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第八章 立体几何初步A（基础卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2019秋•兴庆区校级期末）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A． 是棱台 B． 是圆台 C． 是四面体 D． 不是棱柱
【解①答】解：图（1）不是②由棱锥截来的，所以（③1）不是棱台； ④
图（2）上、下两个面不平行，所以（2）不是圆台；
图（3）是四面体．
图（4）前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以（4）是棱
柱．
故选：C．
2．（2020春•红岗区校级期中）古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑
上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，
该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的 ，并且球的表面积也是圆柱表面积的 ，
若圆柱的表面积是6 现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）
π
A． B． C． D．
π
【解答】解：设球的半径为r，则由题意可得球的表面积为 ，
所以r＝1，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为 ．
故选：B．
3．（2019春•扬州期末）已知△ABC中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，将△ABC绕BC所在直线旋转一周，形
成几何体K，则几何体K的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中若L＝2，R
∴S ×2 2×2＝4
π π
故选：B．
4．（2019春•湖南期末）已知 、 为两个不同平面，l为直线且l⊥ ，则“ ⊥ ”是“l∥ ”（ ）
A．充分不必要条件 α β B．必要不充分条件β α β α
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：根据题意，当“l∥ ”时，必有“ ⊥ ”，
反之，当“ ⊥ ”时，l可能在平α面 内，即“lα∥ β”不一定成立，
则“ ⊥ ”α是“βl∥ ”的必要不充分α条件； α
故选α：Bβ． α
5．（2020春•顺德区月考）已知正三棱柱ABC﹣A B C ，O为△ABC的外心，则异面直线AC 与OB所成
1 1 1 1
角的大小为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．90°
【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，且O为△ABC的外心，
∴O是△ABC的垂心，
∴BO⊥AC，且AA ⊥平面ABC，BO 平面ABC，
1
∴BO⊥AA ， ⊂
1
∴BO⊥平面AA C C，且AC 平面AA C C，
1 1 1 1 1
∴BO⊥AC ， ⊂
1
∴异面直线AC 与OB所成角的大小为90°．
1
故选：D．6．（2019秋•安庆期末）下列命题的符号语言中，不是公理的是（ ）
A．a⊥ ，b⊥ a∥b
B．P α，且Pα⇒ ∩ ＝l，且P l
C．A∈αl，B l，∈且β⇒Aα ，βB l ∈
D．a∥∈ b，a∈∥c b∥∈cα ∈α⇒⊂α
【解答】解：A⇒不是公理，
在B中，由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，
故B是公理．
在C中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故C是公理；
在D中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D是公理；
故选：A．
7．（2019秋•滑县期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点
M在线段PC上，PM＝tPC，PA∥平面MQB，则实数t的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，如图
则O为BD的中点，
又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的边长为a，则AN a，AC a．
∵PA∥平面MQB，PA 平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN
∴PA∥MN ⊂
∴PM：PC＝AN：AC即PM PC，t ．
故选：C．
8．（2020•聊城模拟）我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图的刍童
ABCD﹣EFGH有外接球，且AB＝2 ，平面ABCD与平面EFGH
间的距离为1，则该刍童外接球的体积为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【解答π】解：如图，设上底面π中心为O 1 ，下底面中心π 为O 2 ， π
刍童外接球的球心为O，则O，O ，O 共线，
1 2
连接O E，O A，OE，OA，
1 2
由已知可得 ， ，O O ＝1．
1 2
设该刍童的外接球的半径为R，OO ＝h，
2
则R2＝8+h2，R2＝5+（h+1）2，联立解得R2＝9．
∴该刍童的外接球的表面积为S＝4 R2＝36 ．
故选：C． π π二．多选题（共4小题）
9．（2020春•芝罘区校级期末）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其
所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，
∴AB∥平面MNP，故A成立；
B若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB与面MNP不平行，故B不成立；
C过M作ME∥AB，则E是中点，
则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，
∴AB与面MNP不平行，故C不成立；
D连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立．
故选：AD．
10．（2019秋•汕尾期末）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现
在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列
说法正确的是（ ）
A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF
【解答】解：由题意可得：AH⊥HE，AH⊥HF．∴AH⊥平面EFH，而AG与平面EFH不垂直．∴B正确，A不正确．
又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正确．
HG与AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正确．D不正确．
故选：BC．
11．（2019春•东营期末）设m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（
） α β
A．若m⊥ ，n⊥ ，则m∥n
B．若m∥nα，m∥α，则n∥
C．若m ，n ，α 则m，nα是异面直线
D．若 ∥⊂α，m⊂β ，n ，则m∥n或m，n是异面直线
【解答α】解β：由⊂mα，n⊂是β两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，得：
对于A，若m⊥ ，n⊥ ，则由线面垂直的性α质β定理得m∥n，故A正确；
对于B，若m∥αn，m∥α，则n∥ 或n ，故B错误；
对于C，若m ，n ，α 则m，nα相交、⊂α平行或异面，故C错误；
对于D，若 ∥⊂α，m⊂β ，n ，则m∥n或m，n是异面直线，故D正确．
故选：AD．α β ⊂α ⊂β
12．（2020•泉州一模）已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为1，E是DD 的中点，则下列选项中正确的
1 1 1 1 1
是（ ）
A．AC⊥B E
1
B．B C∥平面A BD
1 1
C．三棱锥C ﹣B CE的体积为
1 1
D．异面直线B C与BD所成的角为45°
1
【解答】解：如图，
∵AC⊥BD，AC⊥BB ，∴AC⊥平面BB D D，
1 1 1又B E 平面BB D D，∴AC⊥B E，故A正确；
1 1 1 1
∵B C∥⊂A D，A D 平面A BD，B C 平面A BD，∴B C∥平面A BD，故B正确；
1 1 1 1 1 1 1 1
⊂ ⊄
三棱锥C ﹣B CE的体积为 ，故C错误；
1 1
∵BD∥B D ，∴∠CB D 是异面直线B C与BD所成的角，又△CB D 是等边三角形，
1 1 1 1 1 1 1
∴异面直线B C与BD所成的角为60°，故D错误．
1
故选：AB．
三．填空题（共4小题）
13．（2020•中卫二模）已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若AB＝BC＝2，
∠ABC＝120°，且三棱锥O﹣ABC的体积为 ，则球O的表面积为 5 2 ．
【解答】解：如图所示 设△ABC的外接圆的圆心为O 1 ，半径为r， π
在△ABC中，由余弦定理可得：
|AC| 2 ，∵2r 4，
解得：r＝2．
又由题知S△ABC 2×2×sin120° ，
又三棱锥O﹣ABC的体积为 S△ABC •|OO
1
|，
所以棱锥O﹣ABC的高|OO |＝3，∴球O的半径R ，
1
∴球O的表面积为4 R2＝52 ．
故答案为：52 ． π π
π
14．（2020•江苏）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六
边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 1 2 cm3．【解答】解：六棱柱的体积为： ，
圆柱的体积为： ×（0.5）2×2 ，
π
所以此六角螺帽毛坯的体积是：（12 ）cm3，
故答案为：12 ．
15．（2020•宿迁模拟）已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，
记圆锥和球体的体积分别为V ，V ，则 的值为 ．
1 2
【解答】解：设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，
所以r R，V r3 •（ R）3 R3，
2
π π π
V R2（ R） R3，
1
π π
所以球与圆锥的体积之比为 ．
故答案为： ．
16．（2019秋•莆田期末）在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC＝60°，∠PBA＝∠PCA＝90°，点P到底面ABC的距离为 ，若三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为6 ，则AC的长为 ．
π
【解答】解取PA的中点哦，连接OB，OC，因为∠PBA＝∠PCA＝90°，
所以OA＝OP＝OB＝OC，
即O为三棱锥外接球的球心，
设外接球半径为R，由S＝4 R2＝6 ，所以R2 ，
π π
过O做OO'⊥面ABC交于O'，连接O'A则O'A为△ABC，
则O'A为△ABC外接圆的半径设为r，则r＝O'A，
因为点P到底面ABC的距离为 ，所以OO' ，
在△AOO'中，R2＝OO'2+r2，所以r2 （ ）2＝1，即r＝1，
在△ABC中，2r ，所以AC＝2r•sin60°＝2 ，
故答案为： ．
四．解答题（共5小题）
17．（2020•广东学业考试）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和
PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．【解答】证明：（1）取PC的中点G，
∵F是PD的中点，
∴FG∥CD，且FG CD，
又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，
∴BE∥CD，且BE CD，
∴BE∥FG，且BE＝FG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴EF∥BG，
又EF 平面PBC，BG 平面PBC，
∴EF∥⊄平面PBC； ⊂
（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，
∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又∵PB＝PD，O是BD中点，
∴BD⊥PO，
又AC∩PO＝O，AC 平面PAC，PO 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC， ⊂ ⊂
∵BD 平面PBD，
∴平面⊂PBD⊥平面PAC．
18．（2019秋•赣州期末）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E为AD的中点，如图1，将△ABE沿BE折
起，使得点A到达点P的位置（如图2），且平面PBE⊥平面BCDE
（1）证明：PB⊥平面PEC；
（2）若M为PB的中点，N为PC的中点，求三棱锥M﹣CDN的体积．【解答】解：（1）证明：由题意，易得 ，
∴BE2+CE2＝BC2，即BE⊥CE，
又∵平面PBE⊥平面BCDE，交线为BE，
∴CE⊥平面PBE，
∴CE⊥PB，
又∵PB⊥PE，
∴PB⊥平面PEC；
（2）取BE中点O，连接PO，
∵PB＝PE，
∴PO⊥BE， ，
又∵平面PBE⊥平面BCDE，交线为BE，
∴PO⊥平面BCDE，
∵M为PB的中点，N为PC的中点，
∴ ．19．（2019春•河南月考）如图所示，已知四棱锥 P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，
AB⊥BC，AB＝AD＝1，BC＝2，PB⊥平面ABCD，PB＝1．
（Ⅰ）求证：CD⊥PD；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，易求 ，
∵BC＝2，
∴CD⊥PD，
∵PB⊥平面ABCD，CD在平面ABCD内，
∴PB⊥CD，
又PB∩BD＝B，且都在平面PBD内，
∴CD⊥平面PBD，
又PD在平面PBD内，
∴CD⊥PD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
又∵DA∥BC，BC⊥AB，PB⊥平面ABCD，
∴△PAD，△PBA，△PCD都为直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴四棱锥P﹣ABCD的表面积为 ．
20．（2019春•玉溪期末）如图，在三棱柱 ABC﹣A B C 中（底面△ABC为正三角形），A A⊥平面
1 1 1 1
ABC，AB＝AC＝2， ，D是BC边的中点．
（1）证明：平面ADB ⊥平面BB C C．
1 1 1
（2）求点B到平面ADB 的距离．
1【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC．
又BB ⊥平面ABC，AD 平面ABC，∴BB ⊥AD．
1 1
又BC∩BB ＝B，∴AD⊥⊂平面BB C C．
1 1 1
又AD 平面ADB ，∴平面ADB ⊥平面BB C C．
1 1 1 1
（2）解⊂：由（1）知，AD⊥平面BB
1
C
1
C，B
1
D 平面BB
1
C
1
C，∴AD⊥B
1
D． ，
∵ ，B D＝2， ⊂
1
∴ ， ．
设点B到平面ADB 的距离为d，
1
由 ，得 ，
即 ，∴d ，即点B到平面ADB 的距离为 ．
1
21．（2019秋•路南区校级期中）在直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC＝BC ，∠ACB＝90°，AA ＝2，D
1 1 1 1
为AB的中点．
（1）求异面直线AC 与B C所成角的余弦值；
1 1
（2）在棱A B 上是否存在一点M，使得平面C AM∥平面B CD．
1 1 1 1【解答】解：（1）以C为原点，CB、CA、CC 分别为x、z、y轴建立空间直角坐标系．
1
因为AC＝BC ，AA ＝2．
1
所以C（0，0，0），A（ ），C （0，2，0）， ．
1
所以 ，
那么 ；
（2）在A B 上中点M，连接MA．
1 1
证明如下：
∵三棱柱ABC﹣A B C 是直三棱．
1 1 1
∴平面ABC∥平面A B C ，AB∥A B ，AB＝A B ．
1 1 1 1 1 1 1
∵D、M分别是AB、A B 的中点．
1 1
∴C M∥CD．
1
∵CD 平面CDB ，C M 平面CDB ，
1 1 1
∴C M⊂∥平面CDB ． ⊄
1 1
∴ ， ．∴MB ＝AD，MB ∥AD．
1 1
∴四边形ADB M是平行四边形．
1
∴AM∥DB ．
1
∵DB 平面DCB ，AM 平面DBC ．
1 1 1
∴AM∥⊂平面DCB ． ⊄
1
∵C M∩AM＝M．
1
∴平面C AM∥平面B CD．
1 1
