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第4讲 浓度问题与经济问题
典型问题
◇ ◇ 兴趣篇 ◇ ◇
1. 200克浓度为15%的盐水中加入50克盐，这时盐水浓度变为多少？然后再加上150克水，
浓度变为多少？最后又加入200克浓度为8%的盐水，浓度变为多少？
答案：32%；20%；16%
【分析】
（3）又加入200g浓度
开始 （1）加入80g盐 （2）再加入水
8%的盐水
盐
（200×15%=3 （30+50）=80g 80g （80+200×8%=96g）
0g）
溶液200g （200+50=250g） （250+150=400g） （400+200=600g）
浓度15% （ （ （
） ） ）
2. （1）在120克浓度为20%的盐水中加入多少克水，才能把它稀释成浓度为10%的盐水？
（2）在900克浓度为20%的糖水中加入多少克糖，才能将其配成浓度为40%的糖水？
答案：（1）120克；（2）300克
【分析】（1）十字交叉法：
120g 20% 10%
10% 故应加入120g水
?g 0% 10%
（2）十字交叉法：
900g 20% 60%
1
40% 故应加入900× =300g糖
3
?g 100% 20%
3. 现有浓度为20%的盐水100克，加入相同质量的盐和水后，变成了浓度为30%的盐水。
请问：加了多少克盐？
答案：25克【分析】加入相同质量盐和水，即加入50%盐水，十字交叉法：
100g 20% 20%
1
30% 即加入了50%盐水100× =50g，也即加入了50×50%=25g盐
2
?g 50% 10%
4. 在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%。再加入多少千克纯酒精，浓
度才能变成50%？
答案：8千克
【分析】先求原有40%酒精的质量
?kg 40% 30%
3
30% 故原有40%酒精5× =15kg，加水后变为30%酒精15+5=20kg
1
5kg 0% 10%
再用十字交叉法：
20kg 30% 50%
2
50% 故再加纯酒精20× =8kg
5
?kg 100% 20%
5. 两个杯子里分别装有浓度为40%与10%的盐水，将这两杯盐水倒在一起混合后，盐水浓
度变为30%。若再 加入300克20%的盐水，浓度变为25%。请问：原有40%的盐水多少
克？
答案：200克
?g 30% 5%
1
25% 300× =300g
1
300g 20% 5%
【分析】先求混合后30%盐水的质量：
40% 20%
30%
10% 10%
再求40%与10%盐水的质量比：
因为两者共300g，所以原有40%的盐水300× =200（g）
6. （1）一部电话的进价是250元，售出价是320元，这部电话的利润率是多少？
（2）一个鼠标的进价是108元，定价是180元，实际上打七五折出售，这个鼠标的利
润率是多少？
（3）一件皮衣的进价是800元，标价是1440元，结果没人来买。店主决定打折出售，但希望利润率不能低于35%，请问：这件皮衣最低可以打几折？
答案：（1）28%；（2）25%；（3）七五折
利润
【分析】（1）利润率= ×100%=
成本
利润
（2）利润率= ×100%=
成本
（3）当利润率为35%时，售价为800×（1+35%）=1080（元）
所以最低折扣为 ，即最低七五折
7. 某商店卖出两件商品，其中一件比进价高10%出售，另一件比进价低10%出售，结果两
件的售出价都是990元。试问：这两种商品售出后，商店是赚了还是赔了？
答案：赔了
【分析】两件进价和为：990÷（（1+10%）+990÷（1-10%）=900+1100=2000（元）
卖出价和为：990×2=1980（元），所以赔了。
8. 甲、乙两种商品，甲商品的成本是125元，乙商品的成本比甲商品低16%，现有以下三
种销售方案：
①甲商品按30%的利润率定价，乙商品按40%的利润率定价；
②甲、乙都以35%利润率定价；
③甲、乙的定价都是155元。
请问：选择哪种方案最赚钱？这时能盈利多少元？
答案：方案（2）；80.5元
【分析】
单位：
成本 ①方案售价 ②方案售价 ③方案售价
（元）
甲 125 125×（1+30%）=162.5 155
125×（1-16%）
乙 105×（1+40%）=147 155
=105
总和 230 162.5+147=309.5 230×（1+35%）=310.5 155×2=310
比较知②方案最赚钱，盈利310.5-230=80.5（元）
9. 一件衣服，第一天按80%的利润率定价，无人来买；第二天在此基础上再打九折，还是
无人来买；第三天再降价96元，终于卖出。已知卖出的价格是进价的1.3倍，求这件
衣服的进价。
答案：300元
【分析】第2天的价格是进价的（1+80%）×90%=1.62（倍），第3天价格是进价的1.3倍，
所以进价为96÷（1.62-1.3）=300（元）
10. 费叔叔有10000元钱，打算存入银行两年。
办法一：存两年期的整存争取定期储蓄，年利率为4.7%，到期后可去取出本金和利息
一共多少元？
办法二：先存一年期的整存整取定期储蓄，年利率为4%；到期后将本金和利息再存一年，最后本金和利息一共多少元？
答案：10940元；10816元
【分析】办法一：10000×（1+4.7%×2）=10940（元）
办法二：10000×（1+4%）×（1+4%）=10816（元）
◇ ◇ 拓展篇 ◇ ◇
1. 一个瓶子内最初装有25克纯酒精，先倒出5克，再加入5克水后摇匀，这时溶液的浓
度是多少？接着又倒出5克，加入5克水，此时溶液的浓度变为多少？
答案：80%；64%
【分析】（1）
（2）
2. 阿奇从冰箱里难处一瓶100%的汇源纯果汁，一口气喝了五分之一后又放回了冰箱。第
二天妈妈拿出来喝了剩下的五分之一，觉得太浓，于是就加水兑满，摇匀之后打算明天
再喝。第三天阿奇拿出这瓶果汁，一口气喝得只剩一半了。他担心妈妈说他喝得太多，
于是就加了些水把果汁兑满。请问：这时果汁的浓度是多少？
答案：32%
【分析】第二天加水后浓度：
第三天加水后的浓度：
3. （1）有浓度为20%的糖水500克，另有浓度为56%的糖水625克，将它们混合之后，糖
水的浓度是多少？
（2）将浓度为75%的糖水32克稀释成浓度为30%的糖水，需加入水多少克？
答案：（1）40%；（2）48克
溶质
【分析】（1）浓度= ×100%=
溶液
（2）十字交叉法：
32g 75% 30%
3
30% 需水32× =48g
2
?g 0% 45%
4. 有浓度为20%的硫酸溶液450克，要配制成35%的硫酸溶液，需要加入浓度为65%的硫酸溶液多少克？
答案：225克
【分析】十字交叉法：
450g 20% 30%
1
35% 需65%硫酸450× =225g
2
?g 65% 15%
5. 有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为63%，42%，28%，其中甲瓶有11千克。先将甲、
乙两瓶中的糖水混合，浓度变为49%；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓
度为35%的糖水。请问：原来丙瓶有多少千克糖水？
答案：66千克
【分析】对甲、乙混合用十字交叉法：
甲 63% 7%
2
49% 故乙溶液有11× =22kg
1
乙 42% 14%
则49%溶液有11+22=33kg，再对49%溶液与丙混合用十字交叉法：
33kg 49% 7%
2
35% 故丙瓶溶液有33× =66kg
1
?g 28% 14%
6. 甲、乙、丙三瓶糖水各有30克、40克、20克，将这三瓶糖水混合后，浓度变为30%。
已知甲瓶的浓度比乙瓶和丙瓶混合溶液的浓度高9%，甲瓶的浓度比乙瓶的浓度高8%。
请求出丙瓶糖水的浓度。
答案：25%
【分析】十字交叉法：
30g 1
甲
30%
· ·
乙、丙混合 60g 2
因为甲比乙、丙混合液浓度高9%，所以十字交叉右边所得两数之和应为9%，
又因为两数之比等于质量比1：2，所以两数分别为3%和6%。
完成的十字交叉如下：
30g 36% 3%
甲
30%
乙、丙混合 60g 27% 6%所以乙瓶浓度为36%-8%=28%
再对乙、丙用十字交叉法：
40g 28%
乙
27%
20g ?% 1%
丙
可知丙的浓度为27%-1%× =25%
7. 如果取40克甲种酒精溶液和60克乙种酒精溶液混合，那么浓度为62%；如果取同样质
量的甲种酒精和乙种酒精混合，那么浓度为61%。请问：甲、乙两种酒精溶液的浓度分
别是多少？
答案：甲56%，乙66%
【分析】40g甲和60g乙混合，可先让40g甲与40g乙混合，再与20g乙混合，也即
80g61%混合液与20g乙混合，利用十字交叉法：
80g 61%
62%
20g ?% 1%
乙
所以乙浓度为62%+1%× =66%
再对等质量，甲、乙混合用十字交叉法：
?% 5%
甲
61%
66%
乙
求出甲浓度为61%-5%× =56%
8. 某台空调按30%的利润率定价，换季促销时打8折售出后，获得了100元利润。
请问：（1）这台空调的成本是多少元？
（2）最后的利润率是多少？
答案：（1）2500元；（2）4%
【分析】（1）这台空调售出时价格是原价的（1+30%）×8%=1.04倍，获利润100元，所
以原价为100÷（1.04-1）=2500（元）
（2）最后利润率为
9. 、 两种商品， 商品成本占定价的80%， 商品按20%的利润率定价。东东的妈妈
一次性购买了1件 商品和1件 商品。商店给她打了九折后，还获利36元。现在知
道 商品的定价为240元，求 商品的定价。答案：200元
【分析】A的定价是成本的1÷80%= 倍，B的定价是成本的1+20%= 倍。
九折后A实际售价是成本的 倍，B实际售价是成本的 倍
B商品获利 （元），故A商品获利36-16=20（元）
那么A商品成本为 （元）
A商品定价 （元）
10. 大超市和小超市出售同一种商品，大超市的进价比小超市的进价便宜10%。大超市按
30%的利润率定价，小超市按28%的利润率定价，大超市的定价比小超市的定价便宜22
元。请问：
（1）大超市这种商品的进价是多少元？
（2）大超市每件商品赚多少元？小超市每件商品赚多少元？
答案：（1）180元；（2）54元，56元
【分析】（1）设小超市进价为“1”，则大超市进价为1×（1-10%）=
大超市定价 ，小超市定价
又两定价相差22元，故小超市进价为 （元），则大超
市进价为 （元）
（2）大超市每件商品赚180×30%=54（元）
小超市每件商品赚200×28%=56（元）
11. 某玩具厂生产某种款式的变形金刚。如果按原定价销售，每个可获利48元。现在打八
八折促销，结果销售量增加了一倍，获得的利润增加了25%。请问：打折后每个变形
金刚的售价是多少元？
答案：132元
【分析】设打折前能卖出A个，那么打折后卖出2A个
打折前获利润48A元，打折后获利润48A×（1+25%）=60A元
因此打折后每个玩具获利润60A÷2A=30（元）
玩具售价为（48-30）÷（1-88%）=150（元）
打折后售价150×88%=132（元）
12. 某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元运费。后来决定将这些苹果的价格降到原定价的70%卖出，这样所得的总利润就只有原计划的 。已知这批苹果的进价
是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元。问：这批苹果一共有多少千克？
答案：500千克
【分析】由题意，苹果售价的30%即是所得利润的 ，所以苹果售价中，利润占30%÷
=45%，成本占1-45%=55%
原计划获利润2700元，所以苹果总成本为2700× （元）
苹果共有（3300-100）÷6.4=500（kg）
◇ ◇ 超越篇 ◇ ◇
1. 有一杯盐水，如果加入200克水，它的浓度就变为原来的一半；如果加入25克盐，它
的浓度则变为原来的两倍。问：这杯盐水原来的浓度是多少？
答案：10%
【分析】加入200g水浓度减半，说明原溶液的质量也是200g，设所求浓度为x%。
十字交叉法：
原溶液 200g x% 100%-2x%
2x%
盐 25g 100% x%
从而得（100-2x）%=8x%，解得x=10，所以原盐水浓度为10%
2. 现有甲、乙、丙三种硫酸溶液。如果把甲、乙按照3:4的质量比混合，得到浓度为
17.5%的硫酸；如果把甲、乙按照2:5的质量比混合，得到浓度为14.5%的硫酸；如果
把甲、乙、丙按照5:9:10的质量比混合，可以得到浓度为21%的硫酸。请求出丙溶液
的浓度。
答案：28%
【分析】由题意，3份甲、4份乙混合成7份17.5%硫酸，而2份甲、5份乙混合成7份
14.5%硫酸，于是5份甲、9份乙可看成是由17.5%硫酸和14.5%硫酸各7份混合而
成的。
那么，甲、乙以5∶9混合所得溶液浓度为（17.5%+14.5%）÷2=16%，再将此混合
液与10份丙混合，应用十字交叉法：
甲、乙5∶9混合液16%
21%
2% 5%
丙
所以丙浓度为21%+5%× =28%3. 甲桶中有若干千克纯水，乙桶中有若干千克纯酒精。第一次从甲桶往乙桶倒水，使得乙
桶中液体的质量增加2倍；第二次从乙桶往甲桶倒，使乙桶中液体的质量减少四分之一；
第三次再从甲桶往乙桶倒，使甲桶中液体的质量减小五分之一。最后甲桶中液体的质量
恰好等于最初乙桶中液体的质量。请问：最后甲、乙两桶中液体的液体分别等于什么？
答案：甲20%，乙32%
【分析】
最初 第一次倒完 第二次倒完
甲桶 xkg水 （x-2y）kg水
x-2y+ =（ ）kg水， kg酒精
乙桶 ykg纯酒精 2ykg水，ykg酒精
kg水， kg酒精
由于第三次倒完后甲桶质量等于开始乙桶质量，有：
，整理得 ，解得
于是最终甲桶浓度为：
乙桶浓度为：
4. 有甲、乙、丙3瓶酒精溶液，它们的质量比是3:2:1。如果把两瓶酒精混合后再按原来
的质量分配到各自的瓶中，称为一次操作。现在先对甲、乙两瓶酒精进行一次操作，再
对乙、丙两瓶酒精进行一次操作，最后对丙、甲两瓶酒精进行一次操作。三次操作后，
甲、乙两瓶溶液的浓度分别是67%和61%。求最初溶液的浓度。
答案：45%
【分析】注意到每次操作后，两瓶酒精浓度相等，由已知条件有：
浓度 第三次操作后 第二次操作后 一次操作后 开始
甲 67% a%=69% 69%
乙 61% 61% 69%
丙 67% 61% b%=45% 45%
依次用十字交叉法完善上表即可：
a% 6%
甲
1
先填a处： 67% 解得a=6× +67=69
3
61% (a-67)%
丙69% （61-6）%
乙
2
再填b处： 61% 解得b=61-8× =45
1
b% 8%
丙
所以，开始丙浓度也为45%
5. 水果店进了一批水果，希望卖出去之后得到50%的利润。当售出六成数量的水果时，由
于天气原因水果无法保存，于是商店决定打折处理，结果还是有一成数量的水果烂了，
最总只得到了所期望利润的34%。请问：商店打折处理时打了几折？
答案：六折
【分析】设水果成本为“1”，则原计划利润为0.5，实际所得利润为 =17%=0.17
所得总钱数为1.17，而卖出前三成水果共得钱数（1+50%）×0.6=0.9，因此后三成
水果共卖得钱数1.17-0.9=0.27，打折后售价为0.27÷30%=0.9
所以商店处理折扣为 ，即打3折。
6. 某商店将甲、乙两种奶糖混合在一起。甲种每份100克，售价1.65元；乙种每份100
克，售价1.2元。原来打算将甲种的两份混合到乙种的一份中去，后来改变混合的方式，
将甲种的一份混合到乙种的两份中去。问：顾客买10千克这种奶糖能比原来省多少元
钱？
答案：15元
【分析】原方案中，每买10千克，有 千克甲和 千克乙，共花
（元）现方案中，每买10千克，有 千克甲和 千克乙，共花
（元），省150-135=15（元）
7. 有甲、乙、丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度则是丙的4倍。如果把乙溶液倒
入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降2.4%；如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使
乙溶液的浓度比原来下降2.25%；如果把甲、丙两瓶溶液混合，则混合液的浓度正好等
于乙溶液的浓度。请问：甲、乙、丙三瓶溶液的重量比是多少？它们的浓度分别是多少？
答案：3：2：6；甲10%，乙4%，丙1%
【分析】先对甲、乙用十字交叉法：
甲 （6-2.4）%=3.6%
可以直接得出甲、乙质量比为3∶2
2.4%
乙
不妨设甲、乙、丙浓度依次为（4x+6）%，4x%，x%；甲、乙、丙质量比为
3∶2∶y
对甲、丙用十字交叉法：甲（4x+6）% 3x%
3x 3
4x% 从而得 = ，整理得xy=6
6 y
x% 6%
丙
对乙、丙用十字交叉法：
4x% （3x-2.25）%
乙
（4x-2.25）%
x% 2.25%
丙
从而得 ，解得
所以甲、乙、丙重量比为3∶2∶6，浓度依次为10%、4%、1%
8. 商店进了一批商品，按40%加价出售。在售出八成后，为了尽快销完，决定五折处理剩
余商品，而且商品全部出售后，突然被征收了150元的附加税，这使得商店的实际利润
率只是预期利润率的一半，那么这批商品的进价是多少元？（注：附加税算作成本）
答案：3000元
【分析】设这批商品成本为“1”，则预期利润率为40%，实际利润率为40%× =20%
商店销售所得钱数为（1+40%）×0.8+（1+40%）×50%×（1-0.8）=1.26
征收150元附加税后，利润率减少为20%，由于附加税计入成本，所以商店的利
润减少，成本增加，计入附加税后的成本为
所以原成本为 （元）
