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专题07 二次函数中线段、周长、面积最值问题的五类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用二次函数求线段最值的问题
题型二、利用二次函数求线段和最值的问题
题型三、利用二次函数求线段差最值的问题
题型四、利用二次函数求周长最值的问题
题型五、利用二次函数求面积最值的问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：在抛物线背景下，求动点构成的线段长、图形周长或面积的最大/最小值，常涉及水平宽×铅
垂高、将军饮马等模型。
- 解题方法：设动点坐标，用两点距离或铅垂高公式表示目标量，转化为二次函数；周长最值常用对称变
换化折为直；面积最值可用割补法或水平宽×铅垂高。
- 易错提醒：忽略自变量取值范围致顶点处取不到；水平宽×铅垂高公式中铅垂高符号处理错误；将军饮
马对称点选错；未区分线段与水平/竖直距离的代数表达。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用二次函数求线段最值的问题
典例1（25-26 九年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
的图象
经过
，
两点．
目 录
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(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P 是直线
上方抛物线上的一个动点，过点P 向x 轴作垂线，交线段
于点Q，求线段
的最大
值；
(3)连接
，将线段
沿x 轴向右平移
个单位长度，若线段
与抛物线无交点，请直接写出m
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法直线
解析式为
，设
，则
，可求出
，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）利用待定系数法求出平移前线段
的解析式为
，可得平移后线段
的解析式为
，
由二次函数的对称性可得点
的对称点为
，再分别求出当线段
经过
和
时
对应
的值，结合图象即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线
的图象经过
，
两点，
∴
，
解得
，
∴
；
（2）解：设直线
解析式为
，
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则
，
解得
，
∴直线
解析式为
，
∵
轴，
∴设
，则
，
∴
，
∴当
时，
取最大值为
；
（3）解：设平移前线段
的解析式为
，
代入
得
，
解得：
，
平移前线段
的解析式为
，
，
抛物线对称轴为
，
点
关于对称轴
的对称点
，
线段
向右平移
个单位长度，
平移后线段
的解析式为
，
当平移后线段
经过
，则
，
解得：
，
当平移后线段
经过
，则
，
解得：
，
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结合图象得，若线段
与抛物线无交点，
的取值范围为
或
．
题型模版
1.特征：在坐标系中，动点在函数图象上，求线段长度（如两点间距离）的最大值或最小值。
2.方法：设动点坐标，用两点距离公式表示线段长度的平方，转化为二次函数，配方求顶点得最值。
变式1-1（2026·湖北荆州·二模）如图，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴
交于点
．点
是抛物线上的动点，过点
作
轴交直线
于点
，点
的横坐标为
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点
是直线
上方抛物线上一点．
①求线段
长度的最大值；
②若
，直接写出
取何值时线段
的长度最大（可用含的代数式表示
）；
(3)点
是
轴右侧抛物线上一点（不与点
重合），当点
关于直线
的对称点
落在
轴上时，求点
的坐标．
【答案】(1)
(2)①线段
长度的最大值为
；
②当
，即
时，当
时，线段
的长度最大；
当
，即
时，当
时，线段PM 的长度最大；
当
，即
时，当
时，线段
的长度最大
(3)点
的坐标为
或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①先求出直线
的解析式为
，则
，得到
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，利用二次函数的性质求最值即可；
②通过当
，
，
时三种情况讨论
的最值；
（3）分点
在第一、第四象限两种情况利用
列方程求解即可.
【详解】（1）解：把
代入抛物线
得，
，
解得：
，
抛物线的解析式为
；
（2）解：①设直线
的解析式为
，
把
，
代入得，
，
解得：
，
直线
的解析式为
；
轴交直线
于点
，点
的横坐标为
，
，
；
由题意可知，
，
，
当
时，
取最大值为
，
即线段
长度的最大值为
；
②
的对称轴为
，
当
，即
时，当
时，线段
的长度最大；
当
，即
时，当
时，线段
的长度最大；
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当
，即
时，当
时，线段
的长度最大；
（3）解：①当点
在第一象限时（如图），
轴，
轴，
，
由轴对称的性质可得，
，
，
，
，
∵
，
，
；
，
，
解得，
或
（舍），
点
的坐标为
；
②当点
在第四象限时（如图），
同理可得
，
，
解得，
或
（舍），
点
的坐标为
；
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综上可得，点
的坐标为
或
．
变式1-2（2026·河北邯郸·二模）二次函数如图，二次函数
图象的顶点为Q，恒过点
，
二次函数
图象的顶点为P．
(1)
________，Q 点的坐标________；
(2)若直线
与y 轴的交点到x 轴的距离为10，求b 的值；
(3)当
轴时，设两条抛物线交于点B，C（点B 在点C 左侧），求四边形
的面积；
(4)线段
是否存在最小值，若存在，直接写出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
或
(3)
(4)存在，
【分析】（1）将点
代入
即可求出
的值；进而得到顶点Q 的坐标；
（2）设直线
的解析式为
或直线
的解析式为
，将顶点Q 的坐标代入求解出解析
式，再将二次函数
图象的顶点为
代入直线
的解析式即可求解；
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（3）由题意可得
，
，联立
，求出
两点的横坐标，再求出
，
即可求解；
（4）利用勾股定理求出
，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：将点
代入
，得
，
解得
；
∴
，
∴
；
（2）解：由题意得直线
与y 轴的交点的坐标为
或
，
当直线
与y 轴的交点的坐标为
时，
设直线
的解析式为
，
由（1）知
；
则
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
∵二次函数
图象的顶点为
，
∴
，
解得
；
当直线
与y 轴的交点的坐标为
时，
设直线
的解析式为
，
则
，解得
，
∴直线
的解析式为
，
∵二次函数
图象的顶点为
，
∴
，
解得
；
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综上，b 的值为
或；
（3）解：∵
轴，
，
，
∴
，则
，
∴
，
∴
，
∴
，
联立
，则
，
解得
，
∴
两点的横坐标分别为
，
∴四边形
的面积为
；
（4）解：存在，
∵
，
，
∴
，
令
，
∵
，
∴当
时，
有最小值
，
∴当
时，
有最小值
．
题型二、利用二次函数求线段和最值的问题
典例2（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线
过点
和点
．
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(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)已知点
是
上方的抛物线上一点，作
轴于点
，求
的最大值；
(3)当
，函数
有最小值为0，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）设
，
表示出
，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）先求得抛物线对称轴为直线
，分
，
且
，
，三种情况结合二次函
数的性质，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线
过点
和点
．
∴
解得：
∴该抛物线的函数关系式为
；
（2）解：设
，
，其中
，
∴
，
∵
，
∴
的最大值为
；
（3）解：∵
，对称轴为直线
，
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当
时，
解得：
，
∵
在对称轴左侧函数
随着
的增大而增大，在对称轴右侧函数
随着
的增大而减小．
故分以下三种情况讨论：
①若
，即
则当
时，函数
有最小值为
，解得：
（舍去）
②若
且
，即
当
时，函数
有最小值为
，
，解得：
．
当
时，函数
有最小值为
，
，解得：
，
或
③若
，即
则当
时，函数
有最小值为
，
，解得：
舍），
综上，
的值为或
．
题型模版
1.特征：求两条或多条线段和的最小值，常含动点，需化曲为直或构造函数。
2.方法：将军饮马作对称化折线为直线；或用二次函数表示线段和，配方求顶点，注意取值范围。
变式2-1（25-26 九年级下·河南南阳·期中）如图，抛物线
与x 轴交于A，B 两点，与y
轴交于点
，P 是抛物线上的任意一点，设点P 的坐标为
，过点P 作
轴于点M，作
轴于点N．
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(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当
时，是否存在一点P，使得
的长度最大？若存在，求出m 的值及
的最大值；
若不存在，请说明理由．
(3)若在矩形
内部的抛物线上的点的纵坐标y 随x 的增大而增大，请直接写出m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得出
．确定当
时，
，然后确定
，结
合二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意得出抛物线的对称轴为直线
，设点C 关于对称轴对称的点为D，则
，然后结合
函数图象分情况分析即可求解．
【详解】（1）解：∵点
在抛物线
上，
∴
，
解得
．
∴抛物线的函数表达式为
．
（2）存在．∵点P 的坐标为
，为抛物线上任意一点，
∴
．
令
，
解得
或
．
∴
．
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∴当
时，
．
∴
．
∵
，
∴当
时，
有最大值，最大值为
．
（3）∵
，
∴抛物线的对称轴为直线
，
设点C 关于对称轴对称的点为D，则
．
如图，分情况讨论：
①当
时，此时y 随x 的增大而增大．
②当
时，抛物线不在矩形
内部，不符合题意．
③当
时，此时y 随x 的增大而增大．
④当
时，抛物线不在矩形
内部，不符合题意．
⑤当
时，y 随x 的增大而减小，不符合题意．
综上所述，m 的取值范围为
或
．
变式2-2（2026·安徽阜阳·二模）平面直角坐标系中，如图1，二次函数
的图象与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
，顶点为
，点
是抛物线上
，
两点之间的一动点．
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(1)求这个抛物线的解析式；
(2)如图2，过点
作
于点
．
①求线段
的最大值；
②如图3，过点
作
轴于点
，设
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解、二次函数的最值问题、直线方程的应用以及几何图形中
的线段关系分析．
（1）根据抛物线的顶点坐标设顶点式，将
代入即可解答；
（2）①设
，过点
作
轴交
于点
，经分析，线段
，根据
可得当
时，
有最大值
，从而得到线段
的最大值；②经分析，
，结合图形，求出交点
的横坐标为
，故
，代入
可得
，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为
，
将
代入得：
，
解得
，
抛物线的解析式为
，即
；
（2）解：①由（1）知
，
设直线
的解析式为
，
将
，
代入得：
，解得
，
直线
的解析式为
，
设
，过点
作
轴交
于点
，
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，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
当
时，
有最大值
，
的最大值为
；
②由①知
，
，
，
延长
交
于点
，
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，
，
，则
为等腰直角三角形，
，
，
，
把
代入直线
的解析式
，
可得交点
的横坐标
，
轴，
，
，
，
当
时，
取得最大值，最大值为
．
题型三、利用二次函数求线段差最值的问题
典例3（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过
(
)
1,0
A −
和
(
)
4,0
B
两点，其顶点为D．
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(1)如图，当
8
c = 时，求抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的解析式．
(2)点E 在y 轴正半轴上，且到原点的距离为2，当BD
ED
−
最大时，求点D 的坐标．
【答案】(1)
2
2
6
8
y
x
x
= −
+
+
(2)
3
( ,5)
2
D
【分析】（1）利用交点式设抛物线解析式，代入点(0,8) 求出a ．
（2）利用抛物线的对称性可知对称轴上的点到A、B 的距离相等，将BD
ED
−
转化为AD
ED
−
，利用三角
形两边之差小于第三边，当A、E 、D 三点共线时取得最大值，求出直线AE 与对称轴的交点即可．
【详解】（1）解：抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过
( 1,0)
A −
和
(4,0)
B
，
设抛物线的解析式为
(
1)(
4)
y
a x
x
=
+
−
，
8
c =
，即抛物线过点(0,8) ，
8
(0 1)(0
4)
4
a
a
=
+
−
= −
，
2
a
= −，
2
2
2(
1)(
4)
2(
3
4)
2
6
8
y
x
x
x
x
x
x
= −
+
−
= −
−
−
= −
+
+
．
（2）解：点E 在y 轴正半轴上，且到原点的距离为2 ，
(0,2)
E
，
抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过
( 1,0)
A −
和
(4,0)
B
，
对称轴为直线
1 4
3
2
2
x
−+
=
=
，
点D为抛物线的顶点，且D 在对称轴直线
3
2
x =
上，
又对称轴直线
3
2
x =
是线段AB 的垂直平分线，
对称轴上的任意一点到A、B 两点的距离相等，即DA
DB
=
，
BD
ED
AD
ED
−
=
−
，
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在ADE
中，AD
ED
AE
−
，
当且仅当A、E 、D三点共线，且点E 在线段AD上时，AD
ED
AE
−
=
取得最大值，
设直线AE 的解析式为
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
，
( 1,0)
A −
，
(0,2)
E
，
1
1
0
2
k
b
b
−+
=
=
，解得
1
2
2
k
b
=
=
，
直线AE 的解析式为
2
2
y
x
=
+
，
点D在对称轴
3
2
x =
上，
3
2
2
3
2
5
2
y
=
+
= +
=
，
3
( ,5)
2
D
．
题型模版
1.特征：求两条线段差的最大值，动点在函数图象上，常利用三角形三边关系或函数建模。
2.方法：作对称点转化为共线问题（差最大用三角形三边关系），或用坐标表示差为二次函数求最值。
变式3-1（2026·江苏宿迁·二模）抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点A、B 、C ，已知(
)
3,0
B
，
(
)
0, 3
C
−
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线对称轴上一动点，求当AD
CD
−
取最大值时，点D 的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移，使其顶点E 与原点O重合，直线
1(
0)
y
kx
k
=
+
与抛物线相交于点P 、Q（点P
在左边），过点P 作x 轴平行线交抛物线于点R ，当k 发生改变时，请说明直线QR 过定点，并求定点坐标．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
−
−
(2)(
)
1, 6
−
(3)过定点，且定点坐标为(
)
0, 1
−
，见解析
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【分析】（1）先根据点B 坐标，点C 坐标，利用待定系数法求解可得；
（2）连接AC ，并延长交对称轴直线
1
x = 于点M，因为AD
CD
AC
−
，所以当A，C，D 三点共线时，AD
CD
−
取得最大值，且最大值为AC ，求解即可；
（3）设
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
，得到
1
2
,
x x 是方程
2
1
0
x
kx
−
−=
的两个根，所以
1
2
1 2
,
1
x
x
k x x
+
=
= −；确定
(
)
1
1
,
R
x y
−
，设直线QR 的解析式为y
mx
n
=
+
，根据题意，得
2
2
1
1
x m
n
y
x m
n
y
+
=
−
+
=
，得到直线QR 的解析式为
(
)
2
1
1
y
x
x
x−
=
−
，当
0
x =
时，
1
y
−
=
，故k 发生改变时，直线QR 过定点，且定点坐标为(
)
0, 1
−
．
【详解】（1）解：抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点A、B 、C ，且(
)
3,0
B
，
(
)
0, 3
C
−
．
9
3
0
3
b
c
c
+
+
=
= −
，
解得
2
3
b
c
= −
= −
，
故抛物线解析式为
2
2
3
y
x
x
=
−
−；
（2）解：因为抛物线解析式为
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
=
−
=
−
，
所以抛物线的对称轴为直线
1
x = ，顶点坐标为(
)
1, 4
−
；
令
0
y =
，得
(
)
2
2
2
3
1
4
0
x
x
x
−
−
=
−
−
=
，
解得
1
1
x = −，
2
3
x =
，
故
(
)
1,0
A −
，
连接AC ，并延长交对称轴直线
1
x = 于点M，
因为AD
CD
AC
−
，
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所以当A，C，D 三点共线时，AD
CD
−
取得最大值，且最大值为AC ，
故当点D 与点M 重合时，AD
CD
−
取得最大值，
设AC 的解析式为
3
y
kx
=
−，将点A 的坐标代入得：
3
0
k
−−=
，解得
3
k = −，
直线AC 的解析式为
3
3
y
x
= −
−．
当
1
x = 时，
3 1 3
6
y = −−
= −，
此时
(
)
1, 6
M
−
，
故点D的坐标为(
)
1, 6
−
；
（3）解：因为抛物线解析式为
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
=
−
=
−
，
所以抛物线的对称轴为直线
1
x = ，顶点坐标为
(
)
1, 4
E
−
；
因为抛物线平移，使其顶点E 与原点O重合，
所以新抛物线的解析式为
2
y
x
=
，
设
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
，
因为直线
1(
0)
y
kx
k
=
+
与抛物线相交于点P 、Q （点P 在左边），
所以
1
2
,
x x 是方程
2
1(
0)
x
kx
k
=
+
的两个根，
所以
1
2
,
x x 是方程
2
1
0
x
kx
−
−=
的两个根，
所以
1
2
1 2
,
1
x
x
k x x
+
=
= −；
因为过点P 作x 轴平行线交抛物线于点R ，
所以点P，点R 关于y 轴对称，
所以
(
)
1
1
,
R
x y
−
，
设直线QR 的解析式为y
mx
n
=
+
，
根据题意，得
2
2
1
1
x m
n
y
x m
n
y
+
=
−
+
=
，
所以
(
)
2
1
2
1
y
y
x
x
m
−
=
+
，
所以
(
)
2
1
1
1
km
kx
kx
+ −
+
=
，
所以
2
1
1
1
kx
kx
km
+ −
−=
，
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解得
2
1
m
x
x
=
−
，
所以
(
)
2
2
1
2
n
y
x
x
x
=
−
−
2
2
2
1
2
1
kx
x
x x
=
+ −
+
(
)
2
1
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x x
=
+
+ −
+
(
)
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
x
x x
x
x x
x x
−
=
+
+ −
+
=
+ =
−
+ =
，
∴直线QR 的解析式为
(
)
2
1
1
y
x
x
x−
=
−
，
当
0
x =
时，
1
y
−
=
，
故k 发生改变时，直线QR 过定点，且定点坐标为(
)
0, 1
−
．
变式3-2（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的图象经过
(
)
(
)
0,3 ,
6,3
A
B
两
点，点P 为第一象限抛物线上不与点B 重合的一动点，作PD
x
⊥
轴于点D，交直线OB 于点C，设点P 的
横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点C 为PD中点时，求m 的值；
(3)令d
PC
CD
=
−
．
①求d 关于m 的函数解析式；
②当d 随m 的增大而减小时，请直接写出m 的取值范围．
【答案】(1)
2
6
3
y
x
x
= −
+
+
(2)
5
37
2
m
+
=
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(3)①
2
2
2
5
37
(0
)
2
5
3
5
37
5
3 (
6)
2
6
3 (6
3
2 3)
m
m
m
d
m
m
m
m
m
m
+
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
；②5
5
37
2
2
m
+
或6
3
2 3
m
+
【分析】本题考查了二次函数综合．
（1）用待定系数法即可解答；
（2）求出直线OB 解析式，设(
)
2
,
6
3
P m
m
m
−
+
+
，则
1
, 2
C m
m
， 根据PD
x
⊥
轴于点D，点C 为PD中点，
列出等式，即可解答；
（3）①先求出抛物线与x 轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次
函数的增减性进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：把
(
)
(
)
0,3 ,
6,3
A
B
代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 得：
3
36
6
3
c
b
c
=
−
+
+
=
，
解得：
3
6
c
b
=
=
，
∴抛物线的解析式为
2
6
3
y
x
x
= −
+
+ ．
（2）解：设直线OB 解析式为y
kx
=
，
将点
(
)
6,3
B
代入得：3
6k
=
，
解得：
1
2
k =
，
∴直线OB 解析式为
1
2
y
x
=
，
设(
)
2
,
6
3
P m
m
m
−
+
+
，则
1
, 2
C m
m
，
∵PD
x
⊥
轴于点D，点C 为PD中点，
∴
(
)
2
1
1
6
3
2
2
m
m
m
=
−
+
+
，
解得：
5
37
2
m
+
=
（负值舍去）；
（3）解：①当
0
y =
时
2
0
3
6
x
x
= −
+
+
，
解得：
3
2 3
= +
x
（负值舍去），
∴抛物线交x 轴正半轴于点(
)
3
2 3,0
+
，
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设(
)
2
,
6
3
P m
m
m
−
+
+
，则
1
, 2
C m
m
，
(
)
,0
D m
，
当
5
37
0
2
m
+
时，
2
2
1
11
6
3
3
2
2
PC
m
m
m
m
m
= −
+
+ −
= −
+
+ ，
1
2
CD
m
=
，
2
2
11
1
3
5
3
2
2
d
PC
CD
PC
CD
m
m
m
m
m
=
−
=
−
= −
+
+ −
= −
+
+
；
当5
37
6
2
m
+
时，
2
2
1
11
6
3
3
2
2
PC
m
m
m
m
m
= −
+
+ −
= −
+
+ ，
1
2
CD
m
=
，
2
2
1
11
3
5
3
2
2
d
PC
CD
CD
PC
m
m
m
m
m
=
−
=
−
=
−−
+
+
=
−
−
；
当6
3
2 3
m
+
时，
(
)
2
2
1
11
6
3
3
2
2
PC
m
m
m
m
m
=
−−
+
+
=
−
−，
1
2
CD
m
=
，
2
2
1
11
3
6
3
2
2
d
PC
CD
CD
PC
m
m
m
m
m
=
−
=
−
=
−
−
−
= −
+
+
，
综上：
2
2
2
5
37
(0
)
2
5
3
5
37
5
3 (
6)
2
6
3 (6
3
2 3)
m
m
m
d
m
m
m
m
m
m
+
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
；
②当
5
37
0
2
m
+
时，
2
5
3
d
m
m
−
=
+
+ ，
1
0
a = −
开口向下，对称轴为直线
5
2
m =
，
∴当5
5
37
2
2
m
+
d 随m 的增大而减小；
当5
37
6
2
m
+
时，
2
5
3
d
m
m
=
−
−
；
1
0
a =
开口向上，对称轴为直线
5
2
m =
，
∴当
5
2
m
d 随m 的增大而减小，不符合题意，舍去；
当6
3
2 3
m
+
时，
2
6
3
d
m
m
−
=
+
+ ，
1
0
a = −
开口向下，对称轴为直线
3
m =
，
∴当6
3
2 3
m
+
时，d 随m 的增大而减小．
综上：5
5
37
2
2
m
+
或6
3
2 3
m
+
．
题型四、利用二次函数求周长最值的问题
典例4（25-26 九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线
交x 轴于点
，
，
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交y 轴于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是抛物线对称轴上的一个动点，当
的周长最小时，请直接写出此时点P 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点A、C 坐标代入
即可得解；
（2）连接
与对称轴的交点即为P，连接
，
，再根据直线
的解析式与对称轴求解P 的坐标即
可．
【详解】（1）解：将点A、C 坐标代入得，
解得
，
抛物线的解析式为：
；
（2）解：∵
，
∴对称轴为直线
，
如图，连接
与对称轴的交点即为P，连接
，
，
此时
的周长
最小，点P 即为所求，
当
时，
∴
，
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设直线
的解析式为
，
将
，
代入得，
解得：
，
∴直线
的解析式为
当
时，
∴
．
题型模版
1.特征：动点形成图形，求周长最大值或最小值，常需用函数表示各边之和。
2.方法：设动点坐标，用两点距离公式表示各边，建立周长的二次函数，配方求顶点最值，注意几何约束。
变式4-1（2026·黑龙江鸡西·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x 轴交于
，
两点，与y 轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)请在y 轴上找一点M，使
的周长最小，请直接写出点M 的坐标；
【答案】(1)
(2)点M 的坐标为
【分析】（1）由已知条件，运用待定系数法，求得a，c 的值，从而求得抛物线的表达式；
（2）先求出点D 坐标，点M 为y 轴上一点，连接
，
，作点D 关于y 轴的对称点
，连接
，
，则有
，则
，由此可得，当点M 为
与y 轴的交点时，
有最小值．运用待定系数法，求出直线
的解析式，从而求得该直线与y 轴交点，即可得到点M 的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线
与x 轴交于
，
两点，
∴将
，
代入抛物线
，
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可得：
，
解得：
，
∴抛物线的表达式为：
；
（2）解：如图1，作
轴于点E，连接
．
∵
，
∴抛物线顶点
，
∵
，
，
轴于点E，
∴
，
，
，
在
中，
，
∴
的周长为：
．
如图2，点M为y轴上一点，连接
，
，作点D 关于y轴的对称点
，连接
，
，则有
，
∴
，
∴当点M 为
与y 轴的交点时，
有最小值，最小值为
的长．
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∵
，点D 与点
关于y 轴对称，
∴
，
∵
，
设直线
的解析式为：
，
∴
，
解得，
，
∴直线
的解析式为：
，
令
，则
，
∴当
的周长最小时，M 的坐标为
．
变式4-2（25-26 九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，抛物线
与x 轴交于点
，
，与y 轴交于点C，且B，C 两点间的距离为
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E 是线段
上一点（不与点A，B 重合），过点E 作
轴，交抛物线于点F，过点F 作
轴，交y 轴于点G，求四边形
周长的最大值及此时点E 的坐标．
【答案】(1)
(2)
，四边形
周长最大值为
【分析】（1）根据B，C 两点间的距离为
，求得点
坐标，由待定系数法即可求解；
（2）分两种情况讨论，即点
在线段
上，或点
在线段
上，设
，列出四边形
周长的表达式，利用二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得点
在
轴负半轴，
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设
，
根据勾股定理可得
，
即
，
解得
（正数舍去），
，
设抛物线的解析式为
，
把
代入可得
，
解得
，
所以抛物线的解析式为
；
（2）解：设点
，则
，
当点
在线段
上时，
四边形
周长
，
当
时，取得最大值，此时无法组成四边形，故不符合题意；
当点
在线段
上时，
四边形
周长
，
当
时，四边形
周长取最大值，为
．
即
时，四边形
周长最大值为
．
题型五、利用二次函数求面积最值的问题
典例5（2026·甘肃平凉·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
（
、为常数，且
）
与
轴交于
、
两点，与
轴交于点
．
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(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点
是
轴下方抛物线上一点，连接
、
、
，当
的面积最大时，求点
的坐
标；
(3)如图2，点
是抛物线对称轴上的动点，点
是
轴上的动点，在（2）的条件下，连接
、
、
，
当
的面积最大时，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）作
轴交
于点
，求得
所在直线的函数表达式，设点
的坐标为
，则点
的坐标为
，用含
的二次函数表示出
的面积，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）作
轴交抛物线于点
，则点
与点
关于抛物线的对称轴对称，连接
，作点
关于
轴的
对称点
，推出当
、
、
、
四点在一条直线上时，
最小，最小值为
的长，据此求
解即可．
【详解】（1）解：将
、
代入
，
得
，
解得
，
抛物线的函数表达式为
；
（2）解：作
轴交
于点
，
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在
中，令
，得
，
点
的坐标为
，
由
、
可得
所在直线的函数表达式为
，
设点
的坐标为
，则点
的坐标为
，
，
，
，
当
时，
最大，此时点
的坐标为
；
（3）解：由（2）可知当
的面积最大时，点
的坐标为
．
由
、
可得抛物线的对称轴为
，
作
轴交抛物线于点
，则点
与点
关于抛物线的对称轴对称，连接
，作点
关于
轴的对称
点
，连接
、
、
，
点
的坐标为
，
，
，
，
，
，
，
当
、
、
、
四点在一条直线上时，
最小，最小值为
的长，
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过点
作
轴于点
，
，点
与点
关于
轴对称，
点
的坐标为
，
，
，
轴，
，
，
，
的最小值为
．
题型模版
1.特征：动点在函数图象上，求三角形或四边形面积的最大值或最小值，常选水平底或铅锤高。
2.方法：设动点坐标，用铅锤法或割补法表示面积，建立二次函数，配方求顶点最值并验证范围。
变式5-1（25-26 九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知抛物线
与
轴交于点
和点
，与
轴交于点
，对称轴为直线
．
(1)求
，，
的值；
(2)点
是直线
上一动点（不与点
重合），过点
作
轴，交抛物线
于点
，若点
是点
关
于直线
的对称点，且点
落在
轴上，求点
的横坐标；
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(3)直线
（
为不等于0 的常数）与抛物线
交于点
，求
面积的最小值．
【答案】(1)
，
，
(2)
(3)8
【分析】（1）根据二次函数的对称性得到
，
，求出
，
，得到
，
，然后将
代入解析式求出
；
（2）首先得到抛物线解析式为
，求出
，得到
，然后求出
，得到
，设
，则
，然后表示出
，
代
入求解即可；
（3）由
知，直线过点
，则得
轴，且
；联立直线与抛物线的解析式，
消去y 得一元二次方程，可求得M 与N 的横坐标，再由
，可得关于k 的函
数关系式，即可求得面积的最小值．
【详解】
（1）解：∵抛物线
与
轴交于点
和点
，对称轴为直线
，
∴
，
，
∴
，
；
∴
，
，
将
代入
得，
，
∴
；
（2）解：∵
，
，
∴抛物线解析式为
，
∴当
时，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
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∵点
是点
关于直线
的对称点，且点
落在
轴上，
∴
，
∵
轴，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
设直线
的表达式为
，
得
，
解得
,
∴直线
的表达式为
，
设
，则
∴
，
∴
解得
（舍去）或
．
∴点
的横坐标为
；
（3）解：∵直线
（
为不等于0 的常数）与抛物线
交于点
，
当
时，
，
直线
过点
，
，
轴，且
，
联立直线与抛物线的解析式得：
，
整理得，
，
，
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，
，
，
，
∴当
时，
有最小值16，
∴
的面积有最小值
．
变式5-2（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于
、
两点，与
轴交于点
．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点
是直线
下方抛物线上一个动点，求四边形
面积的最大值及此时点
的坐标；
(3)如图2，点
为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与
轴交于点
，直线
（
为常数）交
抛物线于
、
两点（点
、
分别在抛物线对称轴的两侧），直线
交
轴于点
，直线
交
轴于点
．试探究
是否为定值？若为定值，求出
的值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形
面积的最大值为
；点
的坐标为
(3)是定值，定值为
【分析】（1）先写出交点式，再代入点C 坐标求解即可；
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（2）过点
作
轴，交
于点
，可求直线
，根据
，可得当
面积最大时，四边形
面积最大，设
（
），则
，那么
，再由
，得到
，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）不妨设点
、
分别位于对称轴的左右两侧，可求顶点
，则
，设
，
，联立直线
与抛物线
，整理得，
，则
，可求直线
，求出
，同理可得
，
则
，
，即可求解
．
【详解】（1）解：∵抛物线
与
轴交于
、
两点，
∴
∵抛物线与
轴交于点
∴
，
解得
∴抛物线的表达式为
；
（2）解：过点
作
轴，交
于点
，
设直线
，
代入
，
可得，
解得
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∴直线
∵
∴当
面积最大时，四边形
面积最大，
设
（
），则
∴
，
∴
，
即
∵
，
，
∴当
时，
的面积最大为
，
∴四边形
面积最大值为
，
∴此时点
纵坐标为
，
∴点
的坐标为
；
（3）解：
是定值，
如图，不妨设点
、
分别位于对称轴的左右两侧，
抛物线
，
∴顶点
∴
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设
，
联立直线
与抛物线
，
则
整理得，
，
∴
，
设直线
，则
解得
∴直线
，
令
，则
，解得
，
∴
，同理可得
，
∴
，
，
∴
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、解答题
1．（25-26 九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象（记
为
）与x 轴交于点A，B，与y 轴交于点C，二次函数
的图象（记为
）经过点A，C．直
线
与两个图象
，
分别交于点M，N，与x 轴交于点P．
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(1)求b，c 的值；
(2)当点P 在线段
上时，求
的最大值．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，熟练掌握二次函数的性质是解此题
的关键．
（1）先求出点
、
的坐标，再利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）由（1）知
的表达式为
，结合题意可得
，
，其中
，
表示出
，再由二次函数的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：对于二次函数
，当
时，
，
解得：
，
，
，
，
当
时，
，
，
∵二次函数
的图象经过点A，C．
∴
，
解得
；
（2）解：由（1）知
的表达式为
，
∵直线
与x 轴垂直，
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，
，其中
，
，
，
∴当
时，
取得最大值
．
2．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线
经过
和
两点，其顶点为D．
(1)如图，当
时，求抛物线
的解析式．
(2)点E 在y 轴正半轴上，且到原点的距离为2，当
最大时，求点D 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用交点式设抛物线解析式，代入点
求出
．
（2）利用抛物线的对称性可知对称轴上的点到
、
的距离相等，将
转化为
，利用三角
形两边之差小于第三边，当
、
、
三点共线时取得最大值，求出直线
与对称轴的交点即可．
【详解】（1）解：
抛物线
经过
和
，
设抛物线的解析式为
，
，即抛物线过点
，
，
，
．
（2）解：
点
在
轴正半轴上，且到原点的距离为
，
，
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抛物线
经过
和
，
对称轴为直线
，
点
为抛物线的顶点，且
在对称轴直线
上，
又
对称轴直线
是线段
的垂直平分线，
对称轴上的任意一点到
、
两点的距离相等，即
，
，
在
中，
，
当且仅当
、
、
三点共线，且点
在线段
上时，
取得最大值，
设直线
的解析式为
，
，
，
，解得
，
直线
的解析式为
，
点
在对称轴
上，
，
．
3．（25-26 九年级上·云南曲靖·期末）如图，抛物线
与x 轴交于
，
两点，与
y 轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D 是抛物线上一点，且
，求点D 的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得
的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说
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明理由．
【答案】(1)
(2)点D 坐标为
或
或
(3)存在，点P 坐标为
【分析】本题考查了二次函数综合——面积问题和周长问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关
键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点D 坐标为
，求得
，可得
，即
，解方程
即可得答案；
（3）连接
，
，利用抛物线点对称性可知当点B、P、C 三点共线时，此时
的周长最小，然后
利用待定系数法求得直线
的解析式，即可解答．
【详解】（1）解：将
，
代入
得：
，
解得
，
∴抛物线解析式为
；
（2）解：设点D 坐标为
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
∴
或
，
解
得：
，此时
；
解
得：
，此时
或
∴点D 坐标为
或
或
；
（3）解：存在，
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如图所示，连接
，
，
∵点A、B 关于抛物线对称轴对称，
∴
，
∴
的周长
，
即当点B、P、C 三点共线时，此时
的周长最小，
对于
，令
，则
，
∴
，
设直线
解析式为
，将
，
代入得：
，
解得
，
∴直线
的解析式为
，
∵
，
∴该抛物线的对称轴为直线
，
∴对于
，当
时，
，
∴点P 坐标为
．
4．（25-26 九年级上·天津东丽·期末）已知：二次函数
的图象与x 轴交于A，B 两点，其中A
点坐标为
，与y 轴交于点C，点
在抛物线上．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一点P，使
周长最小，求P 点坐标；
(3)Q 为直线
下方抛物线上一点，求
面积的最大值；
【答案】(1)
(2)点P
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质.
（1）由待定系数法即可求解；
（2）点D 关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接
交抛物线对称轴于点P，则点P 为所求点，然后
求出点P 的坐标即可；
（3）过点Q 作
轴交
于点H，求出直线
的表达式为：
，设点
，则点
，根据
表示出三角形的面积，然后求出最大值即可．
【详解】（1）解：把
，
代入
，
∴
，
解得：
，
则抛物线的表达式为：
；
（2）解：把
代入
得：
，
∴
，
∵
，
∴点D 关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接
交抛物线对称轴于点P，连接
，如图所示：
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则
，
∴
，
∵两点之间线段最短，
∴此时
最小，即
最小，
∵
为定值，
∴此时
的周长最小，
则点P 为所求点，
设直线
的函数表达式为
，把
，
代入得：
，
解得：
，
∴直线
的表达式为：
，
抛物线的对称轴为直线
，
把
代入
得，
，
即点
；
（3）解：过点Q 作
轴交
于点H，如图所示：
令
，
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解得：
，
，
∴点
，
设直线
的解析式为
，把
，
代入得：
，
解得：
，
∴直线
的表达式为：
，
设点
，则点
，
则
，
则
，
∵
，
∴当
时，
面积的最大值为
．
5．（25-26 九年级上·广东惠州·期中）如图，抛物线
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴
交于点C，已知点A 的坐标是
，抛物线的对称轴是直线
．
(1)直接写出点B 的坐标．
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(2)在对称轴上找一点P，使
的值最小，求点P 的坐标和
的最小值．
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M 作
轴，垂足为N，连接
交
于点Q．依题意补
全图形，当
的最大值时，求点M 的坐标
【答案】(1)
(2)点
，
的最小值为
．
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的综合应用、求出函数解析式、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数
的对称性以及数形结合的思想是解题的关键．
（1）根据抛物线的对称性求解即可；
（2）根据抛物线的对称性得到
，得到当
三点共线时，
的值最小，
且为
的长，求出直线
的解析式，其与对称轴的交点即为点P 的坐标，两点间的距离公式求出
的
长，即为
的最小值；
（3）先根据题意补全图形，设
，则
，
，将
的最大值转
化为二次函数求最值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点
关于对称轴的对称点为点B，对称轴为直线
，
∴点B 为
．
（2）解：∵抛物线
与y 轴交于点C，
∴
，
如图：连接
交对称轴于点P，连接
，
∵点A 关于对称轴的对称点为点B，
∴
，
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∴
，
∴当
三点共线时，
的值最小，且为
的长，
∵
，
∴
；
设直线
的解析式为：
，
则：
，解得：
，
∴直线
的解析式为：
，
∵点P 在抛物线的对称轴上，
∴
；
∴点
，
的最小值为
．
（3）解：如图：过点M 作
轴，垂足为N，连接
交
于点Q．
∵
，
∴设抛物线的解析式为：
，
∵
，
∴
，解得：
，
∴
，
设
，则
，
由（2）知：直线
：
，
∴
，
∴
，
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∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当
时，
有最大值，此时
．
6．（2026·江苏镇江·二模）如图，二次函数
的图象与
轴交于
、
两点（
在
的
左侧），与
轴交于点
，点
在抛物线上，连接
、
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点
在第一象限，连接
交
于点
．记
的面积为
，
的面积为
．当
时，则点
的横坐标
的取值范围是______；
(3)如图2，直线
交抛物线于另一点
．
①若点
、点
的横坐标分别是
、
，则
______；
②连接
、
，记
的面积为，求的最小值．
【答案】(1)
；
(2)
(3)①
；②的最小值为8．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
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（2）由
，得到
，得到
，
，由题意得
，
据此求解即可；
（3）①联立得
，利用根与系数的关系即可求得
；
②求得
，利用不等式的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，抛物线经过点
和
，
将
代入
，得
，
将
代入
，得：
，解得
，
∴抛物线的解析式为
；
（2）解：先求解抛物线与x 轴的另一个交点A，
令
，即
，
解得
或
，
结合A 在B 左侧得
；
∵
，
∴
，
∴
，
∵点
的横坐标为
，
∴点
的坐标为
，
∴
，
∵
，
∴
，整理得
，
∵点
在第一象限，
∴
；
（3）解：设直线
的解析式为
，
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联立直线与抛物线方程得，
，
整理得：
，
该方程的两个根为点P、Q 的横坐标m、n，
由一元二次方程根与系数的关系得
；
②∵点
，
，
∴
，
∵
，
∴m、n 异号，设
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
（当且仅当
，即
时取等号），
∴
，
答：的最小值为8．
