文档内容
2024-2025 学年度春学期期中联考试卷
高一数学
命题人：徐波 复核人：高强
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．已知点 ，向量 ，则向量 ＝（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△O' A'B'是水平放置的 的直观图，则 的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
3. 已知单位向量 的夹角为 ，则|⃗a−⃗b|=（ ）
A．1 B． C． D．3
4．“YouBike微笑自行车”是一项惠民、利民、亲民的社会公共服务项目，当我们停放自行车时，只要
将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）
A．三点确定一平面 B．不共线三点确定一平面
C．两条平行直线确定一平面 D．两条相交直线确定一平面
5. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则 （ ）
A． B．
C． D．
6. 在△ABC中， ， ， ，则此三角形（ ）
A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 解的个数不确定
7. 设 分别是 的内角 的对边，已知 是 边的中点， 的面积为1，且
，设则 等于（ ）A． B． C. D.2
8．设直三棱柱 的所有顶点都在一个表面积是 的球面上，且 ，
则该直三棱柱的体积是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9.已知复数 ，则（ ）
A． 的虚部为 B．
C． 在复平面内的对应点位于直线 上 D． 为方程 的一个根
10.如图，在正方体 中，M，N分别为棱 的中点，
则以下四个结论中，正确的有（ ）
A．直线 与 是相交直线 B．直线 与 是异面直
线
C． 与 平行 D．直线 与 共面
11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形
，其中 ，则下列结论正确的有（ ）A． B．
C． D． 在 向量上的投影向量为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知平面向量 ， 不共线，且 ， ， ，若 ， ， 三点共
线，则 .
13．某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底 在同一个水平面内的两个测量基点A与
，现测得 ， ， 米，在点A处测得塔顶 的仰角为 ，则塔高 为
米．
14.如图，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4，点D
在BC上，且BD=2DC，点E是AC的中点，连接AD，BE相交于O点，
则BE= ；则cos∠EOD = .
四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
15.（本小题13分）已知 为复数， 为实数，且 为纯虚数，其中 是虚数单位.
(1)求 ；
(2)若复数 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
16.（本小题15分）已知向量 ， .
(1)若 ，求 ；
⃗c=(−2,1) ⃗a//⃗c ⃗a ⃗a−2⃗b
(2)若向量 ， ，求 与 夹角的余弦值.17．（本小题15分）如图， 为圆锥 底面圆 的直径，点 是圆
上异于 的动点，等腰直角三角形△SOC的面积为 .
(1)求圆锥 的表面积；
(2)若点 是 的一个三等分点，求三棱锥 的体积.
18．(本题满分17分)如图,在△ABC中, 的平分线交 边于点 ,点 在 边上, ,
, .
(1)求 的大小;
(2)若 ,求△CDE的面积.
19.（本小题17分）如图，圆C的半径为3，其中A、B为圆C上两点.
1
(1)若cos∠CAB= ，当k为何值时，⃗AC+2⃗AB与k⃗AC−⃗AB垂直？
3
(2)若G为△ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q， 且
⃗AP=λ⃗AB，⃗AQ=μ⃗AC，求λ+μ最小值.
(3)若 的最小值为 ，求 的值.
|⃗AC+t⃗AB| 1 |⃗AB|2024-2025 学年度春学期期中联考试卷
高一数学答案
二、单选题：
1-4.A C C B 5-8. D C B A
二、选择题：
9.BCD 10.BD 11.ABD
三、填空题：
3√39
12. 1 13. 14. 2√3 ,
26
五、解答题：
15.（1）设z=a+bi，a,b∈R，z+2i=a+(b+2)i，
因为z+2i为实数，所以b+2=0，即b=−2 ............................................................................（2分）
所以z(1−2i)=(a−2i)(1−2i)=a−4−2(a+1)i，
又因为z(1−2i)为纯虚数， 所以a−4=0即a=4，所以z=4−2i，..................................（4分）
所以 ........................................................................................................（6分）
|z|=√42+(−2) 2=2√5
（2）由（1）知， z=4+2i，
所以 ，................................................（9分）
(z+mi) 2=(4+2i+mi) 2=16−(m+2) 2+8(m+2)i
又因为 在复平面上所对应的点在第一象限，
(z+mi) 2
所以¿ ，...........................................................................................................（11分）
解得：−20
，
μ>0
，则
λ+μ=
1
(λ+μ)
(1
+
1)
=
1(
2+
μ
+
λ)
≥
1(
2+2
√μ
⋅
λ)
=
4，
3 λ μ 3 λ μ 3 λ μ 3
2 4
当且仅当¿时，即当λ=μ= 时，λ+μ取最小值 ................................................（11分）
3 3
（3）设AB=m(m>0)，取线段AB的中点E，连接CE，则CE⊥AB，1 2
则⃗AC⋅⃗AB=(⃗AE+⃗EC)⋅⃗AB=⃗AE⋅⃗AB+⃗EC⋅⃗AB= |⃗AB|，
2
又
|⃗AC+t⃗AB|=√(⃗AC+t⃗AB) 2 =√⃗AC2+2t⃗AB⋅⃗AC+t2⃗AB2=√9+t⃗AB2+t2⃗AB2
=√9+m2t+t2m2= √ m2( t+ 1) 2 +9− m2，...........................................................................（14分）
2 4
所以当 1时， 有最小值√ m2，所以√ m2 ，解得 ，
t=− |⃗AC+t⃗AB| 9− 9− =1 m=4√2
2 4 4
即 取最小值 时， ．.............................................................................（17分）
|⃗AC+t⃗AB| 1 |⃗AB|=4√2
