2025年高考数学一轮专题复习--空间向量和立体几何专题十四（含解析）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_专项复习_2025高考总复习专项复习-空间向量和立体几何（含答案）（完结）

空间向量和立体几何高考复习专题十四 知识点一 证明线面平行,面面角的向量求法 典例1、如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点，直线 平面 ， 分别是 ， 的中点. （1）记平面 与平面 的交线为 ，求证：直线 平面 ； （2）若 ，点 是 的中点，求二面角 的正弦值. 随堂练习：如图，三棱柱 中侧棱与底面垂直，且 ， ， ，M，N， P，D分别为 ，BC， ， 的中点. （1）求证： 面 ； （2）求平面PMN与平面 所成锐二面角的余弦值.典例2、如图所示的几何体中， ， ， 都是等腰直角三角形， ，且平面 平面 ，平面 平面 ． （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值． 随堂练习：如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， 为等边三 角形， ．（1）求证： 平面 ，且 平面 ． （2）已知 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 典例3、如图， 是边长为 的等边三角形，四边形 为菱形，平面 平 面 ， ， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．随堂练习：如图，直四棱柱ABCD–ABCD的底面是菱形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°， 1 1 1 1 1 E，M，N分别是BC，BB，AD的中点． 1 1 （1）证明：MN∥平面CDE； （2）求二面角A-MA-N的正弦值． 1 1 知识点二 证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,线面角的向量求法 典例4、如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ， ，点 是 的中点. （1）求证： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值.随堂练习：如图，在直角 中，PO⊥OA，PO=2OA，将 绕边PO旋转到 的位 置，使 ，得到圆锥的一部分，点C为 的中点． （1）求证： ； （2）设直线PC与平面PAB所成的角为 ，求 ．典例5、在四棱锥 中，底面ABCD为直角梯形， ， ， ，E为 的中点，点P在平面 内的投影F恰好 在直线 上． （1）证明： ． （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 随堂练习：如图，在 中， ， ， 为 的中点， ， .现将 沿 翻折至 ，得四棱锥. （1）证明： ； （2）若 ，求直线 与平面 所成角的正切值典例6、如图，在七面体 中，四边形 是菱形，其中 ， ， ， 是等边三角形，且 . （1）证明： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 随堂练习：如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，且， ， ，点 在 上． （1）求证： ； （2）若二面角 的大小为 ，求 与平面 所 成角的正弦值． 空间向量和立体几何高考复习专题十四答案 典例1、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）因为 分别是 的中点 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 所以 平面 又 平面 ，平面 与平面 的交线为 ， 所以 ， 而 平面 ， 平面 ， 所以 平面 （2）如图，因为 是圆 的直径，点 是 的中点，所以 ， 因为直线 平面 所以 所以以 为原点，直线 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴， 建立空间直角坐标系 ，则 ， ， 所以 ， 设平面 的法向量 ，则 ，即 令 ，则 得 因为直线 平面 所以 为平面 的法向量 所以 所以二面角 的正弦值为 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）解法一： 以点A为坐标原点，AB､AC､ 所在直线分别为x､y､z轴建立空间 直角坐标系，则 ， ， ， ， . 取向量 为平面 的一个法向量， ， ∴ ， ∴ . 又∵ 平面 ， ∴ 平面 . 解法二： ∵P，D分别为 ， 的中点， ∴ ，且 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∵D，N分别为 ，BC的中点， ∴ ，且 平面 ， 平 面 ， ∴ 平面 ，又 ， ∴平面 平面 ， 又∵ 平面PDN， ∴ 平面 . 以点A为坐标原点，AB､AC､ 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标 系， 则 ， ， ， ， . ∴ ， , 取向量 为平面 的一个法向量，设平面PMN的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，则 ， ，则 ， ∴ ， 由图示可知平面PMN与平面 的夹角为锐角， ∴平面PMN与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 典例2、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：分别取 的中点 ，连接 ， 设 ，则 ， ， 又平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 平 面 ， 同理可证 平面 ， ， 又因为 ，所以四边形 是平行四边形， ， 又 平面 平面 ， 平面 ； （2）如图，取 的中点为 ，则 ， 以点 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直 角坐标系， 则 ，则 ， 则 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ， 令 ，得平面 的一个法向量为 设平面 的一个法向量为 ， 则 ， 令 ，得平面 的一个法向量为 ， 设平面 与平面 夹角为 ，则 ， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1） 平面 ， 平面 ， ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ； 为等边三角形， ，又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 . 平面 ， 平面 ， ； （2）以 为坐标原点， 为 轴正方向，作 轴 ，可建立如图所示空间 直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，令 ，则 ， ， ； 设平面 的法向量 ， 则 ，令 ，则 ， ， ； ， 平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 典例3、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：因为四边形 为菱形，则 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，所以，平面 平面 ， 因为 平面 ， 平面 . （2）取 的中点 ，连接 、 ， 因为四边形 为菱形，则 ， 因为 ，则 为等边三 角形，因为 为 的中点，则 ，同理可得 ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则 、 、 、 、 、 ， 设平面 的向量为 ， ， ， 则 ，取 ，可得 ， 易知平面 的一个法向量为 ，则 . 因此，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 随堂练习：答案： （1）见解析；（2） . 解:（1）连接 ， ， 分别为 ， 中点 为 的中位线 且又 为 中点，且 且 四边形 为平行四边形 ，又 平面 ， 平面 平面 （2）设 ， 由直四棱柱性质可知： 平面 四边形 为菱形 则以 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则： ， ， ，D（0，-1,0） 取 中点 ，连接 ，则 四边形 为菱形且 为等边三角形 又 平面 ， 平面 平面 ，即 平面 为平面 的一个法向量，且 设平面 的法向量 ，又 ， ，令 ，则 ，二面角 的正弦值为： 典例4、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）如图，连接 ， ∵四边形 是正方形，∴ . 又 平面 ， 平面 ，∴ ， ∵ 平面 ， ， ∴ 平面 ， 又 平面 ， ∴ （2）易知 ， ， 两两垂直，以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标 系 . ∵ ，∴ ， ， ， ， ， ∴ ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，得 .设直线 与平面 所成角为 ，由图可知 ， 则 即直线 与平面 所成角的正弦值为 .随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：由题意知： ， ∴PO⊥平面AOB， 又∵ 平面AOB，所以PO⊥AB． 又点C为 的中点，所以OC⊥AB， ， 所以AB⊥平面POC， 又∵ 平面POC，所以PC⊥AB． （2）以O为原点， ， ， 的方向分别作为x，y，z轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ， ， 所以 ， ， ． 设平面PAB的法向量为 ，则 取 ，则 可得平面PAB的一个法向量为 ， 所以 ． 典例5、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）因为 ， ，E为 的中点，所以 ，所以四边形 为长方形， ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因为 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ． （2）连接 ，由（1） 平面 ， 平面 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ， ， ， 所以 ，即 ， 过 做 交 于 ，分别以 所在的直线为 轴的正方 向 建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 所以 ，即 ，令 ，则 ， 所以 ， 设直线PB与平面PAD所成角的为 ，所以所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 ． 随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）7 解:（1）设 为 的中点， 为 的中点， ，则 ， 故 ，则 ， 又 ，则 ， 所以 是 的角平分线，且 三点共线. 由 ，且 ,得 面 ，则 ； （2）法一：连结 . 由 平面 得，平面 平面 ，交线为 ， 所以 在面 上的射影点 在 上， 为直线 与平面 所成 角. 在 中， ，由余弦定理得 ， ，故 ， ，又 ，在 得，由余弦定理得 ，则 ， 所以 ， 由（1）得 为角平分线， 在 中， ，由余弦定理得 ，则 ， 所以 ，所以直线 与平面 所成角的正切值为7. 法二：如图，以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系. 设 ，由 ， 得 ， 得 . , 平面 法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，所以， ,则 ， 所以直线 与平面 所成角的正切值为7. 典例6、答案：（1）证明见解析；（2） . 解:（1）取 中点 ，连接 ， ， ，所以 ， 由余弦定理得： ，得 ， ，又 ，且 ，则 平面 ， 故 ，又 ，所以 平面 ， 则 ，由等边三角形 得 ，且 ， 则 平面 ，故 ， 又 ，因此 . （2）连接 ，过点 作 平面 于点 ，连接 ， ， 由 平面 得平面 平面 ，则点 在平面 内的射影位于直 线 上，由等边三角形 得点 在平面 内的射影位于 的中垂线上， 因此，由几何关系可确定点 在平面 内的射影位于 的重心， 又由（1）知 平面 ， 平面 ，则 ， ， ， ， 五点共面， 如图，以点 为原点，以射线 ， 为 ， 轴的正半轴，建立空间直角坐标 系Gxyz， 不妨设 ，则 ， ， ， 在 和 中，由余弦定理得 ， ， 则 ， 解得 ， 因此 ， ， ， 设平面 的法向量 ， 由 得 ，取 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， 因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 . 随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2）解:（1）取 的中点 ，连结 ，则 ， 所以四边形 为平行四边形， ， 又 ， ， 又 平面 ， 平面 ， 且 ， 平面 ， 平面 又 平面 ， （2）以 为坐标原点，分别 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， 设 ，易得 ， 设平面 的法向量为 ， ， 则 ，令 则 ． 又平面 的法向量为 ， 由题知 ，解得 ， 即 ， 而 是平面 的一个法向 量， 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 ． 故直线 与平面 所成的角的正弦值为 ．