易知， ，可得 ，代入抛物线方程 ，
可得 ，解得 ，
故选： ．2．（2020•北京）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过 作
于 ，则线段 的垂直平分线
A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】
不妨设 ，
，
设准线为 与 轴交点为 ，则 ，
可得四边形 为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，
故可得线段 的垂直平分线，经过点 ，
故选： ．
另由抛物线的定义知， ，
所以 为等腰三角形，且 为等腰三角形 的底边，
所以线段 的垂直平分线经过点 ．
故选： ．
3．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）设 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，
且与 交于 ， 两点， 为 的准线，则
A． B．
C．以 为直径的圆与 相切 D． 为等腰三角形
【答案】
【解析】直线 过抛物线 的焦点，可得 ，所以 ，
所以 正确；
抛物线方程为： ，与 交于 ， 两点，直线方程代入抛物线方程可得： ，
，
所以 ，所以 不正确；
， 的中点的横坐标： ，中点到抛物线的准线的距离为： ，
所以以 为直径的圆与 相切，所以 正确；
，
不妨可得 ， ， ， ，
， ， ，
所以 不是等腰三角形，所以 不正确．
故选： ．
4．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于
， 两点，其中 在第一象限，点 ．若 ，则
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】
【解析】如图，
， ， ，且 ， ， ，
由抛物线焦点弦的性质可得 ，则 ，则 ， ，
，故 正确；， ， ，故 错误；
，故 正确；
， ， ， ， ，
， ，
， 均为锐角，可得 ，故 正确．
故选： ．
5．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点
的直线交 于 ， 两点，则
A． 的准线为 B．直线 与 相切
C． D．
【答案】
【解析】 点 在抛物线 上，
，解得 ，
抛物线 的方程为 ，准线方程为 ，选项 错误；
由于 ， ，则 ，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故直线 与抛物线 相切，选项 正确；
根据对称性及选项 的分析，不妨设过点 的直线方程为 ，与抛物线在第一象限交于 ，
， ， ，
联 立 ， 消 去 并 整 理 可 得 ， 则 ， ，
，
，由于等号在
时才能取到，故等号不成立，选项 正确；
，选项 正
确．
故选： ．6．（2023•乙卷）已知点 在抛物线 上，则 到 的准线的距离为 ．
【答案】 ．
【解析】点 在抛物线 上，
则 ，解得 ，
由抛物线的定义可知， 到 的准线的距离为 ．
故答案为： ．
7．（2021•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点， 与
轴垂直， 为 轴上一点，且 ．若 ，则 的准线方程为 ．
【答案】 ．
【解析】法一：由题意，不妨设 在第一象限，则 ， ， ， ．
所以 ，所以 的方程为： ，
时， ，
，所以 ，解得 ，
所以抛物线的准线方程为： ．
法二：根据射影定理，可得 ，可得 ，解得 ，
因此，抛物线的准线方程为： ．
故答案为： ．
8．（2021•北京）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点 ，若
则点 的横坐标是 5 ； 的面积为 的 ．
【答案】5；
【解析】抛物线 ，
则焦点 ，准线方程 为 ，过点 作 ，垂足为 ，设 ， ，
则 ，
所以 ，则 ，
所以点 的横坐标为5；
点 在抛物线上，故 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
故答案为：5； ．
9．（2021•全国）已知抛物线 的焦点为 ，过 倾斜角为 的直线与 交于 ， 两
点，且 ，则 2 ．
【答案】2
【解析】由抛物线的方程可得焦点 ， ，
由题意可得直线 的方程为： ，设 ， ， ， ，
联立 ，整理可得： ，
可得： ，
由抛物线的性质可得 ，
解得： ，
故答案为：2．
10．（2021•上海）已知抛物线 ，若第一象限的 ， 在抛物线上，焦点为 ， ，， ，求直线 的斜率为 ．
【答案】
【解析】如图所示，设抛物线的准线为 ，作 于点 ， 于点 ， 于点 ，
由抛物线的定义，可得 ， ，
，
直线 的斜率 ．
故答案为： ．
11．（2020•海南）斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与 交于 ， 两点，则
．
【答案】
【解析】由题意可得抛物线焦点 ，直线 的方程为 ，
代入 并化简得 ，
设 ， ， ， ，则 ；
，
由抛物线的定义可得 ．故答案为： ．
12．（2023•甲卷）设抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，且 ．
（1）求 的值；
（2） 为 的焦点， ， 为抛物线上的两点，且 ，求 面积的最小值．
【解析】设 ， ， ， ，联立 ，
消去 得： ，
， ，△ ，
， ，
，
， ， ，
；
（2）由（1）知 ，所以 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ， ， ， ， ，
由 ，可得 ，所以 ， ，
△ ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
将 ， ，代入得 ，
，所以 ，且 ，解得 或 ．
设点 到直线 的距离为 ，所以 ，
，
所以 的面积 ，
又 或 ，所以当 时， 的面积 ．13．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的
轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（2）已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
【解析】（1）设点 点坐标为 ，由题意得 ，
两边平方可得： ，
化简得： ，符合题意．
故 的方程为 ．
（2）解法一：不妨设 ， ， 三点在 上，且 ．
设 ， ， ，
则 ， ．
由题意， ，即 ，
显然 ，于是 ．
此时， ． ．于是 ， ．
不妨设 ，则 ，
则
．
设 ，则 ，即 ，
又 ．显然， 为最小值点．故 ，
故矩形 的周长为 ．
注意这里有两个取等条件，一个是 ，另一个是 ，
这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．
解法二：不妨设 ， ， 在抛物线 上， 不在抛物线 上，欲证命题为 ．
由图象的平移可知，将抛物线 看作 不影响问题的证明．
设 ， ，平移坐标系使 为坐标原点，
则新抛物线方程为 ，写为极坐标方程，
即 ，即 ．
欲证明的结论为 ，
也即 ．
不妨设 ，将不等式左边看成关于 的函数，根据绝对值函数的性质，
其最小值当 即 时取得，
因此欲证不等式为 ，即 ，
根据均值不等式，有
，
由题意，等号不成立，故原命题得证．
14．（2021•乙卷）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2．
（1）求 的方程；
（2）已知 为坐标原点，点 在 上，点 满足 ，求直线 斜率的最大值．
【解析】（1）由题意知， ，．
（2）由（1）知，抛物线 ， ，
设点 的坐标为 ，
则 ，
点坐标为 ，
将点 代入 得 ，
整理得 ，
当 时， ，
当 时， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，取得最大值．
故答案为： ．
15．（2020•全国）经过点 且倾斜角为 的直线与抛物线 交于 ， 两点，且
， ， ．求 和 ．
【解析】根据题意可得 直线方程为 ，即 ，
联立 ，可得 ， ， △ ，
设 ， ， ， ，又 ，
，
， ， ，
又 ， ，
，
，
，
，，又 ，
，
，
，又 ，
， ，
．
故 ， ．
