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集合重点总结
一、高考考点、考频
集合这一章节在高考中一般就是第一题或者第二题选择题的位置。所以很简单，
属于必拿分项。而考察的点也会较为统一：集合的关系与运算。有的时候比较难，
会考察到子集个数的问题。极少概率会考察到新定义的问题。集合虽然简单，但
是是属于必考项。所以大家也不能掉以轻心。
二、高考真题
1．（2018 新课标.2）（5 分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁RA＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2}
B．{x|﹣1≤x≤2}
C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪
{x|x≥2}
【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，
可得A＝{x|x＜﹣1 或x＞2}，
则：∁RA＝{x|﹣1≤x≤2}．
故选：B．
【点评】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．
2.（2018 新课标.2）（5 分）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元
素的个数为（ ）
A．9
B．8
C．5
D．4
【分析】分别令x＝﹣1，0，1，进行求解即可．
【解答】解：当x＝﹣1 时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，
当x＝0 时，y2≤3，得y＝﹣1，0，1，
当x＝1 时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，
即集合A 中元素有9 个，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．
三、知识点
1.子集个数问题
若集合A 有(
1)
n n
个元素，则它有2𝑛个子集，2𝑛-1 个真子集，2𝑛-1 个非空子
2
集，2𝑛-2 非空真子集。
2.6 个等价关系
A∩B＝A ⇔ A∪B＝B ⇔ A⊆B ⇔ 𝐶𝑈A⊇𝐶𝑈B ⇔ A∩(𝐶𝑈B)＝∅ ⇔
(𝐶𝑈A)UB=R
3.6 个与空集有关的结论
1）A⊆B 包含分A=∅和A≠∅两种情况，A≠∅又分A=B 和A⊊B 两种情况.当题目
中出现A⊆B 或A∩B＝A 或A∪B＝B 时，在解题过程中务必注意对集合A 进行分
类讨论，即分A=∅和A≠∅两种情况进行讨论。
2） ∅⊆A；∅⊊A (A≠∅)。
3）若A∩B＝∅，则A 或B 可能是∅或A 与B 均不为∅但无公共元素；若A∪B＝
A，则B=∅。
4）∅ 与{∅}的区别：前者代表空集，后者代表一个集合，这个集合的元素的空
集，属于集中集。所以 ∅∈{∅}、∅⊆{∅}均正确。
5）∅只有一个子集，就是它本身。
6） 5 种空集的情况
A={ x |ax+b=0}=∅ ⇔ a=0,b≠0；
A={ x |ax2+bx+c=0,a≠0}=∅ ⇔ b2-4ac<0；
A={ x |m<x<n}=∅ ⇔ m≥n；
A={ x |ax+b>0}=∅ ⇔ a=0,b≤0；
A={ x |ax2+bx+c>0,a≠0}=∅ ⇔ a<0, b2-4ac≤0。
4.德摩根定理
𝐶𝑈(A∩B)= 𝐶𝑈𝐴∪𝐶𝑈B
𝐶𝑈(A∪B)= 𝐶𝑈𝐴∩𝐶𝑈B
A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C)
用集合A、B 表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别
是
A∩B；A∩(𝐶𝑈B)；B∩(𝐶𝑈𝐴)；𝐶𝑈(A∪B)或(𝐶𝑈B)∩(𝐶𝑈𝐴)。
