8.3 简单几何体的表面积和体积
模块一：基础知识.........................................................................3
考点一：多面体的表面积、侧面积..................................................3
考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积..................................................3
考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积...............................................3
考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积..................................................4
考点五：球的表面积和体积.......................................................... 4
考点六：球的截面的性质............................................................. 4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：棱柱的表面积和体积计算..................................................4
题型二：棱锥的表面积和体积计算................................................10
题型三：棱台的表面积和体积计算................................................18
题型四：圆柱的表面积和体积......................................................23
题型五：圆锥的表面积和体积......................................................25
题型六：圆台的表面积和体积......................................................29
题型七：球的表面积和体积........................................................ 32
题型八：球的截面问题.............................................................. 38
题型九：几何体与球的切、接问题................................................40
题型十：组合体的表面积和体积...................................................43
模块三：综合巩固....................................................................... 47
8.3 简单几何体的表面积和体积
模块一：基础知识
考点一：多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，
表面积是侧面积与底面面积之和．
1、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
（1）棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长；
（2）棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成；
（3）棱台的侧面张开图由若干个梯形组成。
2、棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）棱柱的表面积：�棱柱= �侧+ 2�底；
（2）棱锥的表面积：�棱锥= �侧+ �底；
（3）棱台的表面积：�棱台= �侧+ �上底+ �下底
考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积
1、棱柱的高和体积
（1）棱柱的高：两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点，向另外一个底面作垂线，这点与垂足（垂
线与底面之间的交点）之间的距离，也就是垂线段的长。
（2）棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积�底和高ℎ的乘积，即�棱柱= �底× ℎ.
2、棱锥的高和体积
（1）棱锥的高：棱锥的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，
顶点到垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，即垂线段的长。
（2）棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积�底和高ℎ的乘积的
1
3，即�棱锥=
1
3 �底× ℎ
3、棱台的体积：V＝1
3
(S 上＋S 下＋S 上S 下)h
考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积
1、侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S 圆柱侧＝2πrl
S 圆锥侧＝πrl
S 圆台侧＝π(r1＋r2)l
2、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤;
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，
求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
（1）得到空间几何体的平面展开图．
（2）依次求出各个平面图形的面积．
（3）将各平面图形的面积相加．
考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积
1、圆柱、圆锥、圆台的体积公式：
（1）圆柱的体积公式：�圆柱= �底× ℎ
（2）圆锥的体积公式：�圆锥=
1
3 �底× ℎ
（3）圆台的体积公式：V＝1
3
(S 上＋S 下＋S 上S 下)h
2、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
考点五：球的表面积和体积
1、球的体积公式：�=
4
3 ��3
2、球的表面积公式：�= 4��2
考点六：球的截面的性质
1、球的轴截面（过球心的截面）是将球的问题（立体几何问题）转化为平面问题（圆的问题）的关键，
因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．
2、用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：
（1）球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；
（2）球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 满足关系d＝R
2－r
2.
模块二：题型分类
题型一：棱柱的表面积和体积计算
1.已知长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为17 ，则该长方体的表面积为（
）
A．32
B．20
C．16
D．12
【答案】A
【详解】设长方体的长、宽、高分别为
c
b
a
,
,
，因长方体所有棱的长度之和为28，所以
28
4
c
b
a
，
即
7
c
b
a
，因一条对角线的长度为17 ，所以
17
2
2
2
c
b
a
，因
49
2
2
2
2
2
2
2
bc
ac
ab
c
b
a
c
b
a
，解得
16
bc
ac
ab
，所以该长方体的表面积为
32
2
2
2
bc
ac
ab
2.如图，棱长为5 的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1 的正方形孔，则这个有孔正方体
的表面积（含孔内各面）是（
）
A．258
B．234
C．222
D．210
【答案】C
【分析】先明确题目的含义：正方体共有6 个直通小孔，有6 个交汇处，计算即可
【详解】正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1 的正方形孔，
正方体共有6 个直通小孔，有6 个交汇处，
表面积等于正方体的表面积减去12 个表面上的小正方形面积，
加上6 个棱柱的侧面积，减去6 个通道的6 个小正方体的表面积．
则
6 25 12
6 4 5
6 6
222.
S
故选：C．
3．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m ，
底面外接圆的半径是0.46m ，制造这个滚筒需要
2
m 铁板（精确到
2
0.1m ）.
【答案】5.6
【分析】
根据已知得到正六边形的边长，直接求出表面积即可.
【详解】
由题知此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46m ，
所以底面正六边形的边长是0.46m ．
所以侧面积
2
6 0.46 1.6
4.416 m
S
Ch
侧
.
所以表面积
2
2
3
4.416
2
0.46
6
5.6 m
4
S
S
S
S
侧
上底
下底
.
故制造这个滚筒约需要
2
5.6m 铁板．
故答案为：5.6
4.如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D 为棱
1
AA 的中点．若截面
1
BC D
是面积为6 的直角三角形，求此
三棱柱的表面积．
【答案】24 2
4 3
【解析】设
,
AD
b AB
a
，则
2
2
1
BD
C D
a
b
，
2
2
1
4
BC
a
b
．
由题意得
2
2
2
1
1
1
,
1
6,
2
BD
C D
BC
BD C D
即
2
2
2
2
2
2
2
2
4
,
12,
a
b
a
b
a
b
a
b
解得
2 2,
2,
a
b
从而
3
4
3 2 2
2
2 2
2 2
24 2
4 3
4
S
表
．
5.已知正四棱柱的侧棱长为5cm ，它的体对角线长为43cm，则这个正四棱柱的侧面积为（
）
A．
2
15 2cm
B．
2
60cm
C．
2
78cm
D．
2
60 2cm
【答案】B
【解析】设底面边长为cm
a
，由题意得
2
2
25
43
a
a
，解得
3
a
，
所以侧面积为
2
4
5
60 cm
a
．故选：B
6.正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为2 5 ，则它的表面积为（）
A．4(3 3
4)
B．12( 3
2)
C．12(2 3
1)
D．3( 3
8)
【答案】B
【解析】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为2 5 ，则高为
2
2
1
2 5
2 2
2
BB
=
，
它的表面积为
1
6
=2 6
2
2 sin
6
2
2
12 3
24
12
3
2
2
3
S
S
S
表面积
底面积
矩形
.
故选:B.
7.如图，已知正方体的棱长为a ，沿图1 中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2 的四棱柱，则该四棱
柱的全面积为（
）
A．
2
8
2 2 a
B．
2
2
4 2 a
C．
2
4
2 2 a
D．
2
6
4 2 a
【答案】C
【解析】由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，
减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为
2a，宽为a ，所以面积为
2
2a ，
所以拼成的几何体的表面积为
2
2
2
4
2 2
(4
2 2)
a
a
a
.故选：C.
8.所有棱长都为2 的直三棱柱的体积为（
）
A．2 3
3
B．2 3
C．6
D．6
2 3
【答案】B
【解析】由题意，直三棱柱的所有棱长都为2 ，可得高为
2
h
则底面正三角形的面积为
2
3
2
3
4
S
，
所以该直三棱柱的体积为
3
2
2 3
V
Sh
.故选：B.
9.已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（
）
A．30
B．15
C．10
D．60
【答案】B
【解析】如图，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，以斜三棱柱的一个侧面为四棱柱的底面，
面积为
10
S
，高
3
h
PH
，四棱柱的体积
10 3
30
V
，
则此斜三棱柱的体积为1
15
2V
.故选：B
10.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B 水平放置时，液面恰好过AC，BC，
A1C1，B1C1的三等分点处，
1
3
CE
CA
，当底面ABC 水平放置时，液面高为（
）
A．64
9
B．8
9
C．6
D．9
4
【答案】A
【解析】如图，设CB 靠近点C 的三等分点为点F ，
当底面ABC 水平放置时，液面高度为h ，此时液体体积
CAB
V
S
h
液
，
因为
1
3
CE
CA
,所以
1
8
9
9
CEF
ABFE
CAB
CAB
S
S
S
S
，
64
8
9
ABFE
CAB
V
S
S
液
,
所以
64
9
CAB
CAB
V
S
h
S
液
，解得
64
9
h
.故选：A.
11.已知正六棱柱最长的一条对角线长为13 厘米，侧面积为180 平方厘米，则这个棱柱的体积为______．
【答案】
3
270 3cm 或225 3
2
【解析】因为正六棱柱最长的一条对角线长为13 厘米，侧面积为180 平方厘米
设底面边长为a ，高为h则
2
2
2
6
180,4
13
ah
a
h
解得
6,
5
a
h
或
5 ,
12
2
a
h
则这个棱柱的体积为
2
3
6
6
5
270 3
4
或
2
3
5
225 3
6
12
4
2
2
故答案为:
3
270 3cm 或225 3
2
.
12.设正四棱柱的一条对角线长为3，它的底面积是4，则它的体积是（
）
A．4
B．8
C．112
27
D．4 或112
27
【答案】A
【解析】设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，
则
2
4
a
且
2
2
9
a
h
，解得
2
a
，
1
h ，
所以正四棱柱的体积为
2
4
V
a h
.故选：A.
13.如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，底面ABCD是正方形，
1A A 底面ABCD，
1
4,
1
A A
AB
，那么
该四棱柱的体积为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【解析】在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，底面ABCD是正方形，
1A A 底面ABCD，
1
4
A A
，
1
AB ，
该四棱柱的体积为
2
1
1
4
4
ABCD
V
S
AA
．故选：C．
14.斜三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，侧面BB1C1C 的面积为S，侧棱AA1到侧面BB1C1C 的距离为a，则该斜三棱柱
的体积为（
）
A．1
6 Sa
B．1
3 Sa
C．1
2 Sa
D．Sa
【答案】C
【解析】在斜三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的一侧补上一个三棱柱
1
1
1
ACD
AC D
，
使之成为一个平行六面体
1
1
1
1
AA D D
BB C C
，如图，
显然，它的体积为V
aS
，所以斜三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积为1
1
2
2
V
aS
.故选：C
题型二：棱锥的表面积和体积计算
1.若正三棱锥的底面边长等于a ，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为（
）
A．
2
3
4 a
B．
2
3
4 a
C．
2
3
2 a
D．
2
3a
【答案】A
【解析】因为正三棱锥的底面边长等于a ，三条侧棱两两垂直，
所以三棱锥的侧棱长为
2
2 a ，则它的侧面积为
2
1
2
2
3
3
2
2
2
4
a
a
a
.故选：A.
2.已知正四棱锥的高为3，底面边长为
2 ，则该棱锥的体积为（
）
A．6
B．3 2
C．2
D．
2
【答案】C
【解析】根据棱锥的体积公式得该棱锥的体积为1
2
2
3
2
3
故选：C.
3.正四棱锥的所有棱长均为1，则它的体积是______.
【答案】
2
6
【解析】如图所示，正四棱锥P
ABCD
棱长均为1，
连接AC、BD 交于点O，连接PO
根据正四棱锥的性质，可得PO 平面ABCD.
所以
2
2
1
2
2
2
AO
AB
BC
，
2
2
2
2
PO
PA
AO
，
所以正四棱锥P
ABCD
的体积
1
2
2
1 1
3
2
6
V
.
故答案为:
2
6
.
4.已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（
）
A．4 3
B．6 3
C．8 3
D．12 3
【答案】D
【解析】如图，正三棱锥O
ABC
中，
2
OM
，取BC 的中点，连接AN
ON
，
，
则M 在AN 上，且
1
3
MN
AN
，
又
4
2
AB
BN
，
，所以
2
2
4
2
2 3
AN
，
所以
1
2 3
3
3
MN
AN
，则
2
2
4 3
3
ON
OM
MN
，
所以
1
8 3
1
4 3
2
3
2
OBC
ABC
S
BC
ON
S
BC
AN
，
，
故三棱锥的表面积为8 3
3
4 3
12 3
3
.故选：D
5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C 的表面积与正方体的表面积的比为（）
A．1∶1
B．1∶
2
C．1∶
3
D．1∶2
【答案】C
【解析】设正方体的边长为a ，则表面积
2
1
6
S
a
，
因为三棱锥
1
1
D
AB C
的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线．
则面对角线长为
2a，三棱锥D1AB1C 的表面积
2
2
2
1
3
4
2
2 3
2
2
S
a
a
，
所以
2
2
2
1
:
2 3
:6
1: 3
S
S
a
a
.故选：C
6.已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为
5 ，则这
个三棱锥的表面积为（
）
A．4
3 3
15
B．4
3
2 15
C．4
3
15
D．4
2 3
15
【答案】C
【解析】结合题目边长关系，三棱锥如图所示，
2,
5
AB
AC
AD
CE
，
由题意
,
ABC
ACD
是等腰直角三角形，
则
2 2
BC
CD
2
2
2
2
2 2
5
3,
2 3,
2
3
1
BE
BD
AE
，
则表面积为
1
1
1
1
2 2
2 2
2 3 1
2 3
5
2
2
2
2
ABC
ACD
ABD
BCD
S
S
S
S
4
3
15
.故选：C.
7.一个正四棱锥的底面边长为2 ，高为
3 ，则该正四棱锥的表面积为（
）
A．8
B．12
C．16
D．20
【答案】B
【解析】如下图所示，在正四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD的边长为2 ，
设点P 在底面ABCD的射影点为点O，则四棱锥P
ABCD
的高
3
PO
，
则O为AC 的中点，且
1
2
2
2
2
AO
AC
AB
，
2
2
5
PB
PA
PO
AO
，
取AB 的中点E ，连接PE ，则PE
AB
，且
2
2
2
PE
PA
AE
，
1
2
2
PAB
S
AB PE
△
，故正四棱锥P
ABCD
的表面积为
2
4 2
2
12
S
.故选：B.
8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正
方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
（
）
A.
5
1
4
B.
5
1
2
C.
5
1
4
D.
5
1
2
【答案】D
【解析】如图，设
,
CD
a PE
b
，则
2
2
2
2
4
a
PO
PE
OE
b
，
由题意
2
1
2
PO
ab
，即
2
2
1
4
2
a
b
ab
，化简得
2
4( )
2
1
0
b
b
a
a
，
解得
1
5
4
b
a
（负值舍去）.
9.在正四棱锥P
ABCD
中，
1
AB ，
2
PA
，则该四棱锥的体积是______．
【答案】
14
6
【解析】过点P 作PO 平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心，
连接
,
AC BD ，易知AC
BD
O
．
因为
1
AB ，所以
2
2
OA
，又
2
PA
，
所以
2
2
1
14
4
2
2
OP
PA
OA
，
则四棱锥P
ABCD
的体积
2
2
1
1
14
14
1
3
3
2
6
V
AB
OP
.
故答案为：
14
6
.
10.已知正四棱锥S
ABCD
，底面边长是2 ，体积是4 3
3
，那么这个四棱锥的侧棱长为（
）
A．
3
B．2
C．5
D．2 2
【答案】C
【解析】因为正四棱锥S
ABCD
，底面边长是2 ，所以底面积为2 2
4
.
设正四棱锥的高为h，由
3
1
4
3
4 3
V
h
，所以
3
h
.
所以侧棱长为
2
2
2
3
2
5
l
h
.即侧棱长为
5 .故选：C
11.已知三棱锥O
ABC
的体积为1，
1A 、
1
B 、
1
C 分别为OA、OB、OC 的中点，则三棱锥
1
1
1
O
A B C
的体积
为___.
【答案】1
8
【解析】三棱锥O
ABC
中，令点A 到平面BOC 的距离为h，
因为
1A 是棱OA 的中点，则点
1A 到平面BOC 的距离为1
2 h ，
又
1
B 、
1
C 分别为棱OB、OC 的中点，
则有
1
1
1
1
1
1
1
1
1
|
||
| sin
|
||
| sin
2
8
4
B OC
BOC
S
OB
OC
B OC
OB OC
BOC
S
，
因此
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
1
1
1
1
2
3 4
2
8
1
1
3
8
B C
B
C
B OC
BOC
B
A
C
BC
O
V
V
S
h
S
h
V
V
.
12.如图，在体积为16 的斜三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，P 为棱
1
AA 上一点，三棱锥P-ABC 的体积为4，则三棱
锥
1
1
1
P
A B C
的体积为（
）
A．4
3
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】结合柱体、锥体体积公式以及几何体的结构求得正确答案.
【详解】设三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面积为S，其高为h，
设三棱锥
P
ABC 的高为
1h ，三棱锥
1
1
1
P
A B C
的高为
2h ，
则
1
2
h
h
h
，
16
Sh
，所以
1
2
16
S h
h
，
即
1
2
16
Sh
Sh
，又
1
1
4
3
P ABC
V
Sh
，即
1
12
Sh
，
所以
2
1
16
16 12
4
Sh
Sh
，
所以
1 1 1
2
1
4
3
3
P A B C
V
Sh
．
故选：A
13.“堑堵”“阳马”和“整臑”是我国古代对一些特殊几何休的称谓．《九章算术．商功》：“斜解立方，得两堑堵，
斜解堑堵，其一为阳马，其一为整臑”，即一个长方体沿对角面斜解（图1）．得到一模一样的两个堑堵（图
2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱维称为
整臑（图4）．若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和整臑的体积分别为
1
2
3
,
,
V V V ，
则下列选项正确的是（
）
A．
1
2
3
3
2
V
V
V
V
B．
1
2
2
V
V
C．
2
3
3
V
V
D．
3
1
6
V
V
【答案】D
【分析】根据棱锥，棱柱的体积计算公式，结合题意求解即可.
【详解】设长方体的长宽高分别为, ,
a b c ，V
abc
则
1
1
2
2
V
V
abc
，
2
1
1
3
3
V
abc
abc
，
3
1
1
1
3
2
6
V
abc
abc
，
故
1
2
3
V
V
V
abc
V
，
1
2
3
2
V
V
，
2
3
2
V
V
，
3
1
6
V
V
，则ABC 错误，D 正确；
故选：D.
14.距今5000 年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的一种茅屋如图1 所示，该茅屋主体是一个正四
棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道.甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截
取而得的几何体，一头与茅屋的这个侧面连在一起，另一头是一个等腰直角三角形.如图2 是该茅屋主体的
直观图，其中正四棱锥的侧棱长为8m，BC
EF
∥
，
2 2m
AB
AC
，AB
AC
，点D 在正四棱锥的斜
高PH 上，AD 平面ABC 且
3 2m
AD
.不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道）的室内容积为（
）
A．
3
286 2 m
3
B．
3
292 2 m
3
C．
3
284 2 m
3
D．
3
280 2 m
3
【答案】C
【分析】过E 作
//
EN AB 交AD 于，
N 连接NF ，所求体积
ABC NEF
D NEF
V
V
V
V
四棱锥
，根据条件求计算体积
时所需要的长度.
【详解】
设O为正四棱锥底面中心，连接PO
OH
，
，则
4 3,
4
PH
OH
，
2
2
4 2
PO
H
OH
P
，
tan
2
PHO
OP
OH
，
取BC 的中点M ，连接AM ，
过D 作DG
OH
于G ，则
2
DG
AM
，
在直角DGH
中
2
tan
P
DG
G
O
H
H
，
过E 作
//
EN AB 交AD 于，
N 连接NF ，则
2 2
AN
AD
DN
，
所求体积
ABC NEF
D NEF
V
V
V
V
四棱锥
2
2
1
1
1
1
8 8 4 2
(2 2)
2 2
(2 2)
2
3
2
3
2
3
256
4
284
2
8 2
2
2m
3
3
3
，
故选：C
15.六氟化硫，化学式为
6
SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在
电器工业方面具有广泛的用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（每个面都是正三角形的八面体），如
图所示，硫原子位于正八面体的中心，6 个氟原子分别位于正八面体的6 个顶点．若相邻两个氟原子之间
的距离为
3
2 3，则以六氟化硫分子中6 个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是（
）．（氟原子的大小可
以忽略不计）
A．4 2
3
B．8 2
3
C．4 2
D．8 2
【答案】D
【分析】如图，连接
,
AC BD ，设
,
AC BD 交于点O，连接OE ，令相邻两个氟原子之间的距离为2a ，则由
正四棱锥的性质结合已知条件可得OE 的长，从而可求出其体积.
【详解】如图，连接
,
AC BD ，设
,
AC BD 交于点O，连接OE ，
因为
,
AE
CE BE
DE
，O为AC 的中点，也是BD 的中点，
所以
,
OE
AC OE
BD
，
因为AC
BD
O
，
,
AC BD 平面ABCD，
所以OE 平面ABCD，
令相邻两个氟原子之间的距离为2a ，则
3
2
2 3
a
，
3 3
a
，
因为
2
AB
BC
AE
a
，所以
2 2
AC
a
，
因为四边形ABCD为正方形，所以
1
2
2
AO
AC
a
，
所以
2
2
2
OE
AE
AO
a
，
所以该正八面体的体积是
3
2
3
3
1
8 2
8 2
2
2
2
3
8 2
3
3
3
a
a
a
，
故选：D
16.将边长为24、20、16 的三角形沿三条中位线折叠成一个四面体，则该四面体的体积为______.
【答案】30 6
【分析】由题意可知该四面体的四个面都是一个边长分别为12,10,8 的三角形，
故该四面体可放置与一个长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，即可求解
【详解】由题意可知该四面体的四个面都是一个边长分别为12,10,8 的三角形，
故该四面体可放置与一个长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，即图中的三棱锥
1
1
A
BC D
，
不妨设
1
1
10,
12,
8
A B
BD
A D
，则
1
1
1
1
10,
12,
8
DC
AC
BC
，
设
1
,
,
AB
a AD
b AA
c
，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
10
12
8
a
c
a
b
b
c
，
解得
2
2
2
90
54
10
a
b
c
，所以
3 10
3 6
10
a
b
c
，
所以
1
1
1 1 1
1
1
4
A
BC D
ABCD A B C D
A
ABD
V
V
V
1
1
3 10
3 6
10
4
3 10
3 6
10
3
2
2
1
90 6
90 6
90 6
30 6
3
3
，
故答案为：30 6
17 在三棱锥
P
ABC 中，已知
2 5,
13,
5
PA
BC
PB
AC
PC
AB
，则该三棱锥的体积为
___________.
【答案】8
【分析】如图，设长方体的三条棱长为, ,
a b c ，解方程组求出, ,
a b c 即得解.
【详解】
如图，设长方体的三条棱长为, ,
a b c ，
由题得
2
2
2
(2 5)
20
a
b
；
2
2
2
13
13
a
c
；
2
2
25
25
b
c
，
解之得
2
2
2
4,
16,
9
a
b
c
.
所以
2,
4,
3
a
b
c
.
所以该三棱锥的体积为
1
1
2 3 4
4
2 4 3=8
3
2
.
故答案为：8
题型三：棱台的表面积和体积计算
1.已知正三棱台上底面边长为1，下底面边长为2，高为1．求该三棱台表面积．
【答案】5 3
3 39
4
【解析】如图，正三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
，
1
2
,
O O 分别为上下底面的中心，
连接
1
1
C O 并延长交
1
1
A B 于
1
D ，连接CO 并延长交AB 于D，连接
1
D D 。
∵等边三角形
1
1
1
A B C 的边长为1，∴
1
1
1
1
1
1
3
3
1
3
3
6
2
O D
C D
,
∵等边三角形ABC 的边长为2，∴
3
1
1
3
3
2
3
3
2
OD
CD
1
1
O O
2
1
3
1
6
3
3
13
(
)
3
2
D D
，
所以该三棱台表面积为：
1
13
1
3
1
3
5 3
3 39
3
(1 2)
1 1
2 2
2
2
2
2
2
4
2 3
2．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面
的边长分别为40cm,20cm ，高为24cm ），则四羊方尊的容积约为（
）
A．
3
22400cm
B．
3
32400cm
C．
3
44800cm
D．
3
67200cm
【答案】A
【分析】根据台体的体积公式运算求解.
【详解】由题意可得：四羊方尊的容积约为
2
2
2
2
3
1 40
20
40
20
24
22400 cm
3
.
故选：A.
3.已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8 的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为（
）
A．148
B．168
C．193
D．88
【答案】A
【解析】棱台的侧面是等腰梯形，高
2
2
8
2
5
4
2
h
，
所以一个侧面积
1 2
8
4
20
2
s
，
所以该棱台的表面积
20
4
2
2
8 8
148
S
.故选：A
4.已知某正六棱台的上、下底面边长为1 和3，高为1，则其侧面积为（
）
A．12
B．12 2
C．24
D．12 5
【答案】C
【解析】如图正六棱台中，设上底面的中心为
1
O ，下底面的中心为O，过点
1
E 作
1
E G
BE
，
则
1
1
1
O E ，
3
OE ，
1
1
E G ，所以
2
GE
，
2
2
1
1
5
EE
E G
GE
在侧面
1
1
DEE D 中，
3
DE ，
1
1
1
E D ，
1
1
5
EE
DD
，
过点
1
E 作
1
E H
DE
，则
1
HE ，所以
2
2
1
1
2
E H
EE
HE
，
所以
1
1
1 1 3
2
4
2
DEE D
S
，所以
1
1
6
24
DEE D
S
S
侧面积
；故选：C
5.“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示．其可近似看作正四棱台，上底面是边
长为6dm 的正方形，下底面是边长为2dm 的正方形，高为4dm．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”
的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为（
）
A．8 5
B．16
C．2 5
D．4
【答案】A
【解析】由正四棱台，上底面是边长为6dm 的正方形，下底面是边长为2dm 的正方形，高为4dm ，
四棱台的侧面均为等腰梯形，则其高为
2
2
1
4
(6
2)
2 5
2
dm
，
所以“斗”的所有侧面的面积之和为
2
1
1
4
(6
2)
2 5
32 5
2
S
dm
，
下底面的面积为
2
2
4
S
dm
，所以
1
2
8 5
S
S
.故选: A.
6.已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为1: 3 : 3 ，若侧棱长为5 ，则该棱台的侧面积为（
）
A．16
B．10
C．13
3
3
D．30
【答案】A
【解析】设上底面边长为x ，则下底面边长为3x，高为3x ，
上底面正方形对角线长为
2x ，下底面正方形对角线长为3 2x ，
又侧棱长为
5 ，所以
2
2
2
3 2
2
5
3
2
x
x
x
，解得
1
x ，
所以侧面等腰梯形的高为
2
2
3 1
5
2
2
，
所以该棱台的侧面积为
1
4
1 3
2
2
16 .故选：A.
7.已知三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，三棱锥
1
1
1
A
A B C
的体积为4，三棱锥
1A
ABC
的体积为8，则四面体
1
1
A
B CC
的体积为（
）
A．3 3
B．4 2
C．4 3
D．4 7
【答案】B
【解析】设
1 1 1
1
2
,
ABC
A B C
S
S
S
S
，棱台高为h ，
由已知
1 1
1
2
1
4
3
A A B C
V
S h
，得
2
12
S
h
，
1
1
1
8
3
A
ABC
V
S h
，得
1
24
S
h
，
三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积为
2
2
1
1
2
12
24
12
24
12
1
1
3
4 2
3
V
h S
h
h
h
h
S
S S
，
因为
1
1//
A B
平面ABC ，所以
1
B 到平面ABC 的距离等于
1A 到平面ABC 的距离，
即
1
1
8
A
ABC
B
ABC
V
V
，所以
三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积
1 1 1
1 1
1
12
4 2
A B C
B C
A
A
B
B
C
A C
V
V
V
V
，
所以
1
1
12
4 2
4
8
4 2
A B CC
V
.故选：B.
8.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1 所示，该几何体为上、下底面周长分别为32cm ，24cm 的
正四棱台，若棱台的高为3cm ，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（
）
A．
3
148 cm
3
B．
3
74cm
C．
3
148cm
D．
3
298cm
【答案】C
【解析】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为8cm ，6cm ，
故该香料收纳罐的容积为
2
2
3
1
3
8
6
8 6
148cm
3
．故选：C．
9.正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（
）
A．20 12 3
B．56
3
C．28 2
3
D．56 2
【答案】C
【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高
2
2
2
2 2
2
2
h
，
下底面面积
1
16
S
，上底面面积
2
4
S
，
所以该棱台的体积
1
2
1
2
1
1
28 2
2
16
4
64
3
3
3
V
h S
S
S S
.故选：C.
10.在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
1
4,
2
AB
A B
AA
，则该四棱台的体积为（
）
A．28 3
3
B．28 2
3
C．8 2
D．8 3
【答案】B
【解析】作出轴截面如图所示，过点
1A 作
1A E
AC
，垂足为E ，
因为正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
1
4,
2
AB
A B
AA
所以
4 2
AC
，
1
1
2 2
AC
，
1
1
2
AA
CC
，即梯形
1
1
ACC A 为等腰梯形，
所以，
1
2
AE
A E
，
所以，该四棱台的体积为
1 1 1
1
1 1 1
1
1
1
1 16
4
16
4
8
3
2
2
2
3
3
ABCD
A B C D
ABCD
A B C D
V
S
S
S
S
A E
故选：B
11.正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______．
【答案】7 11
24
【解析】如图，设上下底面中心分别为
,
G Q ，
,
D F 分别为
1
1,
AC AC 的中点，则DF 即为斜高，
过点D 作DE
BF
于点E ，
则
1
1
1
3
3
1
3
3
2
6
DG
B D
，
1
1
3
3
2
3
3
2
3
FQ
BF
，
所以
3
6
EF
FQ
EQ
FQ
DG
，所以
3
33
1
36
6
DE
，
上底面面积
1
1
3
3
1 1
2
2
4
S
，下底面面积
2
1
3
2 2
3
2
2
S
，
所以棱台的体积
1
3
3
33
7 11
3
3
3
4
4
6
24
V
.
故答案为：7 11
24
.
题型四：圆柱的表面积和体积
1.以边长为2 的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（
）
A．2π
B．4π
C．8π
D．16π
【答案】D
【解析】由题意，所得几何体为高和底面半径均为2 的圆柱体，
所以几何体表面积为
2
2
2
2
2 2
16
.故选：D
2.如图，四边形
1
1
BCC B 是圆柱的轴截面，
1
AA 是圆柱的一条母线，已知
4
AB
，
2 2
AC
，
1
3
AA
，求
该圆柱的侧面积与表面积．
【答案】侧面积为6 6，表面积为6 6
12
【解析】易知：AB
AC
，因为
4
AB
，
2 2
AC
，
所以
2
2
2 6
BC
AB
AC
，即
6
r
，因为
1
3
AA
，
所以圆柱的侧面积
2
2
6
3
6 6
S
rl
，
圆柱的表面积
2
2
2
6 6
12
S
rl
r
表
．
3.设甲､乙两个圆柱的底面面积分别为
1
2
,
S S ，体积为
1
2
,
V V ，若它们的侧面积相等且
1
2
16
9
S
S
，则
1
2
V
V 的值是
（
）
A．2
3
B．3
2
C．4
3
D．9
4
【答案】C
【解析】因为甲､乙两个圆柱的底面面积分别为
1
2
,
S S ，且
1
2
16
9
S
S
，
所以甲､乙两个圆柱的底面半径
1
2
,
R R 满足：
1
2
4
3
R
R
，
所以甲､乙两个圆柱的底面周长
1
2
,
C C 满足：
1
2
4
3
C
C
，
又因为甲､乙两个圆柱的侧面积相等，所以甲､乙两个圆柱的高
1
2
,
H H 满足：
1
2
3
4
H
H
，
所以甲､乙两个圆柱的体积
1
2
,
V V 满足：
1
1
2
2
2
1
16
3
4
9
4
3
S H
S H
V
V
.
故A，B，D 错误.故选：C.
4.用一个宽2 厘米、长3 厘米的矩形卷一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（
）平方厘米.
A．5
B．6
C．8
D．12
【答案】B
【解析】用一个宽2 厘米、长3 厘米的矩形卷一个圆柱，
所以此圆柱的侧面积为矩形的面积2
3
6
平方厘米.故选：B
5.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π ，那么圆柱的体积等于（
）
A．π
2
B．π
3
C．π
D．2π
【答案】D
【解析】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱的底面半径为r，则高为2r，
2
2
2
π
π
π
4
4
侧
r
r
r
S
，则
1
r ，
故圆柱的体积为
2
2
2
π
π
r
r
.故选：D.
6.某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打
一个半径为rcm 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为
（
）
A．
10
B．15
C．4
D．5
【答案】D
【解析】大圆柱表面积为
2
2 15 π
10
2 15π
750π
小圆柱侧面积为10 2πr
，上下底面积为
2
2πr
所以加工后物件的表面积为
2
750π
20π
2π
r
r
，当
= 5
r
时表面积最大.故选：D
7.如图，一个底面半径为3 的圆柱被一平面所截，截得几何体的最短和最长母线长分别为3 和5，则该几
何体的体积为（
）
A．15
B．26
C．30
D．36
【答案】D
【解析】由条件知该几何体的体积由两部分组成：
①底面半径为3､高为3 的圆柱体体积，②底面半径为3､高为2 的圆柱体体积的一半，
则该几何体的体积为
2
2
1
3
3
3
2
36
2
V
。故选：D.
题型五：圆锥的表面积和体积
1.已知圆锥的底面积为1，表面积为3，则它的侧面展开图的圆心角为（
）
A．
B．2
3
C．4
3
D．5
3
π
【答案】A
【解析】圆锥的底面积为1，圆锥底面圆半径r，有
2
1
r
，
令圆锥母线长为l ，有
2
π
3
r
rl
，因此
1
2
r
l
，
显然圆锥侧面展开图扇形弧长
2
C
r
，所在圆半径为l，
所以圆锥侧面展开图的圆心角为
2
π
C
r
l
l
.故选：A
2.若一个圆锥的轴截面是边长为3 的正三角形，则这个圆锥的表面积为（
）
A．27
4
B．9
2
C．3
D．9
4
【答案】A
【解析】由题可知，该圆锥的底面半径为3
2 ，
因此，该圆锥表面积为
2
3
3
27
3
2
2
4
故选：A
3.一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（
）
A．60
B．90
C．120
D．180
【答案】D
【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为a ，
因为侧面积是底面积的2 倍，所以
2
2
ra
r
，
又2
180
n a
r
，解得
180
n
.故选：D.
4.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π ，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲
和V乙．若
=2
S
S
甲
乙
，则
=
V
V
甲
乙
（
）
A．
5
B．2 2
C．10
D．5 10
4
【答案】C
【解析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，
则
1
1
2
2
2
S
rl
r
S
r l
r
甲
乙
，所以1
2
2
r
r
，
又
1
2
2
2
2
r
r
l
l
，则
1
2
1
r
r
l
，所以1
2
2
1
,
3
3
r
l r
l
，
所以甲圆锥的高
2
2
1
4
5
9
3
h
l
l
l
，乙圆锥的高
2
2
2
1
2 2
9
3
h
l
l
l
，
所以
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
5
3
9
3
10
1
1
2 2
3
9
3
r h
l
l
V
V
r h
l
l
甲
乙
.故选：C.
5.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建
筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为2
3
的扇形，则该屋顶的体积约为
（
）
A．12 2
B．16π
C．18π
D．18 2
【答案】D
【解析】底面积为9π，即
2
9
r
，所以底面圆的半径
3
r
,
所以底面圆周长为2
3
6
，即圆锥侧面展开图的弧长
6
l
，
又因为侧面展开图是圆心角为2
3
的扇形，所以扇形半径
6
9
2
3
R
，
如图所示：则圆锥的高
2
2
72
6 2
h
R
r
，
则圆锥的体积
2
1
3
6 2
18 2
3
V
.故选：D
6.如图，将底面半径为2 的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面
内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2 周，则（
）
A．圆锥的母线长为8
B．圆锥的表面积为8
C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为π
2
D．圆锥的体积为8
3π
3
【答案】D
【解析】由题意，圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2 周，
即可知圆锥的侧面展开图的面积即圆锥的侧面积是以母线为半径形成的圆面积的1
2 ，
设圆锥母线长为l，即有
2
1
π 2
π
,
4
2
l
l
l
，故A 错误；
圆锥的表面积为
2
π
2
4+π
2
12π
，故B 错误；
由题意可知，圆锥的侧面展开图是以母线为半径形成的圆的一半，
故侧面展开图扇形圆心角为π ，故C 错误；
圆锥的体积为
2
2
2
1
8 3
π
2
4
2
π
3
3
，故D 正确，故选：D
7.如图所示是一个装有红酒的圆锥形酒杯（杯体为一个圆锥），已知该酒杯的杯子杯口直径为6cm（忽略杯
子的厚度），侧面积（不含杯座和杯茎）为
2
9 10 cm
，红酒的高度比杯子的高度低1cm，则红酒的体积为
（
）
A．
3
256
cm
9
B．
3
512
cm
27
C．
3
27 cm
D．
3
108 cm
【答案】B
【详解】设圆锥形酒杯的母线为l .作出轴截面图，如图所示，因为该酒杯的杯子口径为6cm ，侧面积（不
含杯座和杯茎）为
2
9 10 cm
，所以
3
9 10
rl
l
，解得
3 10
l
，即
3 10
PA
，
2
2
(3 10)
3
9
OP
.
又红酒的高度比杯子的高度低1cm，所以
1
8
O P ，所以
1
1
8
9
3
O A
，即
1
1
8
3
O A
，则红酒的体积为
2
3
1
8
512
8
cm
3
3
27
V
.故选：B．
8.（多选）如图所示，圆锥SO 的底面半径
3
r
，高
1
SO ，AB 是底面圆周的一条直径，M 为底面圆周
上与B 不重合的一点，则下列命题正确的是（
）
A．圆锥SO 的体积为
B．圆锥SO 的表面积为(2 3
3)
C．SBM
的面积的最大值是
3
D．有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为3
【答案】AB
【分析】由圆锥的底面半径和高，求出母线长，对于AB，代圆锥的体积公式和表面积公式计算可得；对
于C，先求出轴截面的顶角，再代三角形面积公式计算；对于D，根据侧面展开图计算可得.
【详解】圆锥SO 的底面半径
3
r
，高
1
SO ，所以母线长为2；
对于A.圆锥SO 的体积为
2
1
3
1
3
V
，所以A 正确；
对于B.圆锥SO 的表面积为
2
3
3
2
2 3
3
S
，所以B 正确；
对于C. 由轴截面为等腰三角形SAB ，且顶角为
2
2
60
120
ASB
BSO
，
当等腰SBM
的顶角为90时，SBM
的面积取得最大值为：
1
2
2
sin90
2
2
MSB
S
，所以C 错误；
对于D. 圆锥的底面圆周长为2 3，所以侧面展开图的圆心角为
3
l
r
，所以圆锥侧面展开图中圆
弧
3
2
3
2
AB
，蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为线段AB ，且
3
AB
AB
l
，所以D 错误；
故选：AB.
9．（多选）已知甲、乙两个圆锥侧面展开图的面积相等，母线长分别为l 甲和l 乙，底面半径分别为r 甲和
r 乙，高分别为h 甲和h 乙，表面积分别为S 甲和S 乙，若
3
2
l
l
甲
乙
，则（
）
A．
3
2
r
r
甲
乙
B．
S
S
甲
乙
C．
h
h
甲
乙
D．
9
4
l
r
甲
甲
【答案】BCD
【分析】根据圆锥的侧面积公式的
r
r
甲
乙
，即可判断A、B，再根据勾股定理表示出高，即可判断C、D.
【详解】解：依题意l r
l r
甲甲
乙乙，又
3
2
l
l
甲
乙
，所以
2
3
r
r
甲
乙
，故A 错误；
因为r
r
甲
乙，所以甲圆锥的底面积小于乙圆锥的底面积，又两圆锥的侧面积相等，所以S
S
甲
乙，故B 正
确；
因为
3
2
r
r
乙
甲，
2
3
l
l
乙
甲，所以
2
2
h
l
r
甲
甲
甲，
2
2
2
2
4
9
9
4
h
l
r
l
r
乙
乙
乙
甲
甲，
所以h
h
甲
乙，故C 正确；
因为
2
2
4
9
0
9
4
l
r
甲
甲
，所以
2
2
4
9
9
4
l
r
甲
甲，所以
9
4
l
r
甲
甲
，故D 正确；
故选：BCD
题型六：圆台的表面积和体积
1.圆台的上、下底面半径和高的长度之比为1:4:4，侧面积为100π，则圆台的母线长是（
）
A．20
B．2
C．10 2
D．10
【答案】D
【解析】由题知，圆台的上、下底面半径和高的长度之比为1:4:4，侧面积为100π ，
设圆台的上、下底面半径和高分别为
1
2
4
4
0
r
k
r
k h
k k
，
，
母线长为l ，
所以
2
2
2
2
2
1
=
25
l
r
r
h
k ，得=5
l
k ，
因为
1
2
=100π=π
5
4
S
l r
r
k
k
k
侧
，所以
2
4
2
k
k
，
，所以=10
l
．故选：D
2.某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半
径之比为
1
2 ，则该圆台的侧面积为（
）
A．
1
2
B．
2
2
C．3
4
D．7
8
【答案】C
【解析】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为2r ，
设圆台的母线为l ，则圆锥的底面半径为2r ，圆锥的母线为2l ，
圆锥的侧面积记为
1
1
1
2π 2
2
4π
1
π
2
4
S
r
l
rl
rl
，
截去的小圆锥的侧面积即为
2
1
1
=
2π
π
2
4
S
r l
rl
，
故圆台的侧面积为
1
2
1
3
1
4
4
S
S
,故选：C
3.已知圆台的上、下底面的面积分别为、4，侧面积是9，则这个圆台的体积是（
）
A．
2
3
B．14
3
C．14 2
3
D．3
【答案】C
【解析】依题意知圆台上底面半径为
1
r
，下底面半径为
2
R
，设圆台的高为h，
如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长
2
AD
，
大扇形弧长
4
BC
，由
2
BC
AD
知道OA
AB
l
，
则圆台的侧面积
1
1
9
2
2
S
BC OB
AD OA
3
l
所以高
23
1
2 2
h
，
圆台的体积
2
2
1
14 2
(
)
3
3
V
h r
rR
R
故选：C.
4.《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上
周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一
丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（
）
A．
2
5 1
4
B．
2
5 1
4
4
C．
2
5 1
2
D．
2
5 1
4
2
【答案】B
【解析】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，
可得2
2,2
3
r
R
，可得
1
3
,
2
r
R
，
又由圆台的高为1 丈，可得圆台的母线长为
2
2
2
4
1
1
(
)
2
l
R
r
，
所以圆台的侧面积为
2
2
5
1
3
4
1
(
)
(
2
1
4
)
4
2
S
R
r
l
.故选：B.
5.如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下
底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为1
3 ，则圆台的侧面积为（
）
A．8π
3
B．
35π
2
C．16π
3
D．8π
【答案】C
【解析】假设圆锥半径R ，母线为l ，则
1
R .设圆台上底面为r ，母线为1l ，则
1
3
r
.
由已知可得，π
2π
2π
3
R
l
l
，所以
6
l
.
如图，作出圆锥、圆台的轴截面
则有
1
1
3
l
l
r
l
R
，所以1
4
l
.
所以圆台的侧面积为
1
1
16
π
4
1
π
π
3
3
R
r l
.故选：C.
6.已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为16π
3 ，母线长为2，则该圆台的高为（
）
A．2
B．2 5
3
C．4
3
D．1
【答案】B
【解析】设圆台的上底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，
因为圆台的上底面面积是下底面面积的1
9 倍，
所以下底面的半径为3r ，
又母线长
2
l ，圆台的侧面积为16π
3 ，
则
3
(
3 )
2 (
3
16π
)
r
r l
r
r
，解得
2
3
r
则圆台的高
2
2
3
2
2
2
5
2
3
h
．故选：B．
7.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3 倍，母线长为7，圆台的侧面积为84，则该圆台全
面积为________.
【答案】174
【解析】设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .
由
7
3
84
S
r
r
侧
，解得
3
r
.
则该圆台全面积为9
81
84
174
.
故答案为：174
8.木桶作为一种容器，在我国使用的历史已经达到了几千年，其形状可视为一个圆台．若某圆台形木桶上、
下底面的半径分别为15cm，8cm，母线长为25cm，木板厚度忽略不计，则该木桶的容积为（
）
A．
3
1636πcm
B．
3
2312πcm
C．
3
2792πcm
D．
3
3272πcm
【答案】D
【详解】由题意可知，圆台形木桶的高为
2
2
25
15 8
24
（cm），所以该木桶的容积为
2
2
3
1
π
24
15
8
15 8
3272π cm
3
，故选：D．
题型七：球的表面积和体积
1.（多选）已知某球的表面积为16π ，则下列说法中正确的是（
）
A．球的半径为2
B．球的体积为10π
C．球的体积为32 π
3
D．球的半径为1
【答案】AC
【解析】设球的半径为,
0
r r
，则
2
4π
16π,
2
r
r
，
所以球的体积为
3
4π
32π
3
3
r
，所以AC 选项正确，BD 选项错误.故选：AC
2.把一个铁制的底面半径为4 ，侧面积为16
3 的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（
）
A．3
2
B．
3
C．2
D．
6
【答案】C
【解析】因为实心圆柱的底面半径为4 ，侧面积为16
3 ，
所以圆柱的高为
16
2
3
2π 4
3
，
则圆柱的体积为
2
2
32
4
3
3
V
，
设球的半径为R ，则
3
2
32
4
,
3
3
R
R
，故选：C
3.若球的表面积扩大为原来的n 倍，则它的半径比原来增加的倍数为（
）
A．
1
n
B．
1
n
C．
2
n
D．
n
【答案】A
【解析】设原球的半径为r ，扩大后为R ，
则原表面积为
2
4 r
，扩大n 倍后变为
2
4n r
，
所以
2
4
4
n r
R
nr
，得R
n
r
，
即半径扩大到原来的
n 倍，比原来增加了(
1)
n
倍.故选：A.
4.已知三个球的体积之比为1:27:64，则它们的表面积之比为（
）
A．1:3: 4
B．1:9:16
C．2 :3: 4
D．1:27:64
【答案】B
【解析】由题，设三个球的半径分别为1
2
3
,
,
r r r ，
则由题，
3
3
3
1
2
3
4
4
4
:
:
1: 27 : 64
3
3
3
r
r
r
，故1
2
3
:
:
1:3: 4
r r
r
，
故表面积之比
2
2
2
1
2
3
4
: 4
: 4
1:9 :16
r
r
r
故选：B
5.如图，在圆柱
1
2
O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱
1
2
O O 的体积为
1
V ，
球O 的体积为
2
V ，则
1
2
V
V 的值是
.
【答案】3
2
【解析】设球半径为r ，则
2
1
3
2
2
3
4
2
3
V
r
r
V
r
．故答案为3
2
．
6.某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为1的半球．已知该胶囊的表面积为10，
则它的体积为（
）
A．35
6
B．10
3
C．13
3
D．16
3
【答案】C
【详解】设圆柱的高为h ，
2
4
1
2
1
10
h
，
3
h
；
3
2
4
13
1
1
3
3
3
V
.
故选：C .
7.圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰
好淹没最上面的球（如图），则球的半径是（
）
A．3cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
【答案】D
【详解】设球半径为r ，则球体积为
3
4
3
r
，原来水的体积为
2
2
8
8
r
r
，
淹没后球与水的体积为
2
3
6
6
r
r
r
，所以
2
3
3
4
8
3
6
3
r
r
r
，解得
4
r
（0 舍去），
故选：D．
8.一平面截一球得到直径为2 5cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2cm ，则该球的体积是（
）
A．
3
12 cm
B．
3
36 cm
C．
3
64 6 cm
D．
3
108 cm
【答案】B
【详解】设球心为O，截面圆心为
1
O ，连接
1
OO ，则
1
OO 垂直于截面圆
1
O ，如图所示，
在
1
Rt
OO A
△
中，
1
5
O A
cm
，
1
2
OO
cm
，球的半径
2
2
2
5
3
R
OA
cm
，球的体积
3
3
4
3
36
3
V
cm
．
故选：B.
9.等体积的球和正方体的表面积分别为
1S 与
2
S 的大小关系是（
）
A．
2
1
S
S
B．
2
1
S
S
C．
2
1
S
S
D．无法确定
【答案】A
【详解】若球体的半径为r，则
2
1
4
S
r
，若正方体的棱长为a，则
2
2
6
S
a
，
∵球和正方体的体积相等，∴
3
3
4
3
r
a
，则
3 4
3
a
r
，故
2
2 3
2
16
6
9
S
r
，而
2
3 16
2.599
9
，
∴
3
1
3
2
2
3
2
3
2
8
1
16
6
16
27
3
9
9
S
S
，即
2
1
S
S
.
故选：A
10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径，以及它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的个数是
（
）
①圆柱的侧面积为
2
2 R
；
②圆锥的侧面积为
2
2 R
；
③圆柱的侧面积与球面面积相等；
④圆锥的表面积最小.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】由题设，圆柱、圆锥的高h 、底面直径均为2R ，
①圆柱的侧面积
2
2
4
S
R h
R
，错误；
②圆锥的母线长为
5
l
R
，则侧面积
2
1
1
2
5
2
S
l
R
R
，错误；
③球面面积
2
2
4
S
R
，由①知：圆柱的侧面积与球面面积相等，正确；
④圆锥的表面积
2
2
3
1
( 5
1)
S
S
R
R
，而圆柱的表面积
2
2
4
2
6
S
S
R
R
，由③球面面积
2
4 R
，
故圆锥的表面积最小，正确；
故选：B
11.已知A，B，C 为球O 球面上的三个点，且
ABC
是面积为3 的等腰直角三角形，球心O 到平面ABC 的
距离为1，则球O 的体积为_________．
【答案】32
3
【详解】设等腰直角三角形ABC 斜边长为2r ，高为r ，则
2
1 2
3
2
r r
r
，所以球的半径
2
21
2
R
r
，
所以球的体积为
3
4
4
32
8
3
3
3
R
.故答案为：32
3
12.已知△ABC 是面积为9 3
4
的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16 ，则O
到平面ABC 的距离为
A．
3
B．3
2
C．1
D．
3
2
【答案】C
【解析】设球O 的半径为R ，则
2
4
16
R
，解得：
2
R
.设
ABC
△
外接圆半径为r ，边长为a ，
ABC
△
是面积为9 3
4
的等边三角形，
2
1
3
9 3
2
2
4
a
，解得：
3
a
，
2
2
2
2
9
9
3
3
4
3
4
a
r
a
，
球心O 到平面ABC 的距离
2
2
4 3
1
d
R
r
.
故选：C．
13.已知
, ,
A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙
1
O 为
ABC
△
的外接圆，若⊙
1
O 的面积为4π，
1
AB
BC
AC
OO
，则球O 的表面积为
A．64π
B．48π
C．36π
D．32π
【答案】A
【解析】设圆
1
O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得
2
4 ,
2
r
r
∴
，
ABC
为等边三角形，
由正弦定理可得
2 sin60
2 3
AB
r
，
1
2 3
OO
AB
，根据球的截面性质
1
OO 平面ABC ，
2
2
2
2
1
1
1
1
1
,
4
OO
O A R
OA
OO
O A
OO
r
，球O 的表面积
2
4
64
S
R
.
故选：A.
14.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，
当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为______．
【答案】500
3
【详解】由题意得正方体上底面到水面的高为8
6
2
，设球体的半径为R ，由题意如图所示：
三角形OAA为直角三角形，A 为球与正方体的交点，
则
2
OA
R
，
8
4
2
AA
，OA
R
，所以：
2
2
2
(
2)
4
R
R
，解得
5
R
，
所以球的体积
3
3
4
4
500
5
3
3
3
V
R
.
故答案为：500
3
题型八：球的截面问题
1.用一个平面截半径为3 的球，截面面积为4，则球心到截面的距离为（
）
A．1
B．2
C．
5
D．7
【答案】C
【解析】根据截面面积为4可知：截面圆的半径
2
r
，
根据球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面可知：
球心到截面的距离为
2
2
3
2 = 5
故选：C
2．若两球的体积之和是12π ，经过两球球心的截面圆周长之和为6π ，则两球的半径之差为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】设两球的半径分别为R ，(
)
r R
r
>
，根据题意得到方程，解出即可.
【详解】设两球的半径分别为R ，(
)
r R
r
>
，则由题意得
3
3
4π
4π
12π
3
3
2π
2π
6π
R
r
R
r
，
解得
2
1
R
r
，故
1
R
r
；
故选：A.
3．用与球心O 距离为2 的平面截球，所得截面与球心O 构成的圆锥的体积为6π，则球的表面积为（
）
A．13π
B．52π
C．20π
D．36π
【答案】B
【分析】
根据球中截面圆的性质，结合锥体体积公式即可求解半径，进而由球表面积公式求解.
【详解】设平面截得截面圆的半径为r ，球半径为R ,
所以
2
2
2
2
3
1
13
π
2
6π
3
R
r
r
R
r
，
所以外接球的表面积为
2
4π
52π
R
，
故选：B
4.两平行平面截半径为13 的球，若截面面积分别为25和144，则这两个平面间的距离是______
【答案】7 或17
【解析】球的半径为
13
R
，设两个截面圆的半径别为1r ，2r ，
球心到截面的距离分别为
1d ，
2
d ；
球的半径为R ，由
2
1
25
r
，得1
5
r
；
由
2
2
144
r
，得2
12
r
；
如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；
即
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
13
5
13
12
12
5
7
d
d
R
r
R
r
；
如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．
即
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
13
5
13
12
12
5
17
d
d
R
r
R
r
.
所以这两个平面间的距离为7 或17 ．
故答案为：7 或17
5.设地球O的半径为R ，A 、B 两地均在北纬45°线上，且
3
AOB
，A 在东经20°，则B 的经度为______．
【答案】西经70°或东经110°
【解析】如图，设北纬45°的小圆半径为
2
cos45
2
r
R
R
，
∵
3
AOB
，
∴AOB
为等边三角形，即AB
R
，
∴
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
cos
0
2
R
R
R
O A
O B
AB
AO B
O A O B
R
，
即
1
90
AO B
，即B 点在西经70°或东经110°．
故答案为：西经70°或东经110°.
6.已知球O 的半径为5，平面、截球O 所得的截面圆
1
O 、
2
O 的半径均为4，若
1
2
2 6
O O
，则平面
与的夹角的余弦值为（
）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．3
4
【答案】A
【解析】由题意，
2
2
1
2
5
4
3
OO
OO
，
故
2
2
2
1
2
2
3
3
2 6
1
cos
2 3
3
O OO
，
又平面与的夹角与
1
2
O OO
互补，
故平面与的夹角的余弦值为1
3 故选：A
7．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π
3 ，两个圆锥的高之比为1:3 ，
则这两个圆锥的侧面积之和为
．
【答案】
6
2 3 π
【分析】根据球的体积公式得球的半径，结合球的性质和两个圆锥的高之比得圆锥底面半径，进而利用圆
锥的表面积公式求解即可.
【详解】设球的半径R ，圆锥的底面半径r ，两个圆锥的高分别为
1
1 1
2
1
2
,
h
O P h
O P
，如下图：
因为球的体积为32π
3 ，所以
3
4π
32π
3
3
R
，即
3
8
R
，得
2
R
.
因为两个圆锥的高之比为1:3，所以
1
1 1
1
2
1
1
2
1
4
4
h
O P
PP
R
，
2
1
2
1
2
3
3 2
3
4
4
h
O P
PP
R
，
1
1
2
2
3
2
1
OO
O P
OP
，
结合球的性质，利用勾股定理得
2
2
1
4 1
3
r
R
OO
，
又
2
2
2
1
2
9
3
2 3
P Q
O P
r
，同理，
2
2
1
1 1
1 3
2
PQ
O P
r
，
由圆锥的侧面积公式得，两个圆锥的侧面积之和等于
1
2
π (
)
3π(2 3
2)
(6
2 3) π
r PQ
PQ
.
故答案为：
6
2 3 π
.
题型九：几何体与球的切、接问题
1．正四面体ABCD的棱长为2，则其棱切球的体积为（
）
A．2 6π
B．6π
C．
2 π
3
D．
6 π
27
【答案】C
【分析】将正四面体放在正方体中，正方体的内切球即为正四面体的棱切球，求解即可.
【详解】把正四面体ABCD放在正方体中，如图，
则正方体的内切球即为正四面体ABCD的棱切球，
即正方体的棱长为正四面体ABCD的棱切球的直径，
因为
2
AB
，所以正方体的棱长为
2 ，棱切球的半径为
2
2
，
所以正四面体ABCD的棱切球的体积为
3
4
2
2
π
π
3
2
3
V
.
故选：C.
2．已知正三棱锥
-
A BCD 的侧棱长为
3 ，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为
2 ，则此正三棱锥
的棱切球的表面积为（
）
A．π
B．3π
2
C．3π
D．6π
【答案】B
【分析】先证明三棱锥为正四面体，然后转化为对应正方体的内切球，求其半径即可.
【详解】
如图，连结A 与底面
BCD
△
的中心O，则AO 平面BCD，
由题意
ADO
侧棱与底面所成角，
则tan
2
AO
ADO
OD
，
又因
2
2
2
3
AO
OD
AD
，
所以
1
DO ，
因底面
BCD
△
为正三角形，中心为O，
所以
3
3
DO
BD
，即
3
BD
，
所以正三棱锥
-
A BCD 为正四面体.
将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切，
可求得正方体的棱长为
3
2
，所求棱切球的半径即为
3
2 2
．
表面积
2
3
3π
4π
4π
8
2
S
r
故选：B
3．过球O外一点A 作球O的切线，若切线长为5，且
6
AO
，则球O的体积为
.
【答案】44 11 π
3
【分析】
利用球的切线性质求出球半径，再利用球的体积公式计算得解.
【详解】切点为B ，则AB
OB
，则球半径
2
2
2
2
6
5
11
OB
AO
AB
，
所以球O的体积为
3
4
44 11
π ( 11)
π
3
3
.
故答案为：44 11 π
3
4．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如
图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为
．
【答案】16π
【分析】利用正方体的性质，结合球的表面积公式进行求解即可.
【详解】把该几何体放在正方体中，设正方体的棱长为a ，显然面对角线为
2a ，
因为该几何体的所有棱的长都为2，
所以1
2
2
2
2
2
a
a
，
显然
2 2
PC
，
2 2
AC
，所以
2
2
8
8
4
PA
PC
AC
，
设该该二十四等边体的外接球的半径为r ，则
1
2
2
r
PA
所以该该二十四等边体的外接球的表面积为
2
4π
16π
r
，
故答案为：16π
【点睛】关键点睛：本题的关键是把该几何体放在正方体中，利用正方体的性质进行求解.
题型十：组合体的表面积和体积
1.如图是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.其中，圆锥的底面和球
的直径都是0.6m，圆锥的高是0.4m.要对这个台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶200 克，则共需
胶（
）克.
A．56π
B．66π
C．76π
D．86π
【答案】B
【解析】由题意圆锥的母线长为
2
2
0.3
0.4
0.5
l
，
所以台灯表面积为
2
π
0.3 0.5
2π
0.3
0.33π
S
，
需胶重量为0.33π 200
66π
（克）．故选：B．
2.在一个底面圆直径和高都是2 的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是
圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为（
）
A．(5
5)
B．(4
3)
C．5
D．(6
5)
【答案】A
【解析】挖去的圆锥的母线长为
2
2
1 +2 = 5 ，
则圆锥的侧面积等于1
2
5
5
2
，
圆柱的侧面积为2
2 4
=
，圆柱的一个底面面积为
21 =
，
所以组合体的表面积为
5
4
( 5
5)
+
+ =
.故选：A
3.某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为1的半球．已知该胶囊的体积为13
3 ，
则它的表面积为（
）
A．35
6
B．10
3
C．10
D．16
3
【答案】C
【解析】设中间圆柱部分的高为h ，则胶囊的体积
3
2
4
13
1
1
3
3
V
h
，解得
3
h ，
所以胶囊的表面积为
2
4
1
2
1 3
10
；故选：C
4.高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）
卡住，球心到垃圾篓底部的距离为5 10a ，垃圾篓上底面直径为24a，下底面直径为18a，母线长为13a，
则该篮球的表面积为（
）
A．
2
154 a
B．
2
616
3
a
C．
2
308 a
D．
2
616 a
【答案】D
【解析】球与垃圾篓组合体的轴截面图如图所示.
根据题意，得垃圾篓的高为
2
2
13
12
9
4 10
h
a
a
a
a
.
所以球心到上底面的距离为10a .
设篮球的半径为r，则
2
2
2
2
10
12
154
r
a
a
a
.
故篮球的表面积为
2
2
4
616
r
a
.故选：D.
5.如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径
16
AB
米，母线长
4
AD
米，圆锥的高
6
PQ
米，则该蒙古包的侧面积约为（
）
A．336π平方米
B．272π平方米
C．208π平方米
D．144π平方米
【答案】D
【解析】依题意得，圆柱的侧面积
1
1
1
2π
2π
16 4
64π
2
2
S
AB
AD
，
16
DC
AB
，
1
1 16
8
2
2
QC
DC
，
在Rt PQC
中，
2
2
2
2
6
8
10
PC
PQ
QC
，
圆锥的侧面积
2
1
1
2π
10 2π 8
80π
2
2
S
PC
QC
，
该蒙古包的侧面积
1
2
64π
80π
144π
S
S
S
，故选：D.
6.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2 ，圆柱的底面半径为1，高
为3，则该几何体的表面积为（
）
A．18
B．20
C．22 3
D．26
【答案】A
【解析】由题意得，球的半径
2
R
，圆柱的底面半径
1
r ，高
3
h ，
则该几何体的表面积为
2
2
2
2
S
R
R
rh
8
4
2
1 3
18
故选：A.
7.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1 所示，其浮雕临摹了国画､漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.
它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2 所示.
已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为
2
14
3
R
，设酒杯上部分（圆柱）的体积为
1V ，下部分（半球）的体
积为
2
V ，则
2
1
V
V ___________.
【答案】1
2
【解析】设酒杯上部圆柱的高为h，依题意，
2
2
14
2π
2π
π
3
R
Rh
R
，解得
4
3
h
R
，
则
2
3
1
4π
π
3
V
R h
R
，
3
2
2π
3
V
R
，所以
2
1
1
2
V
V
.故答案为：1
2
8.在如图所示平面图形中，弧CD 为四分之一圆弧，
90
DAB
，
135
ADC
，
5
AB
，
2 2
CD
，
2
AD
．求将此平面图形绕AD 所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积．
【答案】表面积68π ，体积140 π
3
．
【解析】所成几何体为一个圆台挖去一个半球，
∵
135
ADC
，则∠EDC=45°，则DEC
是等腰直角三角形，
∴
2
CE
DE
，
2
2
4
5
2
5
BC
，
∴几何体表面积为：
2
2
1
π 5
π
2
5
5
4 π 2
68π
2
S
，
体积为：
3
1
2
140
π 25 10
4
4
π 2
π
3
3
3
V
9．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信
息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300 米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环
境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86 米的高度，创造了海拔9032 米的大气科学观
测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45 米，高16 米，若将它近似看作一个
半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2 所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（
）
A．2540π
B．449π
C．562π
D．561π
【答案】C
【分析】根据球的表面积公式，以及圆柱圆台的侧面积公式，即可求解.
【详解】该组合体的直观图如图：半球的半径为8 米，圆柱的底面半径为8 米，母线长为13 米，圆台的
两底面半径分别为8 米和1 米，高为24 米，
所以半球的表面积为
2
1
4π 8
128π
2
（平方米），
圆柱的侧面积为2 π 8 13
208π
（平方米），
圆台的侧面积为
2
2
π 8 1
7
24
225 π
（平方米），
故该组合体的表面积为
2
128π+208π+225π+π 1
562π
（平方米）．
故选：C
10．辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎（如图1）出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，
柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部
分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（忽略鼎壁厚度），如图2 所示．已知球的半径为R，圆柱的高近
似于半球的半径，则此鼎的容积约为（
）
A．
3
8
3 R
π
B．
3
7 π
3 R
C．
3
2πR
D．
3
5 π
3 R
【答案】D
【分析】利用球体、圆柱体体积公式求鼎的容积.
【详解】由题设，此鼎的容积为半球体积与圆锥体积的和，
所以容积约为
3
3
3
1
4
5
π
π
π
2
3
3
R
R
R
.
故选：D
模块三：综合巩固
1.如图，
1
1
1
1
ABCD
ABC D
是棱长都为2 的直平行六面体，且
60
DAB
，则这个直平行六面体的表面积
为（
）
A．16
B．4
2 3
C．16
2 3
D．16
4 3
【答案】D
【解析】由题意可知：底面ABCD是菱形，且
60
DAB
，
2
AB
，所以
2,
2 3
BD
AC
,
所以底面ABCD的面积为：1
1
2
2 3
2 3
2
2
BD
AC
，
又因为每个侧面的面积都是2 2
4
，
所以这个直平行六面体的表面积为4 4
2 2 3
16
4 3
，故选：D
2.正方体的棱长扩大到原来的6 倍，则其表面积扩大到原来的（
）
A．2 倍
B．12 倍
C．18 倍
D．36 倍
【答案】D
【解析】设正方体棱长为a，则其表面积为
2
6a ，
故正方体的棱长扩大到原来的6 倍，
则其表面积为
2
6 36a
，扩大到原来的36 倍，故选：D
3.已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD 水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1 的正方形，则这
个直四棱柱的表面积为（
）
A．10
B．8
4 2
C．16
4 2
D．16
4 3
【答案】C
【解析】由于直观图是正方形，所以ABCD 是两邻边分别为1 与3，高为2 2 的平行四边形，
其周长是1 3 1 3
8
，面积是1 2 2
2 2
，
所以直四棱柱的表面积是8 2
2 2
2
16
4 2
.故选：C
4.已知铜质的五棱柱的底面积为16，高为4，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块，如果不计损耗，那么
铸成铜块的棱长为______．
【答案】4
【解析】五棱柱的底面积为16，高为4，所以体积为
16
4
64
V
S h
，
将它熔化后铸成一个正方体的铜块体积不变，所以铜块的棱长为4.故答案为：4.
5.设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为______．
【答案】15 3
2
【解析】由正六棱柱可得底面为正六边形，则底面积
2
1
3 3
1
sin 60
6
2
2
S
，
即正六棱柱的体积
3 3
15 3
5
2
2
V
Sh
.
故答案为：15 3
2
.
6.若斜三棱柱的高为4 3 ，侧棱与底面所成角为60，相邻两侧棱之间距离为5，则该三棱柱的侧面积等
于______.
【答案】120
【解析】设AO 是斜三棱柱的高，因此侧棱与底面所成角为
1
π
3
AAO
，
所以有
1
1
1
1
3
4 3
sin
8
2
AO
AAO
AA
AA
AA
，
因为相邻两侧棱之间距离为5，
所以该三棱柱的侧面积等于3 5 8
120
，
故答案为：120
7.正六棱柱高5，最长的对角线为13，则它的侧面积是______.
【答案】180
【解析】设正六棱柱的底面边长为a ，则底面上最长对角线长为2a ，
所以由
2
25
2
13
a
，解得
6
a
，
所以侧面积为
6
5
6 6 5
180
S
a
侧
．
故答案为：180．
8.如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，
如图2，这是水面恰好是中截面，则图1 中容器水面的高度是______．
【答案】3
2
【详解】棱柱的体积公式是V
Sh
，其中S是q 底面积，h 是高．在图2 中，水面是中截面，水面以上部
分是一个三棱柱，所以这个三棱柱的底面积是原来三棱柱底面的1
4 ，从而这个小三棱柱的体积是大棱柱体
积的1
4 （高一样），所以水的体积是大三棱柱体积的3
4 ，那么图1 中水面的高度是棱柱高的3
4 ，即为3
2 ．
故答案为：3
2 ．
9.我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、
悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面
坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近
似地看作直三棱柱（如图2），其高为10m ，
1
CC 到平面
1
1
ABB A 的距离为1.5m ，AB 为4m ，则可估算硬山式
屋顶的体积约为（
）
A．
3
15m
B．
3
30m
C．
3
45m
D．
3
60m
【答案】B
【分析】根据三棱柱的体积公式求解即可.
【详解】解：如图，过C 作CD
AB
于D ，
由题意可知，在直三棱柱中，
1
CC 到平面
1
1
ABB A 的距离为1.5m ，
即
1.5m
CD
，又
1
10m
CC
，
4m
AB
所以该柱体体积为
2
1
1
4 1.5 10
30m
2
ABC
V
S
CC
10.某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒，现有一张边长为6 的正六边形硬纸片，如图所示，裁
掉阴影部分，然后按虚线处折成高为
3 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的表面积为______．
【答案】48 3
【分析】作出辅助线，求出包装盒的侧面积和底面积，相加求出表面积.
【详解】如图，取正六边形的中心为O，连接
,
OC OE ，则点F 在OE 上，
由正六边形的每个内角为2π
3 ．
按虚线处折成高为
3 的正六棱柱，即
3
BF
，所以
1
tan60
BF
BE
，
可得正六棱柱底面边长
6
2 1
4
AB
，所以正六棱柱的侧面积
1
4 6
3
24 3
S
，
其中
1
1
3
sin 60
4
4
4 3
2
2
2
OCF
S
OC OF
，
所以底面积为
2
6 4 3
24 3
S
所以无盖正六棱柱包装盒的表面积
1
2
24 3
24 3
48 3
S
S
S
．
故答案为：48 3
11.已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥的一个侧面三
角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为______．
【答案】
8
5
1
【解析】设正四棱锥的高为h ，侧面三角形的高为h，
由题意，
2
2
2
2
2
1
4
2
h
h
h
h
，得
5
1
h
，
所以该正四棱锥的侧面积为
1
4
4
8
5
1
2
S
h
故答案为：
8
5
1
12.在正六棱锥P
ABCDEF
中，底面边长为2cm ，侧棱长为3cm ，求正六棱锥P
ABCDEF
的侧面积和
表面积.
【答案】侧面积为
2
12 2cm ，表面积为
2
(12 2
6 3)cm
．
【解析】因为正六棱锥P
ABCDEF
中，底面边长为2cm ，侧棱长为3cm ，
故侧面斜高为
2
2
1
3
2
2 2cm
2
h
，故侧面积
2
1
6
2 2 2
12 2cm
2
S
.
又底面为边长为2cm 的正六边形，可看成6 个边长为2cm 的正三角形组合，
故底面面积为
2
2
1
1
6
2
2
2
6 3
2
2
，故表面积为
2
(12 2
6 3)cm
.
综上，正六棱锥P
ABCDEF
的侧面积为
2
12 2cm ，表面积为
2
(12 2
6 3)cm
.
13.如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为__________．
【答案】4 3
【解析】六个面的中心构成的多面体共8 个面，
每个侧面都是全等的正三角形，且正三角形的边长为
2 ，
所以表面积为
2
1
3
8
( 2)
4 3
2
2
．
故答案为：4 3
14.已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为
,
,
,
E F G H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，
则T
S 等于（
）
A．1
9
B．4
9
C．1
4
D．1
3
【答案】A
【解析】如图所示，正四面体ABCD四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，
四面体EFGH 也是正四面体．
连接AE 并延长与CD 交于点M ，连接AG 并延长与BC 交于点N ．
E
、G 分别为面的中心，
2
3
AE
AG
AM
AN
．
2
3
GE
MN
．
又
1
2
MN
BD
，
1
3
GE
BD
．
面积比是相似比的平方，两四面体的面积比为；
1
9
T
S
．故选：A ．
15.已知正三棱锥
P
ABC 的底面边长为2 3 ，体积为3 5 ，则底面ABC
的中心O 到侧面PAB 的距离是
______.
【答案】
15
4
【解析】如图，延长CO交AB 于D ，则D 是AB 中点，且CD
AB
，连接DP ，
PO 平面ABC ，AB 平面ABC ，∴PO
AB
，同理PO
OD
，
PO
CD
O
，
,
PO CD 平面PCD，∴AB 平面PCD，
过O作OE
PD
于E ，即OE 平面PCD，则AB
OE
，
PD
AB
D
，
,
PD AB 平面PAB ，
∴OE 平面PAB ，OE 的长即为O 到侧面PAB 的距离，
由已知
2
1
1
(2 3) sin 60
3 5
3
2
ABC
S
PO
!
，
15
PO
,
在ABC
中，
1
1
3
2 3
1
3
3
2
OD
CD
，
2
2
15 1
4
PD
PO
OD
，
15 1
15
4
4
PO OD
OE
PD
．
故答案为：
15
4
．
16.如图，在三棱锥S
ABC
中，
,
AS
AC SB
BC
，且
1
1
2
AC
BC
SC
，则三棱锥S
ABC
体积的最
大值为（
）
A．1
4
B．3
4
C．1
3
D．
3
3
【答案】A
【解析】∵
,
AS
AC SB
BC
，且
1
1
2
AC
BC
SC
，
∴
3
SB
SA
，作AD
SC
于D，则
3
2
AD
，
设三棱锥A
SBC
的高为h ，
∴.
1
1
1
3
3
1
3
3
3
2
2
4
S ABC
A SBC
SBC
SBC
V
V
S
h
S
AD
.故选：A.
17.如图，在上、下底面对应边的比为1: 2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱
1
CC
的平面
1
1
A B EF ，这个平面分三棱台成两部分，则
1 1 1
1
1
－
－
FEC
A B C
BEB
AFA
V
V
∶
＝________.
【答案】3
4
【解析】因为三棱台中，上、下底面对应边的比为1: 2，
所以，设三棱台的上底面面积为
0
S ，则下底面面积为
0
4S ，高为h，
1 1 1
0
0
0
0
1
7
(
4
2
)
3
3
ABC
A B C
V
S
S
S h
S h
三棱台
－
，
1 1 1
0
FEC
A B C
V
S h
三棱柱
－
.
设剩余的几何体的体积为V，则V＝
0
0
0
7
4
3
3
S h
S h
S h
，
所以，
1 1 1
1
1
3: 4
FEC
A B C
BEB
AFA
V
V
－
－
∶
.
故答案为：
3
4
18.如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO和较小的棱
锥PO.
（1）求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
（2）若大棱锥PO 的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
【答案】（1）4:1:3；（2）侧面积
2
144 2cm ；表面积
2
120 3
144 2 cm
.
【解析】（1）设小棱锥的底面边长为a ，斜高为h，则大棱锥的底面边长为2a ，斜高为2h ，
所以大棱锥的侧面积为
1
6
2
2
12
2
a
h
ah
，小棱锥的侧面积为
1
6
3
2
a
h
ah
，
棱台的侧面积为12
3
9
ah
ah
ah
，
所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比12
:3
:9
4 :1:3
ah
ah
ah
.
（2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，
因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为144 16
8 2
cm，
所以大棱锥的侧面积为
2
1
6
8 8 2
192 2cm
2
，
所以棱台的侧面积为
2
3
192 2
144 2cm
4
，
棱台的上，下底面的面积和为
2
2
2
3
3
6
4
6
8
24 3
96 3
120 3cm
4
4
，
所以棱台的表面积为
2
120 3
144 2 cm
.
19.若正三棱台的上､下底面的面积分别是
3 和4 3 ，体积为7 5
3
，则其侧棱长为___________.
【答案】
3
【解析】因为棱台体积公式V
1
3
（S
'
SS
S′）h，
所以7 5
1( 3
4 3
2 3)
3
3
h
，所以高
5
15
3
3
h
，
又因为正三棱台上､下底面的面积分别是
3 和4 3 ，
所以上下底面边长分别是2 和4，
如图所示，O′､O 分别是上､下底面的中心，连接OO′､O′B′､OB，
在平面BOO′B′内作B′E⊥OB 于E，
∵A B C
是边长为2 的等边三角形，O′是中心，
∴O′B′
2
3
2 3
2
3
2
3
，OB
2
3
4 3
4
3
2
3
，∴
2 3
3
BE
在Rt B EB
中，
15
3
B E
h
，BE
2 3
3
，∴B′B
5
4
3
3
，
∴该三棱台的侧棱长为
3 .
20.已知正三棱台两底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则该棱台的体积为（
）
A．8 2
3
B．8 3
3
C．3 2
D．14 2
3
【答案】D
【分析】利用勾股定理得到棱台的高，然后利用相似得到该棱台和其所在的棱锥的体积比，最后求体积即
可.
【详解】设上底面边长为a ，下底面边长为b ，侧棱为l，则
2
a
，
4
b
，
2
l ，所以棱台的高
2
2
2 2
3
3
b
a
h
l
．因为
1
2
a
b
．所以棱台体积为其所在棱锥体积的7
8 ．故
2
7
7
1
3
2 2
14 2
4
2
8
8
3
4
3
3
V
V
锥
台
．
故选：D．
21.已知正六棱台的上､下底面边长分别为2 和4，高为2，则其体积为（
）
A．32 3
B．28 3
C．24 3
D．20 3
【答案】B
【分析】根据台体体积公式
1
1
2
2
1 (
)
3
V
h S
S S
S
即可求解.
【详解】设正六棱台的上下底面面积分别为
1
2
,
S S ,因为正六边形是由6 个全等的等边三角形组成，
所以
1
2
1
1
6
2
3
6 3,
6
4
2 3
24 3,
2
2
S
S
所以六棱台的体积
1
1
2
2
1 (
)
28 3
3
V
h S
S S
S
.
故选:B.
22.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点M 为侧棱
1
BB 上一点，且
1
1
2
3
B M
B B
，平面
1A DM 将该正方体分成两
部分，其体积分别为
1
2
1
2
,
,
V V
V
V
，则
1
2
V
V __________.
【答案】13
41
【分析】平面
1A DM 延展开后即为平面
1A DKM ，将该正方体分成的两部分一部分是三棱台
1
BMK
ADA
，
另一部分是剩余的部分，结合三棱台的体积公式求解即可.
【详解】
由题意，延长线段
1A M 与AB 的延长线交于点N ，连接DN 交BC 于K ，连接MK ，
故平面
1A DM 延展开后即为平面
1A DKM ，将该正方体分成的两部分一部分是三棱台
1
BMK
ADA
，另一部
分是剩余的部分.
由于
1
/ /
MB
A A ，故
1
1
1
3
NB
MB
MB
NA
AA
BB
，不妨设正方体棱长为3，
1
1
1
1
1 (
)
3
BMK
ADA
BKM
ADA
BKM
ADA
V
S
S
S
S
AB
V
1
1
1
9
13
=
(
3 3
1 1
) 3
3
2
2
4
2
，
1 1 1
1
1
3
2
13
41
3
2
2
ABCD A B C D
BMK
ADA
V
V
V
，
即
1
2
13
41
V
V
.
故答案为：13
41 .
23.将边长是1 的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一圈，所得几何体的表面积为______．
【答案】4π
【解析】易知所得的几何体是一个底面半径
1
r 的圆柱，其高
1
h ，
故侧面积
2π
2π
rh
S
，
所以所得几何体的表面积为
2
2π
2π
4π
r
．故答案为：4π
24.如图所示的斜截圆柱中，已知其底面直径为40cm，母线最短50cm，最长80cm，求斜截圆柱的体积V ．
【答案】
3
26000
cm
V
【解析】倒扣一个相同的斜截圆柱补成一个大圆柱，
则大圆柱的底面半径为20cm，高为130cm，
所以
2
3
20
130
26000
cm
2
V
．
25．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为9 3π ，则该圆锥的表面积为（
）
A．27π
B．20 3π
C．18 2π
D．16π
【答案】A
【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.
【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则
r
l
，所以
2
l
r
，所以圆锥的高为
2
2
3
l
r
r
，
所以
2
1
3
9 3
3
r
r
，解得
3
r ，故其表面积
2
9
18
27
S
r
rl
；
故选：A．
26．已知圆锥的表面积为
2
12πm ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（
）
A．
3
6 2πm
B．
3
8 3 πm
3
C．
3
2 3 πm
3
D．
3
4 3 m
9
【答案】B
【分析】设圆锥的底面半径为r ，侧面展开图的半圆半径为R ，根据侧面积得到
2
r
，
2 3
h
，再根据
体积公式计算即可.
【详解】设圆锥的底面半径为r ，侧面展开图的半圆半径为R ，则
1
2π
2π
2
r
R
，即
2
R
r
.
故圆锥的侧面积为
2
2
2
1
π
π
3π
12π
2
S
r
R
r
，解得
2
r
，圆锥的高为
2
2
2 3
h
R
r
.
故圆锥的体积为
2
1
1
8 3
π
4π
2 3
π
3
3
3
V
r
h
.
故选：B
27．已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的2
倍．给出下列结论：
①设圆柱与圆锥的体积分别为
1
V 、
2
V ，则
1
2
3
2
V
V
；
②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为
1S 、
2
S ，则
1
2
1
2
S
S
；
③设圆柱与圆锥的侧面积分别为
3
S 、
4
S ，则
3
4
4
17
S
S
；
④设圆柱与圆锥表面积分别为
5S 、
6
S ，则
5
6
6
1
17
S
S
.
其中所有正确结论的序号是（
）
A．①
B．②③
C．①③④
D．①②③④
【答案】C
【分析】设圆锥和圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，圆锥的高为4r ，圆锥的母线长为17r ，利用
圆锥、圆柱的侧面积、表面积、体积公式以及三角形、矩形的面积公式判断可得出合适的选项.
【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，圆锥的高为4r ，圆锥的母线长为
2
2
4
17
r
r
r
.
对于①，
2
3
1
2
2
V
πr
r
πr
，
3
2
2
1
4
4
3
3
r
V
r
r
，则
1
2
3
3
2
4
2
V
V
，①对；
对于②，
2
2
1
2
4
S
r
r
，
2
2
1
2
4
4
2
S
r
r
r
，则
1
2
S
S
=
，②错；
对于③，
2
3
2
2
4
S
r
r
r
，
2
4
17
17
S
r
r
r
，则
3
4
4
17
S
S
，③对；
对于④，
2
2
2
5
2
4
6
S
r
r
r
，
2
2
2
6
17
17
1
S
r
r
r
，
则
5
6
6
1
17
S
S
，④对.
故选：C.
28．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”
漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而
成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高
是7cm .计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（
）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
【答案】B
【分析】根据圆柱体积公式可得液体的体积为
3
63 cm
，圆锥的体积为
3
72 cm
，所以计时结束后，圆锥中
没有液体的部分的体积为
3
9 cm
，根据圆锥体积公式计算可得.
【详解】如图，圆锥的底面半径是6cm，高是6cm，
所以ABC
、CDE
是等腰直角三角形，所以CD
DE
，
由已知可得：液体的体积为
2
3
3
7
63 (cm )
，
圆锥的体积为
2
3
1
6
6
72 (cm )
3
，
计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为
3
72
63
9 (cm )
，
设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD 为xcm，
则
(6
)cm
CD
DE
x
，
2
1
(6
)
(6
)
9
3
x
x
，
3
(6
)
27
x
，
所以
3
x
，
所以计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm.
故选：B.
29.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则圆台的表面积
为（
）
A．64π
B．68π
C．72π
D．76π
【答案】B
【解析】圆台母线长为
2π
4
2π
2
4
4
8
2π
2π
l
，
圆台的表面积
2
2
π 2
π 4
π 8
2
4
68π
S
.故选：B
30.圆台的上、下底面半径分别是10 和20，体积是7000
3
3
，则圆台的母线长为______.
【答案】20
【解析】如图，圆台的上、下底面半径分别是10 和20，所以
20 10
10
BH
，
设圆台上底面面积为S，下底面面积为S,高为h，母线长为l ，
所以
2
π 10
100π
S
，
2
π 20
400π
S
，
根据圆台的体积公式
7000
3
3
1 (
)
3
S
h S
S
SS
，解得h 10 3 ，
在Rt
ABH
△
中，由勾股定理有：
2
2
2
2
BH
h
AB
l
，解得
2
2
10
(10 3)
20
l
.
则圆台的母线长为20.
故答案为：20.
31.已知球O 的表面积为12，则它的体积为（
）
A．4 3
B．4 3
C．8 3
D．8 3
【答案】A
【解析】球O的表面积为12，设球O 的半径为R，则有
2
4
12
R
，解得
3
R
，
所以球O的体积为
3
3
4
4
( 3)
4 3
3
3
V
R
.故选：A
32.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为_________．
【答案】3
【解析】假设球体的半径为R ，由已知条件球体的体积与其表面积数值相等，
得
3
2
4
4
3 R
R
，解得
3
R
.故答案为：3
33．已矨
,
,
A B C 均在球O的球面上运动，且满足
π
3
AOB
，若三棱锥O
ABC
体积的最大值为6，则球O
的体积为（
）
A．12π
B．48π
C．32 3π
D．64 3π
【答案】C
【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O
ABC
的体积最大,等体积法即可解决.
【详解】如图所示，
当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O
ABC
的体积最大，
设球O的半径为R ，
此时
2
3
1
1
3
3
6
3
2
2
12
O ABC
C AOB
V
V
R
R
R
，
故
3
24 3
R
，
则球O的体积为
3
4π
32 3π
3
R
V
，
故选:C.
34．已知两个球的表面积之比为1:9 ，则这两个球的体积之比为（
）
A．1:3
B．1:9
C．1: 27
D．1: 81
【答案】C
【分析】根据题意和球的表面积公式可得两球半径之比，结合球的体积公式计算即可.
【详解】由题意知，
两球的表面积之比为
2
2
1
2
2
4
1
(
)
4
9
S
r
r
S
R
R
，则
1
3
r
R
，
所以两球的体积之比为
3
3
1
3
2
4
1
3
(
)
4
27
3
r
V
r
V
R
R
.
故选：C.
35．如图所示，在ABC
中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边BC
上，半圆与BC 相交于N，与AC 相切于点C，与AB 相切于点M），则图中阴影部分绕直线BC 旋转一周
所得旋转体的体积为（
）
A．22
81
B．5 3
27
C．2 3
9
D．23 3
27
【答案】B
【分析】判断出图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体为圆锥内挖去一个球,由已知求解三角形可得
圆的半径,再由圆锥体积减去球的体积即可得到答案.
【详解】如图,连接OM ,则OM
AB
.
设圆的半径为r,因为
30
ABC
,所以
2
OB
r
.
在直角△ACB 中,又
1
AC ,
30
ABC
，所以
3
BC
,则3
3
r
，解得：
3
3
r
.
图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体为圆锥内挖去一个球,圆锥的底面半径为1,高为
3 ,球的半径
为
3
3
,
则所求体积为
2
3
1
4
3
5 3
27
1
3
(
)
3
3
3
V
.
故选：B
36．如图所示，一款网红冰激凌可近似地看作是圆锥和半球的组合体，将圆锥外的包装纸展开发现，它是
一张半径为6 的半圆形纸片，则这个冰激凌的体积为（
）
A．27
B．18
9 3
C．36
9 3
D．54
【答案】B
【详解】解：设半球的半径为R ，圆锥母线长为l ，由2
6
R
得
3
R
，
所以这款冰激凌的体积为：
3
2
2
2
3
2
2
2
1
4
1
2
1
3
3
6
3
18
9 3
2
3
3
3
3
V
R
R
l
R
.
故选：B.
37．如图所示的雕塑组合：下面是棱长为2 米的正方体基座，基座上面中心位置安放着一个大球，阳光从
A 面正前方照射下时，基座在B 面正前方地面的影长是4.8 米，此时大球影子最远点伸到距B 面8.8 米处，
则大球体积是
．
【答案】
3
4π m
3
【分析】
画出投影示意图，构造相似三角形进行求解出求得半径，即可求出答案．
【详解】过球的中心O 作铅垂面，如图，设球的半径为r，
由
,
90
EDF
BPC
DFE
PCB
PAO
，
得DEF
PBC
，DEF
POA
，
2
2
2
2
9.8
2
4.8
4.8
2
4.8
r
PQ
r
PQ
r
，解得
1
r ，
所以大球的体积
3
3
4
4
π
π m
3
3
V
r
．
故答案为：
3
4π m
3
．
38．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知
圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为5
1
和3，则此组合体的外接球的体积是
．
【答案】20 5π
3
【分析】由图形可知外接球的球心一定在圆锥和圆台的高上，然后利用球的半径和圆锥，圆台高之间的关
系列出方程求解即可.
【详解】如图：
设外接球半径为R ，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为
1
O ，则
2
2
2
1
1
OO
R
，而
1
5
2
OO
R
，
故
2
2
1
5
2
5
R
R
R
，所以体积为
3
4
4
20 5π
π
π 5 5
3
3
3
V
R
．
故答案为：20 5π
3
