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第 08 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南开封·统考三模）过抛物线 的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限
分别交于A，B两点，若 ，则直线AB的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分别过A，B两点作横轴的垂线，垂足分别为 ，
设直线AB的倾斜角为 ，
由题意可设 ，
因为 ，所以 为钝角，如下图所示：
由 ，
因为 ，
所以有 ，
所以 ，
在直角三角形中 中， ，所以 ．
故选：C
2．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，点 ，若直
线 与 只有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线 可得 ， ， ，
所以双曲线的渐近线方程为 ，右焦点为 ，
因为直线 与 只有一个交点，所以直线 与双曲线的渐近线平行，
所以 ，解得 .
故选：B.
3．（2023·重庆·统考模拟预测）已知过抛物线 焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，
且 ，圆 ，若抛物线C与圆 交于P，Q两点，且 ，则线段 的中点
D的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】圆 过原点，则点P，Q之一为原点，不妨令点 ，设 ，
依题意， ，又 ，解得 ，即 ，
则 ，解得 ，抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
设 ，于是 ，而 ，
因此 ，所以线段 的中点D的横坐标 .故选：B
4．（2023·河南·襄城高中校联考三模）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡
远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为 ，碗盖口直径为
，碗体口直径为 ，碗体深 ，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和
碗盖的厚度忽略不计）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以碗体的最低点为原点，向上方向为 轴，建立直角坐标系，如图所示．
设碗体的抛物线方程为 （ ），将点 代入，得 ，
解得 ，则 ，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 ，
则两抛物线在第一象限的交点为 ，代入到 ，解得 ，解得 ．
故选：C
5．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知两个点 ， ，若直线上存在点 ，使得
，则称该直线为“ 直线” 给出下列直线：① ，② ，③ ，则这
三条直线中有几条“ 直线”（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知 ，
根据双曲线的定义，可得点 是以 ， 为焦点的双曲线 的右支，
所以点 是双曲线右支与直线的交点，即“ 直线”须满足与双曲线的右支相交，
又由双曲线 的渐近线方程为 ，中，直线 为双曲线的一条渐近线，直线与双曲线没有公共点，
如图所示，所以不是“ 直线”；
中，如图所示，直线 与双曲线的右支无交点，所以不是“ 直线”；
中，直线 与双曲线的右支有一交点，如图所示，所以是“ 直线”．
故选：C．
6．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知 为抛物线 的焦点，直线 与
交于 ， 两点，则 的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
【答案】B
【解析】设 ， ，
联立 得 ，
则 .
所以 .
当且仅当 ，即 ， 时，上式取等号，
故 .
故选：B
7．（2023·四川·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 为 上一点，
且 ，直线 交 于另一点 ，记坐标原点为 ，则 （ ）
A．5 B．-4 C．3 D．-3
【答案】D
【解析】由题意得，抛物线 的准线为 ，因为 为 上一点，且 ，所
以 ，解得 ，故抛物线 ，焦点为 ，所以 的方程为 ，
代入 ，得 ，整理得 ，解得 或 ，
因为 为 上一点，则 ，由于A在第一象限，所以 ，所以 ，所以
.
故选:D.
8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点 在椭圆 ： 上，且在第一象
限，直线 ， 过原点 ，且 ，过点 分别作直线 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，若
，则直线 的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ， ，所以 ，
所以四边形 为矩形，因为 ，所以 ，
设 ，则 ，解得 ，所以 ，
所以 ，即直线 的斜率为 .
故选：D
9．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设 为抛物线 ： （
）的焦点， 为坐标原点， 为 上一点，且 ，则（ ）
A．
B．C．直线 的斜率为
D． 的面积为
【答案】ABD
【解析】由题意得 ，又 ，故解得 ，所以抛物线 的方程为 ，焦点 ，故
A，B正确；
由抛物线定义及 ，所以 代入抛物线方程可得 得 ，
所以 ，故C不正确；
则 的面积 ，故D正确.
故选：ABD.
10．（多选题）（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，
点 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段 为直径的圆经过点 ，则（ ）
A． 的面积为 B．点 的横坐标为2或
C． 的渐近线方程为 D．以线段 为直径的圆的方程为
【答案】AB
【解析】由双曲线方程知 ， ，所以双曲线 的渐近线方程为 ，故C错误；
又 ，所以 为直径的圆方程为 ，故D错误；
由 ，得 或 ，所以点 的横坐标为2或 ，故B正确；
又 ，所以 ，故A正确．
故选：AB．
11．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右顶点分别为A，B，M是双曲线右支上一点，且在第一象限，线段MA被两条渐近线三等分，则（ ）
A． B．
C． 的面积为3ab D．若MA垂直于一条渐近线，则双曲线的离心率为3
【答案】AB
【解析】对于A：易知直线 的方程为 ，
设直线 与 分别交直线 于点 ， ，如图所示：
将 与 联立，解得 .
将 与 联立，解得 .
因为线段MA被两条渐近线三等分，
所以 ，即 ，得 ，故A正确.
对于B：设 ，则 ，
由 ，得 ，则 ，得 ，故B正确.
对于C： ，
所以 ，故C错误.
对于D：设 为坐标原点，易知 ，因为 ，
所以 ，又 ，所以 ，故 ，
所以双曲线的离心率 ，故D错误.故选：AB
12．（多选题）（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，直线 ，
过点 与圆 分别切于 ， ，两点，交 于点 ， 和 ， ，则（ ）
A． 与 没有公共点
B．经过 ， ， 三点的圆的方程为
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，联立 ，得 ，
因为 是方程的一个根，所以 与 有公共点，A项错误；
对于B，连接 ， ，则 ， ，
所以 ， ， ， 四点在以 为直径的圆上，
且 ， ，所以圆的方程为 ，
化简得 ，B项正确；
对于C，由题得 ，
所以 ，所以 ，C项正确；
对于D，设过点 且与圆 相切的切线方程
为 ，由 ，解得 或 .
不妨设 ， ，则 ，
联立 得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，D项正确.故选：BCD.
13．（2023·四川成都·统考一模）已知直线l过抛物线C： 的的焦点且与C交于A，B两点，线段
AB中点的横坐标3，则 ．
【答案】8
【解析】设 ，则 ，抛物线 中 ，
所以 ．
故答案为：8．
14．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点 为抛物线 的焦点，
过点 且倾斜角为 的直线交抛物线 于 两点，若 ，则 .
【答案】 /
【解析】由题意知 的方程为 ，
代入 的方程，得 ，
设 ，则 ；
因为 ，且 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
结合 ，解得 .
故答案为： .15．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ： （ ）的离心率为3，
焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上.若 的周长为 ，则 的面积是 .
【答案】
【解析】设 ，
因为双曲线 ： （ ）的离心率为3，
所以 ，即 ，
又 的周长为 ，
所以 ，
由双曲线的定义得 ，
解得 ，
由余弦定理得 ，
则 ，
所以 ，
故答案为：
16．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知 在椭圆 上运动，且 ，
延长 至 ，使得 为 与椭圆 的交点，则 ．
【答案】
【解析】设 ，因为延长 至 ，使得 ，所以 ，
设 ，因为 为 与椭圆 的交点，所以设 ，
因此有 ，
即 ，
因为 在椭圆上，
所以 ，
化简，得 ，
因为 在椭圆 上运动，所以 ，
因为 ，所以 ，
于是有 ，即 ，
故答案为： .
17．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）设椭圆 的左、右焦点
分别为 是椭圆上的一点， ，原点 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)平面上点B满足 ，过 与 平行的直线交 于 两点，若 ，求椭圆 的
方程.
【解析】（1）由题设 及 ，不妨设 ，所以 ， ，解得 或 （舍去），从而 ，
直线 的方程为 ，整理得 ，
原点 到直线 的距离为 ，将 代入整理得 ，
即 ，
所以离心率 .
（2）由（1）问可设椭圆方程为 ，则 ，
因为 ，所以 为平行四边形，
所以直线 过 点，则 斜率为 ，
则设直线 方程为 ，
联立椭圆方程得 ，显然 ，则 ，
则 ，解得 （负值舍去），
所以 ，所以椭圆方程为 .
18．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴的正半轴上，圆
经过抛物线 的焦点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与抛物线 相交于 两点，过 两点分别作抛物线 的切线，两条切线相交
于点 ，求 面积的最小值.
【解析】（1）由题意，设 的方程为 ，因为圆 经过抛物线 的焦点 ，
所以 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）如图所示，
设 ，则 ，联立方程组 整理得 ，
所以 ，且 ，
所以 .
由 ，可得 ，则 ，所以抛物线 的过点A的切线方程是 ，
将 代入上式整理得 ，
同理可得抛物线 的过点 的切线方程为
由 解得 ，所以 ，
所以 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，
当 时， ，
所以 面积的最小值为 .
19．（2023·山西·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 为 的右焦点，过点作与 轴不重合的直线 ，交 于 两点，当 与 轴平行时， .
(1)求 的方程；
(2) 为 的左顶点，直线 分别交直线 于 两点，求 的值.
【解析】（1）设 ，
当 与 轴平行时，直线 的方程为 ，则 在椭圆上，
代入椭圆方程得 ，
又因为离心率 ，解得 .
所以 的方程为 .
（2）设 ，由椭圆 的方程得 ，
当直线斜率不存在时， ，
直线 的方程为 ，
令 得 ，同理 .
若直线 斜率存在时，设直线 ，
联立 得 ，
即 ，
，
直线 的方程为 ，令 得 ，
同理 ，
则
.
综上，得 的值为
20．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知 分别为椭圆 的左，右
顶点， 为其右焦点， ，且点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若过 的直线 与椭圆 交于 两点，且 与以 为直径的圆交于 两点，证明： 为
定值．
【解析】（1）由 ，可得 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
因为点 在椭圆 上，所以 ，
解得 ， ， ，所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）证明：当 与 轴重合时， ，所以
当 不与 轴重合时，设 ，直线 的方程为 ，
由 整理得 ，
则 ，
故圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
所以 ，即 为定值．
21．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，
直线 与 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于 ，且 .
(1)求 的值；
(2)若 的中点为 ，直线 ： 被以 为直径的圆截得的弦长为 ，被抛物线 截得的弦
长为 ，求 的最小值.
【解析】（1）抛物线 ： 的焦点， ，准线方程为 ，
联立 可得 ， ，
设 ，则 ，则中点 ，又 ，
所以 ，①又 ，②
由①②解得 ；
（2）由（1）知 ， ，所以以 为直径的圆的方程为
，所以 ，
联立 ，得 ，即有 ，所以 ，
当且仅当 （满足 ），则 的最小值为 .
22．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知椭圆 过点 两点，
椭圆的离心率为 ， 为坐标原点，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设P为椭圆 上第一象限内任意一点，直线 与y轴交于点M，直线 与x轴交于点N，求证：四边
形 的面积为定值.
【解析】（1）根据题意可知 ，
又 ，即可得 ，结合 ，
解得 ；
即椭圆 的方程为 .
（2）证明：由（1）可知 ，如下图所示：
设 ，且 ；易知直线 的斜率 ，所以 的直线方程为 ；
同理直线 的斜率 ，所以 的直线方程为 ；
由题意解得 ；
所以可得 ，
四边形 的面积
又 ，可得 ，
故 ，
即四边形 的面积为定值.
1．（2022•新高考Ⅱ）已知直线 与椭圆 在第一象限交于 ， 两点， 与 轴、 轴分别相交
于 ， 两点，且 ， ，则 的方程为 ．
【答案】 ．
【解析】设 ， ， ， ，线段 的中点为 ，
由 ， ，
相减可得： ，
则 ，
设直线 的方程为： ， ， ， ， ， ，
， ， ，
，解得 ，， ，化为： ．
， ，解得 ．
的方程为 ，即 ，
故答案为： ．
2．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的
轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（2）已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
【解析】（1）设点 点坐标为 ，由题意得 ，
两边平方可得： ，
化简得： ，符合题意．
故 的方程为 ．
（2）解法一：不妨设 ， ， 三点在 上，且 ．
设 ， ， ，
则 ， ．
由题意， ，即 ，
显然 ，于是 ．
此时， ． ．于是 ， ．
不妨设 ，则 ，
则．
设 ，则 ，即 ，
又 ．
显然， 为最小值点．故 ，
故矩形 的周长为 ．
注意这里有两个取等条件，一个是 ，另一个是 ，
这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．
解法二：不妨设 ， ， 在抛物线 上， 不在抛物线 上，欲证命题为 ．
由图象的平移可知，将抛物线 看作 不影响问题的证明．
设 ， ，平移坐标系使 为坐标原点，
则新抛物线方程为 ，写为极坐标方程，
即 ，即 ．
欲证明的结论为 ，
也即 ．
不妨设 ，将不等式左边看成关于 的函数，根据绝对值函数的性质，
其最小值当 即 时取得，
因此欲证不等式为 ，即 ，
根据均值不等式，有
，由题意，等号不成立，故原命题得证．
3．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线 中心为坐标原点，左焦点为 ， ，离心率为 ．
（1）求 的方程；
（2）记 的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与 的左支交于 ， 两点， 在第二象限，
直线 与 交于 ，证明 在定直线上．
【解析】（1）双曲线 中心为原点，左焦点为 ， ，离心率为 ，
则 ，解得 ，
故双曲线 的方程为 ；
（2）证明：过点 的直线与 的左支交于 ， 两点，
则可设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
记 的左，右顶点分别为 ， ，
则 ， ，
联立 ，化简整理可得， ，
故△ 且 ，
， ，
直线 的方程为 ，直线 方程 ，
故
，故 ，解得 ，
所以 ，
故点 在定直线 上运动．
4．（2023•甲卷）设抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，且 ．
（1）求 的值；
（2） 为 的焦点， ， 为抛物线上的两点，且 ，求 面积的最小值．
【解析】设 ， ， ， ，联立 ，
消去 得： ，
， ，△ ，
， ，
，
， ， ，
；
（2）由（1）知 ，所以 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ， ， ， ， ，
由 ，可得 ，所以 ， ，
△ ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
将 ， ，代入得 ，
，所以 ，且 ，解得 或 ．
设点 到直线 的距离为 ，所以 ，
，
所以 的面积 ，又 或 ，所以当 时， 的面积 ．
5．（2023•天津）设椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，已知 ，
．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 交 轴于点 ，若△ 的面积是△
面积的二倍，求直线 的方程．
【解析】（Ⅰ）由题意可知， ，解得 ，
．
则椭圆方程为 ，椭圆的离心率为 ；
（Ⅱ）由题意可知，直线 的斜率存在且不为0，
当 时，直线方程为 ，取 ，得 ．
联立 ，得 ．
△ ，
，得 ，则 ．
．
．
，即 ，得 ；
同理求得当 时， ．直线 的方程为 ．
6．（2023•上海）已知抛物线 ，在 上有一点 位于第一象限，设 的纵坐标为 ．
（1）若 到抛物线 准线的距离为3，求 的值；
（2）当 时，若 轴上存在一点 ，使 的中点在抛物线 上，求 到直线 的距离；
（3）直线 ， 是第一象限内 上异于 的动点， 在直线 上的投影为点 ，直线 与直线
的交点为 ．若在 的位置变化过程中， 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）抛物线 的准线为 ，
由于 到抛物线 准线的距离为3，
则点 的横坐标为2，则 ，
解得 ；
（2）当 时，点 的横坐标为 ，则 ，
设 ，则 的中点为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 ，
则 ，
由点斜式可得，直线 的方程为 ，即 ，
所以原点 到直线 的距离为 ；
（3）如图，
设 ，则 ，
故直线 的方程为 ，令 ，可得 ，即 ，
则 ，
依题意， 恒成立，
又 ，
则最小值为 ，即 ，即 ，
则 ，解得 ，
又当 时， ，当且仅当 时等号成立，
而 ，即当 时，也符合题意．
故实数 的取值范围为 ， ．
7．（2023•北京）已知椭圆 的离心率为 ， 、 分别为 的上、下顶点， 、
分别为 的左、右顶点， ．
（1）求 的方程；
（2）点 为第一象限内 上的一个动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．
求证： ．
【解析】（1）由题意可得： ， ， ，
解得 ， ，
椭圆 的方程为 ．
（2）证明： ， ， ， ，
直线 的方程为 ，化为 ．
设直线 的方程为： ， ， ， ．
联立 ，化为： ，
解得 或 ，， ．
直线 方程为： ，即 ，
与 联立，解得 ， ．
， ．
，
，
．
8．（2022•新高考Ⅰ）已知点 在双曲线 上，直线 交 于 ， 两点，直
线 ， 的斜率之和为0．
（1）求 的斜率；
（2）若 ，求 的面积．
【解析】（1）将点 代入双曲线方程得 ，
化简得 ， ，故双曲线方程为 ，
由题显然直线 的斜率存在，设 ，设 ， ， ，
则联立双曲线得： ，
故 ， ，
，
化简得： ，
故 ，
即 ，而直线 不过 点，故 ；
（2）设直线 的倾斜角为 ，由 ，，得
由 ， ，
得 ，即 ，
联立 ，及 得 ，
同理 ，
故 ，
而 ，由 ，得 ，
故 ．
9．（2022•北京）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 分别与 轴交于点
， ．当 时，求 的值．
【解析】（Ⅰ）由题意得，
， ， ， ，
椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）设过点 的直线为 ， ， ， ， ，
联立得 ，即 ，
直线与椭圆相交， △ ， ，
由韦达定理得 ， ，
， 直线 为 ，令 ，则 ， ， ，同理 ， ，
，
， ，
．
10．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求 的方程；
（2）过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，点 ， ， ， 在 上，且
， ．过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 ．从下面①②③中选取
两个作为条件，证明另外一个成立．
① 在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】（1）由题意可得 ， ，
解得 ， ，
因此 的方程为 ，
（2）解法一：设直线 的方程为 ， ，将直线 的方程代入 可得
，
△ ，
， ，
，，
设点 的坐标为 ， ，则 ，
两式相减可得 ，
，
，
解得 ，
两式相加可得 ，
，
，
解得 ，
，其中 为直线 的斜率；
若选择①②：
设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ，
则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
， ，
此时点 的坐标满足 ，解得 ， ，
为 的中点，即 ；
若选择①③：
当直线 的斜率不存在时，点 即为点 ，此时不在直线 上，矛盾，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标
为 ， ，则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
此时 ，
，
由于点 同时在直线 上，故 ，解得 ，
因此 ．
若选择②③，
设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ，
则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
设 的中点 ， ，则 ， ，
由于 ，故 在 的垂直平分线上，即点 在直线 上，
将该直线 联立，解得 ， ，
即点 恰为 中点，故点 在直线 上．
（2）解法二：由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①② ③，或选由②③ ①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为0．
若选①③ ②，则 为线段 的中点，假设 的斜率不存在，
则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ，
此时由对称性可知 、 关于 轴对称，从而 ，已知不符．
综上，直线 的斜率存在且不为0，
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ．
则条件① 在直线 上，等价于 ，
两渐近线的方程合并为 ，
联立方程组，消去 并化简得： ，设 ， ， ， ，线段中点为 ， ，
则 ． ，
设 ， ，
则条件③ 等价于 ，
移项并利用平方差公式整理得：
，
，
，
，
，
，
由题意知直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
由 ， ，
，
直线 的斜率 ，
直线 ，即 ，
代入双曲线的方程为 ，即 中，
得 ，
解得 的横坐标为 ，
同理， ， ，
，
条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上等价于 ，
条件② 等价于 ，条件③ 等价于 ．
选①② ③：
由①②解得 ， ③成立；
选①③ ②：
由①③解得： ， ， ， ②成立；
选②③ ①：
由②③解得： ， ， ， ①成立．
11．（2022•天津）椭圆 的右焦点为 、右顶点为 ，上顶点为 ，且满足
．
（1）求椭圆的离心率 ；
（2）直线 与椭圆有唯一公共点 ，与 轴相交于 异于 ．记 为坐标原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的标准方程．
【解析】（1） ， ，
，
， ，
；
（2）由（1）可知椭圆为 ，
即 ，
设直线 ，联立 ，消去 可得：
，又直线 与椭圆只有一个公共点，
△ ， ，
又 ， ，
又 ， ，解得 ， ，
又 的面积为 ，
， ，
又 ， ， ， ，
椭圆的标准方程为 ．
12．（2022•浙江）如图，已知椭圆 ．设 ， 是椭圆上异于 的两点，且点 在线
段 上，直线 ， 分别交直线 于 ， 两点．
（Ⅰ）求点 到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求 的最小值．
【 解 析 】 （ Ⅰ ） 设 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 则
， ， ，
而函数 的对称轴为 ，则其最大值为 ，
，即点 到椭圆上点的距离的最大值为 ；
（Ⅱ）设直线 ，
联立直线 与椭圆方程有 ，消去 并整理可得， ，由韦达定理可得， ，
，
设 ， ， ， ，直线 ，直线 ，
联立 以及 ，
可得 ，
由弦长公式可得
，
当且仅当 时等号成立，
的最小值为 ．
