文档内容
江苏省泰州中学2024-2025学年高一下学期4月期中
数学试题
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C．
D．4．“ ”是“向量 ， ，则 ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
5．某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，
设立生物丰富度指数 作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导
调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
6．在正方形 中，点E满足 ，点F满足 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．若 的三个内角均小于120°，点 满足 ，则点 到三角形三个顶
点的距离之和最小，点 被人们称为费马点．根据以上性质，已知 是平面内的任意一个向量，向量 ，
满足 ，且 ， ，则 的最小值是（ ）
A．9 B． C．6 D．
二、多选题
9．下列各式的值为1的是（ ）
A． B．C． D．
10．已知曲线 （ 且 ）过定点 ，且 的坐标满足方程 ，则
（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
11．对于函数 ，若对于其定义域 中任意给定的实数 ，都有 ，并且 ，则
称函数 为倒函数．以下选项正确的有（ ）
A．函数 是倒函数
B．函数 是倒函数
C．若 是 上的倒函数，当 时， ，方程 没有正整数解
D．若 是 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在 上是增函数．记 ，则
是 的充要条件
三、填空题
12．幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布.三国时的刘徽为《九章算术·方田》作注：“田幂，
凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘.”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几
何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”.幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即 ，函数
为幂函数，则 ．
13．已知函数 （ ， 为常数， ）的部分图象如图所示．则 ；若将函数 图象上的点 向右平移 个单位长度得到点 ，且点 仍在函数 的图象上，
则 的最小值为 ．
14．已知 是平面向量， 是单位向量，若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 ，
则 的最小值是 ．
四、解答题
15．单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限．
(1)如图，当 的长为 时，求线段BC与 所围成的弓形（阴影部分）面积；
(2)记 ， ，当 ，点B的横坐标为 时，求 的值．
16．已知集合 .
(1)求 ；
(2)记关于 的不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围.17．已知函数 在R上为奇函数， ．
(1)求实数 的值；
(2)指出函数 的单调性（说明理由，不需要证明）；
(3)设对任意 ，都有 成立，求 的取值范围．
18．已知向量 ， ，函数
， .
（1）若 的最小值为-1，求实数 的值；
（2）是否存在实数 ，使函数 ， 有四个不同的零点？若存在，求出 的
取值范围；若不存在，请说明理由.
19．设函数 的定义域为D，对于区间 ，若满足以下两条性质之一，则称I为
的一个“ 区间”．
性质1：对任意 ，有 ；
性质2：对任意 ，有 ．
(1)分别判断区间 是否为下列两函数的“ 区间”（直接写出结论）；
① ； ② ；
(2)若 是函数 的“ 区间”，求m的取值范围；
(3)已知定义在 上，且图象连续不断的函数 满足：对任意 ，且 ，有．求证： 存在“ 区间”，且存在 ，使得 不属于 的所有“ 区间”．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A D D A C BC ACD
题号 11
答案 ACD
1．A
由倒数定义易判断A正确；通过举反例即可逐一排除B，C，D项.
【详解】对于A，由 可知 均不为0，故 ，即A正确；
对于B，由 可得 或 ，故B错误；
对于C， 由 ，若取 ，则 没有意义，故C错误；
对于D，由 ，若取 ，则 ，故D错误.
故选：A.
2．C
先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解： 或 ，
，
，
故选：C
3．B
先求函数定义域，排除A，再根据函数奇偶性排除B，再通过特殊值排除D得答案.
【详解】函数 的定义域为 且 ，排除A项；
∵ ，∴ 是奇函数，排除C项；
再取特殊值当 时， ，排除D项.
故选：B.4．A
由于 ，即可判定
【详解】由题意，
因此“ ”是“向量 ， ，则 ”的充分不必要条件
故选：A
5．D
根据公式列出调整前后的生物丰富度指数表达式，对①②式进行变形，根据对数运算得出答案.
【详解】由题意得 ①， ②，
则 ，
即 ，即 ，
所以 ，
故选：D
6．D
根据给定条件，利用向量线性运算，结合平面向量基本定理求解即得.
【详解】在正方形 中， ，
由 ，得 ，又 ，
因此
，
而 ，且 不共线，于是 .
故选：D
7．A
由 将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出 ，再由两角差的余弦公式求出 ，即可得解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：A
8．C
设 ， ， ， ， ， ， ，则 即为
点 到 ， ， 三点的距离之和，由费马点的性质可得当点 位于 的中
心时， 取最小值，即可求解.
【详解】设 ， ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
所以 ，
因为 为等边三角形，由题意，等边 的费马点为 的中心，
此时 取最小值，
所以 ，
故选：C．9．BC
利用三角变换公式计算判断ACD；利用指数、对数运算计算判断B.
【详解】对于A， ，A不是；
对于B， ，B是；
对于C， ，C是；
对于D， ，D错误.
故选：BC
10．ACD
A选项，先由指数函数特征求出 ，故 ，由基本不等式求出积的最大值；B选项，
，解得 ，变形得到 ，求出最小值；C选项，变形得到
，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，变形得到 ，由基本不等
式“1”的妙用求出最小值；
【详解】A选项，令 ，即 ，此时 ，故 ，
由题意得 ，由基本不等式得 ，即 ，解得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，A正确；
B选项， ，故 ，解得 ，
则 ，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ，B错误；
C选项， ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 ，C正确；
D选项，因为 ， ，
所以 ，
故
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，D正确.
故选：ACD.
11．ACD
对于选项A、B，直接根据定义判断函数是否为倒函数；对于选项C，先根据倒函数性质求出 时函数表达式，再判断方程是否有正整数解；对于选项D，根据函数单调性判断 与 之
间的充分性和必要性.
【详解】对于A，对于 定义域为 ，显然定义域中任意实数 ，都有 成立，又
，所以 是倒函数．故A正确．
对于B， 定义域为 ，当 时， ，不符合倒函数的定义，所以
不是倒函数，故B错误．
对于C，令 ，则 ，由倒函数的定义，可得 ，
所以 ，所以 ，要使 有正整数解，
则 ，当 时， ；
当 时， ；所以 没有正整数解，故C正确．
对于D，充分性：当 时， 且 ，因为 是增函数，
所以 ， ，即 ， ，
所以 ．
必要性：当 时，
有 ，
因为 恒大于0，所以 ，即 ，所以 ，因为 是增函数，所以 ，即 ；
综上可得 是 的充要条件，故D正确．
故选：ACD.
12．
利用幂函数的定义进行求解即可得．
【详解】解：因为函数 为幂函数，
所以可得 ，解得 ．
故答案为：1
13． 0 /
根据给定条件，求出函数 的解析式，并求出 值，再由 求出 的关系式即可得解.
【详解】观察函数图象，得函数 的周期 ， ，则 ，
由 ，且函数 的图象在点 附近是上升的，得 ，
即 ，因此 ，所以 ；
，而点 在 的图象上，则 ，即 ，
又 ，则 或 ，解得 或 ，
所以 的最小值为 .
故答案为：0；
14．
根据已知 可得出 .进而作图推得 ，点 的轨迹为以 为圆心的圆.过点 ，作 ，垂足为 ，交圆于点 ，结合图象分析即可得出 即为 的最小值.根
据已知条件计算即可得出答案.
【详解】由已知 可得 ，所以 .
设 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
所以有 ， ，则 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心的圆.
过点 ，作 ，垂足为 ，交圆于点 ，
根据图象可得出 即为 的最小值.
在 中，有 ， ，
所以有 .
又 ，所以 .
故答案为： .
15．(1)
(2) ．（1）设弧长及圆心角，应用扇形面积公式计算 求解即可；
（2）先由已知得 进而得出 ， ，最后应用诱导公式计算求解即可.
【详解】（1）设 所对的圆心角为 ，弧长为l，弓形的面积为S．
因为 ，圆O的半径为 ，所以 ，
， ， ．
（2）设 ，由题知 ，
于是 ， ，
．即 ．
16．(1) 或 ，
(2)
（1）分别解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合 ，再求 即可；
（2）解一元二次不等式求出集合 ，再根据 ，借助数轴可解出实数 的取值范围.
【详解】（1）解：因为 即 ，
所以 ，所以 ；
由 ，可得 或 ，
所以 或 ，进而可得 ，
所以 或 ， .（2）解：因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ；
又 或 ，
若 ，则 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是
17．(1)
(2) 在R上单调递减
(3)
（1）根据已知结合奇函数的性质有 ，代入化简可得 ，即有
，解出 的值，代入检验即可得出答案；
（2）令 ，分 以及 两种情况分析得出函数 的单调性，进而即
可根据复合函数的单调性得出判断；
（3）根据函数的奇偶性、单调性结合已知条件化简得出 .设
，根据已知条件结合三角函数的性质求出函数 的最小值，进而得出不等式
，求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知结合奇函数的性质可得 ，
即，
所以 ，解得 （舍去负值），所以 .
此时有 ，定义域为R，满足题意.
（2）令 ，
因为 ，所以函数 在 上单调递增.
又当 时，有 在 上单调递
减；
当 时， 与 均为减函数，
所以有 在 上单调递减.
综上所述， 在R上单调递减.
根据复合函数的单调性可知， 在R上单调递减.
（3）由已知 ，
结合奇函数的性质可得 .
又由（2）知， 在R上单调递减，
所以有 ，整理即有 .
设 ，要使该式恒成立，则应满足 .
又 ，当 ，即 时， 有最小值 ，
则有 ，整理可得 ，解得 .
18．（1） ；（2） .
【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数 即可．
（2）求出函数 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
（3）由 =0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
试题解析：
（1）∵ ，
，
∴ ，
∵ ∴ ，
，令 ，
∴ ∵ ，对称轴为 ，
①当 即 时，当 时， ∴ 舍，
②当 即 时，当 时， ∴ ，
③当 即 是，当 时， ∴ 舍，
综上， .（2）令 ，即 ，
∴ 或 ，∵ ， 有四个不同的零点，
∴方程 和 在 上共有四个不同的实根，
∴ ∴ ∴ .
19．(1)①是，②不是；
(2) ；
(3)证明见解析.
（1）根据新定义直接判断即可得出结论；
（2）根据 是函数 的“ 区间”确定其满足性质1，据此分类讨论求二次函数值
域，检验即可得解；
（3）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为 不恒成立， 存在“ 区间”，再构造函数
，证明有唯一零点，且 .
【详解】（1）对①，当 ， ，满足性质1， 是函数的“ 区间”，
对②，当 时， ，当 时， ，故不满足性质1,2，
不是函数的“ 区间”.
（2）记 ， ，注意到 ，
因此，若 为函数 的“ 区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即 .当 时， 在 上单调递增，且 ，
所以 不包含于 ，不合题意；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，所以 ，不合题意.
综上， .
（3）对于任意区间 ，记 ，
依题意， 在 上单调递减，则 .
因为 ，所以 ，
即S的长度大于 的长度，故不满足性质①.
因此，如果 为 的“Q区间”，只能满足性质②，即 ，
即只需存在 使得 ，或存在 使得 .
因为 不恒成立，所以上述条件满足，所以 一定存在“Q区间" .
记 ，先证明函数 有唯一零点；
因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递减.
若 ，则 为 的唯一零点；
若 ，则 ，即 ，
由零点存在定理，结合 单调性，可知存在唯一 ，使得 ；
若 ，则 ，即 ，
由零点存在定理，结合 单调性，可知存在唯一 ，使得 ；综上，函数 有唯一零点 ，即 ，
