文档内容
押上海高考 17 题
三角函数、立体几何
考点 4年考题 考情分析
三角函数 2024年春考 三角函数周期性
近四年考查方向求体积、面积，线面、面面平行，线
立体几何 2020年~2023年
线、线面、面面所成的角
一．三角函数的周期性（共1小题）
1．（2024•上海）已知 ， ．
（1）设 ，求解： ， ， 的值域；
（2） ， 的最小正周期为 ，若在 ， 上恰有3个零点，求 的取值范围．
二．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）
2．（2020•上海）已知四棱锥 ，底面 为正方形，边长为3， 平面 ．
（1）若 ，求四棱锥 的体积；
（2）若直线 与 的夹角为 ，求 的长．3．（2022•上海）如图所示三棱锥，底面为等边 ， 为 边中点，且 底面 ，
．
（1）求三棱锥体积 ；
（2）若 为 中点，求 与面 所成角大小．
三．直线与平面所成的角（共4小题）
4．（2021•上海）四棱锥 ，底面为正方形 ，边长为4， 为 中点， 平面 ．
（1）若 为等边三角形，求四棱锥 的体积；
（2）若 的中点为 ， 与平面 所成角为 ，求 与 所成角的大小．5．（2020•上海）已知 是边长为1的正方形，正方形 绕 旋转形成一个圆柱．
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形 绕 逆时针旋转 至 ，求线段 与平面 所成的角．
6．（2022•上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为 、 ， 为圆柱的母线，底面半径长为
1．
（1）若 ， 为 的中点，求直线 与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）若圆柱过 的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．7．（2021•上海）如图，在长方体 中，已知 ， ．
（1）若 是棱 上的动点，求三棱锥 的体积；
（2）求直线 与平面 的夹角大小．
四．二面角的平面角及求法（共1小题）
8．（2023•上海）已知直四棱柱 ， ， ， ， ， ．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角 的大小．五．点、线、面间的距离计算（共1小题）
9．（2023•上海）已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为
中点，过点 分别作平行于平面 的直线交 、 于点 ， ．
（1）求直线 与平面 所成角的大小；
（2）证明：平面 平面 ，并求直线 到平面 的距离．一、三角函数的周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之
间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
二．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S ＝ 2π rl S ＝ π rl S ＝ π( r ＋ r ) l
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧 1 2
三．柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
表面积 体积
几何体
柱体 S ＝S ＋2S V＝Sh
表 侧 底
锥体 S ＝S ＋S V＝Sh
表 侧 底
S ＝S ＋S ＋S
表 侧 上
台体 V＝(S ＋S ＋)h
上 下
下
球 S ＝ 4π R 2 V＝πR3
表
四．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此
判定定理 平面内的一条直线平行， ⇒a∥α
那么该直线与此平面平行
一条直线与一个平面平
行，如果过该直线的平面
性质定理 ⇒a∥b
与此平面相交，那么该直
线与交线平行
五．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相
判定定理 交直线与另一个平面平 ⇒β∥α
行，那么这两个平面平行两个平面平行，如果另一
性质定理 个平面与这两个平面相 ⇒a∥b
交，那么两条交线平行
六．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′
所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：.
七.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂
直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.
(2)范围：.
八．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别
作 垂直于棱 l 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范围： [0 ， π] ．
九．点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP＝a，则向量AP在直
线l上的投影向量AQ＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.
十．点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交
平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度，
因此PQ＝＝＝.
一．函数y＝Asin（ x+ ）的图象变换（共1小题）
ω φ1．（2024•浦东新区校级模拟）设函数 ，其中 ，已知 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平
移 个单位，得到函数 的图象，求 在 ， 上的最小值．
二．由y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式（共2小题）
ω φ
2．（2024•长宁区二模）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图像时，
列表并填入了部分数据，如下表：
0
△
0 1 △ 0
（1）请在答题卷上将上表△处的数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
（2）设 ，求函数 的值域．3．（2024•松江区二模）设 ，函数 图像的两条相邻对称轴
之间的距离为 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）在 中，设角 、 及 所对边的边长分别为 、 及 ，若 ， ， ，求
角 ．
三．三角函数中的恒等变换应用（共3小题）
4．（2024•青浦区二模）对于函数 ，其中 ， ．
（1）求函数 的单调增区间；
（2）在锐角三角形 中，若 （A） ， ，求 的面积．
5．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数 ．
（Ⅰ）求 的单调递增区间；
（Ⅱ）在 中， ， ， 为角 ， ， 的对边，且满足 ，且 ，求角 的值，进而再求 （B）的取值范围．
6．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数 ．
（1）当 ， 时，求 的增区间；
（2）在 中，角 所对边 ，角 所对边 ，若 （A） ，求 的面积．
四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）
7．（2024•浦东新区校级模拟）如图，在直三棱柱 中， ， ，异面直
线 与 所成的角为 ．
（1）求该三棱柱的体积；
（2）设 是 的中点，求 与平面 所成角的正弦值．8．（2024•静安区二模）如图1所示， 是水平放置的矩形， ， ．如图2所示，将
沿矩形的对角线 向上翻折，使得平面 平面 ．
（1）求四面体 的体积 ；
（2）试判断与证明以下两个问题：
①在平面 上是否存在经过点 的直线 ，使得 ；
②在平面 上是否存在经过点 的直线 ，使得 ．
五．异面直线及其所成的角（共2小题）
9．（2024•浦东新区校级模拟）如图，已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，高为3，底面半径为2．
（1）求该圆锥侧面展开图的圆心角；
（2）设 、 为该圆锥的底面半径，且 ， 为线段 的中点，求直线 与直线 所
成的角的大小．10．（2024•宝山区二模）如图，已知点 在圆柱 的底面圆 的圆周上， 为圆 的直径．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，圆柱的体积为 ，求异面直线 与 所成角的大小．
六．直线与平面平行（共2小题）
11．（2024•嘉定区二模）如图，在三棱柱 中， 平面 ， 是 的中点， ，
，
（1）求证： 平面（2）求直线 与 的所成角的大小．
12．（2024•黄浦区校级模拟）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面
， ， ， 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？请说明理由．
七．直线与平面所成的角（共6小题）
13．（2024•虹口区二模）如图，在三棱柱 中， ， 为 的中点， ，
．（1）求证： 平面 ；
（2）若 平面 ，点 在棱 上，且 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
14．（2024•松江区二模）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 为
的中点．
（1）设平面 与直线 相交于点 ，求证： ；
（2）若 ， ， ，求直线 与平面 所成角的大小．15．（2024•虹口区模拟）在如图所示的圆锥中， 是顶点， 是底面的圆心， 、 是圆周上两点，且
， ．
（1）若圆锥侧面积为 ，求圆锥的体积；
（2）设圆锥的高为2， 是线段 上一点，且满足 ，求直线 与平面 所成角的正切值．
16．（2024•徐汇区模拟）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面圆的圆心， 为圆 的直径，且
， 是底面圆 的内接正三角形， 为线段 上一点，且 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．17．（2024•普陀区模拟）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， ，
、 分别是 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的大小．
18．（2024•徐汇区校级模拟）如图，在圆柱中，底面直径 等于母线 ，点 在底面的圆周上，且
， 是垂足．
（1）求证： ；
（2）若圆柱与三棱锥 的体积的比等于 ，求直线 与平面 所成角的大小．八．二面角的平面角及求法（共7小题）
19．（2024•长宁区二模）如图，在长方体 中， ， ．
（1）求二面角 的大小；
（2）若点 在直线 上，求证：直线 平面 ．
20．（2024•黄浦区二模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，点 是棱 上的一点，
平面 ．
（1）求证：点 是棱 的中点；
（2）若 平面 ， ， ， 与平面 所成角的正切值为 ，求二面角
的大小．21．（2024•金山区二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 （及其内部）以 边所在直
线为旋转轴旋转 得到的，点 是 的中点，点 在 上，异面直线 与 所成的角是 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求二面角 的大小．
22．（2024•闵行区校级二模）在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ， ，
．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值．23．（2024•闵行区二模）如图，已知 为等腰梯形， ， ， 平面 ，
．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小．
24．（2024•青浦区二模）如图，三棱柱 是所有棱长均为2的直三棱柱， 、 分别为棱
和棱 的中点．
（Ⅰ）求证：面 面 ；（Ⅱ）求二面角 的余弦值大小．
25．（2024•浦东新区二模）在四棱锥 中，底面 为等腰梯形，平面 底面 ，
其中 ， ， ， ，点 为 中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的大小．
九．点、线、面间的距离计算（共4小题）
26．（2024•杨浦区二模）如图， 为圆锥顶点， 为底面中心， ， ， 均在底面圆周上，且
为等边三角形．（1）求证：平面 平面 ；
（2）若圆锥底面半径为2，高为 ，求点 到平面 的距离．
27．（2024•嘉定区校级模拟）已知，四棱锥 的底面 是矩形， 平面 ，
， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
28．（2024•浦东新区校级模拟）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，， 的中点为 ．
（1）求直线 与平面 所成角；
（2）求点 到平面 的距离．
29．（2024•崇明区二模）如图，在三棱锥 中， ， ， 为
的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离．
