8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_必修2_02.同步练习_同步练习（第三套）_8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积新教材

第八章 立体几何初步 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积 一、基础巩固 1.已知两个球的表面积之比为 ，则这两个球的半径之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设两个球的半径分别为 和 ，则 2．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为 ，则圆柱的侧面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设球的半径为 ，则 ，解得 ， 所以圆柱的底面半径 ，母线长为 ，所以圆柱的侧面积为 ，故选C． 3．已知圆锥的高为3，底面半径为 ，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体 积等于( ) A． π B． π C．16π D．32π 【答案】B 【详解】 如图，作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形 ， 的外接圆是球的大圆， 设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋( )2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝ πR3 ＝ π×23＝ π， 3．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l， 由题可知，r=h= ，则 ，∴ 侧面积为 故选A 3.已知三棱锥 四个顶点均在半径为 的球面上，且 ， ，若该三棱锥体 积的最大值为 ，则这个球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 如下图所示： 若三棱锥 体积最大值为 ，则点 到平面 的最大距离： 即： 设球的半径为 ，则在 中： ，解得： 球的表面积： 4.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( ) A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】 设圆台较小底面圆的半径为 ，由已知有另一底面圆的半径为 ，而圆台的侧面积公式为 ， 5.一个三棱锥的三条侧棱两两垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题三条侧棱两两垂直且长分别为3、4、5的三棱锥与长宽高分别为3、4、5的长方体外接球相同.且长方 体体对角线长 为外接球直径,又 , 故外接球表面积 . 6.一个正方体的表面积等于 ，则该正方体的内切球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设正方体棱长为 ，则 正方体内切球半径为棱长的一半，即 体积 7.正四面体 的俯视图为边长为1的正方形（两条对角线一条是虚线一条是实线），则正四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ABCD 如图，该正四面体可以看成棱长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体 ， ABCD 所以正四面体 的外接球，即为边长为1的正方体的外接球， 12 12 12 3 r   所以外接球的半径为 ， 2 2 2  3 则该外接球的表面积为 S 4    3 ， 2   S ABC SA BC 5,SB  AC  17,SC  AB  10 8.在三棱锥 中， ，则该三棱锥外接球的表面积 为（ ） 20 25 26 34 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 SA BC 5,SB  AC  17,SC  AB  10 S ABC 因为 ，所以可以将三棱锥 如图放置于一个长方a2 b2 17,  体中，设长方体的长宽、高分别为a，b，c，则有a2 c2 25, 整理得 ，则该棱锥外接   b2 c2 10, a2 b2 c2 26 26 R  球的半径 2 ， S 球4R2 26 ． ABCD 3 BAD60 △ABD BD 3 9．已知菱形 的边长为 ， ，将 沿 折起，使A，C两点的距离为 ，则 ABCD 所得三棱锥 的外接球的表面积为（ ） 9 15 A．3 B． 2 C．6 D． 2 【答案】B 【详解】 BAD  BD AB  BC CD DA 3 由已知得 为等边三角形， 对角线 , △ABD BD 3  ABCD 将 沿 折起，使A，C两点的距离为 ， 折起后三棱锥 为正四面体，各棱长都是 3 a ，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，设正方体的棱长为 ,则正 3 3 2a 3,a 3a  2R 方体的面对角线为 ，所以正方体的体对角线为 ,其中 为正方体的 2 2 R 外接球半径，由于正方体的外接球就是正四面体ABCD的外接球，∴正四面体ABCD的外接球表面积为9 4R2  2 , ABCD AB  BCD AB  BC CD BD1 10．已知四面体 ， 平面 ， ，若该四面体的四个顶点都在球 O O 的表面上，则球 的表面积为（ ） 7 7 7 A． 3 B．7 C．12 D． 9 【答案】A 【详解】 AB  BCD AB  BC CD BD1 因为 平面 ， ， ABCD 所以可将四面体 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示： ABCD 则四面体 的外接球即直三棱柱的外接球，2 骣1 2 3 因为底面三角形 的外心到三角形 的顶点的长度为 � 12 =琪 琪 ， BCD BCD 3 桫2 3 骣1 2 骣 3 2 7 r = 琪 +琪 = 所以直三棱柱的外接球的半径 琪 桫2 琪 桫 3 12 ， 2 7 7π S =4πr2 =4创π = 则球 的表面积 ， O 12 3 二、拓展提升 13.如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱， （1）求圆锥的表面积和体积. （2）求圆柱的表面积. 【答案】（1） ； ；（2） . 【详解】 （1）由题意圆锥的高为 ， 所以圆锥的表面积为 ， 体积为 ． （2）设圆柱半径为 ，则 ， ， 所以圆柱的表面积为 ．14.已知一圆锥的母线长为10 ，底面圆半径为6 . （1）求圆锥的高； （2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积. 【答案】（1）8（2） 【详解】 （1）据题意知，圆锥的高 （2）据（1）求解知，圆锥的高为 ， 设圆锥内切球的半径为 ，则 ， 所以 所以所求球的表面积 . 15.如图所示，在四边形 中， ， ， ， ， ，将 四边形 绕 旋转一周所形成的一个几何体． （Ⅰ）求这个几何体的表面积；（Ⅱ）求这个几何体的体积． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【详解】 延长 ，过 作 交 于 ；过 作 交 于 ；过 作 交 于 （Ⅰ）令 ， ， ， ， ， 在 中， ， ， 又 （Ⅱ）几何体体积： .