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第八章 立体几何初步B（提高卷）
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
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评卷人 得 分
一．选择题（共8小题）
1．（2019春•辽宁期中）直角三角形的三边满足a＜b＜c，分别以a，b，c三边为轴将三角形旋转一周所
得旋转体的体积记为V，V ，V ，则（ ）
a b c
A．V ＜V ＜V B．V＜V ＜V C．V ＜V＜V D．V ＜V＜V
c b a a b c c a b b a c
2．（2020•大连二模）已知三棱锥P﹣ABC，面PAB⊥面ABC，PA＝PB＝4， ，∠ACB＝90°，则
三棱锥P﹣ABC外接球的表面积（ ）
A．20 B．32 C．64 D．80
3．（202π0•泰安模拟）我国古代π数学名著《九章算术》π中记载：“刍甍者，π下有袤有广，而上有袤无广．
刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的
正方形，上棱 ，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为（ ）
A．6 B． C． D．12
4．（2020•全国Ⅰ卷模拟）已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋转一周得到几何
体，CD是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．5．（2020•合肥模拟）已知四棱锥 S﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∠BAD＝120°，
△SAD是等边三角形，且SA＝AB＝2 ，若点P在四棱锥S﹣ABCD的外接球面上运动，记点P到平面
ABCD的距离为d，若平面SAD⊥平面ABCD，则d的最大值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 1 D． 2
6．（2020•葫芦岛模拟）正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，在A，B，C，D，C ，D 这六个顶点中，
1 1 1 1 1 1
选择两个点与A ，B 构成正三棱锥P，在剩下的四个顶点中选择两个点与 A ，B 构成正三棱锥Q，M
1 1 1 1
表示P与Q的公共部分，则M的体积为（ ）
A． B． C． D．1
7．（2020•广东二模）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2AD＝2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE
翻折成△A DE，连接A C．若当三棱锥A ﹣CDE的体积取得最大值时，三棱锥A ﹣CDE外接球的体积
1 1 1 1
为 ，则a＝（ ）
π
A．2 B． C．2 D．4
8．（2020•新疆模拟）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，
体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八
个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方
形，称这样的半正多面体为二十四等边体．一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的
表面积为16 ，则该二十四等边体的表面积为（ ）
π
A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）
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评卷人 得 分
二．多选题（共4小题）
9．（2020春•宝应县期中）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB
的中点，下列结论正确的是（ ）
A．OM∥PD B．OM∥平面PCD C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA
10．（2020•山东模拟）已知 、 是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是（
） α β
A．若m⊥ ，m∥n，n ，则 ⊥
B．若 ∥α，m⊥ ，n⊥⊂β，则αm∥βn
C．若α∥β，m α，n β，则m∥n
D．若α⊥β，m⊂α， ⊂∩β ＝n，m⊥n，则m⊥
11．（202α0•市β中区⊂校α级α模拟β）《九章算术》中将β底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑
堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称
为“鳖膈”．如图在堑堵ABC﹣A B C 中，AC⊥BC，且AA ＝AB＝2．下列说法正确的是（ ）
1 1 1 1
A．四棱锥B﹣A ACC 为“阳马”
1 1
B．四面体A C CB为“鳖膈”
1 1
C．四棱锥B﹣A ACC 体积最大为
1 1D．过A点分别作AE⊥A B于点E，AF⊥A C于点F，则EF⊥A B
1 1 1
12．（2020•4月份模拟）如图，正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为a，线段B D 上有两个动点E，F，且
1 1 1 1 1 1
EF a，以下结论正确的有（ ）
A．AC⊥BE
B．点A到△BEF的距离为定值
C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A B C D 体积的
1 1 1 1
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
评卷人 得 分
三．填空题（共4小题）
13．（2020•昆山市模拟）在长方体ABCD﹣A B C D 中，AB＝4，AD＝4，AA ＝3，若在长方体中挖去一
1 1 1 1 1
个体积最大的圆柱，则此圆柱与原长方体的体积比为 ．
14．（2020•珠海三模）在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，
△PAB是以AB为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
15．（2020•中山区校级一模）如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而
成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为 2的正方形，高为4，且两个四棱柱
的侧棱互相垂直．则这个几何体有 个面，其体积为 ．
16．（2020春•江西月考）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为等边三角形，若四棱锥P﹣ABCD的体积与四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积大小之比为 ，
则正方形ABCD的边长为 ．
评卷人 得 分
四．解答题（共5小题）
17．（2020•新课标Ⅰ）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P
为DO上一点，∠APC＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P﹣ABC的体积．
π
18．（2020春•房山区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，
PA＝PD＝AD＝2，AB＝3．点M，N分别是AB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（Ⅲ）在棱CD上是否存在一点T，使得直线BT⊥PC？请给出你的判断，并说明理由．
19．（2020•宜昌模拟）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，平面外一点
P在平面ABCD内的射影为O，PB与平面ABCD所成角为30°．
（1）求证：BD⊥PA；
（2）点N在线段PB上，且 ，求 的值．20．（2020春•东城区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，BB ⊥平面ABC，AB⊥BC，AA ＝AB
1 1 1 1 1
＝BC＝2．
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面A B C；
1 1 1
（Ⅱ）求异面直线B C与A B所成角的大小；
1 1
（Ⅲ）点M在线段B C上，且 ，点N在线段A B上，若MN∥平面A ACC ，求 的值．
1 1 1 1
21．（2020•重庆模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以
DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°．
（Ⅰ）求证：平面BFC⊥平面BDC；
（Ⅱ）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为 ，求点C到平面DEF的距离．
