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第八章 立体几何初步
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
一、基础巩固
1.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体 .正四棱锥
的高为 ， ， ，则该组合体的表面积为（ ）
A．20 B． C．16 D．
【答案】A
【详解】
由题意，正四棱锥 的斜高为 ，该组合体的表面积为
.
2．一个正四棱锥的底面边长为2，高为 ，则该正四棱锥的全面积为
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【详解】由题得侧面三角形的斜高为 ，
所以该四棱锥的全面积为 .
3．如图所示，已知正三棱柱 的所有棱长均为1，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，
因此，三棱锥 的体积为 ，
3.把正方形 沿对角线 折起，当以 四点为顶点的棱锥体积最大时，直线 和平面
所成的角的大小为（ ）
A．90° B．60 C．45° D．30°
【答案】C
【详解】
记正方形 的对角线 与 交于点 ，
将正方形 沿对角线 折起后，如图，当 平面 时，三棱锥 的体积最大.
为直线 和平面 所成的角，
∵因为正方体对角线相互垂直且平分，
所以在 中， ，
∴直线 和平面 所成的角大小为45°.
4.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积 ．故选 .
5.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，圆柱的体积V=πR2•2R=2πR3，
外接球的半径为 ，故球的体积为： ，
故外接球的体积与该圆柱的体积的比值为 .
6．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖
也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱 ，
EF//平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为（ ）
A．6 B． C． D．12
【答案】B【详解】
如图，作FN//AE，FM//ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，
因为EF与平面ABCD的距离为2，
所以四棱锥F-NBCM的高为2，
所以V = S
四棱锥F-NBCM NBCM
V =S
棱柱ADE-NMF 直截面
所以该刍甍的体积为V=V +V = .
四棱锥F-NBCM 棱柱ADE-NMF
故选：B
7.已知三棱锥P-ABC满足：PC=AB= ，PA=BC= ，AC=PB=2，则三棱锥P-ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为PC=AB= ，PA=BC= ，AC=PB=2，
构造长方体如图所示：则 为长方体的面对角线，
设 ，则 ，
解得 ，所以三棱锥P-ABC的体积为：
长方体的体积减去三棱锥 的体积,
即 ，
8.如图所示，网格纸上每个小正方形的边长为 ，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积
为（ ）
A．
B．
C．D．
【答案】C
【详解】
根据三视图可还原为三棱锥，如图 ，取 中点 ，连接 ，
由三视图可得， 平面 ，且 ， ， ，
， ，
，
， ，
该四面体的表面积为 .
9.在直三棱柱 中， ， ，则点 到平面 的距离为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】为边长为 的等边三角形
，又 平面
，
中 边上的高
设点 到平面 的距离为
，解得：
10.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．
天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则该处的平地降
雨量（盆中积水体积与盆口面积之比）为（ ）（台体体积公式：V ＝ ， ，
台体
分别为上、下底面面积，h为台体的高，一尺等于10寸）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】
解：由题意可得：池盆盆口的半径为14寸，盆底半径为6寸，盆高为18寸，因为积水深九寸，故水面半径为 寸，
则盆中水的体积为 (立方寸)，
故该处的平地降雨量为： (寸)，
11．在正方体ABCDABC D 中，三棱锥DABC的表面积与正方体的表面积的比为( )
1 1 1 1 1 1
A．1∶1 B．1∶
C．1∶ D．1∶2
【答案】C
【详解】
设正方体ABCD-A B C D 的棱长为a，则正方体ABCD-A B C D 的表面积为S=6a2，且三棱锥D-AB C
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
为各棱长均为 的正四面体，
其中一个面的面积为 所以三棱锥D-AB C的表面积为：
1 1
所以三棱锥D-AB C的体积与正方体ABCD-A B C D 的表面积之比为：
1 1 1 1 1 1
．
二、拓展提升
13．如图，已知 是棱长为 的正方体.（1）求证：平面 平面 ；
（2）求多面体 的体积.
【答案】（1）见解析；（2） .
【详解】
（1）由已知，在四边形DBB D 中，BB∥DD 且BB＝DD ，
1 1 1 1 1 1
故四边形DBB D 为平行四边形，即DB∥DB，
1 1 1 1
∵DB⊄平面DBC1，∴DB∥平面DBC ；
1 1 1 1 1
同理在四边形ADC B 中，AB∥DC ，
1 1 1 1
同理AB∥平面DBC ，
1 1
又∵AB∩DB＝B，
1 1 1 1
∴平面ABD∥平面BDC ．
1 1 1
（2）在正方体中， ，
又正方体的体积为V=8，
∴所求多面体 的体积=814．如图，正方体 的棱长为 ,连 得到一个三棱锥.求:
（1）三棱锥 的表面积与正方体的表面积之比；
（2）三棱锥 的体积.
【答案】（1） （2）
【详解】
如图所示:（1）由图可知,三棱锥 为正四面体,且棱长为
所以三棱锥 的表面积为
正方体 D的表面积为
所以三棱锥 的表面积与正方体 D的表面积之比为
（2）因为三棱锥 的体积等于正方体的体积减去四个等体积的三棱锥的体积,
所以棱锥 的体积为: .
15.如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且
，求该四棱锥的侧面积和表面积．【答案】 ，
【详解】
如图， ， 在 中， ．
，E为BC的中点，
侧棱长都相等，
，
