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空间向量和立体几何高考复习专题十三
知识点一 多面体与球体内切外接问题,由导数求函数的最值（不含参）,棱锥表面积的
有关计算
典例1、在高为 、底面半径为 的圆锥内作一内接圆柱体．则圆柱体的半径 为多大时：
（1）圆柱体的体积最大？ （2）圆柱体的表面积最大？
随堂练习：如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为5，该纸片上的正方形 的中心为
， ， ， ，
为圆 上的点， ， ， ， 分别是以 ， ， ，
为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 ， ， ， 为折痕
折起 ， ， ， ，使得 ， ， ， 重合，得到四棱锥，
设 ．
（1）试把四棱锥的体积 表示为 的函数； （2） 多大时，四棱锥的体积最大？典例2、如图，在几何体 中，底面 为以 为斜边的等腰直角三角形.已知平
面 平面 ，平面 平面 平面 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，设 为棱 的中点，求当几何体 的体积取最大值时
与 所成角的正切值.随堂练习：如图，已知 是以 的直角三角形铁皮， 米， 分
别是边 上不与端点重合的动点，且 .现将 铁皮沿 折起至
的位置，使得平面 平面 ，连接 ，如图所示.现要制作
一个四棱锥 的封闭容器，其中 铁皮和直角梯形 铁皮分别是
这个封闭容器的一个侧面和底面，其他三个侧面用相同材料的铁皮无缝焊接密
封而成（假设制作过程中不浪费材料，且铁皮厚度忽略不计）．
（1）若 为 边的中点，求制作三个新增侧面的铁皮面积是多少平方米？
（2）求这个封闭容器的最大体积．
典例3、蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截
去三个相等的三棱锥 ， ， ，再分别以 ， ， 为轴
将 ， ， 分别向上翻转 ，使 ， ， 三点重合为点 所围成
的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来
刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面
体的面的内角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值．
随堂练习：双层的温室大棚具有很好的保温效果，某农业合作公司欲制作这样的大棚用
于蔬菜的种植，
如图（1）所示，工人师傅在地面上画出一个圆，然后用钢丝网编织出一个网状空心球
的上部分钢结
构，使得地面上的圆为空心球的一个截面圆，同时在其外部用塑料薄膜覆盖起来作外部
保温.如图（1）
所示，用塑料薄膜覆盖起来的内部保温层钢结构为一个圆柱面 ，制作方法如下：工
人师傅将圆柱
面 的下底面圆 置于球O在地面上的截面圆内（可与截面圆重合），把下底面的圆
心 固定在球
O在地面上截面圆的圆心位置上，圆柱面 的上底面圆 的圆周固定在球的内壁上，
已知球O的半
径为3．如图（2），取圆柱 的轴截面为矩形PQRS， ．
（1）设 为圆 上任意一点，RO与底面所成的角为 ，将圆柱 体积V表示为 的函数并判断 的范围； （2）求V的最大值．
知识点二 证明线面平行,面面角的向量求法
典例4、如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形， ， 平面
， ，且 ，E，F分别为 ， 的中点．
（1）证明： 面ABCD；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
随堂练习：已知将圆柱 沿着轴截面 分割，得到如图所示的几何体，若四边形
是边长为2的正方形，E，F分别是 上的点，H是 的中点， 与
交于点O， ．（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值．
典例5、四棱雉 中， 平面 ， 底面 是 等腰梯形，
且 ， 点 在棱 上.
（1）当 是棱 的中点时， 求证: 平面 ;
（2）当直线 与平面 所成角 最大时， 求二面角 的大小.随堂练习：在如图所示的圆柱 中， 为圆 的直径， 、 是 的两个三等分点，
、 、 都是圆柱 的母线．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值．
典例6、如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，
，M，N分别是对角线BD，AE上异于端点的动点，且 ．
（1）求证：直线 平面CDE；
（2）当MN的长最小时，求二面角A-MN-D的正弦值．随堂练习：如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F
在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面 平面
ABC．已知 ， ，
（1）证明： 平面ABD；
（2）若 ，求二面角 的余弦值．
空间向量和立体几何高考复习专题十三答案典例1、答案】：（1） ；（2） .
解:（1）当圆柱的底面半径为 时，设圆柱体的高为 ，
可得 ，所以 ，
圆柱的体积 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以圆柱的最大体积为 .
（2）由（1）可得：圆柱体的表面积
则 ，
①当 时， ，所以 在 上是增函数，所以函数 没有最大
值；
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以当 时， 取得最大值 ．随堂练习：答案： （1） ；（2） ．
解：（1）连接 ，交 于点 ，
， ， 四棱锥的高 ，
∴ ．
（2） ， 令 ， ，
， 令 得 ， 当 时， ， 在
上递增，
当 时， ， 在 上递减，
∴当且仅当 时， 有最大值， ．
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）6
解：（1）过点 作 交 与点 ，
平面 平面 ，且两平面的交线为
平面 又 平面
又 且 平面
（2）过点 作 交 与点 ,连接平面 平面 ，且两平面的交线为
平面 又 平面 到平面 的距离相等
且 ， 平面
又 ， 令
则 ， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，当且仅当 时取得最大值.
如图所示，以点 为原点建立空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 .
设 与 所成角为 ，则 ，则 ，即当几何体 体积最大时， 与 所成角的正切值为6.
随堂练习：答案：（1） （2）
解:（1）由于 ，且 ，则 ，即 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 ，
易得 ，又 为 边的中点，
则 米， 米，
于是得 米， 米， 米，
取 的中点为 ，则 ，且 米，
则 （平方米）， （平方米），
（平方米），
故制作三个新增侧面的铁皮面积是 平方米．
（2）依题意，设 米，则 米，且 ．
由 ，知 与 相似，则 ，得 米．
由（1）知， 底面 ，
则四棱锥 的体积 （ ），
则 ，易知 在 上单调递增，在 上单调递减，则 立方
米．
故这个封闭容器的最大体积是 立方米．
典例3、答案： （1） ；（2） ；
解:（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的 7个顶点的曲率之和，根据定义其度
量值等于 减去三个菱形的内角和 ，再减去6个直角梯形中的两个非
直角内角和 ，
即蜂房曲顶空间的弯曲度为 .
（2）设底面正六边形的边长为1， 如图所示，连接AC，SH，则 ，
设点 在上底面ABCDEF的射影为O，则 ,
令 ，则 ， 菱形SAHC的面积 ，
的面积为 ，
令正六棱柱的侧面积为定值 时， 蜂房的表面积为 ，，令 得到 ，
经研究函数 的单调性， 得到函数 在 处取得极小值，
此时 ， 在 中，令 ，
由余弦定理得 , 顶点 的曲率为 ，
其余弦值为 .
随堂练习：答案： （1） ， （2）
解：（1）由题意， ， ，
所以 ，
即 ，
（2）当P、Q点落在球面被地面所截得的圆周上时，RO与地面所成的角 取得最小
值为 ，
此时 ，所以 ，所以 ；
因为 ，所以令 ，
，所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 在 时单调递减，
所以 时， ．
典例4、答案： （1）证明见解析； （2） .
解：（1）证明：取 的中点G，连接EG，FG，AC，
因为 ， 平面ABCD， 平面ABCD， 所以 平面ABCD，
因为 ， ，所以四边形AGFC是平行四边形，
，又 平面ABCD， 平面ABCD， 所以 平面ABCD，
因为 ， 平面 , 所以平面 平面ABCD，
因为 平面ABCD，所以 平面ABCD．
（2）设 ，
由 ，得 ，且 ，
由题意知CA，CB， 两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB， 所在
直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 ，取 ，得 ，
连接BD，因为 ， ， ，所以 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2） .
解：（1）证明：由题意知 ，又 ，所以H为 的中点．
连接 ，因为 为 的中点，所以 ．
又 平面 , 平面 , 所以 平面 ；
易知 ，又 平面 , 平面 , 所以 平面
又 平面 ， 所以平面 平面 ．
又 平面 ，所以 平面 ．
（2）连接 ，由题意知 平面 ，故以F为坐标原点，
以 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知 ， 所以
．
设平面 的法向量为 ．
则 即 ，得 ，令 ，则 ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，得 ，令 ，则 ，所以 ．
故 ．
所以平面 与平面 所成角的余弦值 ．
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）取 中点 ， 的中点为 ， ，且
，
∴四边形 是平行四边形， ， 平面 ， 平面
；（2）等腰梯形 中， ，
作 于 ，则 中，
由余弦定理得， ， ，即 ，
底面 ，则 两两垂直
如图，以 为原点， 为 轴、 轴、 轴为正方向建立空间直角坐标
系，
则 ， ，
设平面 法向量 ，则
∴平面 的一个法向量 ，
设 ，则 ，
，
，∴当 时， 取得最大值，
，
设平面 法向量 ，则
∴平面 的一个法向量 ，设平面 法向量 ，则 ，
∴平面 的一个法向量 ，
， ∴二面角 的大小为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：连接 、 ， 在圆柱 中， 为圆 的直径， 、 是 的两
个三等分点，
则 ，且 ，
故 、 、 均为等边三角形，
所以，在底面 中， ，则 ，
平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 、 、 都是圆柱 的母线，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，因此， 平面 .
（2）连接 ，因为 是边长为 的等边三角形，则 ，
因为 ，由余弦定理可得 ，
， ，
因为 平面 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、
、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，所以， ，
由图可知，二面角 为锐角，因此，二面角 的余弦值为 .
典例6、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）过N作 与ED交于 点，过M作 与CD交于 点，连接
．
由已知条件 ，可知矩形ABCD与矩形ADEF全等．
∵ ， ，
∴ ∴
又 ，则四边形 为平行四边形， 所以 ．
∵ 平面CDE， 平面CDE， ∴ 平面CDE．
（2）由平面ABCD⊥平面ADEF，平面 平面 ，又 平面ADEF，AF⊥AD， ∴AF⊥平面ABCD．
以A为原点，分别以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
过M点作MG⊥AD，垂足为G，连接NG，易知NG⊥AD，设
可得 ， ， ∴ ，
可知当 时，MN长最小值为 ． 此时 ， ，
又 ， ， ∴ ， ，
设平面AMN的法向量为 ， 由 可得 ，
令 ，可得
设平面MND的法向量为 ， 由 可得 ，
令 ，可得 ∴ ，
∴ 则二面角A-MN-D的正弦值为 ．
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2） .
解：（1）证明：过D作 ，垂足为G，∵平面 平面ABC，平面 平面 ， 平面DEF，
∴ 平面ABC，∵ 平面ABC，∴ ，
∵E是等腰直角三角形ADC斜边AC的中点，
∴ ，又 ，DE， 平面DEF，
∴ 平面DEF，∵ 平面DEF，∴ ，
∵ ，∴ ， ∵ 平面ABD， 平面ABD，∴ 平面
ABD．
（2）由题意可知，在等腰直角三角形ADC中， ∵ ，∴ ，
由（1）可知，EF为直角三角形BAC的中位线，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ．
以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面CDF的法向量
，
则 ， ， ， ， ，
由 得 ，令 ，则 ，
显然，平面ABC的法向量 ， ． 二面角 的
余弦值 ．
