文档内容
第 02 讲 等差数列及其前 n 项和
（10 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第19题,17分 等差数列通项公式的基本量计算 数列新定义
等差数列通项公式的基本量计算
2024年新Ⅱ卷，第12题,5分 无
求等差数列前n项和
等差数列通项公式的基本量计算
2024年全国甲卷，第4题,5分 利用等差数列的性质计算 无
等差数列前n项和的基本量计算
由递推关系证明数列是等差数列
2023年新I卷，第7题,5分 充分条件与必要条件的判定
等差数列前n项和的性质
等差数列通项公式的基本量计算利用
2023年新I卷，第20题,12分 等差数列的性质计算 无
等差数列前n项和的基本量计算
利用定义求等差数列通项公式
2023年新Ⅱ卷，第18题,12分 等差数列通项公式的基本量计算求等 分组 (并项)-奇偶项求和
差数列前n项和
利用 与 关系求通项或项
2022年新I卷，第17题,10分 利用等差数列通项公式求数列中的项
累乘法求数列通项
裂项相消法求和
数学新文化
2022年新Ⅱ卷，第3题,5分 等差数列通项公式的基本量计算
已知斜率求参数
等比数列通项公式的基本量计算
2022年新Ⅱ卷，第17题,10分 等差数列通项公式的基本量计算
数列不等式能成立(有解) 问题
利用定义求等差数列通项公式 由递推数列研究数列的有关性质
2021年新I卷，第17题,10分
求等差数列前n项和 分组 (并项)-奇偶项求和
等差数列通项公式的基本量计算
2021年新Ⅱ卷，第17题,10分 解不含参数的一元二次不等式
求等差数列前n项和2020年新I卷，第14题,5分 求等差数列前n项和 无
2020年新Ⅱ卷，第15题,5分 求等差数列前n项和 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.理解等差数列的概念
2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题
4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系
5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通
项公式及前n项和。需综合复习
知识讲解
1. 等差数列的定义从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，
用 表示
2. 数学表达式
3.
通项公式
， ， ，
4.
等差数列通项公式与函数关系
令 ， ， 等差数列 为一次函数
5. 等差中项
若 ， ， 三个数成等差数列，则 ，其中 叫做 ， 的等差中项
6. 等差数列通项公式的性质
（1）若 ，或
（2）若 ， 为等差数列，则 ， 仍为等差数列
7. 等差数列前n项和
或
8. 等差数列前n项和与函数关系
令 ， ，
等差数列 前 项和公式是无常数项的二次函数
9. 等差数列前n项和的性质
（1） ， ， ……仍成等差数列
（2） 为等差数列
推导过程： （一次函数） 为等差数列
（3）
（4）10. 证明数列为等差数列的方法
（1） （ 为常数） 为等差数列
（2）通项公式： （一次函数），前 项和： （无常数项的二次函数）
（3）若 ，则 ， ， 三个数成等差数列
考点一、 等差数列的项、公差及通项公式的求解
1．（2024·安徽池州·模拟预测）在等差数列 中， ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．（2022·河南南阳·三模）已知数列 为等差数列， ， ，则该数列的公差为
.
3．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列 满足 ，则 （ ）
A．3 B． C．1 D．
4．（2024·山东·二模）已知数列 ．求：
(1)数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和 的最大值．
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 满足 ，且 ，则首项 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·四川雅安·三模）在等差数列 中，若 ，则 （ ）
A．21 B．24 C．27 D．29
3．（2024·陕西安康·模拟预测）在公差为 的等差数列 中， ，则 （ ）
A．1或2 B．1 C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 是递增的等差数列， ， 是方程 的根.
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和．考点二、 等差中项的应用
1．（23-24高二下·北京怀柔·期中）若 ， ， 成等差数列，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（重庆·高考真题）在等差数列 中，若 =4， =2，则 =
A．-1 B．0 C．1 D．6
1．（23-24高二上·上海宝山·期末） 与 的等差中项为 ．
2．（24-25高二上·上海·课前预习）等差数列 的前三项依次为 ， ， ，则x的值为 ．
3．（江西·高考真题）设数列{a }，{b }都是等差数列，若a ＋b ＝7，a ＋b ＝21，则a ＋b ＝ ．
n n 1 1 3 3 5 5
考点三、 等差数列的性质
1．（江西·高考真题）已知等差数列 ，若 ，则 .
2．（北京·高考真题）在等差数列 中，已知 ，那么 等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2024·河南郑州·一模）已知数列 为等差数列， ，则
（ ）
A．19 B．22 C．25 D．27
1．（2024·广西柳州·模拟预测）在等差数列 中，若 ，则 （ ）．
A．7 B．12 C．16 D．24
2．（2023·广西南宁·模拟预测）在等差数列 中，若 ，则 .
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则.
考点 四 、 等差数列前项和的求解
1．（2024·全国·高考真题）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则
.
2．（2024·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
4．（2023·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
5．（2021·全国·高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在等差数列 中，公差 ， 为其前 项和，若 ，则
（ ）
A． B．0 C． D．
2．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列 的前 项和记为 ，若 ， ，则 （ ）
A．51 B．102 C．119 D．238
3．（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 ．4．（2024·吉林·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的最小值．
5．（2024·贵州六盘水·三模）已知 为等差数列，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 恒成立，求实数λ的取值范围．
考点 五 、 等差数列前项和的性质
1．（辽宁·高考真题）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．63 B．36 C．45 D．27
2．（全国·高考真题）等差数列前 项的和为 ，前 项的和为 ，则它的前 项的和为（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
3．（2024·广东深圳·模拟预测）设 是等差数列 的前n项和，若 ，则 ．
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 的前 项和分别为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北衡水·三模）已知数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，满足
，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
1．（陕西·高考真题）等差数列 的前 项和为 ，若 则 等于
A．12 B．18 C．24 D．42
2．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ， ，
则 的值为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．83．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，且 ，则
．
5．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若对任意正整数 都有
，则 （ ）
A． B． C． D． E．均不是
考点 六 、 等差数列通项公式与前项和的关系
1．（全国·高考真题）设等差数列 的公差是d，如果它的前n项和 ，那么（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2023·全国·统考高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数
列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 为
等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 为正整数，记集合 的元素个数为 ，求数列 的前50项和.1．（2023·四川达州·统考二模）已知 是数列 前n项和， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，记 ， 分别为数列 的前n项和与前n项积，求 ．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
3．（湖南·高考真题）已知数列 的前 项和 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和．
考点 七 、 等差数列通项公式与前项和的最值
1．（2024·山东泰安·三模）已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则当 取
最小值时， （ ）
A．9 B．10 C．10或11 D．11
3．（2024·海南海口·模拟预测）已知首项为正数的等差数列 的前 项和为 ，若
，则（ ）
A．
B．
C．当 时， 取最大值
D．当 时， 的最小值为27
4．（2024·黑龙江吉林·二模）已知数列 是公差为d的等差数列， 是其前n项的和，若 ，
，则（ ）A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列 中， ， ，则使得前n项的和最大的n值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（上海·高考真题）设数列 为等差数列， 是其前n项和，且 ，则下列结论不正
确的是（ ）
A． B． C． D． 与 均为 的最大值
3．（2024·辽宁·二模）设 是等差数列， 是其前n项的和.且 ， ，则下面结论正确
的是（ ）
A． B．
C． 与 均为 的最大值 D．满足 的n的最小值为14
4．（2024·福建泉州·模拟预测）等差数列 中， ， ，若 ，
，则（ ）
A． 有最小值， 无最小值 B． 有最小值， 无最大值
C． 无最小值， 有最小值 D． 无最大值， 有最大值
5．（全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
16．
考点 八 、 等差数列中的数学文化
1．（2024·辽宁·三模）我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有996斤棉花要赠送给8个子女
做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止……，根据这些信息第三个孩子
分得（ ）斤棉花？
A．99 B．116 C．133 D．150
2．（2024·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，
环绕天心石砌 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 块，下一层的第一环比上一层的最后一环
多 块，向外每环依次也增加 块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则
上层有扇形石板 块．
3．（2024·内蒙古·三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2
个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.
若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 .
1．（2024·陕西安康·模拟预测）“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学
著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加
密､秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列 单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现
将 的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（ ）
A．1157 B．1177 C．1155 D．1122
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）《算学启蒙》是元代著名数学家朱世杰的代表作之一．《算学启蒙》
中涉及一些“堆垛”问题，可以利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有143根相同的圆形小木
棍，小军模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最
下面一层开始，每一层比它上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．2 B．9 C．11 D．13
3．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为
某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段 ，作一个等边三
角形 ，然后以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 （第一段圆弧），再
以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 ，再以点 为圆心， 为半径逆时针
画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .考点 九 、 等差数列奇偶项的和
1．（21-22高二上·上海徐汇·期末）设等差数列的项数 为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列 共有 项，奇数项之和为60，偶数项之和为
54，则 ．
3．（2023·重庆·二模）已知等差数列 的前30项中奇数项的和为 ，偶数项的和为 ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D． 为奇数时，
5．（2023·山东威海·一模）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 .
1．（22-23高一下·四川·阶段练习）已知等差数列 共有 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和
为261，则 的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
2．（2021·山东济南·二模）已知等差数列 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为 ，所有偶数项之
和为 ，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的前40项和为
.
4．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列 满足 ，且当 时，有 .
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
5．（21-22高三上·湖北·期中）已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且 .
(1)求 ， ；
(2)设 ，求数列 的前8项和 .
考点 十 、 等差数列的证明
1．（2021·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数列，
证明： 是等差数列.
2．（2021·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设 ，求 的前n项和 .2．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)数列 的每一项均为正数， ，数列 的前n项和为 ，当 时，求n的
最小值．
2024．2024．
一、单选题
1．（2024·山西运城·三模）已知数列 是等差数列， ，则 （ ）
A．4 B． C． D．
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）在等差数列 中， ，则 （ ）
A．130 B．260 C．320 D．520
二、多选题
3．（2024·云南·二模）记数列 的前 项和为 为常数.下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．存在常数A、B，使数列 是等比数列 D．对任意常数A、B，数列 都是等差数列
三、填空题
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）在等差数列 中， ，则 的前19项和 ．
5．（2024·河南开封·三模）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则 ．
四、解答题
6．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求 .7．（2024·山西·三模）已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
8．（2024·湖南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列 满足 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)记 是数列 的前 项和，证明: .
9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且 也是等差数列．
(1)求数列 的公差；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
10．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列 的公差 ， 与 的等差中项为5，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 的前20项和 .
一、单选题
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）等差数列 中，其前n项和为 ，则“ ”是“ 为递减数
列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的前n项和为 ，“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 最大
B．使得 成立的最小自然数
C．
D． 中最小项为
三、填空题
4．（2024·四川内江·模拟预测）数列 满足 ， ，若数列 的前 项的和
为 ，则 的 的最小值为 ．
5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列 是等差数列， ，记 ， 分别为 ，
的前 项和，若 ， ，则 ．
四、解答题
6．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列 的前 项和为 ，已知 是 与 的
等差中项.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
7．（2024·福建厦门·三模）设 为数列 的前 项和，已知 ，且 为等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 .
8．（2024·江苏宿迁·三模）在数列 中， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足 ；
①求证：数列 是等差数列；②若 ，设数列 的前n项和为 ，求证： ．
9．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列 满足 ，且对任意 均有
．
(1)设 ，证明 为等差数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)已知 ，求 ．
10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知数列 满足： ， ，其中 为数列 的前n项
和．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列 （ ），对任意正整数k，当 时，
都有 成立，求m的最大值．
1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
2．（2023·全国·高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则
（ ）
A．－1 B． C．0 D．
3．（2023·全国·高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2023·天津·高考真题）已知 是等差数列， ．(1)求 的通项公式和 ．
(2)设 是等比数列，且对任意的 ，当 时，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及前 项和．
5．（2023·全国·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
6．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水平距
离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
7．（2022·全国·高考真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 ．
8．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
10．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
11．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗
面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，
对应的宽为 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 ， ， ，则
A．64 B．96 C．128 D．160
12．（2021·全国·高考真题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
2．13．（2020·全国·高考真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则
．
14．（2020·山东·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和
为 ．
15．（2020·全国·高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块
圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一
环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，
则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块16．（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0， ．记b =S ，bn+ =S2n+ –
1 2 1 2
S n， ，下列等式不可能成立的是（ ）
2
A．2a =a +a B．2b =b +b C． D．
4 2 6 4 2 6
