1
解析几何总结
一、高考考点、考频
解析几何可能不是高中最难的题目，但是绝对是高考中最令人害怕的题目，因为
他考察的重点不是思维，而是计算，虽然说有些题目可以通过一些方法减少计算
量，但是一般情况还是如此的。在高考中的占比也很高，一道填空与一道解答题，
选择题一般在第七第八题的样子，难度不是很高，但是解答题一般都是19,20 题
的位置，非常有难度的。
二、高考真题
1．（2018 新课标.8）（5 分）设抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率
为
的直线与C 交于M，N 两点，则
•
＝（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N 的坐标，然后求解向量的数量
积即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x 的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为
的直线
为：3y＝2x+4，
联立直线与抛物线C：y2＝4x，消去x 可得：y2﹣6y+8＝0，
解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），
，
．
则
•
＝（0，2）•（3，4）＝8．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．
2.（2018 新课标2.19）（12 分）设抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，过F 且斜率为k（k＞0）
的直线l 与C 交于A，B 两点，|AB|＝8．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
【分析】（1）方法一：设直线AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式
即可求得k 的值，即可求得直线l 的方程；
方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|＝
，求得直线AB 的倾斜角，即可求得直
2
线l 的斜率，求得直线l 的方程；
（2）根据过A，B 分别向准线l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐
标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2＝4x 的焦点为F（1，0），
设直线AB 的方程为：y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，则x1+x2＝
，x1x2＝1，
由|AB|＝x1+x2+p＝
+2＝8，解得：k2＝1，则k＝1，
∴直线l 的方程y＝x﹣1；
方法二：抛物线C：y2＝4x 的焦点为F（1，0），设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的
弦长公式|AB|＝
＝
＝8，解得：sin2θ＝
，
∴θ＝
，则直线的斜率k＝1，
∴直线l 的方程y＝x﹣1；
（2）由（1）可得AB 的中点坐标为D（3，2），则直线AB 的垂直平分线方程为y﹣2＝
﹣（x﹣3），即y＝﹣x+5，
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
，
解得：
或
，
因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16 或（x﹣11）2+（y+6）2＝144．
3
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查
圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．
三、知识点
1.直线
1）直线方程的五种形式：
点斜式：𝑦-𝑦1=k（𝑥-𝑥1），由直线上一点(𝑥1, 𝑦1)和斜率k 确定直线方程。
斜截式：y=kx+b，由直线的斜率k 和在y 轴上的截距b 确定直线方程。
两点式：
𝑦−𝑦1
𝑦2−𝑦1=
𝑥−𝑥1
𝑥2−𝑥1（𝑥1 ≠𝑥2，𝑦1 ≠𝑦2）由直线上的不同两点(𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2)
确定直线方程。
截距式：
𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏=1（a≠0，b ≠0）由直线在x，y 轴上的截距a，b 确定方程。
一般式：Ax+By+C=0（𝐴2+𝐵2 ≠0）
2）直线的位置关系
平行：斜率相等，截距不等
垂直：斜率之积等于-1.
相交：斜率不等。
3）距离公式
点到直线的距离公式（点(𝑥1, 𝑦1)到直线Ax+By+C=0 的距离）d=
|𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶|
√𝐴2+𝐵2
两平行直线（Ax+By+C1=0 和Ax+By+C2=0）之间的距离：d=
|𝐶1−𝐶2|
√𝐴2+𝐵2
4
4）关于直线的对称问题
点关于直线的对称：
主要运用两个对称点之间的连线的垂直平分线就是已知直线。由于垂直可得其斜
率之积等于-1.由于平分，所以两对称点的中点坐标符合直线方程。
直线关于直线的对称
(1)若l1∥l2，则可以由距离公式确定𝑙′.也可以有l1上两点关于l2对称的两点在
直线𝑙′上确定方程。
(2)若l1∩l2=A,则可由直线l1上点B 关于l2的对称点𝐵′与A 点确定直线方程。
2.圆
1）圆的方程
圆的标准方程：以C（a,b）为圆心，r 为半径的圆的方程：(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2.
圆的一般方程：𝑥2+𝑦2+D𝑥+E𝑦+F=0,(𝐷2 + 𝐸2 −4𝐹> 0)( 𝑥2和𝑦2项的系数相等且
不能为零；没有xy 这样的二次项；表示以（−
𝐷
2,−
𝐸
2）为圆心，以√𝐷2 + 𝐸2 −4𝐹
为半径的圆)。/
2）点与圆的位置关系
（1）判断方法：点到圆心的距离
与半径的大小关系
点在圆内；
点在圆上；
点在圆外
（1）涉及最值：
①圆外一点
，圆上一动点
，讨论
的最值
min
max
PB
NB
BC
r
PB
MB
BC
r
,
②圆内一点
，圆上一动点
，讨论
的最值
d
r
d
r
d
r
d
r
B
P
PB
min
PB
BN
BC
r
max
PB
BM
BC
r
A
P
PA
5
、
思考：过此
点作最短的弦？（此弦垂直
）
3）直线与圆的位置关系
有相离，相切，相交三种情况，判断方法如下：
设直线
，圆
，圆心
到直线l 的距
离为
，将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式
为△，则有
这一知识点可以出题：告诉直线与圆相交，
让求有关参数的范围。
4）直线与圆相切
常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数：点在圆外——2 条；点在圆上——1 条；点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点
．．．
i）点在圆外
如定点
0
0
,
P x
y
，圆：
2
2
2
x
a
y
b
r
，[
2
2
2
0
0
x
a
y
b
r
]
第一步：设切线l 方程
0
0
y
y
k x
x
第二步：通过d
r
k
，从而得到切线方程
ii）点在圆上
①若点
0
0
x
y
，
在圆
2
2
2
x
y
r
上，则切线方程为
2
0
0
x x
y y
r
（会在选择题及填
空题中运用，但一定要看清题目.）
②若点
0
0
x
y
，
在圆
2
2
2
x
a
y
b
r
上，则切线方程为：
2
0
0
x
a
x
a
y
b
y
b
r
（碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然
后运用上述结果.）
min
PA
AN
r
AC
max
PA
AM
r
AC
A
AC
0
:
C
By
Ax
l
2
2
2
:
r
b
y
a
x
C
b
a
C
,
2
2
B
A
C
Bb
Aa
d
位置关系 相切
相交
相离
几何特征 d
r
d
r
d
r
代数特征
0
△
0
△
0
△
6
5）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理
．．．．及勾股定理
6）同时
2
0
0
x
a
x
a
y
b
y
b
r
也可以表示：在圆外的一点
0
0
x
y
，
，
过此点一定有两条直线与圆
2
2
2
x
a
y
b
r
相切，过两个切点的直线方程
就是
2
0
0
x
a
x
a
y
b
y
b
r
。
3.椭圆
1）定义: 到两定点距离之和为一常数的点的轨迹，两定点称为焦点，两焦点之
间的距离2c 称为焦距，常数2a 称为长轴长.
2）焦点在x 轴上的椭圆方程为
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1,焦点在y 轴上的椭圆方程为
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 =
1. 其中b 满足𝑏2 = 𝑎2 −𝑐2， 2b 称为短轴长.
3）离心率e=
𝑐
𝑎= √1 −
𝑐2
𝑎2 = √
1
1+𝑏2
𝑐2
4）椭圆的第二定义：到定点和定直线距离之比为一常数的点的轨迹，该常数小
于1 时，为椭圆，该常数是椭圆的离心率.其中定点称为焦点，定直线称为准线.
椭圆
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1,左焦点为(−c,0),左准线为x=−
𝑎2
𝑐 ，右焦点为(c,0)，右准线为x=
𝑎2
𝑐
.
椭圆
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1,上焦点为(0,c)
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1,上准线为y=
𝑎2
𝑐,下焦点为(0,−c)下准线
为y=−
𝑎2
𝑐.
4.双曲线
1）双曲线:到两定点距离之差为一常数的点的轨迹，两定点称为焦点. 两焦点之
间的距离2c 称为焦距，常数2a 称为实轴长.
2）焦点在x 轴上的双曲线方程为
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1焦点在y 轴上的双曲线方程为
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1.
其中b 满足𝑏2 = 𝑎2 −𝑐2， 2b 称为虚轴长.
3）离心率e=
𝑐
𝑎= √1 −
𝑐2
𝑎2 = √
1
1+𝑏2
𝑐2
4）双曲线
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1的渐近线方程为
𝑥
𝑎±
𝑦
𝑏= 0.
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1的渐近线方程为
𝑦
𝑎±
7
𝑥
𝑏= 0.
5）双曲线的第二定义：到定点和定直线距离之比为一常数的点的轨迹，该常数
大于111 时，为双曲线，该常数是双曲线的离心率.其中定点称为焦点，定直线称
为准线.
双曲线
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1，左焦点为(−c,0),左准线为x=−
𝑎2
𝑐 ，右焦点为(c,0)，右准线为
x=
𝑎2
𝑐.
双曲线
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1,上焦点为(0,c)
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1,上准线为y=
𝑎2
𝑐,下焦点为(0,−c)下准
线为y=−
𝑎2
𝑐.
5.抛物线
1）到定点和定直线距离相等的点的轨迹,称为抛物线.其中定点称为焦点，定直线
称为准线.
2）焦点在x 轴上,且开口向右的抛物线方程为𝑦2=2p𝑥.焦点在y 轴上，且开口向
上的抛物线方程为𝑥2=2p𝑦.其中焦点到顶点的距离
𝑝
2称为焦距.
3）抛物线𝑦2=2p𝑥的焦点坐标为(
𝑝
2,0),准线方程为𝑥=−
𝑝
2.抛物线𝑥2=2p𝑦的焦点坐标
为(0,
𝑝
2),准线方程为𝑦=−
𝑝
2.
6.弦中点问题的基本解法及技巧
1）与椭圆的弦的中点有关的问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。
2）解椭圆的中点弦问题的一般方法是：
（1）判别式法：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、
根与系数的关系、中点坐标公式求解。
（2）点差法：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为
)
,
(
1
1 y
x
A
、
)
,
(
2
2 y
x
B
，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中
点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为
“点差法”。
3）设直线的技巧：
（1）直线过定点时引入参数斜率，利用点斜式设方程，注意讨论斜率存在与不
8
存在两种情况。
（2）直线斜率一定时引入参数截距，利用斜截式设方程。
（3）已知一般直线可设直线的斜截式方程，利用条件寻找k 与b 的关系。
7.定点定值问题
1）椭圆中常见的定值结论：
结论1：经过原点的直线l 与椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
相交于
,
M N 两点，P 是椭
圆上的动点，直线
,
PM PN 的斜率都存在，则kMNkOP为定值
2
2
b
a
.
结论2：已知
,
M N 是椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
两点，P 是
,
M N 的中点，直线
,
MN OP的斜率都存在，则kMNkOP为定值
2
2
b
a
.
结论3：设, ,
A B C 是椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
上的三个不同点，,
B C 关于x 轴对
称，直线
,
AB AC 分别与x 轴交于
,
M N 两点，则OM·ON 为定值
2
a .
结论4：过椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
上一点
0
0
(
,
)
P x y
上任意作两条斜率互为相反
数的直线交椭圆于
,
M N 两点，则直线MN 的斜率为定值
2
0
2
0
b x
a y .
结论5：分别过椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
上两点
0
0
(
,
)
P x y
，
'
'
0
0
(
,
)
Q x
y
作两条斜率
互为相反数的直线交椭圆于
,
M N 两点，则直线MN 的斜率为定值
2
'
0
0
2
'
0
0
(
)
(
)
b
x
x
a
y
y
.
2）定点问题：对圆锥曲线中定点的确定，通常设出适当的参数，求出相应曲线
系（直线系）方程，利用定点对参变量方程恒成立的特点，列出方程（组），从
而确定出定点或者也可以对参变量取特殊值确定出定点，再进行一般性证明.
3）定值问题：求证或判断某几何量是否为定值时，可引进适当的参变量，直接
求出相应几何量的值，说明或证明其为定值（与参变量无关）.
9
8.直线常见问题一般解决方法
1） 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。
（1）若已知直线过点
0
0
(
,
)
x
y
，则假设方程为
0
0
(
)
y
y
k x
x
-
=
-
；
（2）若已知直线的斜率k ，则假设方程为y
kx m
=
+
；
（3）若仅仅知道是直线，则假设方程为y
kx m
=
+
注意：以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；
（4）若已知直线恒过x 轴上一点( ,0)
t
，且水平线不满足条件（斜率为0），可
以假设直线为x
my t
=
+ 。【反斜截式，
1
m
k
=
】不含垂直于y 轴的情况（水平线）
2）弦长公式：若直线:l y
kx
m
与椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
相交于,
P Q 两点，
求弦长|
|
PQ 的步骤： 设
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
P x y
Q x
y
，联立方程组（将直线方程代入椭圆
方程）：
2
2
2
2
2
2
,
,
y
kx
m
b x
a y
a b
消去y 整理成关于x 的一元二次方程：
2
0
Ax
Bx
C
，则
1
2
,
x x 是上式的两个根，
2
4
0
B
AC
；由韦达定理得：
1
2
,
B
x
x
A
1
2
,
C
x x
A
又
,
P Q 两点在直线l 上，故
1
1
2
2
,
y
kx
m y
kx
m
，则
2
1
2
1
(
)
y
y
k x
x
，从而
2
2
2
1
2
1
|
|
(
)
(
)
PQ
x
x
y
y
2
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
x
x
k
x
x
2
2
2
1
(1
)(
)
k
x
x
2
2
1
2
1 2
(1
)[(
)
4
]
k
x
x
x x
2
2
(1
)
k
A
注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：
2
0
Ay
By C
+
+
= ，
则
2
2
1
2
1
|
|
(1
)(
)
PQ
y
y
k
2
2
1
(1
)
k
A
9.轨迹问题的常见解决方法
1）直接法
根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直
线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
10
2）定义法
通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方
法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段
的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性
质定理。
3）点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
A x y
B x
y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得
1
2
x
x
，
1
2
y
y
，1
2
x
x
，
1
2
y
y
等关系式，由于弦AB 的中点
( , )
P x y 的坐标满足
1
2
2x
x
x
，
1
2
2y
y
y
且直线AB 的斜率为
2
1
2
1
y
y
x
x
，由此可求得弦AB 中点的
轨迹方程。
4）转移法
转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。
当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：
①某个动点P 在已知方程的曲线上移动；
②另一个动点M 随P 的变化而变化；
③在变化过程中P 和M 满足一定的规律。
5）参数法
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点
的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为
寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨
论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的
位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。
6）交轨法
若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也
可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。
