考点26同角三角函数的基本关系及诱导公式（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新

考点 26 同角三角函数的基本关系及诱导公式 【命题解读】 理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ＋α(k Z)，－α，π±α，±α]．能运用诱导公式将任意角的三角函 数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 【基础知识回顾】 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)． 2．诱导公式 一 二 三 四 五 六 2kπ＋ π＋α －α π－α －α ＋α α(k∈Z) sin α －sin α －sin α sin_α cos_α cos_α cos α －cos α cos α － co s_α sin_α － si n_α tan α tan α －tan α － ta n_α 3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下： 即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法． 4、三角形中的三角函数关系式 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC； cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC； tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC； sin＝sin＝cos； cos＝cos＝sin.1、 是第三象限角，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 是第三象限角，且 ， 所以 ，所以 ，故选B。 2、已知 ，则 （ ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【解析】化简 所以 ，故选B。 3、sin 600°＋tan 240°的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】：C 【解析】：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60° ＝－＋＝． 4、已知sin＝，则cos等于( ) A. B. C．－ D．－ 【答案】：B 【解析】：因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝. 5、化简：的值为（ ） A. B. C. D.【答案】：B 【解析】：原式＝＝＝＝－1． 6、 sin ·cos ·tan的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】： A 【解析】：原式＝sin·cos·tan＝·· ＝××(－)＝－. 考向一 三角函数的诱导公式 例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝． (1)若cos＝，求f(α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f(α)的值． 【解析】：f(α)＝＝－cosα． (1) ∵ cos＝－sinα＝，∴ sinα＝－． ∵ α是第三象限的角， ∴ cosα＝－＝－． ∴f(α)＝－cosα＝． (2) f(α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－． 变式1、角 的终边在直线 上，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角 的终边在直线 上， ， 则 ，故选C。 变式2、 已知sin(3π＋θ)＝，则＋ ＝__ __．【答案】18 【解析】 ∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝，∴sinθ＝－， ∴原式＝＋ ＝＋ ＝＋＝＝＝＝18. 变式3、已知f(α)＝(sin α≠0且1＋2sin α≠0)，则f＝________. 【答案】 【解析】∵f(α)＝ ＝＝＝， ∴f＝＝＝＝. 方法总结：1、熟知将角合理转化的流程 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名． (2)用诱导公式，统一角． (3)用因式分解将式子变形，化为最简． 考向二 同角函数关系式的运用 例2 (1)若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为_ __． (2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为__ __． 【答案】（1）－.（2）. 【解析】 (1)由tanα＝－，得sinα＝－cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知 cosα＜0，∴cosα＝－，sinα＝，故sinα＋cosα＝－. (2)∵＜α＜，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－ 2×＝，∴cosα－sinα＝. 变式1、若3sinα＋cosα＝0，则＝ ___． 【答案】. 【解析】 (1)3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－，＝＝＝＝. 变式2、(1)若tan(α－π)＝，则＝( ) A.－ B.－2 C. D.2 (2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( ) A.－ B. C.－ D. 【答案】 (1)D (2)D 【解析】(1)tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tan α＝，＝＝＝＝2. （2）sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝， 又tan θ＝2，故原式＝＝. 方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利 用＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的 应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二． 所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求 解能力，考查函数与方程思想． 考向三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例3、已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值． 【解析】：因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)， 由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0， 所以sin(75°+α)= ． 1 因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cos(75°+α)=- ， 3 所以cos(15°-α)+sin(α-15°)= ． 变式1、已知sin(3πα)= cos ， cos(α)= cos(π+β)，0<α<π，0<β<π，求α，β的值． 【解析】：由已知等式可得sin α= sin β，① cos α= cos β．② 2 两式平方相加，得sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2，即sin2α+3(1-sin2α)=2，则sin α=± ． 2 2  3 又因为0<α<π，所以sin α= ，α= 或 ． 2 4 4  1 3 当α= 时，由①②可得sin β= ，cos β= ， 4 2 2  又0<β<π，所以β= ; 63 1 3 当α= 时，由①②可得sin β= ，cos β=- ， 4 2 2 又0<β<π，所以β= ． 故 或 ． 方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活 使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 3 1、（2016新课标卷3，理5）若tan ，则 4 cos22sin2 64 48 16 (A) (B) (C) 1 (D) 25 25 25 【答案】A 3 3 4 3 4 【解析】由tan ，得sin ,cos 或sin ,cos ，所以 4 5 5 5 5 16 12 64 cos22sin2 4  ，故选A． 25 25 25 1 2、（2016全国课标卷3，文6）若tan ，则 （ ） 3 cos2 4 1 1 4 （A） （B） （C） （D） 5 5 5 5 【答案】D sincos 1 3、(2012江西)若  ，则tan2α=（ ） sincos 23 3 4 4 A．− B． C．− D． 4 4 3 3 【答案】B 【解析】分子分母同除 得： ∴ ， ∴ 4、在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角． 【解析】 由已知得 ①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±. (1)当cosA＝时，cosB＝， 又A、B是三角形的内角，∴A＝，B＝， ∴C＝π－(A＋B)＝π. (2)当cosA＝－时，cosB＝－. 又A、B是三角形的内角， ∴A＝π，B＝π，不合题意． 综上知，A＝，B＝，C＝π. 5、已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求： (1)＋的值； (2)m的值； (3)方程的两根及此时θ的值． 【解析】 (1)原式＝＋＝ ＋＝＝sinθ＋cosθ. 由条件知sinθ＋cosθ＝，故＋＝. (2)由已知，得sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝， 又1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，可得m＝. (3)由得 或又θ∈(0，2π)，故θ＝或θ＝.