空间向量与立体几何——2025届高考数学二轮复习易错重难提升新高考版（含解析）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习

（7）空间向量与立体几何 ——2025 届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】 易混重难知识 1.柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积公式 （ 为底面面积， 为高）， （ 为底面半径， 柱体 为高） 锥体 （ 为底面面积， 为高）， （ 为底面半 径， 为高） （ 分别为上、下底面面积， 为高）， 台体 （ 分别为上、下底面半径， 为高） 2.球的表面积和体积 （1）球的表面积：设球的半径为 ，则球的表面积为 ，即球的表面积等于它的大圆 面积的4倍. （2）球的体积：设球的半径为 ，则球的体积为 . 3.异面直线所成的角： （1）定义：已知两条异面直线 ，经过空间任一点 分别作直线 ，我们把 与 所成的角叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）. （2）异面直线所成的角 的取值范围： .（3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即 时， 与 互相垂直， 记作 . 4.直线和平面所成的角 有关概念 对应图形 一条直线 与一个平面 相交，但不与这个平面 斜线 垂直，图中直线 . l P 斜足 斜线和平面的交点，图中点 . A α O 过斜线上斜足以外的一点 向平面 引垂线 ， 射影 过垂足 和斜足 的直线 叫做斜线在这个平面 内的射影. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角； 直线与 平面所 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 成的角 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是 的角. 取值范 围 5.二面角的概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫 概念 做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 面 β 棱 β 面 Q α 图示 l B A l α P 棱为 ，面分别为 的二面角记为 . 记法 也可在 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ，记作二面角 . 在二面角 的棱 上任取一点 ，以点 为垂足，在 文字 半平面 和 内分别作垂直于棱 的射线 和 ，则这两 条射线构成的角 叫做这个二面角的平面角. 平面角 β 图示 B α A O l 符号 ， ， ， ， ， ，是二面角 的平面角. 范围 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角 是多少度，就说这个二面角是多少度. 规定 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 6.空间中直线、平面的平行 ①直线与直线平行：设 ， 分别是直线 ， 的方向向量，由方向向量的定义可知，如果 两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那 么这两条直线也平行，所以l l u u R，使得 . 1 2 1 2 ②直线与平面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面 的法向量， ，则 . ③平面与平面平行：设 ， 分别是平面 ， 的法向量，则 ， 使得 . 7.空间中直线、平面的垂直 ①直线与直线垂直：设直线 ， 的方向向量分别为 ， ，则 . ②直线与平面垂直：直线l的方向向量为u，平面 的法向量为n，则 ，使得 . ③平面与平面垂直：设平面 ， 的法向量分别为 ， ，则 . 8.点到直线的距离 如图，向量 在直线l上的投影向量为 ，设 ，则向量 在直线l上的投影向量 . 在 中，由勾股定理，得 .9.点到平面的距离 如图，已知平面 的法向量为n，A是平面 内的定点，P是平面 外一点. 过点P作平面 的垂线l，交平面 于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面 的距离就是 在直 线l上的投影向量 的长度. 因此 . 10.异面直线所成的角 若异面直线 ， 所成的角为 ，其方向向量分别是u，v，则 . 11.直线与平面所成的角 直线AB与平面 相交于点B，设直线AB与平面 所成的角为 ，直线AB的方向向量为u， 平面 的法向量为n，则 . 12.二面角 若平面 ， 的法向量分别是 和 ，则平面 与平面 的夹角即为向量 和 的夹角或其 补角.设平面 与平面 的夹角为 ，则 . 易错试题提升 1.已知圆锥的母线为6，底面半径为1，把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为 ，则圆台的侧面积为( ) A. B. C. D. 2.设m，n是不同的直线， ， 是不同的平面，则下列命题正确的是( ) A.若 ， ， ，则 B.若 ， ， ，则 C.若 ， ， ，则 D.若 ， ， ，则 3.如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面 边长为 ，下底面边长为 ，侧棱长为 ，则该款粉碎机进物仓的容积为( ) A. B. C. D. 4.如图，将正四棱柱 斜立在平面 上，顶点 在平面 内， 平面 ， .点P在平面 内，且 .若将该正四棱柱绕 旋转，则PC的最大值为 ( )A. B. C. D. ABCABC 5.如图，在直三棱柱 1 1 1中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱AB， ， 的中点，则异面直线DF与 所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 6.在三棱锥P ABC 中， ，E为线段AP上更靠近P的三等分点，过点E作平行 于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥P ABC 所得截面的周长为( ) A.5 B.6 C.8 D.9 7.在四边型ABCD中（如图1所示）， ， ， ，将四边 形ABCD沿对角线BD折成四面体 （如图2所示），使得 ，则四面体 外接球的表面积为( )A. B. C. D. 8.已知四面体 的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上， 为等边三角形， ， ，且 ，则二面角 的正切值为( ) A. B. C. D. 9.（多选）如图，在棱长为2的正方体 中，Q为线段 的中点，P为线段 上的动点（含端点），则下列结论正确的有( ) A.P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体 所得的截面的面积为 B.存在点P，使得平面 平面 C. 的最小值为D.三棱锥 外接球表面积最大值为 4 3 AB  10.（多选）如图1，在菱形ABCD中， 3 ，BAD60，沿对角线BD将△ABD折 起，使点A，C之间的距离为2 2，如图2，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列 说法正确的是( ) A.平面 平面BCD 14 B.当 AQ QC ， 时，点D到直线PQ的距离为 14 C.线段PQ的最小值为 6 D.当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为 4 11.已知向量 ， ，且 与 平行，则 _________. 12.已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上， 是边长为3的等边三角形， 平面 ABC，则 ______________. 13.在四棱锥 中，底面ABCD是边长为 的正方形，P在底面的射影为正方形的 中心O， ，Q点为AO中点.点T为该四棱锥表面上一个动点，满足PA、BD都平行于 过QT的四棱锥的截面，则动点T的轨迹围成的多边形的面积为__________________.14.如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为O， ，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱 的三条侧棱均为圆柱的母线，且 ，点P在轴 上运动. （1）证明：不论P在何处，总有 ； （2）当P为 的中点时，求平面 与平面 夹角的余弦值. 15.如图，等腰梯形ABCD中， ， ， ，现以AC为折痕把 折起，使点B到达点P的位置，且 . (1)证明：平面 平面ACD；(2)M为PD上的一点，若平面ACM与平面ACD的夹角的余弦值为 ，求点P到平面ACM 的距离.答案以及解析 1.答案：C 解析：假设圆锥半径R，母线为l，则 .设圆台上底面为r，母线为 ，则 由已知可 得， ，所以 . 如图，作出圆锥，圆台的轴截面则有 ，所以 . 所以圆台的侧面积为 ， 故选：C. 2.答案：D 解析：对于A，若 ， ， ，则直线m与n可能相交，也可能平行，还可能是异 面直线，A错误； 对于B，若 ，则 ，B错误； 对于C，若 ，直线m与n可能平行， 如直线m，n都平行于 ， 的交线，且 ， ，满足条件，而 ，C错误； 对于D，若 ， ，则 ，又 ，因此 ，D正确.故选：D 3.答案：C 解析：画出满足题意的正四棱台 ，如图所示， 则 ， .过点D作 于点E，则 ， ，所以该正四棱台的容积为 .故选C. 4.答案：D 解析：过点C作 ，垂足为E，连接AC，可知 平面 ， 所以点C到平面 的距离为 ， 由题意 ， ， ， 过点C作 平面 ，垂足为 ， 因为点P在平面 内，且 ，即点P在以 为圆心， 为半径的圆上， 当 ， ，P三点共线时，且 时，PC取最大值，最大值为 . 故选：D. 5.答案：D 解析：连接BF，因为在直三棱柱 中，E，F分别是棱BC， 的中点， 故 ， ，即四边形 为平行四边形， 所以 ，则 即为异面直线DF与 所成角或其补角； 直三棱柱 中，所有棱长都相等，设其棱长为2， 连接EF，DE，则 ， ，而 平面ABC，故 平面ABC， 平面ABC，故 ， D是棱AB的中点，故 ，则 ， 而 ，又 ，故在 中， ， 由于异面直线所成角的范围为大于 ，小于等于 ， 故异面直线 与 所成角的余弦值是 ， 故选：D 6.答案：B 解析：如图所示，在三棱锥 中，过点E分别作 ，EH//PC，再分别过点F， H作 ，FG//PC ，可得E，F，G，H四点共面，所以 ，EH//FG .因为 平面EFGH ， 平面 ，所以 平面 .同理可证 平面 ，所以截 面即为平行四边形 .又因为E为线段AP上更靠近P的三等分点，且 ，所 以 ， ，所以平行四边形 的周长为 .故选B. 7.答案：D解析： ， ， ， 又 ，则 ， ， 可知 ，则 ， 取 的中点O，连接BO，DO，则 ， 所以点O为四面体 外接球的球心， 则外接球的半径为： ， 所以四面体 外接球的表面积 . 故选：D. 8.答案：A 解析：取 的中点E，连接 ， ， 为等边三角形， ， ， ， 平面 ， 又 平面 ， ， 由题意得， ， ，又 ，， ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， 平面 平面 ， 易知 ，则 ，故 为等腰直角三角形， 综上，四面体 的球心O为 的中心，即点O是 上靠近E的三等分点. 以E为原点， ， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标 系， 则 ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 即令 ，则 ， ， ， 又平面 的一个法向量 ， 二面角 的余弦值为 ， 二面角 的正弦值为 ，故二面角 的正切值为 . 9.答案：AD 解析：A选项：连接 ， ， 由三角形中位线性质和正方体性质可知， ，且 ，所以过D，P，Q三点的截面为梯形 ， 易知 ， ， 作 ，则 ， ， 所以梯形 的面积 ，A正确；B选项：若存在点P，使得平面 平面 ，则由平面 平面 ， 平面 平面 可知 ，显然DQ， 不平行，故B错误； C选项：将侧面展开如图，显然当Q、P、D三点共线时， 取得最小值，最小值为 ，C错误； D选项：由题知， ， ， 两两垂直，所以三棱锥 外接球， 即为以 ， ， 为共顶点的三条棱的长方体的外接球，记其半径为R， 则 ，显然，当点P与C重合时，R取得最大值 ，此时外接球表面积取得最大值 ，D正 确. 故选：AD. 10.答案：ACD 解析：取BD的中点O，连接OA，OC，由题意可知 ， ，因为 OA2 OC2  AC2 ，所以 ，又OA BD， ，所以OA平面BCD，因为 平面ABD，所以平面ABD平面BCD，故A正确； A(0,0,2) 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， (cid:3)  3  PQ  ,1,1   ，当 AQ QC ， 时， Q(0,1,1) ， ，  3 ， ，所以点D到直线PQ的距离为 ， 故B错误； 设 ，由 ，得 ，则 ， 故 ， 当 ， 时， ，故C正确； 当P，Q分别为线段BD，CA的中点时， ， ， ，，设PQ与AD所成的角为 ，则 ， 即PQ与AD所成角的余弦值为 ，故D正确.故选ACD. 11.答案： 解析： ， .因为 与 平行，所以当 时， ，解得 ；当 时， ， .综上， . 12.答案：2 解析：如图，将三棱锥 转化为正三棱柱 ，设 的外接圆圆心为 ，半径为r， 则 ，可得 ， 设三棱锥 的外接球球心为O，连接OA， ，则 ， ， 因为 ，即 ，解得 . 故答案为：2. 13.答案： 解析：取AD的中点E，PD的中点F，PO的中点R，PB的中点N， 连接QR延长交PC与点M，依次连接E，F，M，N，G， 可知 ， ， ，即 ，而 ， 所以E，F，G，Q，N，R共面，所以E，F，M，N，G共面， 因为底面ABCD是边长为 的正方形， 所以对角线 ， ， 因为P在底面的射影为正方形的中心，可得 面ABCD， 因为 面ABCD，所以 ，因为 ， ，所以 ， 因为E、F分别为AD、PD的中点， 所以 ，且 ， 因为 平面EFMG， 平面EFMG， 所以 平面EFMG，同理 平面EFMG， 所以平面EFMG即为所求截面. 又因为平面 平面 ， 平面APC，所以 ， 因为Q为AO的中点，可得 ， 所以 ， ， ， 因为N、F分别为PB、PD的中点，所以 ， ， 所以 ， ，所以四边形EFNG是平行四边形， 因为 ， ， ，所以 平面APC， 因为 平面APC，可得 ，所以 ， 所以四边形EFNG是矩形， 所以动点T的轨迹围成的多边形的面积为 . 故答案为： . 14.答案：（1）见解析（2） 解析：（1）证明：连接AO并延长，交BC于M，交圆柱侧面于 因为 ， ， ，所以 ，所以 ， 因为 ， ，所以 ，所以 ，即M为BC中点， 所以 又在圆柱 中， 平面ABC， 平面ABC，所以 ， 因为 ，AO， 平面 ，所以 平面 因为不论P在何处，总有 平面 ，所以 （2）设 ，则 在 中， ， 则 所以 如图，以 为原点，建立空间直角坐标系 ，其中 轴，y轴是 的垂直平分线，则 ， ， ， ， 所以 ， ， ， . 设平面 的一个法向量为 ，  5 5 1 1 则 ax ayaz 0 ay az 0 ，取 ，得 (cid:3) .  6 6 2 2 x1 m(1, 5, 5) (cid:3) BPB nb,c,d 设平面 1 的一个法向量为 ，  5 1 1 则ad 0 ab ac ad 0 ，取 ，得 (cid:3)  .  6 3 2 b2 n 2, 5,0 APB BPB  设平面 1 与平面 1 的夹角为 ， (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) mn 11 (cid:3) cos cos m,n  (cid:3)  则 m n 11 ， 所以平面 与面 夹角的余弦值为 . 15.答案：(1)证明见解析 (2) 解析：（1）在梯形ABCD中，取AD的中点N，连接CN，， ， 四边形ABCN为平行四边形， ， ， ， ， ，PA， 平面PAC， 平面PAC， 平面ACD， 平面 平面ACD. （2）取AC中点O，连接PO， ，O为AC中点， ， 又平面 平面ACD，平面 平面 ， 平面PAC， 平面ACD， O，N分别为AC，AD中点， ， 平面PAC， 以O为坐标原点，分别以OA，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标 系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ， ，则 ， 设平面ACM的法向量 ， 则 ， 令 ，得 ， ，则 ， 平面ACM与平面ACD夹角的余弦值为 ， 又平面ACD的一个法向量 ， 则 ，解得 ， ，又 ， 点P到平面ACM的距离 .