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空间向量和立体几何高考复习专题十四
知识点一 证明线面平行,面面角的向量求法
典例1、如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点，直线 平面 ，
分别是 ， 的中点.
（1）记平面 与平面 的交线为 ，求证：直线 平面 ；
（2）若 ，点 是 的中点，求二面角 的正弦值.
随堂练习：如图，三棱柱 中侧棱与底面垂直，且 ， ，
，M，N，
P，D分别为 ，BC， ， 的中点.
（1）求证： 面 ；
（2）求平面PMN与平面 所成锐二面角的余弦值.典例2、如图所示的几何体中， ， ， 都是等腰直角三角形，
，且平面 平面 ，平面 平面 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
随堂练习：如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， 为等边三
角形， ．（1）求证： 平面 ，且 平面 ．
（2）已知 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
典例3、如图， 是边长为 的等边三角形，四边形 为菱形，平面 平
面 ， ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．随堂练习：如图，直四棱柱ABCD–ABCD的底面是菱形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°，
1 1 1 1 1
E，M，N分别是BC，BB，AD的中点．
1 1
（1）证明：MN∥平面CDE； （2）求二面角A-MA-N的正弦值．
1 1
知识点二 证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,线面角的向量求法
典例4、如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，
，点 是 的中点.
（1）求证： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值.随堂练习：如图，在直角 中，PO⊥OA，PO=2OA，将 绕边PO旋转到 的位
置，使 ，得到圆锥的一部分，点C为 的中点．
（1）求证： ； （2）设直线PC与平面PAB所成的角为 ，求 ．典例5、在四棱锥 中，底面ABCD为直角梯形， ， ，
，E为 的中点，点P在平面 内的投影F恰好
在直线 上．
（1）证明： ． （2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
随堂练习：如图，在 中， ， ， 为 的中点， ，
.现将 沿 翻折至 ，得四棱锥.
（1）证明： ； （2）若 ，求直线 与平面 所成角的正切值典例6、如图，在七面体 中，四边形 是菱形，其中 ， ，
， 是等边三角形，且 .
（1）证明： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
随堂练习：如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，且， ， ，点 在 上．
（1）求证： ； （2）若二面角 的大小为 ，求 与平面 所
成角的正弦值．
空间向量和立体几何高考复习专题十四答案
典例1、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）因为 分别是 的中点 所以 ，
又因为 平面 ， 平面 所以 平面
又 平面 ，平面 与平面 的交线为 ， 所以 ，
而 平面 ， 平面 ， 所以 平面
（2）如图，因为 是圆 的直径，点 是 的中点，所以 ，
因为直线 平面 所以
所以以 为原点，直线 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，
建立空间直角坐标系 ，则 ， ，
所以 ，
设平面 的法向量 ，则 ，即
令 ，则 得
因为直线 平面 所以 为平面 的法向量
所以 所以二面角 的正弦值为
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）解法一： 以点A为坐标原点，AB､AC､ 所在直线分别为x､y､z轴建立空间
直角坐标系，则 ， ， ， ， .
取向量 为平面 的一个法向量， ，
∴ ， ∴ .
又∵ 平面 ， ∴ 平面 .
解法二： ∵P，D分别为 ， 的中点，
∴ ，且 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，
∵D，N分别为 ，BC的中点， ∴ ，且 平面 ， 平
面 ，
∴ 平面 ，又 ， ∴平面 平面 ，
又∵ 平面PDN， ∴ 平面 .
以点A为坐标原点，AB､AC､ 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标
系，
则 ， ， ， ， . ∴ ，
,
取向量 为平面 的一个法向量，设平面PMN的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，则 ， ∴
，
由图示可知平面PMN与平面 的夹角为锐角，
∴平面PMN与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
典例2、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：分别取 的中点 ，连接 ，
设 ，则 ， ，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 平
面 ，
同理可证 平面 ， ，
又因为 ，所以四边形 是平行四边形， ，
又 平面 平面 ， 平面 ；
（2）如图，取 的中点为 ，则 ，
以点 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直
角坐标系，
则 ，则 ， 则 ，
设平面 的一个法向量为 ， 则 ，
令 ，得平面 的一个法向量为
设平面 的一个法向量为 ， 则 ，
令 ，得平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1） 平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ；
为等边三角形， ，又 ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
平面 ， 平面 ， ；
（2）以 为坐标原点， 为 轴正方向，作 轴 ，可建立如图所示空间
直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ， ， ；
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ， ， ；
，
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：因为四边形 为菱形，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ， 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 、 ，
因为四边形 为菱形，则 ， 因为 ，则 为等边三
角形，因为 为 的中点，则 ，同理可得 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、
轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，
设平面 的向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，则 .
因此，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
随堂练习：答案： （1）见解析；（2） .
解:（1）连接 ，
， 分别为 ， 中点 为 的中位线 且又 为 中点，且 且
四边形 为平行四边形
，又 平面 ， 平面 平面
（2）设 ， 由直四棱柱性质可知： 平面
四边形 为菱形
则以 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则： ， ， ，D（0，-1,0）
取 中点 ，连接 ，则
四边形 为菱形且 为等边三角形
又 平面 ， 平面
平面 ，即 平面
为平面 的一个法向量，且
设平面 的法向量 ，又 ，
，令 ，则 ，二面角 的正弦值为：
典例4、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）如图，连接 ， ∵四边形 是正方形，∴ .
又 平面 ， 平面 ，∴ ，
∵ 平面 ， ， ∴ 平面 ，
又 平面 ， ∴
（2）易知 ， ， 两两垂直，以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标
系 .
∵ ，∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 .设直线 与平面 所成角为 ，由图可知 ，
则
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：由题意知： ， ∴PO⊥平面AOB，
又∵ 平面AOB，所以PO⊥AB． 又点C为 的中点，所以OC⊥AB，
， 所以AB⊥平面POC， 又∵ 平面POC，所以PC⊥AB．
（2）以O为原点， ， ， 的方向分别作为x，y，z轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ，
，
所以 ， ， ．
设平面PAB的法向量为 ，则 取 ，则
可得平面PAB的一个法向量为 ，
所以 ．
典例5、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）因为 ， ，E为 的中点，所以 ，所以四边形 为长方形， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ．
（2）连接 ，由（1） 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ， ， ，
所以 ，即 ，
过 做 交 于 ，分别以 所在的直线为 轴的正方
向
建立空间直角坐标系， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，即 ，令 ，则 ， 所以
，
设直线PB与平面PAD所成角的为 ，所以所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 ．
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）7
解:（1）设 为 的中点， 为 的中点， ，则 ，
故 ，则 ， 又 ，则 ，
所以 是 的角平分线，且 三点共线.
由 ，且 ,得 面 ，则 ；
（2）法一：连结 . 由 平面 得，平面 平面 ，交线为 ，
所以 在面 上的射影点 在 上， 为直线 与平面 所成
角.
在 中， ，由余弦定理得 ，
，故 ， ，又 ，在 得，由余弦定理得 ，则 ，
所以 ，
由（1）得 为角平分线，
在 中， ，由余弦定理得 ，则 ，
所以 ，所以直线 与平面 所成角的正切值为7.
法二：如图，以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系.
设 ，由 ， 得 ，
得 . ,
平面 法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，所以， ,则 ，
所以直线 与平面 所成角的正切值为7.
典例6、答案：（1）证明见解析；（2） .
解:（1）取 中点 ，连接 ， ， ，所以 ，
由余弦定理得： ，得 ，
，又 ，且 ，则 平面 ，
故 ，又 ，所以 平面 ，
则 ，由等边三角形 得 ，且 ，
则 平面 ，故 ， 又 ，因此 .
（2）连接 ，过点 作 平面 于点 ，连接 ， ，
由 平面 得平面 平面 ，则点 在平面 内的射影位于直
线 上，由等边三角形 得点 在平面 内的射影位于 的中垂线上，
因此，由几何关系可确定点 在平面 内的射影位于 的重心，
又由（1）知 平面 ， 平面 ，则 ， ， ， ， 五点共面，
如图，以点 为原点，以射线 ， 为 ， 轴的正半轴，建立空间直角坐标
系Gxyz，
不妨设 ，则 ， ， ，
在 和 中，由余弦定理得 ，
，
则 ， 解得 ，
因此 ， ， ，
设平面 的法向量 ， 由 得 ，取
，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2）解:（1）取 的中点 ，连结 ，则 ，
所以四边形 为平行四边形， ，
又 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
且 ， 平面 ， 平面
又 平面 ，
（2）以 为坐标原点，分别 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
设 ，易得 ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，令 则 ．
又平面 的法向量为 ，
由题知 ，解得 ，
即 ， 而 是平面 的一个法向
量，
设直线 与平面 所成的角为 ， 则 ．
故直线 与平面 所成的角的正弦值为 ．
