8.7 二面角和面面垂直
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：二面角的概念................................................................ 2
考点二：平面与平面垂直概念....................................................... 2
考点三：平面与平面垂直的判定定理...............................................2
考点四：平面与平面垂直的性质定理...............................................2
考点五：平面与平面垂直的其他性质...............................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：二面角的求法（小题）.................................................... 3
题型二：二面角的求法（大题）...................................................11
题型三：面面垂直的判定与性质...................................................18
题型四：面面垂直的证明........................................................... 20
题型五：面面垂直性质的应用......................................................30
题型六：折叠与垂直问题........................................................... 37
题型七：动点问题在面面垂直中的探究..........................................42
题型八：由二面角大小求线段长度或距离....................................... 46
题型九：空间垂直的转化思想......................................................51
模块三：综合巩固....................................................................... 57
8.7 二面角和面面垂直
模块一：基础知识
考点一：二面角的概念
1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2、相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
3、画法：
4、记法：二面角
l
或
AB
或P
l
Q
或P
AB
Q
.
5、如上3 图，二面角的平面角：若有①O
l
；②OA
，OB
；
③OA
l
，OB
l
，则二面角
l
的平面角是
AOB
．
考点二：平面与平面垂直概念
1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2、图形语言：
3、符号语言：α⊥β.
考点三：平面与平面垂直的判定定理
1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言：
,
l
l
考点四：平面与平面垂直的性质定理
1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，
那么这条直线与另一个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言：
l
a
a
a
l
4、作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线
考点五：平面与平面垂直的其他性质
1.如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即
,
,
A
A
b b
b
，
2.如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即
,
∥
；
3.如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即
,b
b
b
∥或
；
4. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即
,
,
l
l
；
5.三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即
,
,
,
,
,
,
,
l
m
n
l
m m
n l
n
6.垂直问题转化关系如下所示
模块二：题型分类
题型一：二面角的求法（小题）
1.如图，已知PA
，PB
，垂足为A 、B ，若
60
APB
，则二面角
l
的大小是______．
【答案】120## 2
3
【分析】根据
APB
与二面角大小互补进行求解.
【详解】设二面角
l
的大小为，
因为PA
，PB
，垂足为A 、B ，
所以
180
APB
，又
60
APB
，所以
180
120
APB
.
故答案为：120
2.如图，大小为120的二面角
l
的棱上有两个点A，B，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面
内，并且都垂直于棱l.若
2
MN
，
3
PM
，
4
NQ
，则PQ _____________.
【答案】
41
【分析】利用空间向量的线性运算可得PQ
PM
MN
NQ
，再根据向量所成角，结合数量积公式平方
即可得解.
【详解】根据题意，PQ
PM
MN
NQ
，
由二面角
l
大小为120，可得
,
60
PM NQ
，
2
2
(
)
PQ
PM
MN
NQ
2
2
2
2
2
2
PM
MN
NQ
PM MN
NQ MN
PM NQ
1
9
4
16
2 3 4
41
2
，
所以
41
PQ
uuur
，
故答案为：
41
3.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，
如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2 倍，
则侧面与底面的夹角的正切值为___________．
【答案】
3
【分析】设此四棱锥P-ABCD 底面边长为a ，斜高为h，根据条件列式，得到h
a
，再根据二面角的定
义，找到二面角的平面角，即可计算正切值.
【详解】如图，设此四棱锥P-ABCD 底面边长为a ，斜高为h，连结AC、BD 交于点O，连结OP，PO
底面ABCD，取CD 的中点M ，连结OM ，PM ，则PM
h
，
2
a
OM
，
则
2
1
4
2
2 ah
a
，h
a
，POM
中，
2
2
3
( )
2
2
a
a
PO
a
．
PM
CD
，OM
CD
，所以
PMO
是侧面和底面的夹角，
3
2
tan
3
2
a
PO
PMO
a
OM
，
故答案为：
3
4.三棱锥
P
ABC 中，若二面角
,
,
P
AB
C P
AC
B P
BC
A
所成的平面角均相等，则点P 在底面ABC
上的投影点为ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【分析】根据顶点在底面上的射影和二面角构成的3 个三角形是全等三角形，推出垂足到三边的距离相等，
进而得出结果.
【详解】如图，设O为P 在ABC
上的射影，
过O作OE
AB
OF
AC
OG
BC
，
，
，垂足分别为E
F
G
、、
，
连接PE
PF
PG
、
、
，
则OP 平面ABC ，由OE
OF
OG
、
、
平面ABC ，
得OP
OE
，OP
OF
，OP
OG
，
即
90
POE
POF
POG
，
由AB
AC
BC
、
、
平面ABC ，
得OP AB ，OP
AC
，OP
BC
，
又PO
OE
O
PO
OF
O
PO
OG
O
，
，
，
所以AB 平面PEO ，AC 平面PFO ，BC 平面PGO ，
则3 个二面角所成的平面角分别为
PEO
PFO
PGO
、
、
，
所以
PEO
PFO
PGO
，又OP 为公共边，
所以PEO
PFO
PGO
，有OE
OF
OG
=
=
，
故O为ABC
的内心.
故选：B
5．（多选）在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
E F 分别是
1
1
,
BC A D 的中点，下列说法正确的是（
）
A．四边形
1B EDF 是菱形
B．直线AC 与
1
BC 所成的角为4
C．直线
1
AC 与平面ABCD所成角的正弦值是
3
3
D．平面
1A BD 与平面ABCD所成角的余弦值是
6
3
【答案】AC
【分析】利用正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中的平行、垂直关系求解各选项即可.
【详解】设正方体的棱长为a ，
选项A：因为
,
E F 分别是
1
1
,
BC A D 的中点，易得
1B F
DE
∥
，
1
DF
B E
∥
，
又因为
2
2
1
1
1
5
2
2
DF
B E
B F
DE
a
a
a
，所以四边形
1B EDF 是菱形，正确；
选项B：如图所示
因为
1
1
AC
AC
∥
，所以直线AC 与
1
BC 所成角即为
1
1
AC 与
1
BC 所成角，
因为
1
1
1
1
AC
BC
A B
，所以直线AC 与
1
BC 所成的角为3
，错误；
选项C：如图所示
因为
1
CC 平面ABCD，所以直线
1
AC 与平面ABCD所成角即为
1
C AC
，
因为
2
2
2
1
3
AC
a
a
a
a
，所以
1
3
sin
3
3
a
C AC
a
，正确；
选项D：如图所示，设AC 交BD 于O，
由正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，得O为BD 中点，
1
1
2
A D
A B
a
，
所以AO
BD
，
1AO
BD
，
因为平面
1A BD 平面ABCD
BD
，所以
1AOA
即为平面
1A BD 与平面ABCD所成角，
因为
2
2
1
1
2
2
2
2
AO
AC
a
a
a
，
2
2
1
1
6
2
AO
AO
AA
a
，
所以
1
2
3
2
cos
3
6
2
a
AOA
a
，错误，
故选：AC.
6.如图,正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长都为2,则平面ABC 与平面
1
1
A BC 夹角的余弦值为（
）
A．
7
7
B．2 7
7
C．
21
7
D．
7
7
【答案】C
【分析】根据面面垂直转化面面夹角为另一个方便解答的面面夹角,分别向交线作垂线,即可得到面面夹角
或其补角,构造三角形,求出各边,用余弦定理求出夹角余弦值.
【详解】解:由题知,平面ABC 与平面
1
1
A BC 的夹角即为平面
1
1
1
A B C 与平面
1
1
A BC 的夹角,
取
1
1
AC 的中点O,连接
1
,
OB OB ,如图所示:
因为正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长都为2,
所以
1
1
,
2,
AB
AA AB
AA
所以
1
2 2
BA
,
同理可得:
1
2 2
BC
,所以
1
1
BA
BC
,
又
1
1
1
1
B A
B C
,所以
1
1
1
1
1
,
OB
AC OB
AC
,
所以
1
BOB
∠
（或其补角）为平面ABC 与平面
1
1
A BC 的夹角,
又
1
1
2
AC
,所以
1
7,
3
OB
OB
,
因为
1
2
BB
,所以
1
21
cos
7
BOB
,
故选:C．
7.（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，设E 是棱BC 的中点，则（
）
A．
1
BD 平面
1
C DE
B．
1
BC
AC
^
C．平面
1
1
A BC 与平面ABCD所成角的正弦值为
3
3
D．三棱锥
1
D
ACD
与三棱锥
1
B
ACD
体积相等
【答案】AD
【分析】对于A 选项，在平面
1
C DE 内找到与
1
BD 平行的直线即可·.
对于B 选项，通过求出
1
BC ，AC 所成角度即可判断.
对于C 选项，可将平面
1
1
A BC 与平面ABCD所成角转化为求平面
1
1
A BC 与平面
1
1
1
1
D
C
B
A
所成角.
对于D 选项，分别计算三棱锥
1
D
ACD
与三棱锥
1
B
ACD
体积即可.
【详解】对于A 选项，如图，设
1
CD 交
1
C D 于F ，在
1
CD B
△
中，因F 为
1
CD 中点，E 为CB 中点，则FE
为
1
CD B
△
中位线，可得
1
EF
BD
∥
，又
1
BD 平面
1
C DE ，EF平面
1
C DE ，则
1
BD 平面
1
C DE ，故A 正
确.
对于B 选项，如图，因
1
1
/ /
BC
AD ，所以异面直线
1
BC 与AC 所成角就是
1
AD 与AC 所成角.又连接
1
CD ，因
1
1
AD
CD
AC
，所以
1
AD C
为等边三角形，有
1
3
π
D AC
，
得异面直线
1
BC 与AC 所成角为π
3 ，故B 错误.
对于C 选项，如图，因平面ABCD 平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，所以平面
1
1
A BC 与平面ABCD所成角等于平面
1
1
A BC 与
平面
1
1
1
1
D
C
B
A
所成角.取
1
1
AC 中点为G，连接BG，
1
B G .
因
1
B G
1
1
AC
，BG
1
1
AC
，所以
1
BGB
为平面
1
1
A BC 与平面
1
1
1
1
D
C
B
A
所成二面角的平面角.设正方体棱长
为2，则
1
6
2
，
BG
BB
，所以
1
2
6
3
6
sin
BGB
.
故C 错误.
对于D，由图，
1
1
1
1
3
D
ACD
D
ACD
ADC
V
V
S
DD
.
1
1
1
1
3
B
ACD
D
ACB
ABC
V
V
S
DD
，又
ABC
ADC
S
S
△
△
，故
1
1
D ACD
B ACD
V
V
，
故D 正确.
故选：AD
题型二：二面角的求法（大题）
1.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
(1)求异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角的大小；
(2)求二面角
1
C
AB
C
的大小.
【答案】(1) π
3
(2) π
4
【分析】（1）作出异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角，并求得角的大小.
（2）判断二面角
1
C
AB
C
的平面角，并求得角的大小.
【详解】（1）在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，连接
1
,
BD DC ，
由于
1
1
//
DC
AB ，所以
1
DC B
是异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角，
由于三角形
1
BDC 是等边三角形，所以
1
π
3
DC B
，
所以异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角的大小为π
3 .
（2）在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
,
AB
BC AB
BC
，
所以
1
C BC
是二面角
1
C
AB
C
的平面角，
根据正方体的性质可知
1
4
π
C BC
，
所以二面角
1
C
AB
C
的大小为π
4 .
2.如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AB
AC
AA
，
45
ABC
.
(1)求直线
1
BA 与平面
1
1
BCC B 所成的角；
(2)求二面角
1
A
AC
B
的正切值.
【答案】(1) π
6 ；(2)
2
【分析】（1）取
1
1
B C 的中点D ，连接
1A D 和BD ，结合条件可证明
1A D 平面
1
1
BCC B ，由直线与平面所成
角的定义可得直线
1
BA 与平面
1
1
BCC B 所成的角,由解直角三角形即可求解；
（2）取
1AC 的中点，连接AO ，BO，先求得
1
1
A B
AC
BC
，再由二面角的定义找到二面角
1
A
AC
B
的
平面角
AOB
，由解直角三角形即可求解.
【详解】（1）取
1
1
B C 的中点D ，连接
1A D 和BD ，如图所示：
因为
1
1
1
1
A B
AC
，所以
1
1
1
A D
B C
，
在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
BB 平面
1
1
1
A B C ，
又
1A D 平面
1
1
1
A B C ，所以
1
BB
AD
，
因为
1
1
1
1
BB
B C
B
，
1
BB 、
1
1
B C 平面
1
1
BCC B ，
则
1A D 平面
1
1
BCC B ，又BD 平面
1
1
BCC B ，
所以
1A D
BD
，则在
1
Rt
A BD
△
中，
1
π
0
2
A BD
，
即直线
1
BA 与平面
1
1
BCC B 所成的角为
1A BD
，
在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AA 平面ABC ，
又因为AB 平面ABC ，所以
1
AA
AB
，
因为
1
2
AB
AC
AA
，所以
45
ACB
ABC
，即
90
BAC
，
则
2
2
1
1
2 2
A B
AB
AA
，
2
2
1
1
2 2
B C
BC
AB
AC
，
所以
1
1
1
2
2
AD
B C
，则
1
1
2
1
sin
2
2 2
AD
A BD
A B
，
又
1
π
0
2
A BD
，所以
1
π
6
A BD
，
故直线
1
BA 与平面
1
1
BCC B 所成的角为π
6 .
（2）取
1AC 的中点，连接AO ，BO，
在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AA 平面ABC ，
又因为AC 平面ABC ，所以
1
AA
AC
，
因为
1
2
AB
AC
AA
，
2
2
1
1
2 2
AC
AC
AA
，
由（1）知，
1
1
2 2
A B
AC
BC
，所以
1
BO
AC
，
1
AO
AC
，
又BO 平面
1
BAC ，AO 平面
1
AAC ，
所以
AOB
是二面角
1
A
AC
B
的平面角；
又BA
AC
，
1
BA
AA
，
1
AC
AA
A
∩
，AC 、
1
AA 平面
1
1
AAC C ，
所以BA 平面
1
1
AAC C ，AO 平面
1
1
AAC C ，则BA
AO
，
又
1
1
2
2
AO
AC
，
在Rt
AOB
△
中，
2
tan
2
2
AB
AOB
AO
，
故二面角
1
A
AC
B
的正切值为
2 .
3.在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面
,
,
3
ABC CA
CB
AOC
，点O在棱AB 上且是ABC 的外心（三角形
三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心即外接圆的圆心），点G 是AOC
的内心（三角形的内心是三角
形三条角平分线的交点即内切圆的圆心），
2
PA
AB
.
(1)求证：平面OPG 平面PAC ；
(2)求二面角P
OG
B
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 4 17
17
.
【分析】（1）根据PA 平面ABC 得到PA
OG
，根据G 为AOC
的内心得到OG
AC
，即可得到OG 平
面PAC ，最后利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据OG 平面PAC 得到
PDC
为二面角P
OG
B
的平面角，根据AC
CB
，O为ABC
的外心，
得到
1
OA
OB
OC
，再结合
3
AOC
得到AOC
为等边三角形，
1
2
AD
DC
，然后利用勾股定理得
到PD ，PC ，最后利用余弦定理和同角三角函数基本公式求角即可.
【详解】（1）∵PA 平面ABC ，OG 平面ABC ，
∴PA
OG
，
∵G 为AOC
的内心，
∴OG
AC
，
∵PA
AC
A
，PA 平面PAC ，AC 平面PAC ，
∴OG 平面PAC ，
∵OG 平面OPG ，
∴平面OPG ⊥平面PAC .
（2）
延长OG 交AC 于D ，连接PD ，
∵OG 平面PAC ，PD 平面PAC ，CD 平面PAC ，平面PAC 平面OGB
OD
，
∴OG
PD
，OG
CD
，
∴
PDC
为二面角P
OG
B
的平面角，
∵AC
CB
，O为ABC
的外心，
∴O为AB 中点，且
1
OA
OB
OC
，
∵
3
AOC
，
∴AOC
为等边三角形，
1
2
AD
DC
，
在Rt PAD
中，
1
2
AD
，
2
PA
，∴
2
2
1
17
2
2
2
PD
，
在Rt PAC
中，
2
PA
，
1
AC ，∴
5
PC
，
2
2
17
1
5
2
2
17
cos
17
17
1
2
2
2
PDC
，
∵
0,
PDC
，∴
2
17
4 17
sin
1
17
17
PDC
,
所以二面角P
OG
B
的正弦值为4 17
17
.
4.如图所示，在四面体ABCD 中，△ABC 是边长为2 的正三角形，△ACD 是直角三角形，且AD=CD，且
BD=2，E 为DB 的中点．
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC．
(2)求二面角E
AC
B
的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)30．
【分析】（1）取AC 的中点O，连接OB，OD，先说明∠DOB 是二面角D
AC
B
的平面角,通过计算说
明二面角D
AC
B
是直二面角，即可证明结论；
（2）找到∠EOB 是二面角E
AC
B
的平面角，然后说明
30
BOE
OBD
，即可求得答案.
(1)
证明：如图所示，取AC 的中点O，连接OB，OD，
因为△ABC 是边长为2 的正三角形，△ACD 是直角三角形，且AD＝CD，
所以OB⊥AC，OD⊥AC，
所以∠DOB 是二面角D
AC
B
的平面角,
因为
1
1
2
OD
AC
，
3
OB
，BD=2，
所以
2
2
2
OD
OB
BD
，即OB⊥OD，
所以二面角D
AC
B
是直二面角，
因此，平面ACD⊥平面ABC．
(2)
解：由（1）可得AC⊥平面BOD，且
30
OBD
，OE 平面BOD ，所以AC⊥OE，
所以∠EOB 是二面角E
AC
B
的平面角．
在直角△BOD 中，因为E 是BD 的中点，
所以OE=EB，所以
30
BOE
OBD
，
即二面角E
AC
B
的大小是30．
5.如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
E
BB
，截面
1A EC 侧面
1
AC .
(1)求证：
1
BE
EB
；
(2)若
1
1
1
AA
A B
，求平面
1A EC 与平面
1
1
1
A B C 所成二面角（锐角）的度数.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2) π
4 .
【分析】（1）根据三角形中位线定理、线面平行的性质定理，结合面面垂直的性质、平行四边形的判定定
理和性质进行证明即可；
（2）根据二面角的定义，结合勾股定理的逆定理、定理进行求解即可.
【详解】（1）设
1
1
AC 的中点为G ，过E 作
1
DE
AC
，垂足为D ，连接
1
,
DG GB ，
因为
1
1
1
A B C 是等边三角形，所以
1
1
1
GB
AC
，
因为
1
1
1
ABC
A B C
-
是正三棱柱，所以面
1
1
1
A B C 侧面
1
AC ，
而面
1
1
1
A B C Ç 侧面
1
1
AC
AC
，所以
1
GB 侧面
1
AC ，
因为截面
1A EC 侧面
1
AC ，截面
1A EC 侧面
1
1
AC
AC
，
所以DE 侧面
1
AC ，因此
1
/ /
DE
GB ，
因为
1
1
1
ABC
A B C
-
是正三棱柱，所以
1 / /
EB
侧面
1
AC ，
而平面
1
EB GD侧面
1
AC
DG
，所以
1 / /
EB
DG ，
因此
1
EB GD 是平行四边形，所以
1
GD
EB
，
因为
1
1
/ /
CC
BB ，所以
1 / /
CC
DG ，因为
1
1
AC 的中点为G ，所以D 是
1
AC 的中点，
于是有
1
1
2
DG
CC
，而
1
1
/ /
CC
BB 且
1
1
CC
BB
，所以E 是
1
BB 中点，
即
1
BE
EB
；
（2）延长
1
1
,
CE C B 交于点F ，
设
1
1
1
1
AA
A B
，由（1）可知：
1
B 是
1
C F 的中点，
因此
1
1
1
4
2 1 2
3
2
A F
，因为
2
2
2
1
1
1
1
A F
AC
C F
，
所以
1
1
1
A F
AC
，
1
1 1
2
AC
，
1 4
5
CF
，
因为
2
2
2
1
1
CF
A F
AC
，所以
1
1
A F
AC
，
于是
1
1
CAC
是平面
1A EC 与平面
1
1
1
A B C 所成二面角的平面角，
因为
1
1
1
1
AC
CC
，所以矩形
1
1
AC CA 是正方形，
因此
1
1
π
4
CAC
.
题型三：面面垂直的判定与性质
1.已知直线l 、m 与平面、，l ，m
，则下列命题中正确的是（
）
A．若//
l m ，则必有
//
B．若l
m
，则必有
C．若l
，则必有
D．若
，则必有m
【答案】C
【解析】对于选项A，平面和平面还有可能相交，所以选项A 错误；
对于选项B，平面和平面还有可能斜交或平行，所以选项B 错误；
对于选项C，因为l 且l
，所以
.所以选项C 正确；
对于选项D，若m
且
，则m
或
/ /
m
或m 与相交（不垂直），
所以选项D 错误．故选：C
2.已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（
）
A．若
/ / ,
,
m
n
则
//
m
n
B．若
,
,
/ / ,
n m
m
n
则
C．若
,
,
则
/ /
D．若
,
,
m m
则
【答案】D
【解析】对于A，
/ / ,
,
m
n
则
//
m
n错误，原因是β不一定是经过直线m 的平面故A 错误；
对于B，若
,
,
/ / ,
n m
m
n
则
错误，如图所示，原
因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，
故无法判定是否α与β一定垂直，故B 错误；
对于C，若
,
,
则
/ /
，错误，例如教室的墙角，
不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β 为地面，
满足
,
,
但α与γ相交，故C 错误；
对于D，因为
,
,
m m
由面面垂直的判定定理得：
，故D 正确．故选：D．
3.m，n 表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列结论：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，
②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，
③若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β，
④若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m，
其中正确的结论个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】对①，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故①正确；
对②，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，故②正确；
对③，若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，
如正方体中，平面ABCD∩平面A1BCD1＝BC，AB⊂平面ABCD，AB⊥BC，
但AB 与平面A1BCD1不垂直，故③错误；
对④，α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，
如正方体中，平面ABCD⊥平面ADD1A1，平面ABCD∩平面A1BCD1＝BC，
平面ADD1A1∩平面A1BCD1＝A1D1，但BC // A1D1，故④错误．
所以正确的结论个数为2 个．故选：C．
4.已知，是两个不同的平面，“存在直线l ，l
，l
”是“
∥
”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当，是两个不同的平面，
对于其充分性：l
，l
可以推出
∥
；
对于其必要性：
∥
可以推出存在直线l ，l
，l
，
故其为充分必要条件，故选：C.
5.设
,
m n 是两条不同的直线，,
是两个不同的平面，下列命题中正确的是（
）
A．若
,
,
m
n
∥
，则m
n
∥
B．若
,
,
m
n
∥
∥
，则m
n
C．若
,
,
m
n m
n
∥
∥
，则
D．若
,
,
m
n m
n
∥
，则
∥
【答案】C
【解析】作长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，
对于选项A，取平面为平面ABCD，平面为平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，直线m 为直线BC ，
直线n 为直线
1
1
C D ，则
,
,
m
n
∥
，但直线
,
m n 异面，选项A 错误；
对于选项B，取平面为平面ABCD，平面为平面
1
1
A B BA ，直线m 为直线
1
1
C D ，
直线n 为直线
1
CD ，则
,
,
m
n
∥
∥
，但直线
,
m n 不垂直，选项B 错误；
对于选项D，取平面为平面ABCD，平面为平面
1
1
A B BA ，直线m 为直线
1
C C ，
直线n 为直线
1
1
C D ，则
,
,
m
n m
n
∥
，但平面,
垂直，选项D 错误；
对于选项C，如图过直线n 作平面与平面相交，且
l
，
因为//
n ，
n
，
l
，所以//
n l ，又
//
m n ，所以
//
m l ，
因为
//
m l ，m
，所以l
，又l
，所以
，选项C 正确.
故选：C.
题型四：面面垂直的证明
1.如图，在几何体P
ABCD
中，已知PA 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，
π
2
ABC
BAD
，
2
AD
，
1
AB
BC
．求证：平面PCD 平面PAC ；
【答案】证明见解析
【解析】连接AC ，如图所示，
π
2
ABC
，
1
AB
BC
，
2
AC
，
π
4
BAC
，
π
2
BAD
，
π
4
DAC
，又
2
AD
，
2
2
2
2
2
cos
6
4 2
2
2
CD
AC
AD
AC AD
DAC
，
2
2
2
CD
AC
AD
，
AC
CD
；
PA
平面ABCD，CD 平面ABCD，
PA
CD
，
PA
AC
A
Q
I
，
,
PA AC 平面PAC ，
CD
\
^平面PAC ，
又CD 平面PCD，平面PCD 平面PAC .
2.如图，V 是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB 是底面圆的一条直径，且点C 是弧AB 的中点，点D 是AC
的中点，
2
AB
，
2
VA=
．
（1）求圆锥的表面积；
（2）求证：平面VAC 平面VOD ．
【答案】（1）3π ；（2）证明见解析
【解析】（1）圆锥的侧面积
1
π
π
π
2 1
2π
S
rl
VA OA
，
底面积
2
2
2
2
π
π
π 1
π
S
r
OA
，
故表面积
1
2
3π
S
S
S
.
（2）证明：由圆锥的性质知，VO 平面ABC ，
因为AC 平面ABC ，所以VO
AC
，
因为AB 是底面圆的一条直径，所以BC
AC
又D 是AC 的中点，所以OD
AC
，
又VO
OD
O
，VO 平面VOD ，OD 平面VOD
所以AC 平面VOD ，又AC 平面VAC ，所以平面VAC 平面VOD ．
3.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，
1
1
2
AC
BC
AA
，D 是棱AA1的中点.
证明：平面BDC1⊥平面BDC.
【答案】证明见解析
【解析】证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，
所以∠CDC1=90°，即DC1⊥DC.
又DC∩BC=C.所以DC1⊥平面BDC.
又DC1⊂平面BDC1，
故平面BDC1⊥平面BDC.
4.如图所示，在四棱锥S
ABCD
中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC 平面ABCD，E 为SA的中点，
求证：平面EBD 平面ABCD.
【答案】证明见解析
【解析】如图，连接AC ，与BD 交于点F ，连接EF ，
因为F 为平行四边形ABCD的对角线AC 与BD 的交点，
所以F 为AC 的中点，
又E 为SA的中点，所以EF 为SAC
的中位线，所以
//
EF SC ，
又SC 平面ABCD，所以EF 平面ABCD，
又EF 平面EBD ，所以平面EBD 平面ABCD.
5.已知AB 平面BCE ，
//
CD AB ，BCE
是正三角形，
2
AB
BC
CD
.求证：平面ADE 平面ABE ；
【答案】证明见解析
【解析】取
,
BE AE 中点分别为
,
M N ，连接
,
,
MN MC ND ，如下所示:
因为AB 面BCE ，CM 面BCE ，故CM
AB
；
又BCE
为等边三角形，故CM
BE
；
又
,
AB BE 面ABE ，AB
BE
B
，故CM 面ABE ；
又在ABE
中，
,
M N 分别为
,
BE AE 的中点，故
1
2
MN
AB
，
//
MN AB；
因为AB 面BCE ，CD 面BCE ，故
//
AB CD ，又
1
2
AB
CD
；
故
,
// D
MN
CD MN C
，则四边形MNDC 为平行四边形，则
//
DN CM ，
故DN 面ABE ，又DN 面ADE ，故面ADE 面ABE .
6.如图，四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，
π
2
BAD
BCD
，
1,
2
AB
BC
PA
BD
．过点C 作
直线AB 的平行线交AD 于
,
F G 为线段PD 上一点．
(1)求证：平面PAD 平面CFG ；
【答案】(1)证明过程见解析
【分析】（1）证明出AB⊥平面PAD，由CF / / AB，得到CF⊥平面PAD，故证明面面垂直；
【详解】（1）因为PA 平面ABCD，AB平面ABCD，
所以PA⊥AB，
因为
π
2
BAD
，
所以AB ⊥AD，
因为PAAD=A，
,
PA AD 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因为CF / / AB，所以CF⊥平面PAD，
因为CF 平面CFG，
所以平面CFG⊥平面PAD；
7.如图，四棱锥P
ABCD
的底面是菱形，PA 平面ABCD，点E ，F 分别为棱
,
AB PD 的中点.
(1)求证：平面PBD 面PAC ；
(2)求证：
//
AF
平面PCE .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】（1）连接
,
AC BD ，根据题意可证明BD 平面PAC ，根据面面垂直判定定理即可证平面PBD 面
PAC ；
（2）取PC 中点为G，连接
,
FG EG ，构造平行四边形证明AF
GE
∥
，根据线面平行判定定理即可证明
//
AF
平面PCE .
【详解】（1）解：由题，连接
,
AC BD ，
∵四边形ABCD是菱形，故BD
AC
；
∵PA 平面ABCD，且BD 平面ABCD；
∴PA
BD
；
又PA
AC
C
，且
,
PA AC 平面PAC ；
∴BD 平面PAC ；
∵BD 平面PBD
∴平面PBD 面PAC ；
（2）解：由题，取PC 中点为G，连接
,
FG EG ；
∵四边形ABCD是菱形，且点E ，F 分别为棱
,
AB PD 的中点；
∴
1
1
/ /
,
2
2
AE
CD AE
CD
且
1
1
//
,
2
2
FG
CD FG
CD
；
/ /
,
AE
FG AE
FG
∴四边形AFGE 是平行四边形，故AF
GE
∥
；
∵AF 平面PCE ，EG 平面PCE ；
∴
/ /
AF
平面PCE .
8.图1 是直角梯形
,
,
90 ,
2,
3,
3,
2
ABCD AB
DC
D
AB
DC
AD
CE
ED
∥
，以BE 为折痕将BCE 折起，
使点C 到达
1
C 的位置，且
1
6
AC
，如图2．
(1)求证：平面
1
BC E 平面ABED ；
(2)已知点P 为线段
1
DC 上一点，且
1
2
PC
PD
，求三棱锥
1
B
PEC
体积．
【答案】(1)证明见解析
(2) 1
3
【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明，
（2）由棱锥的体积公式求解，
【详解】（1）由题意可知，
2
2
2
AE
AD
DE
，因为CE
BA
∥
且CE
BA
AE
，
所以四边形ABCE 为菱形，连接AC 交BE 于点M ，则AC
BE
，
在Rt ACD
中，
2
2
3
( 3)
2 3
AC
，所以
3
AM
CM
，
在图2 中，
1
6
AC
，因为
2
2
2
1
1
AM
C M
AC
，所以
1
C M
AM
，
又
1
,
,
C
BE BE
AM
BE
M
M
平面ABED ，AM 平面ABED .
所以
1
C M 平面ABED ，又
1
C M 平面
1
BC E ，故平面
1
BC E 平面ABED ；
（2）
1
C M 平面ABED ，所以
1
C 到面ABED 距离为
3 ，所以P 到面ABED 距离为
3
3
，
3
2
BDE
S
，所以
1
1
1
1
3
1
3
3
1
3
3
2
3
2
3
3
B PEC
C
PEB
C
BDE
P BDE
V
V
V
V
9.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是矩形，O是BC 的中点，
3
PB
PC
，
2
2
PD
BC
AB
.
(1)求证：平面PBC 平面ABCD；
(2)求点A 到平面PCD的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 2 6
3
.
【分析】（1）根据给定条件，证明PO
OD
，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.
（2）根据给定条件，利用等体积法计算作答.
【详解】（1）在四棱锥P
ABCD
中，因
,
PB
PC O
是BC 的中点，则PO
BC
，
在直角
POC
△
中，
3,
1
PC
OC
，有
2
PO
，在矩形ABCD中，
1,
2
AB
BC
，有
2
DO
，
又因
2
PD
，在POD
中，
2
2
2
PD
PO
OD
，则PO
OD
，
而
,
,
BC
OD
O BC OD
平面ABCD，因此PO 平面ABCD，而PO 平面PBC ，
所以平面PBC 平面ABCD.
（2）由（1）知，平面PBC 平面ABCD，而平面PBC 平面ABCD
BC
，BC 平面ABCD，且DC
BC
，
于是得DC 平面PBC ，又PC 平面PBC ，则DC
PC
，即PCD
是直角三角形，
而
3,
1
PC
CD
，则PCD
面积
1
3
1
3
2
2
PCD
S
，又ACD
面积
1 1 2
1
2
ACD
S
，
又PO 平面ABCD，设点A 到平面PCD的距离为d ，由
A PCD
P ACD
V
V
，
得1
1
3
3
PCD
ACD
S
d
S
PO
，即
3
1
2
2 d
，解得
2 6
3
d
，
所以点A 到平面PCD的距离为2 6
3
.
10.如图所示，圆锥的高
2
PO
，底面圆O 的半径为R，延长直径AB 到点C，使得BC
R
，分别过点A，
C 作底面圆O 的切线，两切线相交于点E，点D 是切线CE 与圆O 的切点．
(1)证明：平面PDE 平面POD ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由线面垂直、切线的性质可得PO
CE
、OD
CE
，再根据线面垂直及面面垂直的判定即
可证得．
【详解】（1）由题设，PO 平面ABD ，又D 是切线CE 与圆O的切点，
∴CE 平面ABD ，则PO
CE
，且OD
CE
，
又PO
OD
O
，∴CE 平面POD ，
又CE 平面PDE ，所以平面PDE 平面POD .
11.如图，已知在四棱锥S
ABCD
中，
1
2
AB
AD
，
90
BAD
ADC
，
2
tan
3
BCD
，平面SAC ⊥平面
ABCD
．
(1)求证：平面SBD ⊥平面SAC ；
(2)若直线BD 平面
，直线SC 平面
O
，直线
//
SA
平面，求SC
SO 的值．
【答案】(1)证明见解析.
(2) SC
SO 的值为5 .
【分析】（1）设AC 与BD 交于点M
，过点B 作
//
BE AD 交CD 于点E ，由已知条件
90
BAD
ADC
，
1
2
AB
AD
，
2
tan
3
BCD
可设AB
DE
a
，
2
AD
BE
a
，从而求出
4
CD
a
，
运用相似和勾股定理求得AC
BD
，利用线面垂直的判定定理可得到BD 平面SAC ，
接着根据面面垂直的判定定理即可证得平面SBD ⊥平面SAC .
（2）利用已知条件征得
//
SA MO ，即可得出CMO
CAS
∽
，利用相似的比例即可求得SC
SO 的值.
【详解】（1）证明：设AC 与BD 交于点M
，过点B 作
//
BE AD 交CD 于点E .
90
BAD
ADC
，又
//
BE AD ，
90
BAD
ADC
DEB
，
四边形ABED 是矩形，
90
BEC
o ，
AB
DE
，AD
BE
，
1
2
AB
AD
，
所以设AB
DE
a
，则
2
AD
BE
a
，
又
2
tan
3
BCD
，
90
BEC
o ，
2
tan
3
BE
BCD
CE
，
3
CE
a
，
4
CD
CE
DE
a
，
90
BAD
ADC
，AB
a
=
，
2
AD
a
，
4
CD
a
，
由勾股定理可得：
2 5
AC
a
，
= 5
BD
a ，
四边形ABED 是矩形，
//
AB CD ，
ABM
CDM
∽
，
CM
DM
CD
AM
BM
AB
，
1
2 5
5
5
AM
AC
a
，
1
5
5
5
BM
BD
a
，
由AB
a
=
，
2
2
2
AB
AM
BM
，
90
AMB
，即AC
BD
.
AC
BD
，
又平面SAC ⊥平面ABCD，平面SAC 平面
=
ABCD AC ，
BD 平面SAC ，
BD 平面SBD，
平面SBD ⊥平面SAC .
（2）解：直线BD 平面
，直线SC 平面
O
，直线
//
SA
平面，
平面BDO 即为平面.
直线
//
SA
平面，SA 平面SAC ，
又平面平面SAC
MO
，
//
SA MO ，
CMO
CAS
∽
，
CO
CM
CS
CA
，
由（1）可知，
2 5
AC
a
，
1
2 5
5
5
AM
AC
a
，
4
5
CM
AC
，
4
5
CO
CM
CS
CA
，
5
SC
SO
，
SC
SO 的值为5 .
题型五：面面垂直性质的应用
1.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为正方形，平面PAD 平面ABCD，Q 为棱PD 的中点，
2
PA
AD
PA
AB
，
．求证：PA 平面ABCD；
【答案】证明见解析
【解析】在四棱锥P
ABCD
中，因平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面
=
ABCD AD ，
又PA
AD
，PA 平面PAD ，
所以PA 平面ABCD.
2.如图，四棱锥P
ABCD
中，四边形ABCD为梯形，其中
//
,
2
2
4,
60
AB DC AB
BC
CD
BCD
，平
面PBD 平面ABCD.证明：PB
AD
；
【答案】证明见解析
【解析】因
2,
60
BC
CD
BCD
，则
BCD
△
为等边三角形，即
1
2
2
BD
AB
，
又
//
AB DC ，有
=60
ABD
，
在
ABD
△
中，
2
2
2
2
2
1
=
+
2
cos
=4 +2
2
4
2
=12
2
AD
AB
BD
AB BD
ABD
，
于是得
2
2
2
AD
BD
AB
，即AD
BD
，
而平面PBD 平面ABCD，平面PBD 平面
=
ABCD BD ，AD 平面ABCD，
因此AD 平面PBD ，
又PB 平面PBD ，所以PB
AD
.
3.如图，在四棱锥P
ABCD
中，平面PAD 底面ABCD，CD
AB
∥
，
2
PA
PD
AD
DC
，
=4
AB
，
60
DAB
．证明：BD
PA
【答案】证明见解析
【解析】证明：在四边形ABCD中，因为
/ /
CD
AB ，
=2
AD
，
=4
AB
，
60
DAB
，
由余弦定理得，
2
2
2
2
2
1
2
cos60
2
4
2 2 4 2
BD
AD
AB
AD AB
，
解得
2
12
BD
，
所以
2
2
2
AD
BD
AB
，即BD
AD
，
因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面
=
ABCD AD ，BD 平面ABCD，
所以BD 平面PAD ，又因为PA 平面PAD ，
所以BD
PA
．
4.如图，四棱锥B
AEDC
中，平面AEDC 平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且
/ /
AE
DC ，
=90
ACD
，
2
DC
AC
AB
AE
．证明：EP 平面BCD
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接AF，
由题意知ABC
为等腰三角形，
而F 为BC 的中点，所以AF
BC
．
又因为平面AEDC 平面ABC ，且
=90
ACD
，
平面AEDC 平面ABC
AC
，DC 平面AEDC ，
所以DC 平面ABC ．
而AF 平面ABC ，所以AF
DC
．
而BC
DC
C
，
,
BC DC 平面BCD，所以AF 平面BCD．
连接PF ，则
//
PF DC ，
1
2
PF
DC
，
而
//
AE DC ，
1
2
AE
DC
，所以
//
AE PF 且AE
PF
，
所以AFPE 是平行四边形，
因此
//
EP AF ，故EP 平面BCD．
5．如图，在三棱锥A
BCD
中，
1,
2
AD
CD
AB
BC
AC
，平面ACD 平面ABC ，则三棱锥
A
BCD
外接球的表面积为（
）
A．3π
B．8 π
3
C．7 π
3
D．2π
【答案】B
【分析】先确定底面ABC 的外接圆圆心，结合图形的特征，利用勾股定理及外接球的表面积公式计算即
可.
【详解】如图所示，取AC 中点E，连接
,
DE BE ，在BE 上取F 点满足2EF
FB
，
由题意易知ABC
为正三角形，则F 点为ABC
的外接圆圆心，且
,
ED
AC BE
AC
,
因为平面ACD 平面ABC ，平面ACD 平面ABC
AC
，
所以DE 底面ABC ，BE 底面ADC ，过F 作
/ /
FO
DE ，
故三棱锥A
BCD
外接球的球心O 在直线FO上，作OG
EF
//
交DE 于G 点，
设OF
h
，球半径为R，
根据
1,
2
AD
CD
AB
BC
AC
，
易知
6
2
6
6
,
,
,
2
2
6
3
BE
AE
DE EF
BF
，四边形OGEF 为矩形，
由勾股定理可知：
2
2
2
2
2
2
OB
OF
BF
OD
OG
DG
，
即
2
2
2
2
2
6
2
1
2
0,
3
2
6
3
R
h
h
h
R
，
故其外接球表面积为
2
8π
4π
3
S
R
.
故选：B
6．将一副三角板排接成平而四边形ABCD（如图），
1
BC ，将其沿BD 折起，使得而ABD⊥面BCD．若
三棱锥A-BCD 的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（
）
A．2π
B．7π
3
C．8π
3
D．3π
【答案】C
【分析】
利用面面垂直的性质和线面垂直的判定找到球心的位置即为AD 的中点，再利用球的表面积公式即可.
【详解】由题意得
2
BD
，
2
6
3
3
AB
，因为面ABD 面BCD，
面ABD 面BCD
BD
，且AB
BD
，AB 面ABD ，则AB 面BCD，
因为CD 面BCD，所以AB
CD
，又因为CD
BC
，
,
BC AB 面ABC ，且BC
AB
B
I
，
所以CD 平面ABC ，因为AC 平面ABC ，所以CD
AC
，
取AD 中点为O，则AO
DO
BO
CO
，则球心即为AD 中点，
而
2 6
2
3
AD
AB
，则球的半径为
6
3
，
则球O 的表面积为
2
6
8π
4π
3
3
，
故选：C.
7．已知A，B，C，D 为空间四点，在△ABC 中，AB＝2，AC＝BC＝
2 ，等边三角形ADB 以AB 为轴运
动，则当平面ADB⊥平面ABC 时，CD＝
．
【答案】2
【详解】
取AB 的中点E，连接DE，CE（图略）.由题意知DE⊥AB，当平面ADB⊥平面ABC 时，平面ADB∩平
面ABC＝AB，DE⊂平面ADB，则DE⊥平面ABC.因为CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE.由已知可得DE＝
，
CE＝1，所以在Rt△DEC 中，CD＝
＝2.
8．如图，在面内有线段
1
AB 和
2
BC
，且
,
AB
BC CD
面，
3
CD
，则A D
､
之间的距离
为
．
【答案】14
【分析】连接AC ，求得
5
AC
，再由CD 面，得到CD
AC
，在直角ACD
中，利用勾股定理，
即可求解.
【详解】如图所示，连接AC ，
因为AB
BC
，且
1
AB 和
2
BC
，可得
2
2
5
AC
AB
BC
，
又因为CD 面，且AC 面，所以CD
AC
，
在直角ACD
中，由
5
AC
，
3
CD
，所以
2
2
14
AD
AC
CD
，
即A 和D 之间的距离为14 .
故答案为：14 .
9．如图，在三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
ABB A 平面
1
1
1
1
1
π
,
,
4,
2,
2
AB C BB
AB AB
AA
AB
BAC
.
(1)证明：AC 平面
1
1
ABB A ；
(2)若直线BC 与
1
1
B C 距离为3，求平面
1
1
ABB A 与平面
1
1
BCC B 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 1
3
【分析】
（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，进而可求，
（2）根据线面垂直的性质，结合平面夹角的几何法，即可求解
1
AB C
即为平面
1
1
ABB A 与平面
1
1
BCC B 所
成角或其补角，根据三角形的边角关系求解长度即可求解.
【详解】（1）由于平面
1
1
ABB A 平面
1 ,
AB C 且交线为
1
AB ,
又
1
1
1
,
BB
AB BB
平面
1
1
ABB A ，所以
1
BB 平面
1 ,
AB C
AC 平面
1 ,
AB C 故
1
BB
AC
，
又
1
1
,
,
,
AB
AC AB
BB
B AB BB
平面
1
1
ABB A ,故AC 平面
1
1
ABB A
（2）由（1）知
1
BB 平面
1 ,
AB C
1
CB 平面
1 ,
AB C 故
1
BB
1
CB ，
又
1
1,
BB
AB
1
AB 平面
1
1
ABB A ,
1
CB 平面
1
1
BCC B ,所以
1
AB C
即为平面
1
1
ABB A 与平面
1
1
BCC B 所成角或
其补角，
过
1
B 作
1
B D
BC
于D ,
由于直线BC 与
1
1
B C 距离为3，故
1
3
B D ，
由于
1
1
1
,
4,
2
BB
AB AB
AB
，故
2
2
1
1
2 3
BB
AB
B A
,
在直角三角形
1
BB D 中，
1
1
1
3
sin
2
B D
DBB
BB
,故
1
π
3
DBB
，
故在直角三角形
1
BB C 中，
1
1
1
tan
2 3
3
6
B C
BB
DBB
，
（1）知AC 平面
1
1
ABB A ，
1
AB 平面
1
1
ABB A 故
1
AB
AC
，
所以
1
Rt
AB C
△
中，
1
1
1
2
1
cos
6
3
B A
AB C
CB
10．已知三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
AAC C 平面
1
1
1
A B C ，
1
1
1
AA
B C
，若
1
1
1
1
1
60
1
2.
AC C
AC
CC
B C
,
,
(1)求证：
1
1
B C
AC
；
(2)求
1
AB 与平面
1
1
B C CB所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
21
14
【分析】（1）过点A 作
1
1
AD
AC
于点D ，可得AD 平面
1
1
1
A B C ，从而可证明
1
1
B C 平面
1
1
AAC C ,使得问
题得证.；
（2）作出线面角，再利用余弦定理即可求出线面角的正弦值.
【详解】（1）如图1，过点A 作
1
1
AD
AC
于点D ，
因为平面
1
1
AAC C 平面
1
1
1
A B C ，平面
1
1
AAC C 平面
1
1
1
1
1
=
A B C
AC ，AD 平面
1
1
AAC C ，
所以AD 平面
1
1
1
A B C ，又因为
1
1
B C 平面
1
1
1
A B C ，所以
1
1
AD
B C
，
因为
1
1
1
AA
B C
，
1
AA
AD
A
，且
1,
AA AD 平面
1
1
AAC C ，
所以
1
1
B C 平面
1
1
AAC C ，因为AC 平面
1
1
AAC C ，
所以
1
1
B C
AC
.
（2）如图2 延长
1
CC ，过点A 作
1
AH
CC
于点H ，连接
1B H ，
由（1）可知
1
1
B C 平面
1
1
AAC C ，因为AH 平面
1
1
AAC C ，
所以
1
1
B C
AH
，又
1
AH
CC
，且
1
1
1
1
B C
CC
C
，
1
1
1
,
B C CC 平面
1
1
B C CB ，
所以AH 平面
1
1
B C CB ，则
1
AB H
为
1
AB 与平面
1
1
BB C C 所成角，
在
ACH
中，
1
1
0
1,
6
A
A H
C
C
A
C
C
，所以
3
sin60
2
AH
AC
，
因为四边形
1
1
ACC A 为梯形，所以
1
1
/ /
AC
AC ，所以
1
120
ACC
，
在
1
1
ACC
△
中，
2
2
2
1
1
1
1
2
cos120
1 1
2 1 1
3
2
AC
AC
CC
AC CC
，
又
1
1
B C 平面
1
1
AAC C ，
1
AC 平面
1
1
AAC C ，所以
1
1
1
B C
AC
，
则
2
2
1
1
1
1
=
3
4
7
AB
AC
B C
，
所以
1
1
21
sin
14
AH
AB H
AB
.
即
1
AB 与平面
1
1
B C CB所成角的正弦值为
21
14
.
题型六：折叠与垂直问题
1.如图，在等腰梯形ABCD，
//
AB CD ，
2
2
2
AB
CD
AD
，
60
ABC
.将ACD
沿着AC 翻折，使得
点D 到点P ，且
AP
BC .
（1）求证：平面APC 平面ABC ；
（2）求点C 到平面APB 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
21
7
【解析】（1）证明：在ABC
中，
2
AB
，
1
BC
CD
，
60
ABC
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
cos60
3
AC
AB
BC
AB BC
，
BC
AC
，
BC
AP
，AP
AC
A
，
BC
平面APC ，
BC
平面ABC ，所以，平面APC 平面ABC .
（2）在等腰梯形ABCD中，
//
AB CD ，
60
ABC
，
则
120
ADC
，
1
3
sin120
2
4
ACD
S
AD CD
△
，
在三棱锥
P
ABC 中，
3
4
APC
S
△
，
1
1
3
3
1
3
3
4
12
B APC
APC
V
S
BC
△
，
BC
平面APC ，PC 平面APC ，则BC
PC
，
则
2
2
2
PB
BC
PC
，
在PAB
中，
1
PA ，
2
PB
，
2
AB
，
由余弦定理可得
2
2
2
3
cos
2
4
PA
AB
PB
PAB
PA AB
，故PAB 为锐角，
所以，
2
7
sin
1 cos
4
PAB
PAB
，
1
7
sin
2
4
PAB
S
PA AB
PAB
△
，
设点C 到平面APB 的距离为d ，由
C PAB
B APC
V
V
可得1
3
3
12
PAB
S
d
△
，
所以，
3
3
4
21
4
4
7
7
PAB
d
S
△
.
2.如图1，在直角梯形ABCD中，
/ /
AB
CD ，AB
AD
，且
1
1
2
AB
AD
CD
，现以AD 为一边向梯形外
作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ED
DC
，M 为ED 的中点，如图2．
（1）求证：
/ /
AM
平面BEC ；
（2）求证：平面BCE 平面BDE ；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）取EC 中点N ，连接MN ，BN ．
在
EDC
△
中，M ，N 分别为EC ，ED 的中点，
所以
//
MN
CD，且
1
2
MN
CD
．
由已知
/ /
AB
CD ，
1
2
AB
CD
，所以
//
MN
AB ，且MN
AB
．
所以四边形ABNM 为平行四边形．所以
//
BN
AM ．
又因为BN 平面BEC ，且AM 平面BEC ，
所以
/ /
AM
平面BEC ．
（2）在正方形ADEF 中，ED
AD
，
又ED
DC
，AD
DC
D
，AD
DC
、
平面BCD，
∴ED 平面BCD，BC 平面BCD，BC
ED
，
在
ABD
△
中，AB=AD=1，所以BD=
2 ，
45
ABD
，
在
BCD
△
中，
45
BDC
，BD=
2 ，CD=2，
所以BC=
2 ，所以BC
BD
，
又因为BD
DE
D
，BD
DE
，
平面BDE ，所以BC 平面BDE ，
又因为BC 平面BEC ，所以平面BDE 平面BEC .
3.如图甲，已知四边形ABCD 是直角梯形，E，F 分别为线段AD，BC 上的点，且满足AB
CD
EF
∥
∥
，
2
4
4
AB
EF
CD
，AB
BC
，
45
A
．将四边形CDEF 沿EF 翻折，使得C，D 分别到
1
C ，
1
D 的位置，
并且
1
3
BC
，如图乙．
（1）求证：
1
1
ED
BC
；
（2）求点E 到平面
1
1
ABC D 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）1
【解析】（1）证明：∵在图甲中，AB∥CD∥EF，AB＝2EF＝4CD＝4，AB⊥BC，
∴在图乙中有，
1
EF
FC
，EF
BF
，又
1
FC 与BF 是平面
1
BC F 内的交线，
∴EF⊥平面
1
BC F ，BC1在面BC1F 内，
∴
1
EF
BC
，如图，
分别过
1
D ，E 作
1
D M
EF
，EN
AB
，垂足分别是M，N，
易知
1
1
1
MF
C D
，∴
1
EM ，
又
1
45
FED
BAE
，∴
1
1
1
C F
D M
EM
，
同理
2
BF
EN
AN
，又
1
3
BC
，
∴
2
2
2
1
1
C F
BC
BF
，则
1
1
BC
C F
，
又EF 与
1
C F 是平面
1
1
C D EF 内的交线，
∴
1
BC 平面
1
1
C D EF ，ED1在面C1D1EF 内，
∴
1
1
BC
ED
．
（2）由（1）知EF⊥平面
1
BC F ，AB∥EF，
所以知AB⊥平面
1
BC F ，BC1在面BC1F 内，
所以
1
AB
BC
，则
1
1
1
2 3
2
ABC
S
AB BC
，
1
1
2
sin 45
4 2 2
4
2
2
2
ABE
S
AB AE
，
过点
1
C 作
1
C Q
BF
，垂足为Q，
由（1）知EF⊥平面
1
BC F ，且EF 平面ABFE ，
所以平面
1
BC F 平面ABFE ，
又平面
1
BC F 平面ABFE
BF
，C1Q 在面BC1F 内，
所以
1
C Q 平面ABFE ，又EF 平面ABFE ，
所以
1
C Q
EF
，又BF 与EF 是平面ABF 内的交线，
∴
1
C Q 平面BEF，
1
1
3
sin 60
2
C Q
C F
，
由
1
1
E
ABC
C
ABE
V
V
，得
1
1
1
1
3
3
ABC
ABE
S
h
S
C Q
，2 3
4
3
1
3
3
2
h
h
，
∴点E 到平面
1
1
ABC D 的距离为1．
4.（多选）菱形ABCD 中，
2
AB
，
60
BAD
，将
ABD
△
沿对角线BD 翻折到
PBD
△
位置，连结PC，
得到三棱锥P
BCD
，则（
）
A．PC
BD
B．存在某个位置，使PB
CD
C．三棱锥P
BCD
的体积最大值为3
D．存在某个位置，使PC 平面BCD
【答案】AB
【解析】A.如图，连结对角线
,
AC BD ，交于点O，AC
BD
，
沿BD 翻折后得到如图三棱锥P
BCD
，则PO
BD
，CO
BD
，且PO
CO
O
，
PO 平面POC ，OC 平面POC ，则BD 平面POC ，PC 平面POC ，
所以BD
PC
，故A 正确；
B.当
2
PC
时，此时三棱锥P
BCD
为正四面体，取DC 的中点M ，连结
,
PM BM ，
所以PM
DC
，BM
DC
，且PM
BM
M
，所以DC 平面PMB ，PB 平面PMB，
所以DC
PB
，故B 正确；
C.当平面PBD 平面BCD时，三棱锥P
BCD
的体积最大，
此时平面PBD 平面BCD
BD
时，PO
BD
，则PO 平面BCD，
3
PO
，
1
3
2 2
3
2
2
BCD
S
，此时正四面体的体积
1
3
3
1
3
V
，故C 错误；
D.若PC 平面BCD，则PC
OC
，因为PO
CO
，所以PC 与OC 不可能垂直，
所以不存在某个位置，使PC 平面BCD，故D 错误. 故选：AB
5.（多选）如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM
沿直线AM 翻折成
1
AB M
，连结
1B D，N 为
1B D
的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（
）
A．存在某个位置，使得
1
CN
AB
B．翻折过程中，CN 的长是定值
C．若AB
BM
，则
1
AM
B D
D．若
1
AB
BM
，当三棱锥
1B
AMD
的体积最大时，三棱锥
1B
AMD
的外接球的表面积是4π
【答案】BD
【解析】对于A：如图1，取AD 中点E，连接EC 交MD 与F，
则NE / / AB1，NF / / MB1，
如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，
又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC 共面共点，不可能，故A 错误．
对于B：如图1，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），
1
1
2
NE
AB
（定值），AM
EC
（定值），
由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
MC
NE
EC
NE EC
NEC
，
∴NC 是定值，故B 正确．
对于C：如图2，取AM 中点O，连接B1O，DO，
由题意得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，
从而AD＝MD，由题意不成立，可得C 错误．
对于D：当平面B1AM⊥平面AMD 时，三棱锥B1﹣AMD 的体积最大，
由题意得AD 中点就是三棱锥B1﹣AMD 的外接球的球心，
球半径为1，表面积是4π，故D 正确．故选：BD．
题型七：动点问题在面面垂直中的探究
1.三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
被平面
1
1
A B C 截去一部分后得到如图所示几何体，
1
BB 平面ABC ，
90
ABC
，
1
BC
BB
，E 为棱
1B C 上的动点（不包含端点），平面ABE 交
1AC 于点F ．
（1）求证：AB 平面
1B BC ；
（2）求证：
//
EF AB ；
（3）试问是否存在点E ，使得平面ABE 平面
1
1
A B C ？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
（3）存在点E ，当点E 为
1
B C 中点时，理由见解析.
【解析】（1）证明：由三棱柱的几何特征，
1
BB
平面ABC ，AB 平面ABC ，
1
BB
AB
．
90
ABC
，
BC
AB
．
又
1
BB
BC
B
，
1
BB 平面
1
B BC ，BC 平面
1
B BC ，
AB
平面
1B BC ．
（2）证明：如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
//
AB A B ，
AB
平面
1
1
A B C ，
1
1
A B 平面
1
1
A B C ，
//
AB
平面
1
1
A B C ．
又AB 平面ABEF ，平面ABEF 平面
1
1
A B C
EF
，
//
EF AB
．
（3）存在点E ，当点E 为
1B C 中点时，平面ABE 平面
1
1
A B C ．
证明：
1
BC
BB
，点E 为
1B C 中点，
1
BE
B C
．
AB
Q
平面
1B BC ，BE 平面
1B BC ，
AB
BE
．
1
1
//
AB A B
，
1
1
BE
A B
.
又
1
1
1
1
A B
B C
B
，
1
1
A B 面
1
1
A B C ,
1
B C 面
1
1
A B C
BE
平面
1
1
A B C ．BE 平面ABE
平面ABE 平面
1
1
A B C ．
2.如图：
2
AD
，
4
AB
的长方形ABCD所在平面与正PAD
所在平面互相垂直，M ，Q 分别为PC ，AD
的中点．
（1）求证：
/ /
PA
平面MBD ；
（2）试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使得平面PCN 平面PQB ？若存在，试指出点N 的位置，并
证明你的结论；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
1
2
BN
.
【解析】（1）连AC 交BD 于O，连MO 则O为AC 中点，因为M 为PC 中点，
所以
/ /
MO
AP ，又AP 平面MBD ，MO 平面MBD ，则
/ /
AP
平面MBD ．
（2）当
1
2
BN
时，平面PCN 平面PQB ．
证明如下：正PAD
中，Q 为AD 的中点，故PQ
AD
，
侧面PAD 底面ABCD，侧面PAD 底面ABCD
AD
，
PQ
底面ABCD，
又CN 平面ABCD，则PQ
CN
，又因为长方形ABCD中，由相似三角形得，
则CN
BQ
，而
,
,
PQ
BQ
Q PQ BQ
平面PQB ，
CN
平面PQB ，又
CN
∵
平面PCN ，
所以，平面PCN 平面PQB ．
3.如图示，边长为4 的正方形ABCD与正三角形ADP 所在平面互相垂直，M 、Q 分别是PC ，AD 的中点．
（1）求证：
/ /
PA
面BDM ；
（2）求多面体P
ABCD
的体积；
（3）试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使面PCN 面PQB ？若存在，指出N 的位置，若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）32 3
3
；（3）存在点N ，N 为AB 中点
【解析】（1）证明：连接AC 交BD 于点O，连接MO ，
由正方形ABCD知O为AC 的中点，
M
为PC 的中点，
/ /
MO
PA
，
MO
平面MBD ，PA 平面MBD ，
/ /
PA
平面MBD ；
（2）∵
APD
△
为正三角形，Q 为AD 中点，故PQ
AD
，
又平面APD 平面ABCD，平面APD 平面ABCD于AD ，故PQ 平面ABCD，
故多面体P
ABCD
的体积
1
1
32 3
4
4
2 3
3
2
3
V
；
（3）存在点N ，当N 为AB 中点时，平面PQB 平面PNC ，
四边形ABCD是正方形，Q 为AD 的中点，
BQ
NC
．
由（1）知，PQ 平面ABCD，NC 平面ABCD，
PQ
NC
，
又BQ
PQ
Q
，
NC
平面PQB ，
NC
平面PCN ，平面PCN 平面PQB ．
4.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别为AB 和DD1的中点．
（1）求证：EF∥平面BCD1；
（2）在棱C1D1上是否存在一点M，使得平面MEF⊥平面BCD1？若存在，求出
1
1
C M
D M 的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1
【解析】（1）取D1C 的中点G，连接FG，GB，如图，
因为F 为DD1的中点，FG∥DC，且FG＝
1
2 DC，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为E 为AB 的中点，
所以EB∥DC，且EB＝1
2 AB＝1
2 DC，
所以FG∥EB，FG＝EB，
可得四边形EBGF 为平行四边形，
所以EF∥GB，又因为EF⊄平面BCD1，GB⊂平面BCD1，
则EF∥平面BCD1；
（2）在棱C1D1上假设存在一点M，使得平面MEF⊥平面BCD1，
取M 为C1D1的中点，连接DC1，FM，EM，如图，
因为F 为DD1的中点，所以FM∥DC1，因为DC1⊥D1C，
可得FM⊥D1C，
因为BC⊥平面D1DCC1，FM⊂平面D1DCC1，所以BC⊥FM，
因为BC⊂平面BCD1，D1C⊂平面BCD1，BC∩D1C＝C，
所以FM⊥平面BCD1，
因为FM⊂平面MEF，所以平面MEF⊥平面BCD1，故
1
1
1
C M
D M ．
5.如图，已知在四棱锥S
ABCD
中，底面ABCD是平行四边形，AC
BC
，
60
ABC
，
=4
SA
SB
SC
，
90
ASB
.
（1）求SC 与平面SAB 所成的角的正弦值；
（2）棱SC 上是否存在点M ，使得平面MAB 平面SCD ？若存在，求SM 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(Ⅰ)
6
4
；(Ⅱ)存在，
16
7
SM
.
【解析】（1）取AB 的中点O，连结SO ，过C 作CH
AB
于点H ，连SH ，
又因为AC
BC
，所以O为ABC
的外心，
又由SA
SB
SC
，所以S在平面ABC 上射影是ABC
的外心
所以SO 平面ABC ，
所以平面SAB 平面ABC ，所以CH 平面SAB
所以
CSH
为SC 与平面SAB 所成的角
在ABC
中，
4 2
AB
，
1
cos60
4 2
2 2
2
BC
AB
，
在
BHC
△
中，
3
sin60
2 2
6
2
CH
BC
，
在
CSH
△
中，
4
SC
，
6
CH
，所以
6
sin
4
CH
CSH
SC
，
故SC 与平面SAB 所成的角的正弦值
6
4
．
（2）过O作OF
CD
于点F ，连结SF ，作
//
MN
CD 交SD 于点N ，交SF 于点G ，
由(1)得SO 平面ABC ，又CO 平面ABC ，所以SO CD ，
又OF
CD
，SO ，OF 都在平面SOF 内，且相交于点O，所以CD 平面SOF ，
又OG 平面SOF ，所以CD
OG
要使得平面MAB 平面SCD ，则需OG
SF
在
SOF
△
中，
2 2
SO
，
6
OF
CH
，
所以
2
2
14
SF
SO
OF
，
2 2
2 7
cos
7
14
SO
FSO
SF
，
在
SOG
△
中，
2 7
4 14
cos
2 2
7
7
SG
SO
FSO
，
由
/ /
MG
CD 得，
4
7
SM
SG
SC
SF
，所以
16
7
SM
．
故棱SC 上存在点M ，使得平面MAB 平面SCD ，
且当
16
7
SM
时有平面MAB 平面SCD .
题型八：由二面角大小求线段长度或距离
1．已知正方形ABCD的边长为1，现将ACD
沿对角线AC 向上翻折，使得二面角D
AC
B
的夹角为π
3 ，
则点D 到平面ABC 的距离为（
）
A．
2
2
B．
6
4
C．
2
4
D．1
4
【答案】B
【分析】取线段AC 的中点，连接
,
DE BE ，取BE 的中点F ，连接DF ，可得
DEB
为二面角D
AC
B
的
平面角，线段DF 长即为点D 到平面ABC 的距离，求解即可.
【详解】取线段AC 的中点，连接
,
DE BE ，明显有
,
AC
DE AC
BE
，又DE
BE
E
所以AC 面EBD ，
则
DEB
为二面角D
AC
B
的平面角，即
π
3
DEB
，
则
2
2
DE
BE
BD
，
取BE 的中点F ，连接DF ，
则DF
BE
，
又AC 面EBD ，DF 面EBD ，
所以DF
AC
，又BE
AC
E
，
所以DF 面ABC ，则线段DF 长即为点D 到平面ABC 的距离，
所以
2
3
6
sin 60
2
2
4
DF
DE
.
故选：B.
2．已知菱形ABCD的边长为2，
60
ABC
.将菱形沿对角线AC 折叠成大小为60°的二面角B
AC
D
.
设E 为B C
的中点，F 为三棱锥B
ACD
表面上动点，且总满足AC
EF
，则点F 轨迹的长度为（
）
A．3 3
2
B．
3
2
C．3 3
D．
3
【答案】A
【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，面面平行，得到点F 轨迹为
EON
△
（除E 外），并得到
B TD
为
二面角B
AC
D
的平面角，则
60
B TD
，结合菱形性质求出
EON
△
的三边长，得到轨迹长度.
【详解】取AC 的中点T ，连接
,
B T DT
，
因为菱形ABCD的边长为2，
60
ABC
，
所以B C
AB
CD
AD
，
,
ACD
ACB
均为等边三角形，
故DT ⊥AC ，B T
⊥AC ，且
3
DT
B T
，
B TD
为二面角B
AC
D
的平面角，则
60
B TD
，
故B TD
为等边三角形，
3
DB
，
又B T
DT
T
，
,
B T DT
平面B TD
，
所以AC ⊥平面B TD
，
又E 为B C
的中点，取CT 的中点O，CD 的中点N ，
连接
,
,
EO EN ON ，则
/ /
,
/ /
B T
B D
EO
EN
，且
3
2
EO
ON
EN
，
因为EO 平面EON ，B T
平面EON ，所以
/ /
B T
平面EON ，
同理得
/ /
DT
平面EON ，
因为B T
DT
T
，
,
B T DT
平面B TD
，
故平面EON / / 平面B TD
，
所以AC ⊥平面EON ，
故点F 轨迹为
EON
△
（除E 外），
故点F 轨迹的长度为
3 3
2
EO
ON
EN
.
故选：A
3．已知二面角
l
为60°，点A
，AC
l
，C 为垂足，点B
，BD
l
，D 为垂足，且
3
AC
，
1
CD ，
2
DB 则线段AB 的长度为（
）
A．2 2
B．2 3
C．2 5
D．2 6
【答案】A
【分析】
首先过点C 在平面内作CE
l
，得到二面角的平面角，即由余弦定理求得AE ,再证明BE
AE
⊥
，从而解
得AB 长.
【详解】
如图，在平面内，过点C 作CE
l
，且使CE
DB
,连接
,
AE BE ，因AC
l
，则
ACE
即二面角
l
的平面角，
在
ACE
△
中，由余弦定理：
2
2
2
2
cos
AE
AC
CE
AC CE
ACE
9
4
2
3 2cos60
7
，则
7
AE
，
又BD
l
，易得矩形CDBE ,故
/ /
BE
CD ,且
1
BE
CD
因
,
,
,
CD
AC CD
CE AC CE
平面
,
ACE AC
CE
C
即得：CD 平面ACE ，从而BE 平面ACE ,则有
BE
AE
⊥
,
在Rt AEB
中，
7
1
2 2
AB
.
故选：A.
4．已知二面角
l
为60，点P 、Q 分别在、内且PQ
l
，P 到的距离为3 ，Q 到的距离
为
3
2
, 则PQ 两点之间的距离为（
）
A．
3
B．1
C．2
D．
2
【答案】A
【分析】
由题意作PM
l
交l 于M ，连接QM ，作QD
PM
，PC
QM
，证明
PMQ
为二面角
l
的平面角，
以及PC
，QD
；在Rt QMD
，Rt PCM
中分别求出QM ，PM ，再在PMQ
中，利用余弦定理求
解即可.
【详解】
如图，作PM
l
交l 于M ，连接QM ，作QD
PM
，PC
QM
，
因为PM
l
，PQ
l
，PQ
PM
P
，PQ 平面PQM ，PM 平面PQM ，
所以l 平面PQM ，
因为QM 平面PQM ，所以l
QM
，所以
PMQ
为二面角
l
的平面角，
即
60
PMQ
，
因为l 平面PQM ，PC 平面PQM ，所以l
PC
，
又PC
QM
，l
QM
M
，QM
，l
，所以PC
，
所以
3
PC
，
同理QD
，所以
3
2
QD
，
在Rt QMD
中，
3
2
QD
，
60
QMD
，所以
1
QM ，
在Rt PCM
中，
3
PC
，
60
QMD
，所以
2
PM
，
在PMQ
中，
2
2
2
1
2
cos60
1+4
2
2
=3
2
QP
QM
PM
QM PM
，
所以
3
PQ
.
故选：A .
5．在45的二面角的一个面上有一点P ，它到棱的距离等于
2 ，则点P 到另一个平面的距离为
．
【答案】1
【分析】利用二面角的定义，点到平面距离的意义求解即得.
【详解】二面角
l
大小为45，点P
，PA
l
于A ，且
2
PA
，
过P 作PB
于B ，连接AB ，显然PB
l
，而
,
,
PA
PB
P PA PB
平面PAB ，
则l 平面PAB ，又AB 平面PAB ，因此AB
l
，PAB 是二面角
l
的平面角，
即
PAB
45
，于是
sin 45
1
PB
PA
，
所以点P 到另一个平面的距离为1.
故答案为：1
6．一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为30，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成60角，沿这条直
道向上100 米后，升高了
米．
【答案】25 3
【分析】
作出示意图，作出坡角，即二面角的平面角，结合直道的长，求解三角形，即可求得答案.
【详解】
如图，CD 表示斜坡上的直道，AB 表示坡脚水平线，
由题意知CD＝100 米，作DH⊥过BC 的水平面，垂足为H，线段DH 的长度就是所求的高度，
在平面DBC 内，过点D 作DG
BC
，连接GH，
∵DH 平面BCH，BC 平面BCH，
∴DH
BC
，又DG
BC
，
,
,
DH
DG
D DH DG
平面DGH，
∴CB 平面DGH，又GH Ì 平面DGH，
∴GH
BC
，
∴
DGH
为坡面DGC 与水平面BCH 所成二面角的平面角，则
30
DGH
，
依题意，
60
DCG
o ,则
3
100
50 3
2
DG
,
故
1
sin30
50 3
25 3
2
DH
DG
（米），
故答案为：25 3
题型九：空间垂直的转化思想
1．如图，在四面体SABC 中，已知SA，SB，SC 两两垂直，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，求：
(1)BC 与平面SAB 所成的角；
(2)SC 与平面ABC 所成角的正弦值．
【答案】(1) π
3
(2)
7
7
【详解】（1）(定义法)∵SC⊥SB，SC⊥SA，SB∩SA＝S，SB，SA⊂平面SAB，∴SC⊥平面SAB，故SB
是斜线BC 在平面SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角．∵∠SBC＝60°，∴BC 与
平面SAB 所成的角为60°.
（2）(解法1：定义法)如图，取AB 的中点M，连接SM，CM，∵SA⊥SB，且∠SBA＝45°，∴△SAB 为
等腰直角三角形，M 为AB 的中点，则SM⊥AB.由(1)知SC⊥平面SAB，AB⊂平面SAB，∴SC⊥AB.又
SM∩SC＝S，SM，SC⊂平面SMC，∴AB⊥平面SCM.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SCM，且
平面ABC∩平面SCM＝CM，过S 作SH⊥CM 于H，则SH⊥平面ABC，∴CH 即为SC 在平面ABC 内
的射影，∴∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角．设SA＝SB＝a.∵∠SBC＝60°，SC⊥SB，∴SC＝
a，
SM＝
a，CM＝
a，sin ∠SCH＝sin ∠SCM＝
＝
，∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为
.
(解法2：等积法) 提示：设SA＝SB＝a，点S 到平面ABC 的距离为d，由VCSAB＝VSABC，C 到平面
SAB 的距离SC＝
a，分别求△SAB 和△ABC 的面积，可得d＝
a，所以SC 与平面ABC 所成的角的
正弦值为
＝
，即SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为
.
【考查意图】定义法和等积法求斜线和平面所成角．
2．如图，在四面体PACD 中，平面PAC 平面ADC，
90 ,
4,
60
APC
ADC
AC
DAC
，
45 ,
,
PAC
E F
分别为
,
AP CP 的中点，
1
4
CG
CD
，
1
4
AH
AD
.
(1)求证：点H 在平面EFG 内；
(2)求直线PD 与平面PAC 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
6
4
【分析】（1）由题意证明EF
HG
∥
，即证明
,
,
,
E F G H 四点共面，即可证明结论；
（2）过D 作DO
AC
，找出直线PD 与平面PAC 所成角，解三角形求出相关线段的长，即可求得答案.
【详解】（1）证明：在
PAC
△
中，
,
E F
分别是
,
PA PC 的中点，
EF
AC
∥
∴
，
由
1
1
,
4
4
CG
CD AH
AD
，可得HG
AC
∥
，
EF
HG
∥
，即
,
,
,
E F G H 四点共面，即点H 在平面EFG 内．
（2）过D 作DO
AC
，连接PO,
平面PAC 平面ACD，且平面PAC 平面ACD
AC
，DO 平面ACD ，
则DO 平面ACP ，PO 平面PAC ，故DO
PO
，
DPO
为直线DP 与平面PAC 所成角；
在Rt
ACD
△
中，
4,
60
AC
DAC
，则
2
AD
，
故
sin60
3,
cos60
1,
3
DO
AD
AO
AD
CO
，
在
PCO
△
中，
45
sin 45
2 2,
3
,
PCA
PC
AC
CO
，
由余弦定理可得
2
2
2
cos45
17 12
5
PO
PC
OC
PC OC
，
在Rt POD
中，
2
2
5
3
2 2
PD
PO
OD
,
3
6
sin
4
2 2
DO
DPO
PD
．
即直线PD 与平面PAC 所成角的正弦值为
6
4
．
3．如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是边长为a 的正方形，侧面PAD 底面ABCD，且
2
2
PA
PD
a
，设E 、F 分别为PC 、BD 的中点．
(1)证明：直线
//
EF
平面PAD ；
(2)求直线PB 与平面ABCD所成的角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
5
5
【分析】（1）连接AC ，利用中位线的性质可得出
//
EF PA ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）取线段AD 的中点M ，连接PM 、BM ，推导出PM 平面ABCD，可知，PB 与平面ABCD所成的
角为
PBM
，计算出PM 、BM 的长，即可求得
PBM
的正切值.
【详解】（1）证明：连接AC ，如图：
因为底面ABCD为正方形，F 为BD 的中点，则F 为AC 中点，
又因为E 为PC 的中点，所以，EF 为CAP
的中位线，所以，
//
EF PA ，
又PA 平面PAD ，EF 平面PAD ，
所以，
//
EF
平面PAD .
（2）解：取线段AD 的中点M ，连接PM 、BM ，如下图所示：
因为PA
PD
，M 为AD 的中点，则PM
AD
，
因为平面PAD 底面ABCD，平面PAD 平面ABCD
AD
，PM 平面PAD ，
所以，PM 平面ABCD，则PB 与平面ABCD所成的角为
PBM
，
因为
2
2
PA
PD
a
，AD
a
，则
2
2
2
PA
PD
AD
，所以，PA
PD
，
所以，
1
2
2
a
PM
AD
，
因为四边形ABCD是边长为a 的正方形，则
2
2
2
2
5
2
2
a
BM
AM
AB
a
a
，
因为PM 平面ABCD，BM 平面ABCD，则PM
BM
，
因此，
2
5
tan
2
5
5
PM
a
PBM
BM
a
，
因此，直线PB 与平面ABCD所成的角的正切值为
5
5 .
4．如图，已知四棱锥P
ABCD
的底面ABCD是菱形，
60
BCD
，PBC
是边长为2 的正三角形，平
面PBC 平面ABCD，E 为AD 的中点，点F 在PA 上，
3
AP
AF
.
(1)证明：PC∥平面BEF ；
(2)求三棱锥C
BEF
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2) 1
3
【分析】
（1）设
,
AC BE 的交点为O，连接FO，通过证明AO
AF
OC
FP
即可得到
/ /
FO
PC ，从而即可得证.
（2）由题意
2
3
C BEF
P BEF
P ABE
V
V
V
，故只需求出点P 到底面ABCD的距离、ABE
的面积即可得解.
【详解】（1）
菱形ABCD中，设
,
AC BE 的交点为O，连接FO，由
AOE
△
∽
COB
△
且E 为AD 的中点，
得
1
2
AO
AE
OC
BC
，
在
APC
△
中，
3
AP
AF
，
所以
1
2
AO
AF
OC
FP
，
所以
/ /
FO
PC ，
又FO 平面BEF ，PC 平面BEF ，
则PC / / 平面BEF .
（2）取BC 的中点为H ，连接PH ，由PBC
是正三角形，得PH
BC
，
又平面PBC 平面ABCD，平面PBC 平面ABCD
BC
，PH 平面PBC ，
则PH 平面ABCD，
因为PBC
是边长为2 的正三角形，
所以点P 到底面ABCD的距离为
3
PH
，
因为PC / / 平面BEF ，所以P，C 到平面BEF 的距离相等，又
2
3
PF
PA
，
60
BAE
BCD
，
所以三棱锥C
BEF
的体积为
2
2
2
1
1
3
1
2
3
3
3
3
3
2
2
3
C BEF
P BEF
E PBF
E PAB
P ABE
V
V
V
V
V
.
5．如图，已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面边长是2，D 是侧棱
1
CC 的中点，直线AD 与侧面
1
1
BB C C 所成
的角为45.
(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)求二面角A－BD－C 的正切值.
【答案】(1) 2 2
(2)3
【分析】（1）首先设正三棱柱的侧棱长为x ，再构造直线AD 与侧面
1
1
BB C C 所成的角，根据三角函数即可
求解；
（2）首先利用垂直关系构造二面角的平面角，再根据三角形的性质求边长，以及正切值.
【详解】（1）设正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的侧棱长为x，取BC 中点E，连接AE，
∵ABC
是正三角形，∴AE
BC
，又底面ABC 侧面
1
1
BB C C ，且两平面交线为BC，
∴
AE
侧面
1
1
BB C C ，连接ED，则∠ADE 为直线AD 与侧面
1
1
BB C C 所成的角，
∴
45
ADE
∠
，在Rt
AED
△
中，
2
3
tan 45
1
1
4
AE
ED
x
，解得
2 2
x
，
∴此正三棱柱的侧棱长为2 2 .
（2）过E 作EF
BD
于F，连接AF，∵
AE
侧面
1
1
BB C C ，
BD 平面
1
1
BB C C ，∴AE
BD
，EF
AE
E
，且
,
AE EF 平面AEF ，
BD
平面AEF ，
AF
BD
，∴∠AFE 为二面角A－BD－C 的平面角.
在Rt
BEF
△
中，
sin
EF
BE
EBF
，又BE＝1，
2
2
2
3
sin
3
2
( 2)
CD
EBF
BD
，∴
3
3
EF
，又
3
AE
，
∴在Rt
AEF
△
中，tan
3
AE
AFE
EF
.
模块三：综合巩固
1.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，二面角
1A
BC
A
的余弦值为（
）
A．
1
2
B．2
3
C．
2
2
D．
3
2
【答案】C
【解析】如图所示：因为BC 平面
1
1
ABB A ,
所以
1
,
BC
AB BC
A B
,
所以
1A BA
为二面角
1A
BC
A
的平面角，
在
1
Rt
ABA
△
中，
1
1
2
cos
2
AB
A BA
A B
．故选：C.
2.过正方形ABCD的顶点A 作AP 平面ABCD，且AP
AB
，则二面角P
CD
A
的大小是（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
【答案】B
【解析】因为AP 平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA
CD
，
又
,
,
,
AD
CD AD
AP
A AD AP
平面PAD ，所以CD 平面PAD ，
又PD 平面PAD ，所以PD
CD
，
所以二面角P
CD
A
的平面角是
PDA
，
又
,
AP
AB AB
AD
，所以AP
AD
，故
45
PDA
，
即二面角P
CD
A
的大小是45.故选：B.
3.设二面角
l
的大小为45°，A 为棱上一点，AB 在内与l 成45°角，则AB 与平面所成角的大
小为_____．
【答案】30°
【解析】如图，过点B 作BD
于D ，在平面内作CD
l
交l 于C ，连接BC ，
由于l
BD
，CD
l
，
,
,
BD
CD
D BD CD
平面BCD ，
所以l 平面BCD，BC 平面BCD，故BC
l
BCD
是二面角
l
的平面角，即
45
BCD
，
由
45
BAC
，设AC
BC
a
，
由于l 平面BCD，
AC
平面BCD，
BD
Q
平面BCD，
AC
BD
，
BC
CD
，AC
CD
C
，
BD
平面，
BAD
是直线AB 与平面所成的角，
45
BCD
，BC
a
，
2
2
BD
a
，
2
1
2
sin
2
2
a
BD
BAD
AB
a
，由于
BAD
为锐角，
30
BAD
o .
4.如图，若PA 平面ABCD，四边形ABCD 为正方形，PA
AB
，则二面角P
BC
A
的大小为______.
【答案】45
【解析】
PA
平面ABCD，
PA
BC
，
又
ABCD
是正方形，
BC
AB
，
又
AB
PA
A
，
BC
平面PAB ，
PBA
是二面角P
BC
A
的平面角.
在Rt PAB
中，PA
AB
，
45
PBA
，
二面角P
BC
A
的大小为45.
5.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
E F 分别为AB 、
1
AA 的中点，则平面
1
CEB 与平面
1
1
D FB 所成二面
角的平面角的正弦值为______．
【答案】
3
2
【解析】设棱长为1，延长CE 、
1
D F 、DA 交于一点G ，
所以
1
2
B C
，
1
3
B G
，
5
CG
，则
2
1B C
2
1B G
2
CG ，故
1
1
B G
B C
．
同理
1
1
1
B D
B G
，则
1
1
CB D
即为所求二角的平面角，而
1
1
1
1
2
D C
B D
B C
，
所以
1
1
60
CB D
，其正弦值为
3
2
．
6．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中.
(1)求证：
1//
BC
平面
1
1
AB D ；
(2)作出二面角
1
1
B
AD
B
的平面角，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)图形见解析，理由见解析.
【分析】（1）由正方体的性质可得
1
1
ABC D 为平行四边形，即可得到
1
1
//
BC
AD ，从而得证.
（2）取
1
BC 、
1
AD 中点分别为P 、Q ，连接
1
B Q 、PQ，则
1
B QP
为二面角
1
1
B
AD
B
的平面角，根据正
方体的性质可得
1
1
B Q
AD
，再证
1
AB
AD
、
//
PQ AB ，即可得证.
(1)
证明：∵
1
1
1
1
ABCD
ABC D
是正方体，
∴
1
1
//
AB C D ，且
1
1
AB
C D
，
∴四边形
1
1
ABC D 为平行四边形，
∴
1
1
//
BC
AD ，
∵
1
BC 平面
1
1
AB D ，
1
AD 平面
1
1
AB D ，
∴
1//
BC
平面
1
1
AB D ．
(2)
解：取
1
BC 、
1
AD 中点分别为P 、Q ，连接
1
B Q 、PQ，则
1
B QP
为二面角
1
1
B
AD
B
的平面角，
理由如下：
设正方体的棱长为a ，则
1
1
1
2
AB
B D
a
，所以
1
1
B Q
AD
．
∵P 、Q 分别为
1
BC 、
1
AD 中点，
∴
//
PQ AB ．
在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，AB 平面
1
1
AA D D，
1
AD 平面
1
1
AA D D，
∴
1
AB
AD
，
∴
1
PQ
AD
，
∴
1
B QP
为二面角
1
1
B
AD
B
的平面角．
7．如图，正三棱锥S
ABC
中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2 倍，M 是BC 的中点．求：
(1) AM
SM 的值；
(2)二面角S
BC
A
的大小；
(3)正三棱锥S
ABC
的体积．
【答案】(1) 3
2 ；
(2) π
3 ；
(3) 9 3
8
.
【分析】（1）根据三角形面积公式，结合已知进行求解即可；
（2）根据二面角的定义进行求解即可；
（3）根据三棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】（1）因为S
ABC
是正三棱锥，所以ABC 是等边三角形，
即AB
AC
，而M 是BC 的中点．所以AM
BC
，
因为S
ABC
是正三棱锥，所以SB
SC
，而M 是BC 的中点．所以SM
BC
，
因为棱锥的侧面积等于底面积的2 倍，
所以有
1
1
3
3
2
2
2
2
AM
SM BC
AM BC
SM
；
（2）因为S
ABC
是正三棱锥，
所以S在底面ABC 的射影为底面ABC 的中心，设为O，
由（1）可知AM 是三角形ABC 的中线，所以O在AM 上，
且
1
3
OM
AM
，
由（1）可知AM
BC
，SM
BC
，
所以
SMO
是二面角S
BC
A
的平面角，
在直角三角形SOM 中，
1
1
3
1
π
3
cos
3
2
2
3
AM
OM
SMO
SMO
SM
SM
；
（3）在等边三角形ABC 中，
2
2
1
9
3 3
(
)
9
2
4
2
AM
AB
BC
，
由（2）可知：在直角三角形SOM 中，
π
1
3 3
3
tan
3
3
3
3
2
2
SO
SO
OM
OM
，
所以正三棱锥S
ABC
的体积为1
1
3 3
3
9 3
3
3
2
2
2
8
.
8．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，
2
1
AB
AF
，
，M 是线段EF 的中点．
(1)求证：AM // 平面BDE；
(2)求证：
AM
平面BDF；
(3)求二面角A
DF
B
的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3) 3
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明，
（2）由线面垂直的判定定理证明，
（3）过A 作DF 垂线，交DF 于H 点，连接BH ，
BHA
即为二面角A
DF
B
的平面角，从而得解.
【详解】（1）记
,
AC BD 交点为N ，则
//
EM AN 且EM
AN
，
四边形ANEM 是平行四边形，
//
AM
EN ，
而EN 平面BDE ，AM 平面BDE ，
AM // 平面BDE ．
（2）由题意得BD
AC
，平面ABCD 平面ACEF ，
而平面ABCD 平面ACEF
AC
，BD 平面ABCD，
BD 平面ACEF ，而AM 平面ACEF ，
BD
AM
，
1
AN ，
1
AF ，则四边形ANMF 为正方形，AM
NF
，
BD
NF
N
，BD 平面BDF ，NF 平面BDF ，
AM
平面BDF ．
（3）过A 作DF 垂线，交DF 于H 点，连接BH ，
由AF
AC
，AF 平面ACEF ，故AF 平面ABCD，
AB 平面ABCD，AF
AB
，
而AB
AD
，AD
AF
A
，AD 平面ADF ，AF 平面ADF ，
AB
平面ADF ，
故
BHA
即为二面角A
DF
B
的平面角，
而
2
6
3
3
AH
，
2
AB
，故
2
tan
3
6
3
BHA
，
二面角A
DF
B
的大小为π
3 ，
9．如图，已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱
1
CC
上的点，且
1
2
CN
C N
．
(1)求二面角
1B
AM
N
的平面角的余弦值；
(2)求点
1
B 到平面AMN 的距离．
【答案】(1)
5
5
(2)1
【分析】（1）根据条件可证明AM 面
1
1
BCC B ，然后可得
1B MN
为二面角
1B
AM
N
的平面角，然后
求出答案即可；
（2）过
1
B 在面
1
1
BCC B 内作直线
1B H
MN
，结合（1）可证明
1
B H 平面AMN ，然后求出
1B H 的长度即
可．
【详解】（1）
因为M 是底面BC 边上的中点，
所以AM
BC
，又
1
AM
CC
，
1
BC
CC
C
所以AM 面
1
1
BCC B ，
因为
1B M 面
1
1
BCC B ，NM 面
1
1
BCC B ，所以
1
AM
B M
，AM
NM
，
所以
1B MN
为二面角
1B
AM
N
的平面角．
又
2
2
1
1
1
5
1
4
2
B M
B B
BM
，
2
2
1
4
5
4
9
6
MN
MC
CN
，
连接
1B N ，
2
2
1
1
1
1
1
10
1
9
3
B N
B C
C N
，
所以
2
2
2
1
1
1
1
5
25
10
5
4
36
9
cos
2
5
5
5
2
2
6
B M
MN
B N
B MN
B M MN
，
故所求二面角
1B
AM
N
的平面角的余弦值为
5
5 ．
（2）过
1
B 在面
1
1
BCC B 内作直线
1B H
MN
，H 为垂足．
又AM 平面
1
1
BCC B ，
1B H 平面
1
1
BCC B ，
所以
1
AM
B H
．
因为AM
MN
M
，所以
1
B H 平面AMN ，故
1B H 即为
1
B 到平面AMN 的距离，
在
1
Rt B HM
中，
1
1
1
5
1
sin
1
1
2
5
B H
B M
B MH
，
故点
1
B 到平面AMN 的距离为1．
10．如图，四棱锥S
ABCD
的底面是边长为1 的正方形，SD 垂直于底面
,
3
ABCD SB
．
(1)求证：BC
SC
；
(2)求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；
(3)设棱SA的中点为M，求异面直线DM 与SB 所成的角的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 45
(3)90．
【分析】（1）证明BC 平面SCD 后得证线线垂直；
（2）设面ASD 与面BSC 的交线为l ，证明
/ / / /
AD
l
BC ，得
DSC
是所求二面角的平面角，求出此角即得；
（3）取AB 中点N ，连接
,
MN DN ，异面直线DM 与SB 所成的角是
DMN
或其补角，DMN
中求出此
角．
【详解】（1）SD 平面ABCD，BC 平面ABCD，则SD
BC
，同理SD
AD
，SD
CD
，SD
BD
，
又BC
DC
，SD
CD
D
，
,
SD DC 平面SCD ，
所以BC 平面SCD ，而SC 平面SCD ，所以BC
SC
；
（2）设面ASD 与面BSC 的交线为l ，
因为
/ /
AD
BC ，AD 平面SBC ，BC 平面SBC ，所以
/ /
AD
平面SBC ，
AD 平面SAD ，所以AD / /l ，即
/ / / /
AD
l
BC ，
所以，由（1）得
,
SD
l SC
l
，
所以
DSC
是所求二面角的平面角，
2
2
2
2
2
( 3)
(1
1 )
1
SD
SB
BD
，SD
CD
，
45
DSC
，
所以所求二面角为45；
（3）取AB 中点N ，连接
,
MN DN ，
因为M 是SA中点，所以
/ /
MN
SB ，
所以异面直线DM 与SB 所成的角是
DMN
或其补角，
DMN
中，
1
2
2
2
DM
SA
，
1
3
2
2
MN
SB
，
2
2
1
5
1
( )
2
2
DN
，
所以
2
2
2
DM
MN
DN
，DM
MN
，
90
DMN
，
所以异面直线DM 与SB 所成的角是90．
11.设m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（
）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
【答案】B
【解析】对于A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；
对于B，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，
又因为n∥β，由面面垂直判定定理得α⊥β，故B 正确；
对于C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故C 错误；
对于D.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n 或m 与n 异面，故D 错误．故选：B．
12.设m，n 是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列说法不正确的是（
）
A．若m
∥
且m
，则
B．若m
，n
，
，则直线m 与n 相交或异面
C．若m
，n
∥
，
，则直线m 与n 一定垂直
D．若m
，n
，
∥
，则m 与n 异面或平行
【答案】C
【解析】对于A，若m
∥
且m
，则
，判断正确；
对于B，若m
，n
，
，则直线m 与n 相交垂直或异面垂直，故B 正确；
对于C，若m
，n
∥
，
，则直线m 与n 相交､平行或异面，故C 错误；
对于D，若m
，n
，
∥
，则m 与n 异面或平行，故D 正确.故选：C
13.已知直线m
n
，与平面
，，，则能使
成立的一个充分条件是（
）
A．
，
B．
,
,
m n
m n
C．
,
,
m
n m
n
D．m ∥，m
【答案】D
【解析】对于A ，平面间的垂直关系，不具有传递性，故A 错误；
对于B，
,
,
m n
m n
，但与可能垂直，也可能不垂直，
无法判断垂直关系，故B 错误；
对于C，
,
,
m
n m
n
，同样的与可能垂直，也可能不垂直，
依然无法判断空间中的位置关系，C 错误；
对于D，若
/ /
m
，则必在中存在直线//
l
m ，
因为m
，则l
，故
，故D 正确；故选：D．
14.l ，m 是空间两条直线，，是空间两个平面，则（
）
A．//
l
m ，l ，m
，则
/ /
B．l
m
，l ，m
，则
C．
，//
l ，
/ /
m
，则l
m
D．l
，//
l
m ，m
，则
【答案】D
【解析】A 中：//
l
m ，l ，m
，则
/ /
或与相交，故A 错误；
B 中：l
m
，l ，m
，则
/ /
或
或与相交，故B 错误；，
C 中：
，//
l ，
/ /
m
，则l
m
或相交或平行或异面，故C 错误；
D 中：l
，//
l
m ，则m
，又m
，则
，故D 正确.故选：D.
15.在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，
2
2
PA
AB
AC
，
60
BAC
，F 为棱PC 上一点，满足
AF
PC
于F．求证：平面ABF 平面PBC ；
【答案】证明见解析
【解析】因为
2
2
AB
AC
，
60
BAC
，
由余弦定理，
2
2
2
2
2
1
2
cos
2
1
2
2 1
3
2
BAC
BC
AB
AC
AB AC
，
解得
3
BC
，
2
2
2
BC
AC
AB
，所以BC
AC
，
又PA 平面ABC ，BC 平面ABC ，所以PA BC ，
又PA
AC
A
，PA 平面PAC ，AC 平面PAC ，
所以BC 平面PAC ，又AF 平面PAC ，所以BC AF ，
又AF
PC
，BC
PC
C
，BC 平面PBC ，PC 平面PBC ，
所以AF 平面PBC ，又AF 平面ABF ，
所以平面ABF 平面PBC .
16.如图所示，圆锥的高
2
PO
，底面圆O 的半径为R，延长直径AB 到点C，使得BC
R
，分别过点A，C
作底面圆O 的切线，两切线相交于点E，点D 是切线CE 与圆O 的切点．证明：平面PDE 平面POD ；
【答案】证明见解析
【解析】由题设，PO 平面ABD ，又D 是切线CE 与圆O的切点，
∴CE 平面ABD ，则PO
CE
，且OD
CE
，
又PO
OD
O
，
,
PO OD 平面POD ，∴CE 平面POD ，
又CE 平面PDE ，所以平面PDE 平面POD .
17.如图所示，四边形ABCD为正方形，PD 平面ABCD，PD//QA ，
1
2
QA
AB
PD
．证明：平面PQC
平面DCQ ．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为PD 平面ABCD，CD 、AD 平面ABCD，
所以PD
CD
，PD
AD
，
又CD
AD
，AD
PD
D
，AD 、PD 平面AQPD ，
所以CD 平面AQPD ，又PQ 平面AQPD ，所以CD
PQ
，
在梯形ADPQ 中，PD
AD
，所以梯形ADPQ 为直角梯形，
又AD
AQ
，所以AQD
为等腰直角三角形，
则
2
DQ
AQ
，
45
PDQ
DQA
，
因为
2
PD
AQ
，取DP 的中点E ，连接QE ，
则四边形AQED 为正方形，
所以EQ
EP
，则
45
EPQ
，
所以
DQP
△
为等腰直角三角形，则PQ
DQ
，
由DQ
CD
D
，DQ 、CD 平面DCQ ，
所以PQ 平面DCQ ，又PQ 平面PQC ，
所以平面PQC 平面DCQ ．
18.如图，在正四棱锥P
ABCD
中，侧棱长为
3 ，底面边长为2，点E，F 分别为CD，CB 中点．求证：
（1）PA
EF
；
（2）平面PAD 平面PBC．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）连接AC，BD 交于点O，连接PO，
在正四棱锥P
ABCD
中，PO 平面ABCD，
因为BD 平面ABCD，所以PO
BD
，
又AC
BD
，PO
AC
O
，
,
PO AC 平面PAO，
所以BD 平面PAO，
因为点E，F 分别CD，BC 中点．
所以EF
BD
∥
，所以EF 平面PAO，
又PA 平面PAO，所以PA
EF
；
（2）连接PF ，取AD 的中点G，连接PG，FG，
在正四棱锥P
ABCD
中，F 是BC 中点，所以PF
BC
，
又BC
AD
∥
，所以PF
AD
，
因为在正四棱锥P
ABCD
中，侧棱长为
3 ，底面边长为2，
所以在△PBC 和△PAD 中，
3 1
2
PF
PG
，又
2
FG
，
所以
2
2
2
PF
PG
FG
，所以PF
PG
，
又PG
AD
G
，
,
PG AD 平面PAD，所以PF 平面PAD，
又PF 平面PBC，所以平面PAD 平面PBC.
19．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD为菱形，
π
3
BAD
，
2
2
BD
DE
BF
，DE
AC
，
BF
DE
．
(1)求证：平面ACF 平面BDEF ；
(2)当BF
CD
⊥
时，求三棱锥D
ACF
的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
3
【分析】（1）根据线面垂直的判定证明AC 平面BDEF 即可；
（2）先根据线面垂直的判定证明BF 平面ABCD，再根据
D ACF
B ACF
F
ABC
V
V
V
求解即可.
【详解】（1）因为BF
DE
，所以
,
,
,
B D E F 四点共面，
因为四边形ABCD为菱形，所以AC
BD
，
因为
,
,
,
AC
DE BD
DE
D BD DE
平面BDEF ，
所以AC 平面BDEF ，
因为AC 平面ACF ，
所以平面ACF 平面BDEF ；
（2）因为AC 平面BDEF ，BF 平面BDEF ，所以BF
AC
，
又因为
,
BF
CD AC
CD
C
，
,
CD AC 平面ABCD，故BF 平面ABCD，
又因为
,
AC BD互相平分，所以点D 到平面ACF 的距离等于点B 到平面ACF 的距离，
所以
D ACF
B ACF
V
V
，
又因为
1
1
1
3
3
1
2
2
3
3
2
2
3
B ACF
F
ABC
ABC
V
V
BF S
，
所以三棱锥D
ACF
的体积为
3
3
.
20．在平面四边形ACBD(图①)中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD
＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C′ABD.当C′D＝
2 时，求证：平
面C′AB⊥平面DAB.
【答案】证明见解析
【详解】
证明：当C′D＝
时，取AB 的中点O，连接C′O，DO(图略)，
在Rt△AC′B，Rt△ADB 中，AB＝2，则C′O＝DO＝1.
因为C′D＝
，所以C′O2＋DO2＝C′D2，即C′O⊥OD.
因为△CAB 是等腰直角三角形，所以C′O⊥AB.
又AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面ABD，
所以C′O⊥平面ABD.
因为C′O⊂平面C′AB，所以平面C′AB⊥平面DAB.
【考查意图】折叠问题中面面垂直的证明．
21．如图所示，在矩形ABCD中，已知
1
2
AB
AD
，E 是AD 的中点，沿BE 将ABE
折起至A BE
的位置，
使AC
A D
.求证：平面A BE
平面BCDE .
【答案】证明见解析
【分析】
取CD 的中点M ，BE 的中点N ，得到
//
MN BC ，易知A N
BE
，A M
CD
，得到CD 平面A MN
，
CD
A N
，再结合A N
BE
，得到A N
平面BCDE ，从而得到平面A BE
平面BCDE .
【详解】如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接
,
,
A M A N MN
，
则
//
MN BC .
1
2
AB
AD
，E 是AD 的中点，
AB
AE
∴
，即A B
A E
.
A N
BE
.
AC
A D
，
A M
CD
.
在四边形BCDE 中，CD
MN
，
又
MN
A M
M
，
,
MN A M
平面A MN
，
CD
\
^平面A MN
，
A N
平面A MN
，
CD
A N
.
//
DE BC
且
1
2
DE
BC
，
∴直线BE 必与直线CD 相交，且
,
BE CD 平面BCDE .
又
A N
BE
，A N
CD
，
A N
平面BCDE .
又
A N
平面A BE
，
∴平面A BE
平面BCDE .
22．如图几何体中，底面ABC 是边长为2 的正三角形，
AE
平面ABC ，若
/ /
/ /
AE
CD
BF ，
5
AE ，
4
CD
，
3
BF
．
(1)求证：平面DEF 平面AEFB ；
(2)求该几何体的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2) 4 3
【分析】
（1）设
,
M N 分别为EF ，AB 边的中点，证得四边形CNMD 为平行四边形，得到
/ /
MD
CN ，再由CN
AB
和AE
CN
，证得CN 平面ABFE ，进而得到MD 平面ABFE ，即可证得平面DEF 平面AEFB ；
（2）过点F 作平行于底面ABC 的平面FPQ ，分别求得三棱柱ABC
PFQ
和四棱锥F
PQDE
的体积，进
而求得该几何体的体积.
【详解】（1）
证明：设
,
M N 分别为EF ，AB 边的中点，连接
,
,
MN DM CN ，
因为
AE
平面ABC ，且
/ /
/ /
AE
CD
BF ，
5
AE ，
4
CD
，
3
BF
，
所以
4
MN
CD
，且
//
MN
CD，
即四边形CNMD 为平行四边形，可得
/ /
MD
CN ，
在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN
AB
，
又因为
AE
平面ABC ，且CN 平面ABC ，所以AE
CN
，
由于
AE
AB
A ，且
,
AE AB 平面ABFE ，所以CN 平面ABFE ，
因为
/ /
MD
CN ，且CN 平面ABFE ，则MD 平面ABFE ，
又MD 平面DEF ，则平面DEF 平面AEFB ．
（2）
解：过点F 作平行于底面ABC 的平面FPQ ，
由ABC
是边长为2 的正三角形，且
AE
平面ABC ，
可得点F 到平面ACDE 的距离为
3 ，
因为
/ /
/ /
AE
CD
BF ，所以CD 平面ABC ，BF 平面ABC ，
又由
4,
3
5,CD
A
F
E
B
，
可得三棱柱ABC
PFQ
的体积为
2
1
3
=
2
3=3 3
4
V
，
又因为梯形PQDE 的面积为
1
1
=
(
)
(1
2)
2
3
2
2
S
DQ
PE
PQ
，
可得四棱锥F
PQDE
的体积为
1
1
1
=
3
3
3
3
3
V
Sh
，
所以该几何体的体积为
1
2
3 3
3
4 3
V
V
V
.
23．如图，在多面体ABCDE 中，A，B，E，D 四点共面，DA
ABC
平面
，
2
AB
AC
，
2
2
DA
，
3
EB
，
BE
DE
，F 为BC 的中点．
(1)求证：平面ADF 平面BCE；
(2)求点E 到平面ABC 的距离．
【答案】(1)证明见解析.
(2)
2 .
【分析】
（1）利用线面垂直与面面垂直的判定与性质定理即可得证；
（2）在四边形ABED 内，由BE
DE
、DA
AB
，可得
EBA
EDA
与
互补，则由余弦定理解得
3
cos
3
EBA
，进而求出点E 到平面ABC 的距离．
【详解】（1）DA
ABC
平面
，BC
ABC
平面
，
BC
DA
，
又
2
AB
AC
，F 为BC 的中点，
BC
AF
，
又AD
AF
A
，AD
AF
ADF
、
平面
，
BC
ADF
平面
，
又
BC
BCE
平面
，
ADF
BCE
平面
平面
.
（2）DA
ABC
平面
，AB
ABC
平面
，
DA
AB
，
连接DB ，则
2
2
2
2
2
9
2
BD
DA
AB
DE
EB
，解得
6
2
DE
，
如图，在平面ABED 内，过E 作EH
AB
H
于
，连接AE
BD
、
，
则EH
AD
∥
，
EH
ABC
平面
，
在四边形ABED 中，易知
EBA
EDA
与
互补，
则
2
2
2
2
2
2
cos
2
cos
AE
AB
BE
AB BE
EBA
AD
ED
AD ED
EDA
，
即
1
3
2
6
4
3
2
2
3 cos
2
cos π
2
2
2
2
EBA
EBA
，
解得
3
cos
3
EBA
，
3
AE
，
2
EH
，
即点E 到平面ABC 的距离为
2 .
24．如图，在平行四边形ABCM 中，
3
AB
AC
，
90
ACM
，以AC 为折痕将
ACM
△
折起，使点M
到达点D 的位置，且AB
DA
．
(1)证明：平面ACD 平面ABC；
(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且
2
3
BP
DQ
DA
，求三棱锥Q
ABP
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1.
【分析】（1）证明AB
AC
，结合AB
DA
，证明AB 平面ACD ，再证明平面ACD 平面ABC .
（2）由（1）及已知条件可得QE 平面ABC ，再求出三棱锥Q
ABP
的体积.
【详解】（1）在
ABCM
中，由
90
ACM
，得
90
BAC
，即BA
AC
，
又AB
DA
，且
,
,
AC
AD
A AC AD
平面ACD ，则AB 平面ACD ，而AB 平面ABC ，
所以平面ACD 平面ABC .
（2）依题意，
3
DC
CM
AB
AC
，
3 2
DA
，又
2
3
BP
DQ
DA
，则
2 2
BP
，
在平面ACD 内过点Q 作QE
AC
于E，则
/ /
QE
DC ，
1
1
3
QE
DC
，
由（1）知，平面ACD 平面ABC ，而平面ACD 平面ABC
AC
，DC
CA
，
DC 平面ACD ，则DC 平面ABC ，于是QE 平面ABC ，显然
45
ABP
，
所以三棱锥Q
ABP
的体积为
1
1
1
sin
3
3
2
Q ABP
ABP
V
QE S
QE
AB BP
ABP
1
2
1 3 2 2
1
6
2
.
25．如图，在平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点，
,
/ /
PA
AB CD
AB ，且
2
4
PA
CD
AB
.将此平
面四边形ABCP 沿CD 折成直二面角P
DC
B
，连接
,
,
PA PB BD .证明：平面PBD 平面PBC .
【答案】证明见解析
【分析】首先由面面垂直性质得PD 平面ABCD，进一步有PD
BC
，由几何关系得BD
BC
，由此结
合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.
【详解】
P
DC
B
为直二面角的平面角，平面PDC 平面ABCD，
又平面PDC 平面ABCD
CD
，且
,
PD
CD PD
平面PDC ，
PD
平面ABCD，又BC 平面ABCD，
PD
BC
，
又在平面四边形ABCD中，
由题意可知
2 2,
4
BD
BC
CD
，
2
2
2
BD
BC
CD
，
BD
BC
，
又PD
BD
D
，BD 平面
,
PBD PD 平面PBD ，
BC
平面PBD ，
又BC 平面PBC ，平面PBD 平面PBC .
26．如图在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是正方形，侧面PAD 底面ABCD，且
1
2
PA
PD
BD
，设
,
E F 分别为
,
PC BD 的中点．
(1)求证：平面PAB 平面PDC ；
(2)求直线EF 与平面ABCD所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2) π
4
【分析】
（1）通过证明PA 面PDC 可得平面PAB 平面PDC ；
（2）通过
/ /
EF
PA以及侧面PAD 底面ABCD可得
PAD
就是直线PA 与平面ABCD所成角，求其大小即
可.
【详解】（1）因为面PAD 面ABCD，且面PAD 面ABCD
AD
，CD
AD
，CD 面ABCD，
所以CD 面PAD ，又PA 面PAD ，
所以CD
PA
，
又
1
2
PA
PD
BD
，又
2
BD
D
A
，
所以
2
2
PA
PD
AD
，
所以PAD
为等腰直角三角形，且PA
PD
，
又CD
PD
D
，且
,
CD PD 面PDC ，
所以PA 面PDC ，又PA 面PAB ，
所以平面PAB 平面PDC ；
（2）因为
,
E F 分别为
,
PC BD 的中点，所以
/ /
EF
PA，
所以直线EF 与平面ABCD所成角的大小等于直线PA 与平面ABCD所成角的大小，
因为侧面PAD 底面ABCD，
所以
PAD
就是直线PA 与平面ABCD所成角，
又PAD
为等腰直角三角形，且PA
PD
，
所以
π
4
PAD
，
即直线EF 与平面ABCD所成角的大小为π
4 .
27．如图，在三棱锥A
BCD
中，AB 平面BCD，平面ABC 平面ABD ，AC
AD
，AB
BD
．
(1)证明：BC
BD
；
(2)求二面角A
CD
B
的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
【分析】
（1）利用线面垂直及面面垂直的性质证明即可；
（2）利用几何法，取CD 中点M ，并连接AM 、BM ，结合条件证线线垂直，利用二面角定义解三角形
即可，
【详解】（1）
依题意，AB 面BCD，且
,
BD BC 面BCD，
所以AB
BC
，AB
BD
，
因为面ABC 面ABD ，面ABC 面ABD
AB
，BD 面BCD，且AB
BD
，
所以BD 面ABC ，
因为BC 面ABC ，
所以BC
BD
.
（2）取CD 中点M ，并连接AM 、BM .
因为AC
AD
，所以AM
CD
，
由勾股定理可知
2
2
2
2
BC
AC
AB
AD
AB
BD
AB
.
因为BC
BD
，所以BM
CD
；
则根据二面角定义可知
AMB
是二面角A
CD
B
的一个平面角，
且由图可知
AMB
为锐角.
由（1）AB
BC
，AB
BD
，
,
,
BC
BD
B BC BD
面BCD，
所以AB 面BCD，
又因为MB 面BCD，
所以AB
BM
，
设AB
a
=
，可得
2
2
BM
a
，则tan
2
BA
AMB
BM
，
即二面角的正切值为
2 .
28．如图，在棱长均为6 的三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D、
1
D 分别是BC 和
1
1
B C 的中点．
(1)求证：
1
1 / /
A D
平面
1
AB D ；
(2)若平面ABC 平面
1
1
BCC B ，
1
60
B BC
，求三棱锥
1
B
ABC
的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)27
【分析】
（1）连结
1
DD ，根据线面平行的判断定理，转化为证明
1
1 / /
A D
AD ，即可证明线面平行；
（2）利用等体积转化
1
1
B
ABC
A B BC
V
V
，再利用面面垂直的性质定理，转化为证明AD 平面
1
1
BCC B ，进而
即得.
【详解】（1）证明：连接
1
DD ，
在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
D、
1
D 分别是BC 和
1
1
B C 的中点，
1
/ /
BB
DD
，且
1
1
BB
DD
，
又
1
1
/ /
AA
BB ，
1
1
AA
BB
，
1
1
/ /
AA
DD
，
1
1
AA
DD
，
四边形
1
1
AA D D 为平行四边形，
1
1 / /
A D
AD
，
又
1
1
A D 平面ABD，AD 平面
1
AB D ，
故
1
1 / /
A D
平面
1
AB D ．
（2）在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，棱长均为6，则
6
AB
AC
，
D 为BC 的中点，
AD
BC
，
平面ABC 平面
1
1
B C CB ，交线为BC，AD 平面ABC，
AD 平面
1
1
B C CB，即AD 是三棱锥
1
A
B BC
的高，
在ABC
中，
6
AB
AC
BC
，得
3 3
AD
，
在ABC
中，
1
6
B B
BC
，
1
60
B BC
，
1
B BC
为等边三角形．
1
B BC
的面积为9 3 ，
1
1
1 9 3 3 3
27
3
B
ABC
A B BC
V
V
．
29．在三棱锥A
BCD
中，
,
,
AB
AD CB
CD O
为BD 的中点.
(1)证明：BD ⊥平面OAC .
(2)若
2
AB
BC
BD
，平面ABD 平面BCD，求点B 到平面ACD 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
2 15
5
d
【分析】
（1）由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直；
（2）由面面垂直得到线面垂直，求出
A BCD
V
，利用等体积法求出点到平面的距离.
【详解】（1）因为
,
AB
AD CB
CD
，O为BD 的中点，
所以
,
OA
BD OC
BD
，
又因为
,
OA OC 平面
,
OAC OA
OC
O
，
所以BD ⊥平面OAC .
（2）因为平面ABD 平面BCD，且平面ABD 平面
,
BCD
BD OA
BD
，OA 平面ABD ，
所以OA 平面BCD，
因为
2
AB
BC
BD
，所以
,
ABD
BCD
均为等边三角形，
故
3
AO
OC
，故
1
1
2
3
3
2
2
BCD
S
BD OC
，
所以
1
1
3
3
1
3
3
BCD
A BCD
V
S
OA
，
因为OA 平面BCD，OC 平面BCD，
所以OA OC ，由勾股定理得
2
2
3
3
6
AC
OA
OC
，
取AC 的中点H ，连接DH ，
在ACD
中，
2,
6
AD
CD
AC
，故DH ⊥AC ，
故
2
2
6
10
2
2
2
DH
，
1
1
10
15
6
2
2
2
2
ACD
S
AD DH
，
设点B 到平面ACD 的距离为d ，所以1
15
1
3
2
d
，解得
2 15
5
d
.
30.如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC 沿AC 折起，使平
面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.
【答案】证明见解析
【解析】如题图（1），在梯形ABCD 中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，
过C 作CE⊥AB，E 为垂足，
∴四边形AECD 为正方形，∴CE＝AE＝EB＝2，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
如题图（2），平面ACD⊥平面ABC 且平面ACD∩平面ABC＝AC，
又BC⊂平面ABC 且BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD.
31.在如图1 所示的等腰梯形CDEF 中，
2,
2
2 2
DE
CD
EF
，将它沿着两条高
,
AD BC 折叠成如图2
所示的四棱锥E
ABCD
（
,
E F 重合），点
,
M N 分别为线段
,
AB DE 的中点.
（1）证明：MN∥平面BEC ；
（2）求证：平面BEC 平面DEA.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：取EC 的中点G，连接NG，BG，
因为点
,
M N 分别为线段
,
AB DE 的中点.
所以
1
//
,
2
NG DC NG
DC
，
又
1
//
,
2
AB DC MB
AB
，所以
//
,
NG BM NG
BM
，
所以四边形MBGN 是平行四边形，所以
//
MN BG ，
又MN 平面BCE ，BG 平面BCE ，
所以MN∥平面BEC ；
（2）证明：因为等腰梯形CDEF 中，
2,
2
2 2
DE
CD
EF
，
所以
2,
2,
2
AE
BF
CF
AB
，
所以在ABE
中满足
2
2
2
AE
BE
AB
，所以BE
AE
⊥
，
又
,
,
DA
AE DA
AB AE
AB
A
，
所以DA 平面AEB ，所以DA
BE
，
又DA
AE
A
，所以BE 平面DAE ，
又BE 平面BCE ，
所以平面BEC 平面DEA .
32.点D 是Rt ABC
斜边AB 上一动点，
3
AC
，
4
BC
，将BCD
沿着CD 翻折，翻折后的三角形为
B CD
△
，
且平面B DC
平面ADC ，则翻折后AB的最小值是（
）
A．
21
B．13
C．2 2
D．
7
【答案】B
【解析】过点B作B E
CD
于点E，连接AE ，如图所示.
设
0
2
BCD
B CD
，则
4sin
B E
，
4cos
CE
，
2
ACE
.
在
AEC
△
中，由余弦定理得，
2
2
2
2
2
cos
9 16cos
24cos
sin
2
AE
AC
CE
AC CE
.
∵平面B CD
平面ACD ，平面B CD
平面ACD
CD
，B E
CD
，B E
平面B CD
，
∴B E
平面ACD .
又AE 平面ACD ，∴B E
AE
.
在Rt
AEB
△
中，由勾股定理得，
2
2
2
2
2
9
16cos
24cos
sin
16sin
25 12sin 2
AB
AE
BE
∴当
4
时，AB取得最小值，为13 .故选：B.
33.如图，在三棱台ABCDEF 中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
（1）设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；
（2）若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE 上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G 点的
位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在点G，且BG＝1
3 BE
【解析】（1）在三棱台ABCDEF 中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，
∴DF∥平面ACE.
又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.
（2）线段BE 上存在点G，且BG＝1
3 BE 时，使得平面DFG⊥平面CDE.
证明如下：取CE 的中点O，连接FO 并延长交BE 于点G，
交CB 的延长线于点H，连接GD，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.
在三棱台ABCDEF 中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF，DE 平面DEF，可得CF⊥DE.
又CF∩EF＝F，CF平面CBEF，EF平面CBEF，
∴DE⊥平面CBEF，
∵GF⊂平面CBEF，∴DE⊥GF.
∵CE∩DE＝E，CE⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，
∴GF⊥平面CDE.
又GF⊂平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE.
∵O 为CE 的中点，EF＝CF＝2BC，
由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，
∴HB＝BC＝
1
2 EF.
由△HGB∽△FGE，可知
1
2
BG
HB
GE
EF
，即BG＝1
3 BE.
34.如图，在四棱锥S
ABCD
中，底面ABCD 为矩形，
SAD
△
为等腰直角三角形，
2 2
SA
SD
，
=2
AB
，
F 是BC 的中点．
（1）在AD 上是否存在点E，使得平面SEF 平面ABCD，若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明
理由．
（2）
SBC
△
为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE 与平面SBC 所成角的正弦值．
【答案】（1）存在，E 为AD 的中点；（2）
1
2
【解析】（1）在线段AD 上存在点E 满足题意，且E 为AD 的中点．
如图，取AD 中点E 连接EF，SE，SF，
因为四边形ABCD 是矩形，所以AB
AD
．
又E，F 分别是AD，BC 的中点，所以
/ /
EF
AB ，AD
EF
．
因为SAD
为等腰直角三角形，SA
SD
，E 为AD 的中点，所以SE
AD
．
因为SE
EF
E
，SE 平面SEF ，EF 平面SEF ，
所以AD 平面SEF ．
又AD 平面ABCD．所以平面SEF 平面ABCD．
故AD 上存在中点E，使得平面SEF 平面ABCD．
（2）过点E 作EG
SF
于点G，由（1）知AD 平面SEF ，又
/ /
BC
AD
则BC 平面SEF ，EG 平面SEF ，
所以BC
EG
，又SF
BC
F
，所以EG 平面SBC ，
所以直线SE 与平面SBC 所成的角为
ESG
，
由SAD
为等腰直角三角形，
2 2
SA
SD
，
得
2
2
2 2
2 2
16
4
AD
，
2 2
2 2
2
4
SE
．
又
2
EF
AB
，
因为
SBC
△
为等边三角形，
4
BC
AD
，所以
2 3
SF
,
在SEF
中，
2
SE
EF
，
2 3
SF
所以
2
2
2
3
1
EG
．则
1
sin
2
EG
ESG
SE
，
即直线SE 与平面SBC 所成角的正弦值为
1
2 ．
35．已知菱形ABCD边长为1，
DAB
60
，将这个菱形沿AC 折成60的二面角，则
,
B D 两点的距离
为
.
【答案】
1
2
【分析】取AC 中点O，连结DO，BO，BD，
DOB
是将这个菱形沿AC 折成60的二面角的平面角，由
此能求出B，D 两点的距离．
【详解】
菱形ABCD 边长为1，
60
DAB
，将这个菱形沿AC 折成60的二面角，
取AC 中点O，连结DO，BO，BD，
则
1
1
2
2
DO
BO
AB
，
DO
AC
，BO
AC
，
DOB
是将这个菱形沿AC 折成60的二面角的平面角，
60
DOB
，
B ，D 两点的距离为
1
2
BD
．
故答案为：1
2 ．
【点睛】本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，
考查数形结合思想，是中档题．
36．如图，三棱锥
P
ABC 中，PA 底面ABC，AB
BC
，
2
AC
，
1
BC ，点M 满足
0
1
PM
PB
，
N 是PC 的中点．
(1)请写出一个的值使得
/ /
BC
平面AMN，并加以证明；
(2)若二面角P
BC
A
大小为45°，且
2
3
，求点M 到平面PAC 的距离．
【答案】(1)
1
2
，证明见解析
(2)
3
3
．
【分析】（1）根据题意得到
1
2
，利用中位线的性质得到MN
BC
∥
，然后根据线面平行的判定定理证
明即可；
（2）根据二面角的平面角的定义得到
PBA
就是二面角P
BC
A
的平面角，即可得到
3
PA
AB
，将
点M 到平面PAC 的距离转化为点B 到平面PAC 的距离的2
3 ，然后求距离即可.
【详解】（1）
当
1
2
时，满足题意．
M 是PB 的中点，又因为N 是PC 的中点，
所以MN
BC
∥
，
又MN 平面ABC ，且BC 平面ABC ，
所以BC ∥平面ABC ．
（2）由勾股定理得
3
AB
，
因为PA 平面ABC ，BC 平面ABC，
所以PA
BC
，
又AB
BC
，AB
PA
A
，
,
AB PA 平面PBA，
所以BC 平面PBA，
而PB 平面PBA，故PB
BC
，
故
PBA
就是二面角P
BC
A
的平面角，所以
45
PBA
，
所以PAB
为等腰直角三角形，且
3
PA
AB
，
过B 作BH
AC
于H ，则BH 平面PAC ，易得
3
2
BH
，
所以点M 到平面PAC 的距离等于2
3 BH ，为
3
3
．
37．如图所示，在五棱锥E
ABCDF
中，侧面AEF 底面ABC ，
AEF
△
是边长为2 的正三角形，四边形
ABDF 为正方形，BC
CD
，且BC
CD
，G 是
AEF
△
的重心，O是正方形ABDF 的中心.
(1)求证：
//
OG
平面BCE ；
(2)求二面角B
AE
D
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 7
7
【分析】（1）连接EG 并延长交AF 于H ，连接HC ，根据正方形、等腰、等边三角形的性质求相关线段
的长度，易得HG
OH
HE
HC
，进而有
//
OG
CE ，再由线面平行的判定证结论；
（2）由面面垂直、线面垂直的性质证AB
AE
、FD
FE
，利用等体积法求B 到面ADE 的距离，易知锐
二面角B
AE
D
的正弦值为h
AB ，进而求余弦值.
【详解】（1）连接EG 并延长交AF 于H ，由G 是
AEF
△
的重心，则EH 为
AEF
△
的中线，
所以H 是AF 的中点，且
1
3
HG
HE
，连接HC ，
又BC
CD
，则HC 必过BD 的中点和O点，
由
AEF
△
是边长为2 的正三角形，四边形ABDF 为正方形，BC
CD
，
所以
1
3
2
HC
FD
BD
，
1
OH ，
综上，HG
OH
HE
HC
，即
//
OG
CE ，OG 平面BCE ，CE 平面BCE ，
所以
//
OG
平面BCE ；
（2）由面AEF 面ABC ，面AEF 面ABC
AF
，AB
AF
，AB 面ABC ，
所以AB 面ABC ，而AE 面ABC ，故AB
AE
，同理可证FD
FE
，
由
B ADE
E ABD
V
V
，设B 到面ADE 的距离为h ，
ADE
V
中
2,
2 2,
2 2
AE
AD
ED
，则D 到AE 的高为7 ，所以
7
ADE
S
，
又
2
ABD
S
，由题意易得E 到面ABD的距离为
3 ，
综上，1
1
2 21
7
2
3
3
3
7
h
h
，
所以，锐二面角B
AE
D
的正弦值为
21
7
h
AB
，故余弦值为
2 7
7
.
