专题3：立体几何外接球问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：外接球和内切球概念及球的相关公式...................................2
考点二：常见几何体的外接球....................................................... 2
考点三：多边形外接圆半径.......................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：长方体的外接球............................................................. 3
题型二：直棱柱的外接球............................................................. 4
题型三：圆柱的外接球................................................................ 7
题型四：正棱锥的外接球............................................................. 9
题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球....................................... 13
题型六：圆锥的外接球.............................................................. 16
题型七：台体的外接球.............................................................. 19
题型八：侧面垂直于底面外接球...................................................22
题型九：多面体外接球.............................................................. 25
模块三：综合巩固....................................................................... 33
专题3：立体几何外接球问题
模块一：基础知识
考点一：外接球和内切球概念及球的相关公式
1、空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
2、空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
3、球的表面积：S＝4πR
2
4、球的体积：V＝4
3
πR
3
考点二：常见几何体的外接球
1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，
则2R＝a
2＋b
2＋c
2
2、正方体的外接球：正方体的棱长为�，外接球半径为R，则2�=
3�
长方体的外接球
正方体的外接球
3.直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点
直棱柱的外接球（
2
2
2
2
r
h
R
，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）
4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。
（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径�=
6
4 �.
（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为�，外接球半径�=
2
2 �
（3）侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（
2
2
2
2
r
PA
R
，其中r 为底面外接圆的半径，PA 为棱锥垂直
于底面的棱）
5、圆柱的外接球（
2
2
2
2
r
h
R
，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）
考点三：多边形外接圆半径
1、正（长）方形：半径等于对角线的一半
2、等边三角形：半径等于三分之二高
3、直角三角形：半径等于斜边的一半
4、一般的三角形：正弦定理
2 (
sin
a
r
A
通用）
模块二：题型分类
题型一：长方体的外接球
1.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（
）
A．
3 π
2
B．3π
4
C．3π
D．12π
【答案】C
【分析】先求得球的半径，进而求得球的表面积.
【详解】正方体的体对角线长为
3 ，所以球的直径
3
2
3,
2
R
R
，
所以球的表面积为
2
4π
3π
R
.
故选：C
2.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（
）
A．9π
2
B．3 3π
C．9
D．27π
【答案】A
【分析】先求得正方体的边长，然后求得球的半径，进而求得球的体积.
【详解】设正方体的边长为,
0
a a
，则
2
6
18,
3
a
a
，
正方体的对角线长为3
3
3
3
，
所以球的直径2
3
R
，半径
3
2
R
，
所以球的体积为
3
4π
3
9π
×
=
3
2
2
.
故选：A
3.已知长方体的顶点都在球O表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4 则球O的表面
积是__________
【答案】29π
【解析】由题意可知：长方体的长宽高为2，3，4，
所以长方体的体对角线长为：
2
2
2
2
3
4
29
，
故长方体的外接球的半径为
29
2
，球的表面积为：
2
29
4π
29π
2
，
故答案为：29π
4.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
2, 3, 6 ，这个长方体外接球的面积是（
）
A．6π
B．4π
C．12π
D．24π
【答案】A
【解析】设长方体共一顶点的三边长分别为, ,
a b c ，不妨令a
b
c
，
由题意可得
6
3
2
ab
ac
bc
，解得
3
2
1
a
b
c
，
则长方体的体对角线长度为
2
2
2
6
l
a
b
c
，可得外接球半径
6
2
2
l
R
，
所以外接球的面积为
2
4π
6π
S
R
.故选：A.
5.已知球
1
O 与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球
2
O ，则球
1
O 与球
2
O 的表面积之比为（
）
A．2：3
B．3：2
C．
2 :
3
D．3 :
2
【答案】A
【解析】设正方体棱长为a ，
因为球
1
O 与正方体的各条棱相切，
所以球
1
O 的直径大小为正方体的面对角线长度，即半径
2
2
r
a
；
正方体内接于球
2
O ，则球
2
O 的直径大小为正方体的体对角线长度，
即半径
3
2
R
a
；
所以球
1
O 与球
2
O 的表面积之比为
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
a
r
R
a
.故选：A.
6.已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为__________.
【答案】14π
【解析】令长方体的长、宽、高分别为, ,
a b c ，则
2(
)
22
6
ab
bc
ac
a
b
c
，
由
2
2
2
2
(
)
2
2
2
36
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
，则
2
2
2
14
a
b
c
，
而长方体外接球半径
2
2
2
2
a
b
r
c
，
故
14
2
r
，其表面积
2
7
4π
4π
14π
2
r
.
故答案为：14π
题型二：直棱柱的外接球
1．如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2,
90
AB
BC
AA
ABC
，则此直三棱柱的外接球的体积是
___________.
【答案】4 3
【分析】根据给定条件把直三棱柱补形成正方体，利用它们有相同的外接球，求出正方体的体对角线长即
可得解.
【详解】直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
共点于B 的三条棱
1,
,
BB BA BC两两垂直，
1
2,
AB
BC
AA
则以
1,
,
BB BA BC 为相邻三条棱可作正方体，该正方体与直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
有相同的外接球，
外接球的直径2R 即为正方体体对角线长
2
2
2
2
2
2
2 3
，即
3
R
，
此球的体积为
3
4
4
3 3
4 3
3
3
V
R
，
故答案为：4 3.
2.在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
4,
3,
12,
90
AC
AB
AA
BAC
，且三棱柱的所有顶点都在同一球面
上，则该球的表面积是（
）
A．125π
B．144π
C．169π
D．244π
【答案】C
【解析】三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的侧棱垂直于底面，
4,
3
AC
AB
，
90
BAC
，
1
12
AA
，
可将棱柱
1
1
1
ABC
AA B C
补成长方体，且长方体的长宽高分别为3,4,12.
长方体的对角线
2
3
2
3
4
12
13
，即为球的直径.
球的半径
13
2
R
，
球的表面积为
2
2
13
4π
4π
169π
2
S
R
.故选：C．
3.设直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且
1,
120
AB
AC
AA
BAC
，
则该直三棱柱的体积是（
）
A．4 6
B．4 6
3
C．2 6
D．2 6
3
【答案】A
【分析】先设出棱长，表示出球半径，利用球的表面积求出棱长，然后利用柱体的体积公式可求体积.
【详解】设
1
2
AB
AC
AA
m
.因为
120
BAC
，所以
30
ACB
.
由正弦定理得
2
2 (
sin30
m
r r
是ABC
外接圆的半径），
2
r
m
.
又球心到平面ABC 的距离等于侧棱长
1
AA 的一半，所以球的半径为
2
2
(2 )
5
m
m
m
.所以球的表面积为
2
4π
5
40π
m
，解得
2
m
.
因此该直三棱柱的体积是
2
3
1
1
3
4
2
2 3
4 6
2
2
ABC
S
AA
m
m
m
故选：A.
4.在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
2
AB
，
2 3
AC
，
2 6
BC
，
1
4
AA
，则该直三棱柱的外接球的表面
积为_________ .
【答案】52π
【分析】求得外接球的半径，从而求得外接球的表面积.
【详解】设三角形ABC 的外接圆半径为r ，
设直三棱柱的外接球的半径为R ，
4 12
24
3
cos
3
2 2 2 3
BAC
，则
BAC
为钝角，则
2
3
6
sin
1
3
3
BAC
，
所以
2 6
2
6,
3
6
3
r
r
，
所以
2
2
2
4
3
13
2
R
，
所以外接球的表面积是
2
4π
52π
R
.
故答案为：52π
5.一个正四棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为10 ，则球O的体积为
（
）
A．16π
B．32π
3
C．10
D．28π
3
【答案】B
【解析】设该正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，则
2
3
a ,
10
h
，解得
3
a
，
所以该正四棱柱的体对角线为球O的直径，
设球O的半径为R ，
所以，
2
2
2
2
3
3 10
4
R
a
a
h
，即
2
R
，
所以，球O的体积为
3
4π
32π
2
3
3
．故选：B
6.如图，在矩形ABCD中，EF ∥AD ，GH ∥BC ，
2
BC
，
1
AF
FG
BG
，现分别沿EF ，GH 将
矩形折叠使得AD 与BC 重合，求折叠后的几何体的外接球的表面积．
【答案】16π
3
【解析】由题意得，折叠后的几何体为正三棱柱，且该三棱柱的底面边长为1，高为2.
如图所示的正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
，
设上下底面的中心分别为
1
2
,
O O ，球的半径为R ，
则球心O为
1
2
,
O O 的中点，连
2
,
OC O C ，
则
2
2
2
3
3
sin 60
1
1
3
3
2
3
O C
，
2
1
OO ，
∴
2
2
2
2
2
2
3
2 3
1
3
3
OC
O C
O O
，即球半径
2 3
3
R
，
∴该几何体的外接球的表面积为
2
16π
4π
3
S
R
.
题型三：圆柱的外接球
1.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A．π
B．3π
4
C．π
2
D．π
4
【答案】B
【详解】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：
1
1,
2
AC
AB
，
结合勾股定理，底面半径
2
2
1
3
1
2
2
r
，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是
2
2
3
3
π
π
1
π
2
4
V
r h
，故选B.
2.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发
现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面
和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的2
3 ，并且球的表面积也是圆柱表面积的2
3 ，则该圆柱
的体积与它的外接球的体积之比为___________.
【答案】3 2
8
【分析】设圆柱的底面半径为a ，由题意可知圆柱的高为2a ，再根据圆柱的底面与外接球的关系，可利用
勾股定理即可求出圆柱外接球半径
2
R
a
，由两几何体的体积公式求出各自的体积，由此即可求出比值.
【详解】设圆柱的底面半径为a ，则圆柱的内切球的半径为a ，∴圆柱的高为2a ，∴圆柱的体积为
2
3
1
2
2
V
a
a
a
，又圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，∴圆柱的外接球半径
2
2
2
R
a
a
a
，∴圆柱的外接球体积为
3
3
2
4
8 2
2
3
3
V
a
a
，故
1
2
3 2
:
8
V V
.
故答案为：3 2
8
.
3.已知圆柱的高为2，侧面积为4π ，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为
（
）
A．8 2π
3
B．8 3π
3
C．4 2π
D．4 3π
【答案】A
【解析】由圆柱侧面积
2π
4π
4π
S
rh
r
，解得
1
r ，
因为圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，
所以球心在圆柱高的中点处，设球半径为R ，
则由
2
2
2
2
1
1
2
2
h
R
r
，
所以
3
4
4
8 2
π
π 2 2
π
3
3
3
V
R
,故选：A
4.已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．
【答案】4 2
3
/ 4
2
3
【解析】如图所示，作出圆柱与外接球的组合体的轴截面，
设圆柱底面圆的半径r ，外接球的半径为R ，则
1
2 ,
2
AB
r AA
r
，
所以
2
2
2
(2 )
(2 )
2 2
R
r
r
r
，可得
2
R
r ，
所以外接球的体积
3
3
3
1
4
4
8 2
π
π
2
π
3
3
3
V
R
r
r
，
圆柱的体积为
2
3
2
π
2
2π
V
r
r
r
，
所以该球与圆柱的体积之比为
1
2
4 2
3
V
V
.
故答案为：4 2
3
.
5.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．
【答案】10π
【解析】设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，母线为l，
由题意可知，
2
4π
20π
5
R
R
，
又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足
2
2
2
5
2
l
r
R
，
而圆柱的侧面积
2π
S
rl
，
0
l
，
因为
2
2
2
2
2
l
l
r
r
lr
，当且仅当2
l
r
，即
10
2
r
，
10
l
时等号成立，
所以
5
lr
，
2π
10π
S
rl
，
故答案为：10π
题型四：正棱锥的外接球
1.已知正三棱锥
P
ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，其侧棱长为2 2 ，底面边长为4，则球O 的表面
积是（
）
A．32π
B．32 2π
C．24 2π
D．24π
【答案】D
【解析】如图所示：设
1
O 为正三角形ABC 的中心，连接
1
PO ，
则
1
PO 平面ABC ，球心O在
1
PO 上，
设球O的半径为R ，连接
1
,
AO AO ，
∵正三角形ABC 的边长为4，
∴
1
3
2
4 3
4
2
3
3
O A
，
又∵
2 2
PA
，
∴在
1
Rt PO A
中，
2
2
1
1
16
2 6
8
3
3
PO
PA
O A
，
在
1
Rt
OO A
△
中，OA
R
，
1
1
2 6
3
OO
PO
PO
R
，
1
4 3
3
O A
，
∴
2
2
2
2 6
4 3
(
)
3
3
R
R
，解得
6
R
，
∴球O的表面积为
2
4π
24π
R
．故选：D．
2.已知底面为正三角形、侧棱都相等的三棱锥的体积为
3 ，高为2，其各顶点都在同一球面上．则该球的
表面积为__________________．
【答案】9π
【分析】如图设底面边长为a ，根据锥体体积公式求a ，设
1
O 为正三角形ABC 的中心，则
1
SO 平面ABC ，
正三棱锥S
ABC
的外接球的球心O 在
1
SO 上，在
1
Rt O AO
V
中利用勾股定理即可求出R 的值，从而得到
球O 的表面积．
【详解】由条件可得该三棱锥为正三棱锥，作出其图象，如图所示：
设AB
a
=
，则AC
a
，
60
CAB
，则
2
1
3
sin 60
2
4
ABC
S
AB
AC
a
，
因为三棱锥的体积为
3 ，高为2，设三棱锥的高为h ，则
1
3
△
=
S
ABC
ABC
V
S
h ，
2
h
,所以
2
1
3
2
3
3
4
a
，
所以
6
a
，设
1
O 为正三角形ABC 的中心，连接
1
SO ，由正三棱锥的性质可得
1
SO ⊥平面ABC ，且正三
棱锥S
ABC
的外接球的球心O 在
1
SO 上，设球的半径为R，连接AO，
1
AO ，∵ABC
的边长为
6 ，
∴
1
3
2
6
2
2
3
AO
，在
1
Rt O AO
V
中，OA＝R，
1
1
2
OO
SO
SO
R
，
1
2
AO
，
∴
2
2
2
2
2
R
R
，解得：
3
2
R
，
∴球O 的表面积为
2
9
4π
4π
9π
4
R
．
故答案为：9π ．
3.已知正四棱锥P
ABCD
的底面是边长为2 的正方形，其内切球的体积为π
6 ，则该正四棱锥的高为
___________，外接球的表面积为___________.
【答案】
4
3
289
36
【分析】已知正四棱锥P
ABCD
内切球的体积为6
，可求得内切球的半径，用等体积法可求得正四棱锥
的高，由正四棱锥的性质可得，在
'
Rt O DE
中，列方程可解得外接球半径R ，即可求得球体的表面积.
【详解】已知正四棱锥P
ABCD
内切球的体积为6
，设球体的半径为r ，
3
4
π
π
3
6
V
r
，解得
1
2
r
，设
正四面体的高为h ，如图所示，
因为球O与四棱锥相内切，所以由等体积法得：
4
P ABCD
O PAD
O ABCD
V
V
V
，
在PAD
中，
2
2
PA
h
，
2
1
2
1
2
PAD
S
h
，即
2
1
1
1
1
1
2
2
4
2
1
2
2
3
3
2
3
2
h
r
h
，
化简得：
2
1
2
1
h
h
，
解得，
4
3
h
，设正四棱锥外接球的半径为R ，外接球的球心为
'
O ，在
'
O DE
中，
2
2
4
(
)
2
3
R
R
，解得
17
12
R
，所以正四棱锥外接球的表面积为
2
289
289π
4π
4π
144
36
S
R
.
故答案为：①4
3 ；②289
36
4.已知正三棱锥A
BCD
，各棱长均为
3 ，则其外接球的体积为（
）
A．9 3 π
8
B．81 2 π
16
C．9 2 π
8
D．9 3 π
16
【答案】C
【解析】由A
BCD
是正三棱锥，底面是正三角形，边长为
3 ，
则高线的投影在底面正三角形的重心上，
则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，
如图，取CD 的中点，连接BF ，过A 作
AE
平面BCD，且垂足为E ，则
2
BE
EF
，
由
3
AB
BC
CD
AD
BD
，
则在Rt BCF
中，有
2
2
3
3
3
2
2
BF
，
所以
2
3
1
3
2
BE
，
则在Rt
ABE
△
中，有
2
2
3
1
2
AE
，
设外接球的半径为r ，
则
2
2
2
BE
AE
r
r
，即
2
2
2
1
2
r
r
，解得
3 2
4
r
，
故外接球的体积为
3
3
4
4
3 2
9 2
π
π
π
3
3
4
8
V
r
．故选：C．
5.已知正四面体S
ABC
的外接球表面积为6π，则正四面体S
ABC
的棱长为（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．2
【答案】D
【解析】正四面体S
ABC
的外接球表面积为6π ，
2
4π
6π
R
，解得
6
2
R
（负值舍去），
设四面体的棱长为a ，取BC 的中点E ，连接AE ，
设顶点S在底面ABC 的射影为D ，
则D 是底面ABC
的重心，连接SD，
则外接球的球心在SD 上，设为O，连接AO ，
则
3
2
AE
a
，
2
3
3
3
AD
AE
a
，
则
2
2
2
3
6
6
3
9
3
a
SD
a
a
a
，
所以
6
6
3
2
OD
SD
SO
a
，
在直角
AOD
△
中，
2
2
2
AO
AD
OD
，即
2
2
2
6
3
6
6
2
3
3
2
a
a
，
即
2
2
6
3
6
6
2
4
9
9
4
a
a
a
，得
2
2
0
a
a
，得
0
a
（舍)或
2
a
.故选：D
6.如图所示，在正六棱锥S
ABCDEF
中，O 为底面中心，
8
SO
，
4
OB
．
（1）求该正六棱锥的体积和侧面积；
（2）若该正六棱锥的顶点都在球M 的表面上，求球M 的表面积和体积．
【答案】（1）64 3 ，24 19 ；（2）表面积为100π，体积为500 π
3
【解析】（1）由条件可知正六边形ABCDEF 的边长为4，
所以底面积为
2
1
π
6
4 sin
24 3
2
3
，
该正六棱锥的体积为1
8 24 3
64 3
3
．
正六棱锥的侧棱长为
2
2
4
8
4 5
，
侧面等腰三角形的面积为
2
2
1
4
(4 5)
2
4 19
2
，
故该正六棱锥的侧面积为6 4 19
24 19
．
（2）球心M 一定在直线SO 上，设球M 的半径为R，则R
MS
MB
，
又
2
2
2
MB
OM
OB
，
所以
2
2
2
(8
)
4
R
R
，解得
5
R
．
所以球M 的表面积为
2
4π
100π
R
，体积为
3
4
500
π
π
3
3
R
题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球
1．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，
PA 底面ABC ，AC
BC
，且
3
PA ，
2
BC
，
3
AC
，则该四面体的外接球的表面积为__________．
【答案】16π
【分析】根据题意将三棱锥
P
ABC 还原到长方体中，如图所示，求出长方体的体对角线的长，即可得外
接球的直径，从而可求出其表面积.
【详解】解：将三棱锥
P
ABC 还原到长方体中，如图所示
则长方体的外接球的半径为
2
2
2
2
9
3
4
4
R
PA
AC
BC
故
2
R
所以三棱锥
P
ABC 外接球的表面积为
2
4π
16π
R
，
故答案为：16π
2.已知A，B，C，D 在球O 的表面上，ABC
为等边三角形且其面积为3 3
4
，AD 平面ABC，AD＝2，
则球O 的表面积为（
）
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
【答案】D
【分析】由正弦定理可得ABC
外接圆的半径，作图利用勾股定理可得四面体D
ABC
的外接球的半径，
即可求出球O 的表面积.
【详解】
因为ABC
为等边三角形且其面积为
2
2
1
3
3 3
2
4
4
sin 60
a
a
，
所以ABC
的边长为
3 ，设ABC
外接圆的半径为r ，
由正弦定理可得
3
2
2
sin 60
r
，
1
r ，取底面中心为
1
O ，即
1
1
O A
∵AD 平面ABC，AD＝2，
过
1
O 作
1 //
OO AD，且取
1
1
= 2
O O
AD ，
则O即是四面体D
ABC
外接球的球心，半径R
OA
，
在
1
Rt
O OA
△
中，
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
AD
OA
O O
O A
，则
2
R
OA
，
所以球O 的表面积为
2
4π
8π
R
.
故选：D.
3.已知在三棱锥P－ABC 中，PA＝4，
2 6
BC
，PB＝PC＝3，PA 平面PBC，则三棱锥P－ABC 的外接
球的表面积是（
）
A．40π
B．43π
C．45π
D．48π
【答案】B
【分析】利用空间点、线、面的位置关系，根据三棱锥的特点计算其外接球的半径.
【详解】在等腰PBC
中，易知
6
cos
3
PBC
，所以
3
sin
3
PBC
，
PBC
的外接圆的半径为
1
3
3
3
2
sin
2
r
PBC
，
所以三棱锥P－ABC 的外接球的半径为
2
2
1
27
43
4
2
4
2
R
r
PA
.
所以其表面积为
2
2
43
4π
4π
43π
2
R
.
故选：B.
4.三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，ABC
为直角三角形，AB
BC
，
1
AB
BC
，
2
PA
，则三棱
锥
P
ABC 的外接球的表面积为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】D
【分析】根据线段垂直关系，将三棱锥置于长方体中，根据各棱长可求得其外接球的半径，即可求得其外
接球的表面积．
【详解】由于三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC，AB
BC
，
1
AB
BC
，
2
PA
故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：
则体对角线PC 即为外接球的直径，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
6
R
PC
PA
AB
BC
，
故三棱锥
P
ABC 的外接球表面积为
2
4
6
S
R
．
故选：D
5．如图，在四棱锥P
ABCD
中，PD 平面ABCD，AB
DC
，AD
AB
，
2
DC
，
1
AD
AB
，直
线PA 与平面ABCD成45角.设四面体PBCD 外接球的圆心为O，则球的体积为__________.
【答案】5 5 π
6
## 5 5π
6
【分析】先证明出△PCD 和△PBC 均为直角三角形，得到O 点位置，可求得外接球的半径，可求其体积．
【详解】在底面ABCD 上，
//
AB DC ，AD⊥AB，DC＝2，AD＝AB＝1，
所以∠ADB＝∠ABD＝45°，所以
1 1
2
BD
，
在△BCD 上，
2,
2,
45
BD
DC
CDB
，
由余弦定理可得：
2
2
2
cos 45
2
BC
CD
BD
CD BD
，
所以
2
2
2
CD
BD
CB
，所以∠CBD＝90°．
所以BD⊥CB．
又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．
又PD∩BD＝D，PD 面PBD，BD面PBD
所以BC⊥面PBD，所以BC⊥PB．
则△PCD 和△PBC 均为直角三角形，当O 点为PC 中点时，OP＝OD＝OB＝OC，
此时O 为四面体PBCD 的外接球的球心．
∵直线PA 与平面ABCD 成45°角．PD⊥平面ABCD，
则∠PAD＝45°，∴PD＝AD＝1，
又
2
2
5,
PC
CD
PD
，
∴四面体PBCD 外接球的半径为
5 ,
2
，
所以四面体PBCD 外接球的体积为
3
4
5
5 5
π(
)
π
3
2
6
V
．
故答案为：5 5 π
6
．
题型六：圆锥的外接球
1.一个圆锥母线长为
6 ，侧面积3 2，则这个圆锥的外接球体积为______________．
【答案】4 3
【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而
得出球的体积．
【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，
因为圆锥母线长为
6 ，侧面积3 2，所以
6
3 2
r
，解得
3
r
，
所以，圆锥的高
3
h
，
设球半径为R，球心为O，其过圆锥的轴截面如图所示，
由题意可得，
2
2
2
(
)
R
h
R
r
，即
2
2
( 3
)
3
R
R
，解得
3
R
，
所以，
3
4
R
4 3
3
V
．
故答案为：4 3．
2.已知圆锥的底面半径为R，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为3
4 R ，该圆柱的全面积为（
）
A．
2
2 R
B．
2
9
4
R
C．
2
8
3 R
D．
2
5
2
R
【答案】B
【分析】根据几何特点，求得圆柱的高，再求全面积即可.
【详解】根据题意，作图如下：
易知△
~
CAB
CPO
，故可得CB
AB
CO
PO
，即
1
4
3
R
AB
R
R
，故可得
3
4
AB
R
，
故圆锥的内接圆柱的全面积为：
2
2
2
2
3
3
18
18
9
2
2
4
4
16
16
4
R
R
AB
R
R
R
.
故选：B .
3.已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为2 3 ，高为6，则球O的表面积为
（
）
A．32
B．48
C．64π
D．80
【答案】C
【解析】因为6
2 3
，故球心在圆锥的内部且在高上，
设球心到圆锥底面的距离为d ，
则有
2
2
2
(6
)
(2 3)
d
d
，解得
2
d
，则圆半径
6
4
R
d
，
表面积
2
4
64
S
R
.故选：C
4.已知圆锥SO的母线长为2 6 ，侧面展开图的圆心角为2 3
3
，则该圆锥外接球的表面积为（
）
A．12 2
B．24
C．36
D．48
【答案】C
【解析】设圆锥SO 的底面半径为r ，
由题意得：2
2 3
3
2 6
r
，解得：
2 2
r
.
如图，SA是圆锥的一条母线，
由圆锥的性质知其外接球的球心B 在SO 上，连接OA，AB ，
设圆锥的外接球的半径为R ，则AB
SB
R
，
则
2
2
2
2
2 6
2 2
24
8
4
OS
SA
OA
，
2
2
2
AB
OA
OS
SB
，即
2
2
2
2 2
4
R
R
，解得：
3
R
，
圆锥的外接球的表面积为
2
4
3
36
.故选：C.
5.已知球O内有一圆锥，圆锥的顶点及底面圆周在球面上，且球的半径与圆锥底面圆的半径的比值为2 3
3
，
则球的体积与圆锥的体积的比值为（
）．
A．32
3
B．32
9
C．32
9 或32
3
D．16
9 或32
9e
【答案】C
【解析】设球的半径为R ，圆锥底面圆的半径为r ，
当圆锥的高大于R 时：
3
3
2
2
2
2
4
4
π
3
1 π
1
3
R
R
V
r
V
R
R
r
R
r
R
r
r
球
圆锥
3
2
2 3
4
3
32
9
2 3
2 3
1
3
3
，
当圆锥的高小于R 时：
3
3
3
2
2
2
2
2
2 3
4
4
4
π
3
3
1 π
2 3
2 3
1
1
3
3
3
R
R
V
r
V
R
R
r
R
R
r
r
r
球
圆锥
32
3
．
依题意可知圆锥的高不等于R .故选：C
题型七：台体的外接球
1.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和4 3 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为（
）
A．100π
B．128π
C．144π
D．192π
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径1
2
,
r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半
径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径1
2
,
r r ，所以
1
2
3 3
4 3
2
,2
sin 60
sin 60
r
r
，即1
2
3,
4
r
r
，设球
心到上下底面的距离分别为
1
2
,
d d ，球的半径为R ，所以
2
1
9
d
R
，
2
2
16
d
R
，故
1
2
1
d
d
或
1
2
1
d
d
，即
2
2
9
16
1
R
R
或
2
2
9
16
1
R
R
，解得
2
25
R
符合题意，所以球的表面积为
2
4π
100π
S
R
．
故选：A．
2.已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为100，则此圆台的体积为（
）
A．84
B．86
C．259
3
D．262
3
【答案】C
【分析】根据旋转体的特点得到圆台的外接球的球心为圆台轴截面外接圆的圆心，然后结合题意得到
7
AB
，
5
OC
，
4
AC
，利用勾股定理得到
3
BD
，最后利用圆台的体积公式求体积即可.
【详解】
如图为圆台及其外接球的轴截面，O为外接球球心，A ，B 为等腰梯形的下底和上底的中点，所以
7
AB
，
AB
AC
，
因为外接球的表面积为100，所以外接球的半径为
5
OC
，圆台下底面半径为4，所以
4
AC
，
2
2
5
4
3
AO
，则
4
OB
，
2
2
5
4
3
BD
，即圆台上底面半径为3，所以圆台的体积为
2
2
2
2
1
259
7
3
4
3
4
3
3
.
故选：C.
3.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10 的球面上，其上、下底面的半径分别为4 和5，则该圆台的体
积为（
）
A．61π
B．62π
C．63π
D．64π
【答案】A
【解析】求得直径为10，半径为5，
圆台的下底面半径为5，所以圆台的高为
2
2
5
4
3
，
所以圆台的体积为
2
2
1 π
4
4 5
5
3
61π
3
.故选：A
4.已知某圆台的母线长为4，母线与轴所在直线的夹角是60，且上、下底面的面积之比为1：9，则该圆
台外接球的表面积为（
）
A．40π
B．48π
C．128π
D．208π
【答案】D
【解析】将圆台补全为圆锥，记圆锥顶点为E ，取圆锥的轴截面EAB ，
记该轴截面与圆台的交点为ABCD，记圆台上底面圆心为M ，
下底面圆心为N ，根据圆台的对称性可知，其外接球球心O在中轴线EN 上，
连接
,
OC OB 如图所示：
由题知
60
AEN
，因为上、下底面的面积之比为1：9，
所以上底面半径与下地面半径之比为1:3 ，即
1
3
CM
BN
，
因为
EMC
ENB
△
△
，所以
1
3
4
EC
EC
EB
EC
=
，解得
2
EC
，
因为
60
AEN
BEN
，所以
1,
3
EM
CM
，
因为
4
6
EB
EC
，所以
3,
3 3
EN
NB
，
3 1
2
MN
EN
EM
，
记圆台外接球半径为R ，ON
h
，
在直角OCM
和直角
OBN
△
中由勾股定理知：
2
2
2
OM
CM
OC
，
2
2
2
ON
BN
OB ，
即
2
2
2
3
h
R
，
2
2
2
3 3
h
R
，解得
5,
2 13
h
R
，
故圆台外接球的表面积为
2
4π
208π
R
.故选：D
5.某正四棱台形状的模型，其上下底面的面积分别为
2
2cm ，
2
8cm ，若该模型的体积为
3
14cm ，则该模型的
外接球的表面积为（
）
A．
2
20πcm
B．
2
10πcm
C．
2
5πcm
D．
2
5π cm
2
【答案】A
【解析】设正四棱台形状的高为cm
h
，
故
1 2
8
2 8
14
3
h
，解得
3cm
h
，
取正方形EFGH 的中心为M ，正方形ABCD的中心为N ，则
3cm
MN
h
，
故该模型的外接球的球心在MN 上，设为点O，连接
,
,
,
ME NA OE OA，
设上底面正方形的边长为cm
a
，cm
b
，
则
2
2
2,
8
a
b
，解得
2cm
a
，
2 2cm
b
，
故
1cm,
2cm
EM
NA
，
设
cm
ON
y
，则
3
cm
MO
y
，
由勾股定理得
2
2
2
2
3
1
EO
OM
EM
y
，
2
2
2
2
4
AO
ON
AN
y
，
故
2
2
3
1
4
y
y
，解得
1
y ，
故外接球半径为
2
4
5cm
y
，
该模型的外接球的表面积为
2
4π
5
=20πcm
.故选：A
6.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和4 3 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为__________．
【答案】100π
【解析】由题意设三棱台为
1
1
1
ABC
A B C
，如图，
上底面
1
1
1
A B C 所在平面截球所得圆的半径是
1
1
2
3
3 3
3
3
2
O A
，
1
(O 为上底面截面圆的圆心)
下底面
2
2
2
A B C 所在平面截球所得圆的半径是
2
2
2
3
4 3
4
3
2
O A
，
2
(O 为下底面截面圆的圆心)
由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O在直线
1
2
O O 上，
当O在线段
1
2
O O 上时，轴截面中由几何知识可得
2
2
2
2
3
4
1
R
R
，无解；
当O在
1
2
O O 的延长线上时，可得
2
2
2
2
3
4
1
R
R
，解得
2
25
R
，
因此球的表面积是
2
4π
4π
25
100π
S
R
．
故答案为：100π
题型八：侧面垂直于底面外接球
1.已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD 的长度均为6，平面ABD 平面CBD ，则空间四边形ABCD
外接球的表面积为______.
【答案】60π
【分析】球心O、△BCD 的外心
1
O 、△ABD 的外心
2
O ，BD 中点为E，这四个点是正方形的四个顶点，
求出相关线段的长度，勾股定理求出外接球半径，算出表面积.
【详解】由题意知△ABD 和△BCD 为等边三角形，取BD 中点为E，连接AE，CE，如图所示，则AE⊥BD．
由平面ABD 平面CBD，平面ABD 平面CBD=BD. AE 平面ABD
故AE⊥平面CBD，
2
2
2
2
6
3
3 3,
AE
AD
DE
有
3 3
CE
AE
球心O 在平面BCD 的投影为△BCD 的外心
1
O ，球心O 在平面ABD 的投影为△ABD 的外心
2
O ，有
2
1
//
OO
O E ，
1
2
//
OO
O E ，
则在
2
Rt
OO A
△
中，
2
1
3
OO
O E
，
2
2 3
AO
所以外接球半径
2
2
2
2
15
R
OA
OO
AO
空间四边形ABCD外接球的表面积
2
4π
60π
S
R
故答案为：60π ．
2.矩形ABCD中，
4
AB
，
3
BC ，沿AC 将ABCD矩形折起，使面BAC 面DAC ，则四面体A
BCD
的
外接球的体积为（
）
A．125
6
B．125
9
C．125
12
D．125
3
【答案】A
【分析】矩形ABCD中，由
4
3
5
AB
BC
DB
AC
,
,
，设DB 交AC 于O，由于O到点, , ,
A B C D 的距离
均为5
2 ，所以O为四面体A
BCD
的外接球的球心，由此能求出四面体A
BCD
的外接球的体积．
【详解】如图：
矩形ABCD中，因为
4
3
AB
BC
，
，
所以
5
DB
AC
，
设DB 交AC 于O，则O是Rt ABC
和Rt DAC
V
的外心，
所以O到点
, , ,
A B C D 的距离均为5
2 ，所以O为四面体A
BCD
的外接球的球心，
所以四面体A
BCD
的外接球的半径
5
2
R
，
所以四面体A
BCD
的外接球的体积
3
4
5
125
3
2
6
V
.
故选:A.
3.已知在三棱锥中，S
ABC
中，BA
BC
，
2
BA
BC
，
2 2
SA
SC
，二面角B
AC
S
的大小为5π
6 ，
则三棱锥S
ABC
的外接球的表面积为（
）
A．56π
3
B．58π
3
C．105π
4
D．124π
9
【答案】A
【分析】如图，取AC 的中点D，连接BD，SD，则可得
SDB
为二面角B
AC
S
的平面角，得
5π
6
BDS
，
过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OS，然后在△OSD
中利用余弦定理可求出R，从而可求得球的表面积.
【详解】如图，取AC 的中点D，连接BD，SD，
因为
2
AB
BC
，
2 2
SA
SC
，
所以
,
BD
AC SD
AC
，
所以
SDB
为二面角B
AC
S
的平面角，
所以
5π
6
BDS
，
因为AB⊥BC，
2
AB
BC
，所以
2 2
AC
，
2
BD
CD
，
因为
2 2
SA
SC
，
所以
8
2
6
SD
，
过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上，
设球的半径为R，连接OB，OS，可得
2
2
OD
R
，
在△OSD 中，
π
3
ODS
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
OS
OD
SD
OD SD
ODS
，
即
2
2
2
1
2
6
2
2
6
2
R
R
R
，解得
2
14
3
R =
，
所以其外接球的表面积为
2
56π
4π
3
R
.
故选：A.
4.在三棱锥A
BCD
中，平面
ABC
平面BCD，ABC
与
BCD
△
都是边长为6 的正三角形，则该三棱锥
的外接球的体积为________.
【答案】20 15
【分析】取BC 的中点为
,
,
M E F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD的重心，O是该三棱锥外接球的球
心，连接
,
,
,
,
,
AM DM OF OE OM OB ,可证明AM
DM
，通过几何关系可得到外接球的半径为
15
OB
，
即可得到答案
【详解】
取BC 的中点为
,
,
M E F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD的重心，
O是该三棱锥外接球的球心，连接
,
,
,
,
,
AM DM OF OE OM OB ,
则
,
E F 分别在
,
AM DM 上，OF 平面BCD，OE 平面ABC ，AM
BC
，DM
BC
，
因为平面ABC 平面BCD，AM
BC
，平面ABC 平面BCD
BC
，AM 平面
,
ABC
所以AM 平面BCD，所以
//
AM OF ，同理可得
//
DM OE ，所以四边形OEMF 是平行四边形，
因为AM
BC
，DM
BC
，AM
DM
M
，
,
AM DM 平面ADM ，
所以BC 平面ADM ，又OM 平面ADM ，所以OM
BC
，
因为AM 平面BCD，DM 平面BCD，
所以AM
DM
，
∵
3
6
3 3
2
AM
DM
，
∴
1
3
3
EM
FM
AM
，
∴四边形OEMF 为正方形，∴
6
OM
，
在直角三角形OMB 中，球半径
2
2
2
2
6
3
15
OB
OM
BM
∴外接球体积为
3
4
15
20 15
3
，
故答案为：20 15
题型九：多面体外接球
1.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.
二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和
六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（
）
A．该二十四等边体的外接球的表面积为16
B．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E，满足关系式
2
V
F
E
C．直线AH 与PN 的夹角为60°
D．QH 平面ABE
【答案】D
【分析】将二十四等边体补齐成正方体，根据空间几何相关知识进行判断.
【详解】由已知，补齐二十四等边体所在的正方体如图所示
记正方体体心为O，取下底面ABCD中心为
1
O
，二十四等边体的棱长为2
易知
1
1
2
OO
BO
，则外接球半径
=
= 2
2=2
R OB
所以外接球的表面积
2
=4
16
S
R
，故A 正确.
由欧拉公式可知：顶点数面数棱数= 2，故B 正确.
又因为PN ∥AD ，易知直线AH 与PN 的夹角即为
60
HAD
直线AH 与PN 的夹角为60，故C 正确.
又因为QH ∥EN ，AB ∥MN ，易知直线QH 与直线AB 的夹角为
60
ENM
可知直线QH 与直线AB 不垂直，故直线QH 与平面ABE 不垂直，故D 错误.
故选：D
2.(多选)如图，已知正方体的棱长为1，
1
O ，
2
O 分别为正方体中上、下底面的中心，
3
O ，
4
O ，
5
O ，
6
O 分
别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一个八面体的顶点，则（
）
A．直线
1
3
OO 与直线
2
4
O O 所成角为60
B．二面角
1
3
4
5
O
O O
O
的正切值为
3
C．这个八面体的表面积为
3
D．这个八面体外接球的体积为π
6
【答案】ACD
【分析】A.根据几何关系，将异面直线所成角，转化为相交直线所成角；
B.构造二面角的平面角，再根据余弦定理求解，转化为正切值；
C.根据几何体的特征，计算一个等边三角形的面积，再求八面体的表面积；
D.由几何体确定外接球的球心和半径，再求外接球的体积.
【详解】A.连结
1
2
3
5
O O
O O
，
，交于点O，由正方体的性质可知，点O平分
1
2
3
5
O O
O O
，
，
所以四边形
1
3
2
5
OO O O 是平行四边形，所以
1
3
2
5
/ /
O O
O O ，
所以直线
1
3
OO 与直线
2
4
O O 所成角为
4
2
5
O O O
,因为八面体的由8 个全等的等边三角形构成，
所以
4
2
5
60
O O O
，故A 正确；
B.
取
3
4
O O 的中点M ，
5
6
O O 的中点N ，连结
1
MO ，MN ，
1
O N ,
由图可知，八面体的表面是8 个全等的等边三角形，四边形
3
4
5
6
O O O O 是正方形，
所以
1
3
4
O M
O O
，
3
4
MN
O O
，
所以
1
O MN
是二面角
1
3
4
5
O
O O
O
的平面角，
等边三角形的边长为
2
2
1
1
2
2
2
2
,
所以
1
1
2
3
6
2
2
4
MO
NO
,
2
2
MN
，
所以
2
2
2
1
6
2
6
4
2
4
3
cos
3
6
2
2
4
2
O MN
,
1
6
sin
3
O MN
，所以
1
tan
2
O MN
，故B 错误；
C.这个八面体的表面为8 个全等的等边三角形，等边三角形的边长为
2
2
可求得
1
3
4
2
1
2
3
3
2
2
2
8
O O O
S
△
，所以八面体的表面积为
3 ，故C 正确；
D.八面体外接球的球心即为四边形
3
4
5
6
O O O O 的中心，外接球的半径为1
2 ，
八面体外接球的体积为
3
4
3
6
r
，故D 正确．
故选：ACD
3.（多选）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小
棱锥所得的多面体.如图，将棱长为3 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1
的截角四面体，则（
）
A．DE 平面ABC
B．直线DE 与GH 所成的角为60°
C．该截角四面体的表面积为7 3
D．该截角四面体的外接球半径为
22
4
【答案】BCD
【分析】确定截角四面体是由4 个边长为1 的正三角形，4 个边长为1 的正六边形构成，还原正四面体可
判定AB，根据各个面的形状求得截角四面体的表面积判断C，取上下底面的中心分别为
'
"
,
O O ，外接球的
球心为O，连接
'
"
,
,
,
OC OH CO HO ，可得
2
'
2
2
"
2
2 6
3
R
O C
R
O H
，求解可判断D.
【详解】选项A，由题意，截去四面体还原为正四面体，如下图所示，
因为
/ /
,
/ /
AC
LI LI
EF ，所以
/ /
AC
EF ，
又因为DEF
为等边三角形，所以
60
DEF
，
即直线AC 与DE 所成角为60，即DE 不与直线AC 垂直，故DE 平面ABC 不成立，所以A 错误；
选项B，由题意
/ /
,
/ /
DE
AJ GI
AJ ，故
/ /
DE
GI ，又因为
GIH
△
为等边三角形，所以
60
HGI
，即直线
DE 与GH 所成角为60，正确；
选项C，由题意，截角四面体由4 个边长为1的正三角形，4 个边长为1的正六边形构成，
所以其表面积为
2
2
3
3
4
1
4 6
1
7 3
4
4
S
，所以C 正确；
选项D，如下图所示，取上下底面的中心分别为
'
"
,
O O ，外接球的球心为O，
连接
'
"
,
,
,
OC OH CO HO ，
因为截角四面体上下底面距离为
6
2 6
6
3
3
，
设球的半径为R ，所以
2
'
2
2
"
2
2 6
3
R
O C
R
O H
，
即
2
2
2
1
2 6
1
3
3
R
R
，化简得的
11
22
8
4
R
，正确.
故选：BCD
4．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD是正方形，EF 平面
,
4
ABCD EF
，其余棱长都为2，则
这个几何体的外接球的体积为（
）
A．8 2π
3
B．16π
3
C．4 3π
D．32π
3
【答案】D
【分析】由题意可知直线EF 在底面ABCD上的射影即为
,
AD BC 的中点
,
N G 的连线所在直线,连接
,
AC BD 交于点M ，取EF 的中点O，计算求得
2
OA
OB
OC
OD
OE
OF
，说明几何体的外接球
的球心为O，确定半径，根据球的体积公式即可求得答案.
【详解】由题意在几何体ABCDEF 中，底面ABCD是正方形，EF 平面
,
4
ABCD EF
，其余棱长都为2，
可知直线EF 在底面ABCD上的射影即为
,
AD BC 的中点
,
N G 的连线所在直线,
2
NG
,
连接
,
AC BD 交于点M ，则为
,
AC BD 的中点，取EF 的中点O，
四边形
,
ABFE CDEF 为全等的等腰梯形，则
,
OA
OC OB
OD
，
故
,
OM
AC OM
BD
,
,
,
AC
BD
M AC BD
平面ABCD,
则OM 平面ABCD
NG
，
平面ABCD,故OM
NG
,则OM
EF
,
取BC 的中点G ，连接FG ，作GH
EF
，垂足为H ，如图所示．
由题意得，
1
1
3
(
)
(4
2)
2
1,
3
2
2
HF
EF
NG
FG
BF
，
2
2
1
3 1
2,
2,
2
2
HG
FG
HF
OM
HG
AM
AC
，
2
2
2
OA
OM
AM
，同理
2
OB
OC
OD
,
又
2,
2
OE
OF
OA
OB
OC
OD
OE
OF
，
即这个几何体的外接球的球心为O，半径为2，
这个几何体的外接球的体积为
3
3
4
4
32 π
π
π
2
3
3
3
V
R
,
故选:D．
5．（多选）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两
平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛
四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图
乙所示，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是（
）
A．勒洛四面体ABCD被平面ABC 截得的截面面积是
8 π
3
B．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4
6
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为2π
2 3
D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
6
2
2
【答案】CD
【分析】对A 选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公式即可得到答案，而A
选项的截面积为C 选项的最大截面积，对B 选项需要利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，
得到外接球半径为
6
2
，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径，而此半径即为该勒洛四面体的能够容
纳的最大球的半径，即可判断D 选项.
【详解】对于A，
2
2
2
1
π
3
3
3
2
2
3
2
2π
2 3
2
3
4
4
ABC
ABC
ABC
S
S
S
S
截
扇形
故A 错误，截面示意图如下：
对于B，由对称性知,勒洛四面体ABCD内切球球心是正四面体ABCD的内切球、外接球球心O,如图：
正
BCD
△
外接圆半径
1
2
2 3
2 cos30
3
3
O B
,正四面体ABCD的高
2
2
1
1
2 6
3
AO
AB
O B
,令正四面体
ABCD的外接球半径为R ,
在
1
Rt BOO
中,
2
2
2
2 6
2 3
3
3
R
R
，解得
6
2
R
,
此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：
图中取正四面体ABCD中心为O,连接BO交平面ACD 于点E ，交
AD 于点F ，其中
AD 与
ABD
△
共面，其
中BO即为正四面体外接球半径
6
2
R
，设勒洛四面体内切球半径为r ，则由图得
6
2
2
r
OF
BF
BO
，故B 错误；
对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对A 的分析知
max
2
2 3
S
截
，故C 正确；
对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4 个弧面都相切,即为勒洛四面体内切球,所以勒洛
四面体ABCD能够容纳的最大球的半径为
6
2
2
，故D 正确.
故选：CD．
【点睛】本题实际上是勒洛三角形在三维层面的推广，对计算能力，空间想象能力要求高，
记住正四面体的高，内切球半径，外接球半径与棱长关系的二级结论将会加快对本题的求
解.
模块三：综合巩固
1．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（
）
A．9
B．18
C．36
D．48
【答案】C
【分析】根据长方体外接球直径
2
2
2
2R
a
b
c
，可求出半径R，再由球体表面积公式
2
4
S
R
，即可
求出结果.
【详解】长方体外接球直径
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
6
3
R
a
b
c
R
，所以该长方体外接球的表面积
2
2
4
4
3
36
S
R
故选：C.
2.一个正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为
3 ，底面周长为3，那么这个球的体积是
_____．
【答案】4
3
/ 4
3
【解析】设正六棱柱ABCDEF
A B C D E F
正六边形的周长为3，则边长为1
2 ，则
1
2
1
2
AD
矩形ADD A
经过球心，AD就是外接球的直径
2
2
2
2
1
( 3)
2
AD
AD
DD
外接球的半径
1
2
AD
R
，
则外接球的体积为
3
3
4π
4π 1
4π
3
3
3
R
故答案为：4π
3
3．若三棱柱
1
1
1
ABC A B C
﹣
的底面是以AB 为斜边的直角三角形，
1
AA ⊥平面ABC ，
2 2
AB
，
1
4
AA
，
则三棱锥
1A
ABC
的外接球的表面积为_____．
【答案】24π
【分析】利用勾股定理求得外接球的半径，从而求得外接球的表面积.
【详解】三棱锥
1A
ABC
的外接球即直三棱柱
1
1
1
ABC A B C
﹣
的外接球，
直角三角形的外心在斜边的中点，
所以外接球的半径
2
2
4
2 2
6
2
2
R
，
所以外接球的表面积为
2
4π
24π
R
.
故答案为：24π
4．已知直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2,
6
BB
BC
BAC
，则该三棱柱外接球的体积为__________.
【答案】20 5
3
【分析】先利用正弦定理求地面的外接圆半径，然后利用勾股定理求外接球的半径，最后求得体积.
【详解】棱柱底面ABC
的外接圆直径
2
2
4
2
sin 6
r
r
，所以该三棱椎外接球的半径
2
2
1
5
2
BB
R
r
，所以该三棱柱外接球的体积为
3
4
20 5
3
3
V
R
故答案为：20 5
3
5.已知圆柱的侧面积为2π，其外接球的体积为V，则V 的最小值为_____________．
【答案】4
3 / 4
3
【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，
因为圆柱的侧面积为2π，所以2π
2π
rh
，得
1
rh ，
设圆柱外接球半径为R，则
2
2
2
2
1
2
2
h
h
R
r
r
rh
，
当且仅当
2
h
r
，即
2
2,
2
h
r
时取等号，
所以
2
R 的最小值为1，所以外接球的体积V 的最小值为
3
4
4
π
π
3
3
R
．
故答案为：4π
3 .
6.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．
【答案】243
16
．
【解析】如图所示，设正四棱锥P
ABCD
的底面ABCD的中心为E，
连接
,
PE AE ，则PE 为正四棱锥的高，
1
4,
2,
2
2
PE
AB
AE
AC
；
设球心为O，则O 一定在线段PE 上，连接OA；
设球的半径为R，在Rt AOE
中，
2
2
2
OA
AE
OE
，即
2
2
2
( 2)
(4
)
R
R
，解得
9
4
R
；
所以球的体积为
3
4
9
243
3
4
16
V
．
7.在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，底面
1
1
1
1
A B C D 是边长为4 的正方形，其余各棱长均为2，设直线
1
AA 与
直线
1
BB 的交点为P，则四棱锥P
ABCD
的外接球的体积为___________.
【答案】64 2π
3
【解析】设AC 与BD相交于点
1
O ，
因为四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D
为正四棱台，直线
1
AA 与直线
1
BB 的交点为P，
所以P
ABCD
四棱锥为正四棱锥，得
1
PO 平面ABCD，
四棱锥P
ABCD
的外接球的球心O 在直线
1
PO 上，连接BO，
设该外接球的半径为R，由
1
1
1
2
2
AB
A B
，
1
1
/ /
AB
A B ，
所以
1
1
1
2,
2,
2
PB
BB
BO
PO
，
则
2
2
2
1
1
OB
O O
O B
，即
2
2
2
( 2)
( 2
)
R
R
，解得
2
R
，
则四棱锥P
ABCD
外接球的体积为
3
4
8 2π
π
3
3
R
.
故答案为：8 2π
3
.
8.已知正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影是底面三角形的中心）的体积为
3 ，其各顶点都在
同一球面上，则该球的表面积的最小值为_____________．
【答案】9
【分析】根据三棱锥体积求得底面边长和高之间的关系，结合棱锥外接球求解办法，求得外接球半径与高
之间的关系，利用基本不等式求得其最小值，再求球的表面积即可.
【详解】根据题意，作如下正三棱锥A
BCD
，即顶点再底面的射影为H ，连接
,
AH BH ，
记该三棱锥外接球球心为O，连接OB ，如下所示：
设BC
a
，AH
h
，OA
R
，则OB
R
；
根据题意可得1
3
3
BCD
S
h
，即
2
1
3
3
3
4 a h
，则
2
12
a h
；
在△ABH 中，易知
2
3
3
3
2
3
BH
a
a
，OH
h
R
，OB
R
，
由
2
2
2
OH
BH
OB
可得
2
2
2
1
3
h
R
a
R
，即
2
2
1
1
2
2
6
2
a
R
h
h
h
h
，
则
3
2
2
2
2
3
3
4
4
4
4
2
h
h
h
h
R
h
h
，当且仅当
2
h
时取得等号；
则R 的最小值为3
2 ，故该球的表面积的最小值为
2
4
9
R
.
故答案为：9.
9.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）
A．81
4
B．16
C．9
D．27
4
【答案】A
【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高
1
PO 上，
记为O，PO=AO=R，
1
4
PO
，
1
OO =4-R，
在Rt△
1
AOO 中，
1
2
AO
，
由勾股定理
2
2
2
4
R
R
得
9
4
R
，
∴球的表面积
81
4
S
，故选A.
10.正四面体S
ABC
内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（
）
A．
6
4
B．
3
3
C．2 6
3
D．
3
【答案】C
【分析】设正四面体的棱长为2a，由正四面体几何性质得出a 与外接球半径R 的关系式，即可求比值
【详解】设正四面体的棱长为2a，正四面体的外接球心为O，ABC
的内心为M，则SM 平面ABC，由
AM 平面ABC，则SM
AM
，
由
2
2
2
2 3
2 6
3 ,
,
3
3
3
a
a
AE
a
AM
AE
SM
AS
AM
，则
2
2
2
2 6
2 3
6
2
2 6
3
3
3
3
a
a
a
R
R
a
R
R
.
故选：C
11.（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，
且3
3 3
l
，则该正四棱锥体积的取值范围是（
）
A．
81
18, 4
B．27 81
,
4
4
C．27 64
,
4
3
D．[18,27]
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正
四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为36，所以球的半径
3
R
,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，
则
2
2
2
2
l
a
h
，
2
2
2
3
2
(3
)
a
h
,
所以
2
6h
l
，
2
2
2
2a
l
h
所以正四棱锥的体积
4
2
6
2
2
4
1
1
2
1
4
(
)
=
3
3
3
36
6
9
36
l
l
l
V
Sh
a
h
l
l
，
所以
5
2
3
3
1
1
24
4
9
6
9
6
l
l
V
l
l
，
当3
2 6
l
时，
0
V
，当2 6
3 3
l
时，
0
V
，
所以当
2 6
l
时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为64
3 ，
又
3
l
时，
27
4
V
，
3 3
l
时，
81
4
V
,
所以正四棱锥的体积V 的最小值为27
4 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是27 64
4
3
，
.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以
3
2
2
12
2
4
2
1
1
64
6
12
2
(
3
3
3
3
3
3
h
h
h
V
a h
h
h
h
h h h
-
当且仅当
4
h
取到
)，
当
3
2
h
时，得
3 3
2
a
，则
2
2
min
1
1 3 3
3
27
(
)
;
3
3
2
4
2
V
a h
当
3 3
l
时，球心在正四棱锥高线上，此时
3
9
3
2
2
h
，
2
3 3
3 3
2
2
2
a
a
，正四棱锥体积
2
2
1
1
1 3 3
9
81
64
(
)
3
3
2
4
3
2
V
a h
，故该正四棱锥体积的取值范围是
27 64
[
,
].
4
3
12．在三棱锥A
BCD
中，BD 平面ADC ，
2
BD ，
2 2
AB
，
2 2
AC
BC
，则三棱锥A
BCD
的
外接球的体积为__________．
【答案】4 3π
【分析】首先根据题意易证BD
AD
，BD
CD
，再根据勾股逆定理得到AD
CD
，从而得到三棱锥
A
BCD
的外接球半径
3
R
，即可得到答案.
【详解】如图所示：
因为BD 平面ADC ，AD 平面ADC ，CD 平面ADC ，
所以BD
AD
，BD
CD
.
因为
2
BD ，
2 2
AB
，所以
2
2
2 2
2
2
AD
，
因为
2
BD ，
2 2
BC
，所以
2
2
2 2
2
2
CD
，
在
ADC
△
中，
2
AD
，
2
CD ，
2 2
AC
，
满足
2
2
2
AD
CD
AC
，即AD
CD
.
因为在三棱锥A
BCD
中，BD 平面ADC ，AD
CD
，
所以三棱锥A
BCD
的外接球半径
2
2
2
2
2
2
3
2
R
，
故三棱锥A
BCD
的外接球的体积为
3
4 π
3
4 3π
3
.
故答案为：4 3π
13．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC
是正三角形，AD 平面ABC ，
2
AD
，
3
AB ，
则该球的表面积为______.
【答案】16π
【分析】根据外接球的性质可得ABC
的外接圆直径，AD 与外接球直径构成勾股定理，进而求得外接球
直径，进而求得表面积即可.
【详解】由题意，ABC
的外接圆直径
3
2 3
sin 60
3
2
AB
d
o
，且ABC
的外接圆直径，AD 与外接球直
径构成勾股定理，所以外接球直径D 满足
2
2
2
16
D
d
AD
.
故外接球表面积
2
π
16π
S
D
.
故答案为：16π
14.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32
3
，两个圆锥的高之比为1:3，
则这两个圆锥的体积之和为（
）
A．3
B．4
C．9
D．12
【答案】B
【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，
再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，
设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即
3
AD
BD
，
设球的半径为R ，则
3
4
32
3
3
R
，可得
2
R
，所以，
4
4
AB
AD
BD
BD
，
所以，
1
BD ，
3
AD ，
CD
AB
，则
90
CAD
ACD
BCD
ACD
，所以，
CAD
BCD
，
又因为
ADC
BDC
，所以，
ACD
CBD
△
∽△
，
所以，AD
CD
CD
BD
，
3
CD
AD BD
，
因此，这两个圆锥的体积之和为
2
1
1
3 4
4
3
3
CD
AD
BD
.
故选：B.
15.已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为
1
2
,
S S ，且
1
2
2
S
S
，对应圆锥外接球体积分别为
1
2
,
V V ，
则
1
2
V
V （
）
A．8
B．4 2
C．2 2
D．2
【答案】C
【解析】设两个圆锥的母线长分别为1
2
,l l ，高分别为
1
2
,
h h ，底面圆的半径分别为1
2
,
r r ，
对应圆锥的外接球半径分别为
1
2
,
R R ，
由题可得
1
1
1
1
2
2
l
r
l
r
，
1
1
3
h
r
，同理得：2
2
2
l
r
，
2
2
3
h
r
由
1
1 1
1
1
2
2 2
2
2
2
2
2
S
rl
r
r
S
r l
r
r
，得
2
1
2
2
2
r
r
又
2
2
2
(
)
R
r
h
R
，化简得
2
2
2
h
r
Rh
，
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
3
2
2 3
2
3
2
2 3
r
r
h
r
R
h
r
r
h
r
r
r
R
r
h
r
，
3
3
1
1
1
3
3
2
2
2
4
3
=
=
=2 2
4
3
R
V
R
V
R
R
故选：C
16．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知侧棱都相等的四棱锥P
ABCD
底面为矩形，且
3
AB ，
7
BC
，高为2，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1 的刍
童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（
）．
A．16π
B．18π
C．20π
D．25π
【答案】C
【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.
【详解】如图1，设棱台为
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，
如图2，该棱台外接球的球心为O，半径为R，上底面中心为
1
O ，下底面中心为
2
O ，
则由题意
1
2
1
O O ，
2
2
AO
，
1
1
1
AO ，
1
OA
OA
R
，
当O 在
1
2
O O 下方时，设
2
OO
h
，
则在
2
AOO
中，有：
2
2
4
R
h
（1），
在
1
1
AOO
中，有：
2
2
1
1
R
h
（2），
联立（1）、（2）得
1
h ，
2
5
R ，
所以刍童外接球的表面积为20π．
同理，当O 在
1
2
O O 中间时，设
1
OO
h
，
则有
2
2
1
R
h
，
2
2
1
4
R
h
，解得
2
h
，不满足题意，舍去．
综上所述：当刍童外接球的表面积为20π．
故选：C
17．在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
2
4
A B
AB
，
1
2
AA
，则该棱台外接球的半径为（
）
A．2 2
B．3
C．10
D．3 2
【答案】C
【分析】[解法1]设所求外接球球心为O，则O在上下底面中心的连线
1
GG 上，利用勾股定理可求得
1
GG ，
设OG
m
，在Rt
OCG
△
和
1
1
Rt OC G
中，利用勾股定理可构造方程组求得
2
R ，即可得解.
[解法2] 同解法1，求得直角梯形
1
1
CGG C 的各边，利用图形的特殊性，作出
1
CC 的中垂线，与
1
GG 的延长
线交点即为球心,由此进行计算即可.
【详解】[解法1]由题意知：四边形
1
1
1
1
,
ABCD A B C D 均为正方形，
1
,
G G 为上下底面的中心，
设正四棱台的外接球球心为O，外接球半径为R ，则O直线
1
GG ；
1
1
2
4
A B
AB
，
2 2
AC
，
1
1
A C
4 2
，又
1
2
AA
，
2
1
4 2
2 2
4
2
2
GG
，
当O位于线段
1
GG 上时，
设
0,
2
OG
m
，则
2
2
2
2
2
2
8
m
R
m
R
，解得：
2
2 2
10
m
R
（舍）；
当O位于线段
1
GG 的延长线上时，
设
2
OG
m
，则
2
2
2
2
2
2
8
m
R
m
R
，解得：
2
2 2
10
m
R
，
所以
10
R
,
故选：C.
[解法2]同解法1，求得
1
1
1
1
1
2
,
2 2,
CG
GG G C
CGG C
为直角梯形，如图所示，取
1
1
G C 的中点，连接CN ,
则
1
CNC
为等腰直角三角形，四边形
1
CGG N 为正方形，取
1
CC 中点M ,连接MN 并延长交
1
GG 的延长线于
点O,由于MN 为
1
CC 的中垂线，所以
1
OC
OC
,即O 为四棱台的外接球的球心，显然，
1
1
2
G O
G N
，
所以外接球半径
2
2
2
8
10
R
OC
CG
GO
.
故选：C.
18．正四棱台高为2，上下底边长分别为2 2 和4 2 ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．
【答案】80π
【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积.
【详解】如图所示，
2 2
AB
AD
BC
CD
，
4 2
GH
HE
EF
FG
，
O为外接球球心，设外接球半径为R，
2
MN
，OA
OE
R
由勾股定理得：
1
8
8
2
2
AM
，
1
32
32
4
2
NE
，
设ON
x
，则
2
2
2
2
2
OA
x
，
2
2
2
4
OE
x
，
故
2
2
2
2
2
2
4
x
x
，解得：
2
x
，
故
2
2
2
2
4
20
R
，
故球的表面积为
2
4π
80π
R
.
故答案为：80π
19.已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3 的球面上,上、下底面正方形的外接圆半径分别为
1 和2,圆台的两底面在球心的同侧,则此正四棱台的体积为_____．
【答案】28 2
14 5
3
【解析】由题知,正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3 的球面上,
取正四棱台上底面一点为A ,正方形中心为
1
O ,
下底面一点为B ,正方形中心为
2
O ,正四棱台外接球球心为O,
连接
1
1
2
,
,
,
,
AO OO BO OA OB 如图所示:
记正四棱台高
1
2
O O
h
,
1
OO
m
,
在直角三角形
1
AOO 中,
1
1
3,
1,
AO
AO
OO
m
，所以有
2
1
9
m
,解得
2 2
m
,
在直角三角形
2
BOO 中,
2
2
3,
2,
0
BO
BO
OO
m
h
,
所以有
2
4
9
m
h
，解得
5
m
h
，即
2 2
5
h
,
因为四棱台上、下底面正方形的外接圆半径分别为1 和2,
所以四棱台上、下底面正方形的边长分别为:
2 , 2 2 ,
所以
2,
8
S
S
下
上
,
2 2
5
h
,
故正四棱台体积为:
1
28 2
14 5
3
3
V
h S
S
S
S
下
下
上
上
.
故答案为:
28 2
14 5
3
20．（多选）如图，在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，AB
BC
，
2
PA
AB
BC
，AM
PC
，M
为垂足，则下列命题正确的是（
）
A．三棱锥M
ABC
的外接球的表面积为8.
B．三棱锥M
ABC
的外接球的体积为4 2π
C．三棱锥P
MAB
的外接球的体积为4 3
D．三棱锥P
MAB
的外接球的表面积为16
【答案】AC
【分析】根据给定条件，取AC 中点
1
O ，证明点
1
O 到点
, , ,
M A B C 的距离相等，计算判断A，B；取PB，
PC 的中点D，E，证明DE 平面PAB ，再确定三棱锥P
MAB
的外接球球心位置，并计算半径作答.
【详解】在三棱锥
P
ABC 中，取AC 中点
1
O ，连接
1
1
,
BO MO ，如图，
因AB
BC
，AM
PC
，
2
AB
BC
，则
1
1
1
1
1
2
2
BO
MO
AC
AO
CO
，
因此点
1
O 是三棱锥M
ABC
的外接球球心，球半径为
2 ，球表面积为
2
4 ( 2)
8
，
球体积为
3
4
8 2
( 2)
3
3
，A 正确，B 不正确；
因PA 平面ABC ，BC 平面ABC ，则PA
BC
，而AB
BC
，
,
,
PA
AB
A PA AB
平面PAB ，
因此BC 平面PAB ，取PB，PC 的中点D，E，连DE，如图，有
1
/ /
,
1
2
DE
BC DE
BC
，
于是得DE 平面PAB ，而PA
AB
，则三棱锥P
MAB
的外接球被平面PAB 截得的小圆圆心为D，
因此该球的球心O 在直线DE 上，连接
,
OM OP ，令球O 半径为R，而
1
2
2
PD
PB
，
令OD
d
，即有
2
2
R
OM
OP
d
，
1
OE
OD
DE
d
，
在Rt
PAC
△
中，
1
3
2
PE
PC
，
2
cos
3
PA
PM
PA
APC
PA PC
，
1
3
EM
PE
PM
，
在
OEM
△
中，
1
cos
cos
3
BC
OEM
PCB
PC
，由
2
2
2
2
cos
OM
OE
EM
OE EM
OEM
得：
2
2
2
1
1
1
(
1)
(
)
2(
1)
3
3
3
R
d
d
，即
2
2
1
2
2
(
1)
(
1)
3
3
d
d
d
，解得
1
d ，
从而得
3
R
，三棱锥P
MAB
的外接球体积为
3
4
4 3
3 R
，表面积为
2
4
12
R
，C 正确，D 不正确.
故选：AC
【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是
解题的关键.
