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第 5 讲 立体几何
兴趣篇
1. 一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米。若它的棱长总和等于另一个
正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体
积少多少立方厘米？
【分析】该长方体的棱长总和为： ；则正方体的边长为 ；
长方体的表面积为： ，体积为： ；
正方体的表面积为： ；体积为：
所以长方体与正方体的表面积之比为： ，长方体的体积比正方体的体积少 2立方厘
米。
2. 如图所示，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正
方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去
掉边长为3厘米的正方形呢？
【分析】四个角都截去边长为2的正方形之后，长方体容器的长为 ；宽为
，其体积为 （立方厘米）。
如果四个角去的都是边长为3的正方形，则新形成的长方体的长为 ，宽为
，高为3， 则新长方体的体积为 （立方厘米）。
3. 用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形。这个图形的表面积是多少平方
厘米？【分析】
三视图法：
从前往后看： ；
从左往右看： ；
从上往下看： ；
则这个图形的表面积为： （平方厘米）。
4. （1）如图所示，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为 4、
3、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？
（2）如图所示，将一个棱长为 5的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为 5、
4、3的长方体，它的表面积减少了百分之几？
【分析】
（1）切去该长方体之后，整个表面积没有发生变化，则其表面积总和还为原表面积，为
平方厘米。
（2）原正方体的表面积为 ；现在表面积减少了 ；相当于减少了
16%。
5、如图所示，有一个棱长为2厘米的正方体。从正方体的上面正中向下挖一个棱长为1厘
米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为 厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为 厘米。最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
【分析】
原正方体的表面积为 ,向下不断的挖正方体之后，会增加四个面，则增加的表
面积之和为 。所以最后得到的立体图形的表面积为
平方厘米。
6、（1）如图所示，将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体。那么拼合
后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了多少？
（2）一个正方体形状的木块，棱长为1，如图1所示，将其切成两个长方体。这两部分
的表面积总和是多少？如果在此基础上再切4刀（如图2所示），将其切成大大小
小共18块长方体。这18块长方体表面积总和又是多少？
【分析】
（1）每一次拼合会少两个面，拼了3次，表面积之和少了 平方厘米；
（2）原正方体的表面积为 ，且一刀会增加两个面，增加的面积为2，则两部分的
表面积之和为8；根据图2，总共切了5刀，表面积增加了10，则这18块长方体的表面
积总和为16。
（第四届华杯赛初赛第3题）
7、如图所示，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径标在图上，单位是厘米。请问：
圆锥体积与圆柱体积的比是多少？【分析】 。
（第三届华杯赛初赛第5题）
8、如图所示，一块三层蛋糕，由三个高都为1分米，底面直径分别为1.5分米、1分米
和0.5分米的圆柱体组成。请问：
（1）这个蛋糕的表面积是多少平方厘米？（ 取3.14）
（2）如果沿经过中轴线 的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积
之和又是多少？
【分析】
（1） 蛋糕的表面积为：
（平方分米）
（2） 新切一刀，表面积增加了 ，则现在的表面积变为44.97
平方分米
9、有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米、2米。三个池子
都装了半池水。现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升
高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升
高多少厘米？（结果精确到小数点后两位）
【分析】这两堆碎石的体积之和为： ,如果均投入大水池的话，大
水池的池面会升 ，即增加1.97厘米。
10、有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水。现有一根长
30厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒。将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容
器的底面接触。这时水面升高了多少厘米？【分析】令水面升高了x厘米，则 ，解之得x=0.5厘米.
拓展篇
1、如图所示，将三个表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的铁质正方
体熔铸成一个大正方体（不计损耗）。求这个大正方体的体积。
【分析】根据题意，最小正方体的边长为3，次小的正方体边长为6，大正方体的边长为
5，则他们的体积为：27+64+125=216立方厘米。
2、一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体
积增加90厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96厘米。求这个长方体的表面积。
【分析】根据题意，宽×高=20；长×高=30；长×宽=24；
则长方体的表面积为：2×宽×高+2×长×高+2×长×宽=148平方厘米
3、如图所示，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形。请问：这个立体图
形的表面积等于多少？
【分析】三视图法：
从上往下看：其面积为：4×4×2=32；
从左往右看：其面积为：10×2=20；
从前往后看：其面积为：10×2=20。
则其表面积和为72平方米。
4、如图1所示，将一个棱长为10的正方体从顶点 切掉一个棱长为4的正方体，得到如
图2所示的立体图形。这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点 切掉一个棱长为
6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？【分析】题中表面积没有发生变化，仍为 ；
观察上图，再从上图切去一个边长为6的正方体后，其少了2个 的正方形，此时
剩下的立体图形的表面积为568。
5、一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图所示），这些小长方体的
表面积之和为162平方厘米。请问：原正方体的体积是多少？
【分析】每切一刀，即增加两个面，途中共增加12个面。则18个面的面积为162平方厘
米。所以正方体的边长为3厘米，则原正方体的体积为27立方厘米。
6、图中是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖
去一个棱长1厘米的小正方体，做成一个玩具。该玩具的表面积是多少平方厘米？如果
把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？
【分析】各挖去一个正方体，挖一个正方体，其表面积多了 4个平面。则该玩具的表面积
为6×4×4+6×4×1=120平方厘米。
如若挖空，则可先求最外面的面积为 ，而内部的表面积之和为
，所以把这些洞打穿后，整个表面积变为126平方厘米。
7、一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米。已知木板厚
1厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？
【分析】由于此无盖木盒的外部体积为 立方厘米，而木盒的容积为 立方
厘米。则根据题意，可知需要这样的木板 立方厘米。这个木盒的容积为： 立方厘米
8、有一根长为20厘米，直径为6厘米的圆钢，在它的两端各钻一个4厘米深，底面直径
也为6厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如图所示）。这个零件的体积为多少立方厘
米？（ 取3.14）
【分析】这个零件的体积为： 立方厘米。
9、现有一块长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米的长方体木块，把它切成体积尽可
能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？（ 取3）
【分析】根据题意，所切成的圆柱体木块的体积为 ，则要让半径尽可能的大，最
大让 ，此时 ，此时圆柱体的体积为288立方厘米。
10、张大爷去年用长2米、宽1米的长方形芦苇围成了一个容积最大的圆柱体粮囤。今年
他改用长3米、宽2米的长方形芦苇来围，也同样围成容积最大的圆柱体粮囤。请问：
今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？
【分析】长2米、宽1米所能围成的容积最大的圆柱体粮囤的体积为： ；
长 3 米、宽 2 米的长方形芦苇围成的容积最大的圆柱体粮囤，其体积应为
，则今年的粮囤的体积为去年粮囤体积的4.5倍。
11、左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6。如果按照图中所示的方式旋转，
那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？
【分析】
左边正方形旋转所围成的体积为： ；
右边正方形旋转所围成的体积为：所以两者所围成的体积只比为：8:9。
12、如图，一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三水池，
请问：
（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入水池，水面的高度为多少分米？
（2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？
（3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？
【分析】
（1） 若无完全覆盖，现知原长方体水的体积为： 立方分米，而现在
放入的圆柱的底面积为： 平方分米。将圆柱放入后，除去现在的圆
柱即为有水部分，则水面高度为： 分米。
（2）若无完全覆盖，再放入一个同样的圆柱，则除去两个圆柱为有水部分，有水部分的底
面积为： 平方分米，则水面高度为： 平方分米。
由于在此种情况下，已超过，则圆柱被完全覆盖，所以现在的新体积为
立方分米。则高应为 分米；
（3）再放入一个同样的圆柱，显然水面高度已经超过 12，有水溢出，此时水面高度应为
12分米。
超越篇
1、有一个棱长为20的大立方体，在它的每个角上按如图所示的方式各做一个小立方体，
于是得到8个小立方体。在这些立方体中，上面 4个的棱长为12，下面4个的棱长为
13。请问：所有这8个小立方体公共部分的体积是多少？
【分析】上面四个立方体的公共部分是一个长方体，其底面积为一个正方形，底面边长为
，高为2；下面四个立方体的公共部分是一个长方体，其底面积也为一个正方形，底面边长为6，高为13。所以这8个立方体的公共部分的也是一个小长方体，
其底面为一个正方形，底面边长为 4，高位 5。所以这个公共部分的体积为：
。
2、地上有一堆小立方体，从上面看时如图1所示，从前面看时如图2所示，从左边看时如
图3所示。这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立
方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？
【分析】顶视图法，从上面往下看的每一部分都应有小立方体，给他们分别以字母标上，
a c
b e
d f
则由图2可知，第一列最大且必须有一个位3个小立方体堆砌而成；
第2列最大只能有1个堆砌而成，即c=1,d=1，第3列，最大为2，且必须有1个为2，则
e=2，或者f=2.
再结合图3，可知，b=3,a=2,e=2,f=1。所以共有a+b+c+d+e+f=2+3+1+1+2+1=10个；
另外，整个表面积为6×10=60平方厘米，其中重复的有：4+2×7=18。所以这堆立方体
所堆成的立体图形的表面积为42平方厘米。
3、（1）已知一个圆锥的底面直径为6厘米，高为4厘米。求它的体积和表面积；（用
表示）
（2）用一个半径为25厘米，圆心角为345.6°的扇形围成一个圆锥。这个圆锥的体积
是多少？如果圆心角是216°呢？（【分析】用 表示）
【分析】
（1）根据题意，圆锥的体积为
立方厘米；
其表面积为底面积与侧面展开面积之和。
底面积为： ；
侧面展开面积为： ，即为： 。
所以其面积之和为： 平方厘米。（2）根据题意，现在知道圆心角，则所围成的圆锥的半径为： ；
所以高为7，则这个圆锥的体积为：
。
如果圆心角为216°，则所围成的圆锥的底面半径为 。
则此时其高为20，其体积为： 立方厘米
4、将图1、图2中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱，这两个立体图形的体积分
别是多少？（图1正中央是一个面积为18平方厘米的正方形，每边上分别有一个腰长
为5厘米的等腰三角形；图2中的图形由三个长方形和两个直角三角形组成。）
【分析】
（1）图1所围成的图形为底面为正方形的四棱锥，其底面积为18，则底面的对角线为6，
所以其高为4，那么所围成的四棱锥的体积为： 立方厘米
（2）图2围成的为底面为直角三角形的三棱柱，底面的面积为6，其高为12，则其体积为
6×12=72立方厘米。
5、一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，如图圆柱体的底面直径和
高都是12厘米。其中有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时，水面离顶部5
厘米。请问：这个容器的容积是多少立方厘米？( 取3.14)
【分析】观察可知，圆锥部分的高度应为11-x，则(11-x):(5-x)=3:1。则x=2.所以圆锥部
分的高度为9。则这个容器的体积为：
立方厘米。6、有一个长方体水池，底面为边长60厘米的正方形。立面插着一根长1米的木桩，木桩
的底面是一个边长15厘米的正方形。木桩有一部分浸在水中，一部分露在水面。现在
将木桩提起来24厘米（仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多
少平方厘米？
【分析】令木棒提起后水面下降 厘米。
则此时浸湿的总高度为25.6厘米。
所以露出水面的木桩的面积为： 平方厘米。
（2009年“数学解题能力展示”高年级复试第14题改编题）（2008年数学解题能力展示
六年级初赛试题）
7、如图是一个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为 18 厘米的正方形，
②③④⑤是同样大的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形。那么，这个容
器的容积是多少毫升？
【分析】
拼成的图形如图所示，其容积为整个长方体的体积减去4个三棱椎的体积。
即为： 毫升。拓展：
（2009年迎春杯高年级复赛试题第 14题）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，
⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形。
那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立
体图形体积的 倍。
(2) (3)
(1)
(4)
(5) (7) (8) (6)
(11)
(9) (10)
本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：
其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体
右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧
面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．
对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立
体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪
些部分．
由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都
用正方体来套．
对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去 、 、
、 )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，
切去 、 )．B C
A
D
B C
A
C
D 1
B
1
B 1 C 1
A D A D
1 1 1 1
假设左图中的立方体的棱长为 ，右图中的立方体的棱长为 ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开
图的立体图形的体积为： ，
以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为 ．
由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面
的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成 4个相同的小等腰直角
三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即 ．
那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体
图形的体积的比为： ，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面
展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．
8、有一个三棱柱和一个正方体，三棱柱的底面是一个等边三角形，边长恰好等于正方体的
面对角线长度，三棱柱的高恰好等于正方体的体对角线长度，如果正方体的棱长为6，
那么三棱柱的体积为多少？
【分析】
如图，所构成的三棱柱的体积为3倍的三棱锥 的体积。
A
C
B
A' C'
B'由于整个三棱柱的底面的边长为正方体的面的对角线长度。
由于上图的三棱锥 与正方体里的 的底面相同。而上图的三棱锥
的高为正方体里的 的3倍。
由于正方体里的 的体积为： 。
所以三棱锥 （上图）的体积为108立方厘米。
则三棱柱的体积为:3×108=324立方厘米。
D
C
A B
C'
D'
A' B'
