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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 36 讲 空间向量及其应用（精讲）
题型目录一览
①利用空间向量证线面平行、面面平行
②利用空间向量证线面垂直、面面垂直
③利用空间向量求异面直线夹角
④利用空间向量求线面角、面面角
⑤利用空间向量求点到线距离、点到面距离
一、知识点梳理
一、法向量的求解与简单应用
（1）平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，
记作 ，如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量．
注：①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量 是平面的法向量，向量
是与平面平行或在平面内，则有 ．
第一步：写出平面内两个不平行的向 ；
第二步：那么平面法向量 ，满足 ．
（2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ．
若 ∥ ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ．
②直线与平面的位置关系：直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ．（3）平面与平面的位置关系
平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；若 ⊥ ，即 ，则 ⊥ ．
二、空间角公式
（1）异面直线所成角公式：设 ， 分别为异面直线 ， 上的方向向量， 为异面直线所成角的大小，
则 ．
（2）线面角公式：设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为
与 所成角的大小，则 ．
（3）二面角公式：
设 ， 分别为平面 ， 的法向量，二面角的大小为 ，则 或 （需要根据具体情
况判断相等或互补），其中 ．
三、空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接
计算．如图，设两条异面直线 的公垂线的方向向量为 ，这时分别在 上任取 两点，则向量在 上
的正射影长就是两条异面直线 的距离．则 即两异面直线间的距离，等于两异面
直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（2）点到平面的距离
为平面 外一点（如图）， 为平面 的法向量，过 作平面 的斜线 及垂线 ．
，
【常用结论】
用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求
出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表
示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱
所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．
二、题型分类精讲
题型 一 利用空间向量证线面平行、面面平行
策略方法 利用空间向量证明平行的方法
线线平行 证明两直线的方向向量共线
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量
线面平行
与平面内某直线的方向向量平行
面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题【典例1】在正方体 中，若 为 中点， 为 中点.
求证：
(1) ；
(2) 平面 ；
(3)平面 平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）以D为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
求出 的坐标，利用 ，即可证明；
（2）求出平面ACD 的法向量 ，及直线的方向向量 ，从而得到 ，即可证明；
1
（3）可以利用 平面 ，及 平面 ，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个
平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行.
【详解】（1）以D为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1．依题意知： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 .
（2）设平面ACD 的法向量为 ，
1
∵ ， ， ，
∴ ， ，
由 可得， ，即 ，
令 ，则 ，∴ ，
又 ，
∴ ，∴ ，
又 平面 ，∴ 平面
．
（3）证法一 ∵ ，∴ ，又 ，
∴ ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又由（2）知 平面 ，而 ，
且 平面 ， 平面 ,
∴平面 平面 .
证法二 设平面 的法向量为
则 即 ∴
令 ，得 ，∴ ，
由（2）知平面ACD 的一个法向量 ，
1
∴ ，∴ ，
∴平面 平面 .
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正四棱 的底面边长1，侧棱长4， 中点为
， 中点为 ．求证：平面 平面 .【答案】证明见解析
【分析】以 为原点， ， ， 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证 ，
同理 ，再结合面面平行判定定理即可证明结论.
【详解】以 为原点， ， ， 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图
则 ,0, ， ,1, ， ,0, ， ,0, ， ,1, ， ,1, ，
， ，同理 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 平面
平面 与平面 平行．2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在八面体 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面
∥平面QBC，二面角 与二面角 的大小都是 ， ， ．
证明：平面 ∥平面QAB．
【答案】证明见解析
【分析】根据垂直关系分析可知 ， ，建系，利用空间向量可得 ∥ ，根据题
意结合线面、面面平行分析证明.
【详解】因为 为正方形，所以 ，
又因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，则 ，
所以 为二面角 的平面角，即 ，
又因为平面 ∥平面QBC， ∥ ，
所以 平面 ，且 平面 ，则 ，
所以 为二面角 的平面角，即 ，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，所以 ， ，即 ，所以 ∥ ，
且 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
又因为 ∥ ， 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
因为 ， 平面 ，
所以平面 ∥平面QAB．
3．（2023秋·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 为矩
形， 平面 ， ， ， ， 分别是 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明
平面 .
【详解】（1）由 平面 ， 平面 ，则 ，由矩形 ，得
，
以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，于是 ，而平面 的一个法向量为 ，
显然 ，又 平面 ，
所以 平面 .
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中， 平面 ，D，E分别为棱AB，
的中点， ， ， .证明： 平面 .
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得 平面
【详解】在三棱柱 中， 平面 ， ， ， .
所以 ，则 ，则 ，则如下图，
以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则
，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，即 ，所以 ，得 ，
又 平面 ，所以 平面 .
5．（2023秋·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）在正四棱锥 中，已知 ，
， ， .
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）建系，相应的坐标和向量，方法一：求平面 的法向量为 ，可得 ，即可得结
果；方法二：可证 ， ， 共面，进而可得结果；
【详解】（1）连接 交 于 ，如图所示，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
可得 ， ， ， ，
则 ， ， ，
所以 ， ，
方法一：设平面 的法向量为 ，则 ，，
令 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 .
方法二：因为 ， ，则 .
可得 ，所以 ， ， 共面，
且 平面 ，所以 平面 .
6．（天津市南开区南大奥宇学校2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题）如图，直四棱柱
的底面为正方形，P，O分别是上、下底面的中心，E是AB的中点， .(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】(1)建立空间直角坐标系，求直线 的方向向量和平面 的法向量，证明两向量垂直；
【详解】（1）因为 ，
所以以点 为原点，以 为 轴正方向建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，所以 ，
取 ，则 ，
所以 为平面 的一个法向量，
因为 ，
又 平面 ，
所以 平面 ；7．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形 与
均为直角梯形， 平面 ， ．
(1)已知点G为AF上一点，且 ，求证：BG与平面DCE不平行；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证明出 两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面DCE的法向
量，计算出 ，证明出BG与平面DCE不平行；
【详解】（1）证明：因为 平面ABEF，AB， 平面ABEF，
所以 ， ，
又 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，所以 ， ， ，
设平面DCE的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，且不存在 使得 与 垂直，
所以BG与平面DCE不平行；
8．（福建省漳州市2024届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）如图，正方体 的棱
长为2，E为棱 的中点.
(1)证明： 平面ACE；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）解法一：连接 交 于点 ，连接 ，可得 ，根据线面平行的判定定理即可证明；
解法二：以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
写出相关点的坐标，求出平面ACE的法向量 ，证明 即可；
【详解】（1）解法一：
证明：连接 交 于点 ，连接 ，
则 为 中点，又 为 中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
解法二：
如图，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， , ，
所以 ， .
设平面ACE的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ， ，
所以取 .
又 ，所以 ，所以 .
又 平面 ，所以 平面 .
9．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，
， ，点G是线段BF的中点．
(1)证明： 平面DAF；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）法一，连接OE，OG．证明平面 平面DAF，利用面面平行性质即可证明结论；法二，
取AF的中点M，证明 ，根据线面平行的判定定理即可证明结论；法三，建立空间直角坐标系，
确定平面DAF的法向量，利用向量法证明位置关系.
【详解】（1）证法一：连接OE，OG．
在圆柱OE中，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，所以 ．
又 平面DAF， 平面DAF，所以 平面DAF．
在 中，点O，G分别是AB和BF的中点，所以 ．
又 平面DAF， 平面DAF，所以 平面DAF．
又 ，OE， 平面OEG，所以平面 平面DAF．
又 平面OEG，所以 平面DAF．证法二：取AF的中点M，连接MD，MG．
因为点M，G分别是FA和FB的中点，所以 ．
在圆柱OE的轴截面四边形ABCD中， ，
所以 ，因此四边形DEGM是平行四边形．
因此 ．
又 平面DAF， 平面DAF，所以 平面DAF．
证法三：以O为坐标原点，AB的中垂线为x轴，OB为y轴，OE为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ， ．
因为AB为底面圆O的直径，点F在圆O上，所以 ．
又 ，所以 ，因此 ．因为点G是线段BF的中点，所以 ，
因此 ．
因为 平面ABF， 平面ABF，所以 ．
又 ， ，AF， 平面DAF，所以 平面DAF，
因此 是平面DAF的一个法向量．
因为 ，
又 平面DAF，所以 平面DAF．
题型二 利用空间向量证线面垂直、面面垂直
策略方法 利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量
线面垂直
表示
面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示
【典例1】如图，在直三棱柱 中，点 分别为线段 的中点，
．证明： 平面 ．
【答案】证明见解析
【分析】根据已知条件建系，求平面 的一个法向量和 坐标进而证明线面垂直即可.【详解】由直三棱柱 可知 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，又因为 ，
所以以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 平面 ．
【典例2】如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ，E是 的中点，已
知 ， ．
(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）以A为原点， ， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利
用向量法证明 ．
（2）运用线面垂直的性质定理可证得 ，进而运用线面垂直的判定定理可证得 平面PAC，进
而可证得面面垂直.
【详解】（1）以A为原点， ， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如
图所示，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ．
（2）连接 ， ，如图所示，
因为 面 ， 面 ，所以 ，
又因为四边形 为正方形，所以 ，
又因为 ， 、 面 ，所以 面 ，
又因为 面 ，所以平面 平面 ．
【题型训练】
一、解答题
1．（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）如图，在正方体 中， .分别是棱 ， 的中点.
(1)证明： 平面 .
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，得到 ， ，所以 ， ，
证明出线面垂直；
法二：作出辅助线，先由线面垂直得到 ，再根据三角形全等得到 ，进而得到 平面
，得到 ，从而证明出 平面 ；
【详解】（1）法一：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系.
设正方体 的棱长为2，则 ， ， ， ， ，
.
， ， .因为 ， ，所以 ， .
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
法二：连接 ， ， .
在正方体 中， 平面 ，所以 .
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 .
在正方形 ， ， 分别是边 ， 的中点，可得 ，
所以 ， ，所以 .
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
2．（2023·广东深圳·统考模拟预测）在正方体 中，如图 、 分别是 ， 的中点．(1)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）设棱长为 ，以 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面 平面 ．
【详解】（1）设棱长为 ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，
所以 ，则平面 平面 ．
3．（2023秋·广东江门·高三统考阶段练习）如图，在长方体 中， ， ，
点E在棱 上移动．(1)证明： ；
【答案】(1)证明详见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得 .
【详解】（1）以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，设 ，
所以 ，
所以 .
4．（2023秋·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知几何体 ，如图所示，其中四边
形 、四边形 、四边形 均为正方形，且边长为1，点 在棱 上.
(1)求证： .
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，由 证明 .【详解】（1）因为四边形 、四边形 、四边形 均为正方形，
所以 ， ， .
以D为原点，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， .
又点M在棱DG上，故可设 ，
， ，
， .
5．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图，正三棱柱 中， 分别是棱 上的点，
.
(1)证明：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直；
【详解】（1）证明：取 的中点 ,连接 ，在正三棱柱 中，不妨设 ;
以 为原点， 分别为 轴和 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 , ，
；
设平面 的一个法向量为 ，则 , ，
取 ，则 ，即 ；
设平面 的一个法向量为 ，则 ,
即 ，取 得 .
因为 ，所以平面 平面 ；
6．（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面
为 的中点．(1)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明 ，结合线面垂直、面面垂直判定定
理即可证得结论；
【详解】（1）因为 底面 ， 底面 ，所以
又因为正方形 ，所以 ，所以如图，以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空
间直角坐标系，
则
所以
所以 ，即 ，
又 平面 ，所以 平面
又 平面 ，所以平面 平面 ；
7．（2023·全国·高三专题练习）已知在直三棱柱 中，其中 为 的
中点，点 是 上靠近 的四等分点， 与底面 所成角的余弦值为 ．(1)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据 与底面 所成角的余弦值为 ，推出 是边长为 的等边三角形，取
的中点 ， 的中点 ，连 ，再以 为原点， 的方向为 轴建立空间直角坐标系：
利用两个平面的法向量垂直可证两个平面垂直；
【详解】（1）取 的中点 ，连 ，因为 为 的中点，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 与底面 所成角的余弦值为 ，所以 与底面 所成角的余弦值为 ，
因为三棱柱为直三棱柱，所以 平面 ，所以 是 与底面 所成角，所以
，所以 ，所以 ，
又 ，所以 是边长为 的等边三角形，
取 的中点 ， 的中点 ，连 ，则 ， ， 平面 ，
以 为原点， 的方向为 轴建立空间直角坐标系：
则 ， ， ， ， ， ， ， ，
，， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
则 ，得 ，令 ，得 ， ，
，令 ，得 ， ， ，
因为 ，所以 ，
所以平面 平面 .
8．（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）如图所示，在直三棱柱 中，
， ， ， ，点M，N分别是棱 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的性质，结合线面垂直的判定定理进行运算证
明即可；
【详解】（1）如图所示，以A为坐标原点， ， 所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系．由已知可得 ， ， ， ， ， ， ．
由上面各点的坐标可得 ， ， ，
计算可得 ，且 ，
所以 ， ．
又 平面 ，所以 平面 ；
9．（2023·河北唐山·模拟预测）在长方体 中， 是棱 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，证得 ，从而利用面面垂直的判定定理即可得
证；
【详解】（1）依题意，以 为原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示空间直角坐标系，不妨设 ．依题意得 ，
则 ，
所以 ，则 ，
又 ， 在平面 内，所以 平面 ，
又 平面 ，则平面 平面 ．
10．（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与
底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马 中，
侧棱 底面 ，且 ，过棱 的中点 ，作 交 于点 ，连接 .
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）法一：根据线面垂直的性质可得 ，再根据线面垂直的判定与性质证明即可；
法二：以 为坐标原点，射线 分别为 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设 ，
，根据 证明即可；
【详解】（1）法一：因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
由底面 为长方形，有 ，而 ， ， 面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，又因为 ，点 是 的中点，所以 ，
而 ， ， 面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 .
又 ， ， ， 面 ，所以 平面 .
法二：以 为坐标原点，射线 分别为 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设 ，
，
则 ， ， ， ， ，
点 是 的中点，所以 ， ，于是 ，
即 ，又已知 ，而 ， ， 面 ，所以 平面 .
11．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）如图，已知直四棱柱 的底面 是菱形， ，
， 是 和 的交点， 是 的中点.
(1)证明： 平面 ;
【答案】(1)证明见解析【分析】（1）法1：证明 和 ，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
法2：建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标计算 ， ，即可证明结论；
【详解】（1）证明：法1：证明：在直四棱柱 中， 平面 ，
平面 ，故 ，又底面 为菱形，
则 ，而 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，∴ ，即 ，
由已知 得 ，
而 是 的中点，知 ，又 平面 ，
所以 平面 .
法2：设 和 的交点为 ，取 为原点，直线 分别为 轴，
建立空间直角坐标系 ，
则 ，
,∴
，
∴ ，
，
∴ ，又 ， 平面 ，
∴ 平面
12．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在四棱锥 中，面 面 ，
， 是线段 上的靠近 点的三等分点.
(1)求证： 面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）法一：由面面垂直的性质有 面 ，进而有 ，根据已知有 得
，且 ，最后由线面垂直的判定证结论；法二：构建 点为原点建立空间直角坐标系，向
量法证明线线垂直，由线面垂直的判定证结论；
【详解】（1）法一：由 ，面 面 ， 面 ，面 面 ，
所以 面 ， 面 ，故 ，
由勾股定理得： ，而 ，
又 ，所以 ，所以 ，易得： ，
所以 ，故 ，
又 ， 面 ，所以 面 .
法二：因为面 面 ，在平面 内作 ，则 面 ，
以 点为原点建立空间直角坐标系，则 ，
设 ，因为 ，所以 ，可得 .
所以 ，又 ，
故 ，所以 ，
又 ， 面 ，所以 面 .
13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱 中，侧面 为
正方形， ，E，F分别为AC和 的中点，D为棱 上的动点. .(1)证明： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线 的方向向量即可证明；
【详解】（1）因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，
又 底面 ，所以 ， ，
又因为 ， ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，即 两两垂直，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，设 ，则
， ， ， ， ， ， ， ，设
，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 .
14．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中，底面 是等腰
三角形，且 ，又侧棱 ，面对角线 ，点 分别是棱
的中点， .
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用勾股定理证明 ，再以 为坐标原点， 分别为 轴建系，利
用空间向量证明线面垂直；
【详解】（1）依题意得 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，从而可知三棱柱 为直三棱柱，
以 为坐标原点， 分别为 轴，平面 内，过 垂直于 的方向为 轴建立如图所示的空间
直角坐标系 ，则 ， ，
， ，
所欲 ，
所以 ， ，
由 ，
，
得 ，又 平面 ，且 ，
故 平面 .
15．（2023·贵州遵义·统考三模）如图，棱台 中， ，底面
ABCD是边长为4的正方形，底面 是边长为2的正方形，连接 ，BD， .
(1)证明： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】根据棱台数据可知其是正棱台，建立空间直角坐标系后，（1）利用空间向量的数量积证明垂直关系，（2）根据平面的法向量求二面角.
【详解】（1）
由题意，该棱台是正四棱台.
连接 交 于 ，以 所在直线为 轴，经过 且垂直于平面 的直线为 轴，交上底面
于 ，连接 ，建立空间直角坐标系如图.
根据正四棱台的性质，过 作底面 的垂线，则垂足 在 上.
根据题干数据， ， 为上底面正方形对角线长的一半，
显然 ，故 ，又 ，则 ，故 .
于是 ， ，则 ，于是
16．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， ， ， . 为 的中点，点 在 上，且 .
(1)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）（2）（3）如图，以 为原点，分别以 ， 为 轴， 轴，过 作 平行线为 轴，
建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）如图，以 为原点，分别以 ， 为 轴， 轴，过 作 平行线为 轴，建立空间直
角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以平面 平面 .
题型三 利用空间向量求异面直线夹角
策略方法 用向量法求异面直线所成角的一般步骤【典例1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝ ， BC＝1，
PA＝2，E为PD的中点． 求AC与PB所成角的余弦值．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两个向量所成角再得到两条异面直线所成角.
【详解】因为侧棱PA⊥底面ABCD， 底面ABCD， 底面ABCD，
所以 , ，又底面ABCD为矩形.
以点 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则知点 ， ， ，
, , ,
从而 ， .设 与 的夹角为 ，则 .
所以AC与PB所成角的余弦值为 .
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 为正方形，
是正三角形， ，平面 平面 ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可
得.
【详解】取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 ，
因为 是正三角形，所以 ，平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 与 所成角的余弦值为 .
故选：A
2．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 面 ，
，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以 为原点， 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，设 ，
求出 ， ，利用向量的夹角公式可得答案.
【详解】在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 互相垂直，
以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，
设 ，
则 ，
可得 ， ，
所以 .
所以直线 与直线 夹角的余弦值为 .
故选：C.
3．（2023秋·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）在正方体 中， 是棱 上
一点， 是棱 上一点， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】不妨设 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选：A
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）直三棱柱 如图所示，
为棱 的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为 ，则异面直
线 和 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】先根据已知条件求出侧棱长，然后建立空间直角坐标系，求出直线 和 的方向向量，从而
可求解.
【详解】因为在直三棱柱 中，所以球心到底面的距离 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以底面外接圆半径 ，
又因为球的表面积为 ，所以 ，
而 ，所以 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，则
， ， ， ，
，
，
设直线 和 所成的角为 ，则
.
故选：A.
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 是边长为2
的等边三角形， ，若三棱锥 的体积等于 时，异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过等边三角形和等腰直角三角形结合体积求得 两两垂直，然后建立空间直角坐标
系，利用向量法求解异面直线所成角的余弦值.
【详解】取 的中点 ，连接 ，因为 是边长为2的等边三角形，
所以 且 ，又 ，所以 ，
由 得 ，所以 ，
设 到平面 的距离为h，则三棱锥 的体积等于 ，
解得 ，而 ，
即 为三棱锥 的高，故 平面 ，所以 两两垂直，如图：
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，所以 ， ，设异面直线 与 所成角为 ，则 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：C
6．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是
菱形， 平面 ， ， ，点 是 的中点，点 是 上不与端点重合的动
点，则异面直线 与 所成角的正切值最小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，先证明 ，再以 为空间直角坐标系的原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设异面直线 与 所成角为 ，利用向量法求出 ，再利用函数求出最值即得解.
【详解】如图所示，连接 . 由题得 ，所以 是等边三角形，所以 .
因为 平面 ，所以 .以 为空间直角坐标系的原点，建立如图所示的空间直角坐
标系.设 .
则 .
由题得 ,
.设 .
所以 .
设异面直线 与 所成角为 ，
则 .
当 时， 最大为 ，此时 最小， 最小值为 .
故选：C
7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）四棱柱 中，侧棱 底面 ，
， ， ，侧面 为正方形，设点O为四棱锥 外接球的球
心，E为 上的动点，则直线 与 所成的最小角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，设球心 ，根据 得到 ，设 ，
根据向量的夹角公式结合二次函数性质计算最值得到答案.
【详解】如图所示：以 分别为 轴建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ，
球心 在平面 的投影坐标为 ，则设球心 ，
则 ，即 ，
解得 ，则 .
设 ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
则 ，
当 时，有最大值为 ，
此时直线 与 所成的角最小，对应的正弦值为 .
故选：D【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中的异面直线夹角问题，外接球问题，意在考查学生的计算能力，
空间想象能力和综合应用能力，其中建立空间直角坐标系可以简化运算，是解题的关键.
二、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥P－ABC中， 底面ABC，底面ABC为正三角形，PA＝AB，
则异面直线PB与AC所成角的余弦值为
【答案】
【分析】以 为基底，运用空间向量求解.
【详解】设 ，则 ，
；
故答案为： .
9．（2023秋·河南漯河·高三漯河高中校考开学考试）如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组
成，若 ， ， ， ， ， 分别是棱 ， ， ， 的中点，
则异面直线 与 所成角的余弦值是 ．
【答案】【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线夹角.
【详解】如图，以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
由题可得 ， ， ， ， ，
， ，
为等腰直角三角形， 也为等腰直角三角形，
又平面 与平面 均与 轴垂直，
所以 ， ，
又 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
，
所以直线 与直线 夹角余弦值为 ，
故答案为： .
10．（2023·江苏·高三专题练习）三棱柱 中，平面 平面 ，且 ，， ，则异面直线 与 所成角的正弦值为 ．
【答案】
【分析】以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求
解即可.
【详解】解：以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设所求的角为 ，
则 ，
则 .
即异面直线 与 所成角的正弦值为 .
故答案为：
11．（2023·江苏·高三专题练习）如图所示，已知两个正四棱锥 与 的高分别为1和2，
，则异面直线 与 所成角的正弦值为 ．【答案】
【分析】连接 ，交于点 ，连接 ，易得 平面 ，以 为原点建立空间直角坐标
系，利用向量法求解即可.
【详解】由题设知，四边形 是正方形，连接 ，交于点 ，则 ，
则 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
故以 为原点，以CA，DB，QP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
则 ，则 ，
所以异面直线AQ与PB所成角的正弦值为 .
故答案为： .12．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知四面体ABCD满足 ， ， ，
且该四面体的体积为 ，则异面直线AD与BC所成的角的大小为 ．
【答案】 或
【分析】将四面体放入长方体中，根据体积公式计算得到 ，建立空间直角坐标系，得到各点坐标，
根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】如图所示：将四面体放入长方体中，
，解得 ，
故 ，
以 为 轴建立空间直角坐标系，
， ， ， 或 ，
或 ， ，
异面直线AD与BC所成的角的大小为 ， ，
， ；或 ， ；
综上所述：异面直线AD与BC所成的角的大小为 或 .
故答案为： 或
13．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”
的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如
图所示的曲池，它的高为 ， ， ， ， 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径
分别为 和 ，对应的圆心角为 ，则图中异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线 与 所成角的余弦值.
【详解】设上底面圆心为 ，下底面圆心为 ，连接 ， ， ，以 为原点，分别以 ， ，
所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，则 ， ，
所以 ，
又因为异面直线所成角的范围为 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
故答案为： .
14．（2023·高三课时练习）已知 平面 ，四边形 是矩形， 为定长，当 的长
度变化时，异面直线 与 所成角的取值范围是 ．
【答案】
【分析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异
面直线 与 所成角的取值范围.
【详解】由题意可知： 两两互相垂直，则以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建
立空间直角坐标系，
设 ， ，则 ， ， ， ， ，，设异面直线 与 所成角的为 ，
则 ，
因为 定值，随着 的增大 而增大，所以 ，则 ，
所以 ，也即 ，
所以异面直线 与 所成角的取值范围是 ，
故答案为： .
题型四 利用空间向量求线面角、面面角
策略方法 1.利用向量法求线面角的两种方法
2.利用向量计算二面角大小的常用方法【典例1】如图， 为圆柱底面的直径， 是圆柱底面的内接正三角形， 和 为圆柱的两条母
线，若 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求 与面 所成角正弦值；
(3)求平面 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证明 平面BDQ，再证明 ，由此可得 平面
BDQ，再由面面垂直判定定理证明平面PCQ⊥平面BDQ；
（2）建立空间直角坐标系，求出直线BP的方向向量与平面ABQ的法向量，再求两向量的夹角余弦即可得BP与面ABQ所成角正弦值；
（3）求平面 的法向量，再求其与平面 的法向量的夹角的余弦值，即可求出结果．
【详解】（1）因为 为圆柱底面的直径，所以 ，
因为DQ为圆柱的母线，故 ，
又 ， 平面 ，
故 平面 ，
又 和 为圆柱的两条母线，所以四边形 为矩形，因此 ，
故 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）由题意知 两两垂直，
以D为坐标原点， 为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
令 ，因为 是圆柱底面的内接正三角形，
故 ，故 ， ．
， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，即 ，令 ，得 ，
故 ，
所以直线 与面 所成角正弦值为
（3）过C作 ，垂足为H，
， ，
故点C的坐标为 ， ，
设平面ACQ的法向量为 ，
由 ，即 ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
【题型训练】
一、解答题
1．（2023秋·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知几何体 ，如图所示，其中四边
形 、四边形 、四边形 均为正方形，且边长为1，点 在棱 上.(1)求证： .
(2)是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ?若存在，确定点 的位置；若不存在，请说
明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)当点 在 上，且 时，直线 与平面 所成的角为
【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，由 证明 .
（2）设 点坐标，根据线面角的向量求法即得.
【详解】（1）因为四边形 、四边形 、四边形 均为正方形，
所以 ， ， .
以D为原点，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， .
又点M在棱DG上，故可设 ，
， ，
， .（2）当点 在 上，且 时，直线 与平面 所成的角为
理由如下：假设存在点 ，直线 与平面 所成的角为 .
设平面 的一个法向量为 ，
由（1）知 ， ，
，令 ，得
.
因为直线 与平面 所成的角为 ，
，解得 .
又 ， ， 存在点 满足题意.
所以当点 在 上，且 时，直线 与平面 所成的角为
2．（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知直四棱柱 中，底面 为菱形，
， ， ，E为线段 上中点.
(1)证明： 平面 ；(2)求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线平行得平行四边形，即可得线面平行，进而证明平面 平面 ，即可证
明结论；
（2）由题意可建立以 为原点的空间直角坐标系 ，利用法向量与方向向量的夹角即可求解．
【详解】（1）证明：在直四棱柱 中， 且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
由 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ， 平面 ， ，
则平面 平面 ，又 平面 ，故 平面 ；
（2）取 中点 ，连接 ，
直四棱柱 中，底面 为菱形， ，则 、 、 两两垂直，以 为原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴的空间直角坐标系 ，如图所示：
又 ， ，
则 ，
则 , , ，
设平面 一个法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 ， ，故平面 一个法向量为 ，
设 与平面 所成角为 ，则 .
3．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图，在多面体 中，四边形 为
正方形， 平面 ， ， ， 是线段 上的一动点，过点 和直线
的平面 与 ， 分别交于 ， 两点.(1)若 为 的中点，请在图中作出线段 ，并说明 ， 的位置及作法理由；
(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的长；若
不存在，请说明理由.
【答案】(1)作图见解析， 为 的中点， 为 靠近点 的三等分点，理由见解析
(2)存在，
【分析】（1）根据线面平行的性质定理得到 ，再结合 为 的中点即可得到 为 的中点，
根据面面平行的性质得到 平分 ，再根据角平分线的性质即可得到 为 的三等分点；
（2）设 的坐标为 ，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可求解.
【详解】（1）如图，取 为 的中点， 为 靠近点 的三等分点.
理由如下：由四边形 为正方形得， ， ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又平面 平面 ， 为 的中点，得 ，且 为 的中点.
因为 ， ， 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
又 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
平面 平面 ， 平分 ，得 平分 ，
又 ，得到 为 的三等分点，且 ，从而作出线段 .
（2）由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，于是 ， ， ，
设 ，则 的坐标为 .
设平面 的法向量为 ，则由 得
令 ，得平面 的一个法向量为 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
假设存在点 使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
则有 ，解得 ， .
所以线段 上存在点 ，位于靠近点 的三等分点处，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .
4．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知四棱锥 中，底面 是矩形， ，
， 是 的中点．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，点 是 上的动点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，推导出 平面 ，再利用线面垂直的性质定理可
证得结论成立；
（2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设 ，
其中 ，求出平面 的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于 的方程，解出 的值，
即可得解.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 、 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，
因为 ，所以， ，
设直线 与直线 交于 点，
因为 ，则 ， ，所以， ，
所以， ，故 ，
设 ，则 ， ，
所以， ，
且 ， ，
所以， ，所以， ，
又因为 ， 、 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，故 .
（2）因为 ， ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为 ，则 、 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
则 ，取 ，则 ，
设 ，其中 ，
，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
则 ，解得 ，即 .
5．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形 与
均为直角梯形， 平面 ， ．(1)已知点G为AF上一点，且 ，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)AF的长为4； ．
【分析】（1）证明出 两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面DCE的法向
量，计算出 ，证明出BG与平面DCE不平行；
（2）由BF与平面DCE所成角的正弦值计算出AF的长，从而求出梯形ABEF的面积，计算出四棱锥的
体积.
【详解】（1）证明：因为 平面ABEF，AB， 平面ABEF，
所以 ， ，
又 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
所以 ， ， ，
设平面DCE的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，所以 ，
因为 ，且不存在 使得 与 垂直，
所以BG与平面DCE不平行；
（2）设 （ 且 ），则 ，所以 ，
∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，
∴ ，
化简得 ，解得 或 （舍去）；故 ．
此时梯形ABEF的面积 ，故 ．
6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱 中，
是 的中点， 是线段 上一点.
(1)求证： ；
(2)设 是棱 上的动点（不包括边界），当 的面积最小时，求直线 与平面 所成角的正
弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”证明线线垂直，结合勾股定理证明直线垂直，从而由线面垂直判定定理得 平面 ，利用线面垂直的性质进行证明即可；
（2）根据三角形的面积最小，得到 是 的中点，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解
即可．
【详解】（1）证明：连接
， ， 是 的中点
， 是 的中点
，
，
平面
平面 ， 平面 ， ，
在三棱柱 中， ，
， ，
，
平面 ，
平面 ， ．（2）连接 ，由（1）可知 ，
平面 ， 平面
平面 ，
，要使 的面积最小，则 最小，
又 ， △ 是等腰直角三角形
即 时， 最小， 是 的中点，
如图，建立以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴的空间直角坐标系：
则 ， ， ， ,0, ，
设 , , ，则 ，即 ，得 ， ， ，
即 , , ，
，则 ，
， , , ，
设平面 的法向量为 , , ，
由 ，得 ，即 ，令 ，则 ， ，即 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 , ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
7．（2023秋·广西南宁·高二校考开学考试）如图，在三棱锥 中，侧棱 底面 ，且
，过棱 的中点 ，作 交 于点 ，连接 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，三棱锥 的体积是 ，求直线 与平面 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案；
（2）解法一：设 ，由 得 ，再利用 求出 ，由（1）
知 平面 ， 即为所求角，再由 可得答案；
解法二：设 ，由 得 ，再利用 求出 ，以 为原点，
与 垂直的方向，射线 ，射线 分别为 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求出 、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）因为 平面 平面 ，所以 ，
又因为 ，而 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
又因为 ，点 是 的中点，所以 .
而 平面 ，
所以 平面 平面 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解法一：设 ，由（1）得， ，
可知 ，
由 ，得 ，故 ，
在Rt 中， ，
所以 ，
化简得 ，解得 ，故 .
由（1）知 平面 ，故 即为所求角，
在Rt 中， ，
又 ，故 ；
解法二：设 ，由（1）得， ，
可知 ，由 ，得 ，故 ，
在Rt 中， ，
所以 ，
化简得 ，解得 .
如图，以 为原点，与 垂直的方向，射线 ，射线 分别为 轴的正半轴，建立空间直角坐标
系.
因为 ，则 ，
，
由（1）知， 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，又 ，故 .
8．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，在三棱柱 中，平面
平面 ，四边形 是矩形，四边形 是平行四边形，且 ， ，
，以 为直径的圆经过点F．(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得 ，再由面面垂直的性质得到 平面 ，即可得到 ，
从而得到 平面 ，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为以 为直径的圆经过点 ，所以 ．
因为四边形 为矩形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）因为 平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
又因为 ，所以 ，则 两两互相垂直，
以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为 ， ， ，所以 ，
所以在 中，由勾股定理得 ，
则点 ， ， ， ，
则 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则由 得 ，不妨令 ，得 ，则
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，所以
所以直线 与平面 所成角的余弦值为 ．
9．（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形， ，将
沿BD折起到 的位置，使 ．(1)求证：平面 平面ABD；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 中点 ，根据二面角的定义或通过证明 平面 来证得平面 平面 ．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线 与平面 所成角的正弦值．
【详解】（1）如图，取 中点 ，连接OA，OP．
因为四边形ABCD是边长为2的菱形， ，所以 、 是边长为2的正三角形，
因为O是BD中点，所以 ，
因为 ，所以 ，同理可得 ，因为 ，
所以 ，则 ，由二面角定义可得平面 平面ABD．
或：又因为 ， 平面ABD， 平面 ，
所以 平面 ，因为 ，所以平面 平面 ．
（2）以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
，
设平面PAD的一个法向量为 ，由 得 ，
令 得 ，则 ，
设直线AB与平面PAD所成的角为 ，
则 ．
所以直线AB与平面PAD所成角的正弦值为 ．
10．（2023春·海南海口·高三统考期中）如图，四棱锥 的顶点P在底面ABCD上的射影为AB的
中点H， 为等边三角形， ， ，棱BC的中点为E.
(1)证明： ；
(2)若 ，求直线PE与平面PBD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）先由线面垂直的性质得 ，再由线面垂直判定证明 平面 ，从而利用线面
垂直的性质即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为点P在底面ABCD上的射影为AB的中点H，所以 平面 ， 平面
，
所以 ，因为 ， ， ，所以 ，从而 ，
连接 ，因为H是AB的中点，E是BC的中点，所以 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 .
（2）如图：
以 与 的交点O为坐标原点，直线 ， 分别为x，y轴，过O且与底面 垂直的直线为z
轴，
建立空间直角坐标系，不妨设 ，则 ， ， ，
，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
令 得 ，设直线PE与平面PBD所成角为 ，所以 ，
故直线PE与平面PBD所成角的正弦值为 .
11．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱 的底面边长为1，高为 ，
为线段 上的动点.
(1)求证： 平面 ；
(2)设直线 与平面 所成的角为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面 平面 ，结合面面平行的性质可证明 平
面 .
（2）取 的中点为Q，由线面垂直的判定定理可证明 平面 ，即 为平面 的一个法
向量.建立空间直角坐标系，计算向量 以及 的坐标，利用线面角的向量公式，计算结果即可.【详解】（1）连接 ， .
在正六棱柱 中，
因为底面为正六边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，所以平面 平面 ，
因为 为线段 上的动点，所以 平面 ，
所以 平面 .
（2）取 的中点为Q，连接 ， .
因为底面边长为1，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
易得 ， ， ，所以 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
即 为平面 的一个法向量.连接 ，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ，所以 ， ， .
设 （ ），
所以 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 的取值范围是 .
12．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）在三棱柱 中，平面 平
面 ，侧面 为菱形， ， ， ， 是 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)点 在线段 上（异于点 ， ）， 与平面 所成角为 ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）作 交 于 点，由面面垂直的性质可得 平面 ，可得 ，再由
线面垂直的判定定理得 平面 ，从而得到 ，再由线面垂直的判定定理可得答案；
（2）以 为原点， 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，可
得 ，求出平面 的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）因为侧面 为菱形， ， ，
所以 为边长为 的等边三角形，
作 交 于 点，则 点为 的中点，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，可得 ，
又 ， ， 平面 ，可得 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，因为侧面 为菱形，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 ；
（2）由（1）知， 平面 ， ，取做 的中点 ，连接 ，
则 ，所以 平面 ，
以 为原点， 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
， ，设 ，可得 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则
，即 ，令 ，可得 ，
可得 ，
解得 舍去，或 ，所以 .
13．（2023秋·江西宜春·高三统考开学考试）如图，在几何体 中，菱形 所在的平面与矩形
所在的平面互相垂直.
(1)若 为线段 上的一个动点，证明： 平面 ；
(2)若 ， ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2) 或1
【分析】（1）利用面面平行的性质定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式求解.【详解】（1）由题知，四边形 为矩形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证 平面 ，又因为 ， 、 平面 ，
所以平面 平面 ，又因为 平面 ，所以 平面 .
（2）因为平面 平面 ，
且平面 平面 ， ，
平面 ，所以 平面 .
又因为底面 为菱形，且 ， ，
所以△ 为等边三角形，且 ，设 ，
取 的中点为 ，连接 ，以 为坐标原点，分别以 , , 的方向为 轴、 轴、 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ，则 ，
取 ，则 ， ，即 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则
化简可得 ，解得 或 ，故BF的长可为 或 .
14．（2023秋·山东菏泽·高三校考阶段练习）在长方体 中， ， .点 是
线段 上的动点，点 为 的中点.
(1)当 点是 中点时，求证：直线 平面 ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ， ，即可证明 ，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，设 ，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， ， ，
所以 且 ， 且 ，
所以 且 ，
∴四边形 为平行四边形，可知 ，
平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）设 ，如图建立空间直角坐标系,则 ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，由 及 ，
即 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
由 及 ，即 ，则 ，
设二面角 为 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 .
15．（2023秋·福建莆田·高三校考阶段练习）四棱锥 中，四边形 为梯形，其中 ，
， ，平面 平面 ．(1)证明： ；
(2)若 ，且三棱锥 的体积为 ，点 满足 ，求平面 与平面 所成的锐
二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明 面 ，根据线面垂直的性质即可得证；
（2）证明 ， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）由题设， 为等边三角形，则 ，
又四边形 为梯形， ，则 ，
在 中， ， ，所以 ，
即 ，则 ，
所以 ，即 ，
面 面 ，面 面 ， 面 ，
则 面 ，
又 面 ，故 ．
（2）若 为 中点， ，
则 ，面 面 ，面 面 ， 面 ，
则 面 ，
连接 ，则 ，且 面 ，故 ，
综上， ， ， 两两垂直，以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴正方向的空间直角坐标系．所以 ， ， ， ，
由三棱锥 的体积为 ，则 ，
即 ，故 ．
则 ，则 ，
所以 ， ， ， ，
若 是面 的一个法向量，
则 ，取 ，则 ，则 ．
若 是面 的一个法向量，
则 ，取 ，则 ， ，则 ，
所以 ，
则锐二面角 的余弦值为 ．
16．（2023秋·天津河北·高三天津二中校考开学考试）如图，四边形 是正方形， 平面 ，
， ，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点.AI
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的大小；
(3)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由三角形中位线以及线面平行的判定定理即可证明；
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出平面 与平面 夹角的大小;
（3）根据（2）的坐标表示，由线面角与空间向量的关系即可求出直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
【详解】（1）由题意F，G分别为BP，BE的中点，所以 是 边的中位线，
即 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由于四边形 是正方形， 平面 ,
所以 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
AI又 ，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点，
则 ，易知 ；
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，解得 ，令 ， ；
即 ；
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，解得 ，则 ，
即 ；
设平面 与平面 夹角的大小为 ，
所以 ，
可得 ；
即平面 与平面 夹角的大小为 ；
（3）由（2）可知 ，平面 的一个法向量为 ；
设直线CE与平面PBC所成的角为 ，
则 ；
即直线CE与平面PBC所成角的正弦值为 .17．（2023秋·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）四边形 为菱形， 平面 ，
， ， ．
(1)设 中点为 ，证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用菱形的性质、平行线的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）四边形 为菱形，且 ， 中点为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）设 交 于点 ，取 中点 ，连接 ，所以 ， 底面 ．以 为原点，以
， ， 分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，所以 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，得 ；
， ，平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 得 ；
所以 ，
所以平面 与平面 的夹角的大小为 ．
18．（2023秋·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为正方形，侧
面PAD是正三角形，侧面 底面ABCD，M是PD的中点.
(1)求证： 平面PCD；
(2)求平面BPD与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据面面垂直证线面垂直，得 平面 ，再得线线垂直 ，再根据正三角
形三线合一证 ，最后由线面垂直的判定，证得 平面PCD；
（2）建系，用空间向量坐标计算面面夹角的余弦值即可.【详解】（1）证明：在正方形 中， ，
又侧面 底面 ，侧面 底面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 是正三角形， 是 的中点，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 .
（2）取 中点为 中点为 ，连接 ，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， .
设平面 的法向量为 ，则
由 得
取 ，则 ，
由（1）知平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 .
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .19．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考一模）如图①在平行四边形 中， ， ，
， ，将 沿 折起，使平面 平面 ，得到图②所示几何体．
(1)若 为 的中点，求四棱锥 的体积 ；
(2)在线段 上，是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，如果存
在，求出 的值，如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 的值为
【分析】（1）首先求出 ， 及 的长度，再证明 平面 ，最后根据锥体的体积公式计算
可得．
（2）建立空间直角坐标系，设 ， ，利用空间向量法得到方程，求出 的值，即可得
解.
【详解】（1）由图①知， ，所以 ，在 中，因为 ， ，可得 ， ，所以 ．
由图②知，平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，因为 ，所以 平面 ，
因为 为 的中点，
所以 ．
（2）由（1）知 ， ， 三者两两垂直，以点 为原点，
， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）．
则 ， ， ， ， ， ， ，
设 ， ，
，
即 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，则 ，
令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ， 解得 或 （舍去），
所以此时 的值为 .20．（2023秋·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考开学考试）如图，在三棱柱 中，侧面
是菱形， ， 是棱 的中点， ，点 在线段 上，且 .
(1)求证： 平面 .
(2)若 ，平面 平面 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，结合相似可得 ，进而求证即可；
（2）过 作 ，垂足为 ，连接 ，结合 可得 ，以 为原点，以 ， ，
所在直线为 轴建立空间直角坐标系，进而结合法向量求解即可.
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）过 作 ，垂足为 ，连接 ，
因为 ，所以 为 的中点，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，
因为 为正三角形， 为 的中点，
所以 .
如图，以 为原点，以 ， ， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ， ， ， ， ， ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，取 ，
平面 的法向量可取 ，
所以 ，所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
21．（2023秋·江苏·高三校联考开学考试）如图，直三棱柱 中， ，平面
平面 ．
(1)求证： ；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点 作 ，根据题意证得 平面 ，得到 ，再由三棱柱
为直三棱柱，证得 ，利用下面垂直的判定定理，证得 平面 ，即可得到
；
（2）以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面 和平面 的一个法向量和 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）如图所示，过点 作 于点 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
由三棱柱 为直三棱柱，可得 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）如图所示，以点 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐
标系，如图所示，
因为 ，可得 ，
则 ,
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，可得 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
则 ，
设二面角 的平面角为 为锐角，可得 ，所以 ，
即二面角 的正弦值为 .
22．（2023秋·广西玉林·高三校联考开学考试）如图，在正四棱柱 中， ， .
点 、 、 、 分别在棱 、 、 、 上， ， ， .
AI
(1)求多面体 的体积；(2)当点 在棱 上运动时（包括端点），求二面角 的余弦值的绝对值的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以 为坐标原点， 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系，分析可知
四边形 为菱形，可得出 ，结合锥体的体积公式可求得结果；
（2）设 ，求出平面 、平面 的法向量，利用空间向量法结合二次函数的基
本性质可求得二面角 的余弦值的绝对值的取值范围.
【详解】（1）解：以 为坐标原点， 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如图，
AI
则 、 、 、 、 ,
所以， ， ，则 ，
又因为 、 不在同一条直线上，故四边形 为平行四边形，
因为 ，则 ，
又 ，故四边形 为菱形，多面体 是以 为顶点的四棱锥，
又 ， ，
，
所以， .
（2）解：设 ，则 ， ，
，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，得 ， ，所以， ，
设平面 的法向量为 ，则 。
令 ，得 ， ，则 ，
，
因为 ，则 ，所以， .
因此，二面角 的余弦值的绝对值的取值范围是 .
23．（2023秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在三棱台 中， 为 中
点， ， ， .(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，平面 与平面 所成二面角大小为 ，求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）易证得四边形 为平行四边形，由此可得 ，结合 ，由线面垂直的判
定可得结论；
（2）根据垂直关系，以 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设 ，由二面角的向量
求法可构造方程求得 ，利用体积桥 可求得结果.
【详解】（1）在三棱台 中， 为 中点，则 ，
又 ， ，
， 四边形 为平行四边形， ，
又 ， ，
， ， ，
， 平面 ， 平面 .
（2） ， ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
连接 ， ， ， 为 中点， ；
以 为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
又平面 的一个法向量 ，
，解得： ，即 ，
平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
.
24．（2024秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，
， ，点E在平面 上运动．(1)试确定一点E，使得 平面 ，并说明点E的位置；
(2)若四棱锥的体积为6，在侧棱 上是否存在一点F，使得二面角 的余弦值为 ．若存在，
求 的长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当点E在 的 边的中线 上运动时， 平面 ；
(2)存在， .
【分析】（1）取 的中点G，证明 平面 即可推理作答.
（2）由给定条件，证明 两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间向量结合二面角的余弦
求解作答.
【详解】（1）点E在 的 边的中线上，
取 的中点G，连接 ，如图，
由 ， ，得 ， ，即四边形 为平行四边形，
于是 ，而 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
所以当点E在 的 边的中线 上运动时， 平面 ．（2）由于 底面 ， ，则四棱锥 的体积 ，解得 ，
由（1）知， ，则有 ， ，有 ， ，
以点A为坐标原点， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
假定棱 上存在一点F满足条件，令 ， ，则 ，
， ，设面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ，又面 的法向量 ，
于是二面角 的余弦值 ，
解得 ，即F为 中点，此时 ， ．
即当 时，二面角 的余弦值为 .
25．（2023秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）如图，四棱锥 中，底面四边形
是直角梯形， ， ，直线 与
所成的角为 ．
(1)求证：平面 平面 ；(2)点 为线段 上一点，若二面角 的大小为 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线线垂直可证明线面垂直，即可得面面垂直，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.
【详解】（1）证明： 平面 ，
平面 ．
又 平面 ，
平面 平面 ．
（2）在平面 内，过 作 轴 ，建立空间直角坐标系 （如图）．
由题意有 ，设 ，则 ，
，
由直线 与直线 所成的角为 ，得 ，即 ，得 ，
所以 ．
由直角梯形 可知 ，则可设 ．
由题意可得 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，取 ，得 ．
平面 的法向量取 ，
则 ，解得 （负值舍去），则 ．
题型 五 利用空间向量求点到线距离、点到面距离
策略方法
1.点到面的距离
如图所示，平面 的法向量为 ，点 是平面 内一点，点 是平面 外的任意一点，则点
到平面 的距离 ，就等于向量 在法向量 方向上的投影的绝对值，即
或
【典例1】正四棱柱 中， ， ， 为 中点， 为下底面正方形的中心．
求：(1)点 到直线 的距离；
(2)点 到平面 的距离．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得 到直线 的距离.
（2）利用向量法求得 到平面 的距离.
【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
所以 到直线 的距离为:
.（2）由（1）得
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，
所以点 到平面 的距离为 ．
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ， 两两垂直， ，
．
(1)求点 到直线 的距离；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得.
（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得
【详解】（1）解：以 为坐标原点， ， ， 方向分别为 ， ， 轴正方向，建立如图所示的空
间直角坐标系，
则 ， ， ，所以 ， ， ．
取 ， ，则 ， ，
所以点 到直线 的距离为 ．
（2）解：设 是平面 的一个法向量，则 ，所以 ，
取 ，解得 ，所以 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．2．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，已知长方体 的体积为4，点A到平面 的距离
为 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，动点E在线段 上移动，求 面积的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据长方体体积与三棱锥 的体积关系，结合已知条件，即可求得结果；
（2）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得 的坐标，从而求得点 到到直线 的距离，
建立三角形 的面积关于 的竖坐标之间的函数关系，求函数值域即可.
【详解】（1）由题知：
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
因为 ，所以 .
（2）由题知： ，
以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系：则 ，
设 ，则 ，
则直线 的单位方向向量为
则点 到直线 的距离为
所以 的面积
所以 面积的取值范围为 .
3．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）在四棱锥 中， 底面 ，且
，四边形 是直角梯形，且 ， ， ， ， 为 中点， 在
线段 上，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线PB与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到PD的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)
【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）如图，取 中点 ，连接
因为 为 中点， ， ， ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 为 中点， 为 中点，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，故 平面 ．
（2）
根据题意，分别以 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得， ，
则 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，
取 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设直线PB与平面 所成角为 ，
则 .
所以直线PB与平面 所成角的正弦值为 .
（3）由（2）可知， ，
所以点 到PD的距离为 .
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台 中， 平面 ，
，且 ， ， 是 的中点．
(1)求三角形 重心 到直线 的距离；
(2)求二面角 的余弦值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立坐标系，过点 作 ，求出 ，进而得出三角形 重心 到直线 的距
离；
（2）利用向量法得出二面角.
【详解】（1）因为 ，所以 ， ，
在平面 内过点 作 ，建立如图所示空间直角坐标系 ，则
， ， ， ， ，
过点 作 ，设 ，
.
则 .
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ， ．
即三角形 重心 到直线 的距离为 .
（2） ， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，则
设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，则
所以，
由图可知，二面角 为锐角，所以，二面角 的余弦值为 ．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱 的底面 为平行四边形， ，
，点P，M分别为 ， 上靠近 的三等分点．(1)求点M到直线 的距离；
(2)求直线PD与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用向量法求出点到直线的距离即可；
（2）结合（1）中点的坐标，分别求出直线 的方向向量和平面 的法向量，利用空间向量的夹角公
式即可求解.
【详解】（1）由题可得AD=2， ，
又点P为AB上靠近A的三等分点，所以AP=1．
在 中，由余弦定理可得，
，
故 ，
所以 为直角三角形，故DP⊥AB．
因为底面ABCD为平行四边形，所以DP⊥CD．
由直四棱柱性质可知 ， ，
即DP，CD， 两两垂直．
故以D为坐标原点，分别以DP，DC， 所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
Dxyz．则 ．
因为 ，过点M作 ，（点到直线的距离即为通过该点向直线做垂线，点到垂足的
距离）
令 ，所以 ，故 ．
由 ，解得 ，所以 ，故点M到直线 的距离为
．
（2）因为 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，得 ， ，故 ．
设直线PD与平面 所成角为 ，
则 ．
所以直线PD与平面 所成角的正弦值为 ．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱 的棱长均为2， ， ．(1)证明：平面 平面ABC；
(2)设M为侧棱 上的点，若平面 与平面ABC夹角的余弦值为 ，求点M到直线 距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）取AC的中点O，连接 ，利用勾股定理证明 从而证得
平面ABC，然后利用面面垂直的判定定理证明即可.
（2）以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，写
出各点坐标，设 得到点M的坐标，求出平面 与平面ABC
的法向量，由余弦值可确定 值，然后利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】（1）取AC的中点O，连接 ， ， ，所以
由题设可知， 为边长为2的等边三角形，所以 ，
由 ， ，所以 所以 平面ABC；
平面 ,所以平面 平面ABC；（2）以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
所以
设 可得 ，
设平面 的法向量为 则
即 取
所以 因为 为平面ABC的一个法向量，
设平面 与平面ABC夹角为 ，
解得 ，所以
所以点M到直线 距离7．（2023秋·山东济南·高三统考开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底
面 ， ，点 是棱 的中点，点 是棱 上一点．
(1)证明： ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案；
（2）以点 为原点，以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，设点 ，求出平面
的一个法向量、 ，利用线面角的向量求法、点到平面的距离的向量求法可得答案.
【详解】（1）在正方形 中，有 ，
又 底面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ，点 是棱 的中点，所以有 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ；
（2）如图，以点 为原点，以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
， ， ，设点 ， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
令 ，可得 ，又 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值 ，
化简可得 ，即 ，
所以 或 （舍），
即点 ，由 可得， ， ，
所以点 到平面 的距离 ．
8．（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱
底面 ， ，E是 的中点，作 交 于点F．(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角为 ，求点F到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 交 于点G，连接 ，根据E是 的中点，得到 ，再利用线面平行的
判定定理证明；
（2）设 ，以D为原点， ， ， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐
标系，分别求得平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，根据
平面面 与平面 的夹角为 ，由 ，求得 ，然后根据点F再线段PB上，设
，再由平面 的法向量为 ，利用 求解．
【详解】（1）证明：如图所示：
连接 交 于点G，连接 ，
∵E是 的中点，
∴ ， 平面 ， 平面 ．
∴ 面 ．
（2）解：设 ，以D为原点， ， ， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 ，
同理，由 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ,得 ，
由平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，解得 ，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，
又 ，∴ ，即 ，焦点 ，
∴ ，又 平面 ，则平面 的一个法向量为 ，
又 ，则点F到平面 的距离 ．
9．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）如图，在三棱柱 中，已知 侧面
， ， ， ，点 在棱 上.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，试确定 的值，使得 到平面 的距离为 .
【答案】(1)答案见解析；
(2) 或 ．
【分析】（1）利用余弦定理求出 的长，再利用线面垂直的判定推理作答.
（2）由（1）中信息建立空间直角坐标系，用 表示出 的坐标，再利用向量求点到平面距离即可.
【详解】（1）在三棱柱 中， ， ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即有 ，于是 ，又 侧面 ， 侧面 ，
则 ，而 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）由（1）知， 两两垂直，以B为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则 ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，
点 到平面 的距离 ，解得 或 ，
所以当 或 时，C到平面 的距离为 ．
10．（2023秋·广东东莞·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中，侧面 是正三角形，
且与底面 垂直， 平面 ， ， 是棱 上的动点.(1)当 是棱 的中点时，求证： 平面 ；
(2)若 ， ，求点 到平面 距离的范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面平行的性质推导出 ，取 的中点 ，连接 、 ，证明出四边形
为平行四边形，可得出 ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）取 的中点 ，连接 ，证明出 平面 ， ，以点 为坐标原点， 、 、
所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设 ，其中 ，利用空间向量法可
求得点 到平面 距离的范围.
【详解】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，且平面 平面 ，所以
.
取 的中点 ，连接 、 ，
因为 是棱 的中点，所以， 且 ，
因为 且 ，所以， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）解：取 的中点 ，连接 .
因为 是正三角形，所以 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
因为 ， ， 为 的中点，所以， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 ，则 ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 、 、 、 ，所以 ，
设 ，其中 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
所以 ，
令 ，得 ，
设点 到平面 距离为 ， .
当 时， ；
当 时， ，则 ，
当且仅当 时等号成立.
综上，点 到平面 距离的取值范围是 .
11．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱 的各棱长都为 ，点
在下底面 的投影为 的中点 .(1)在棱 （含端点）上是否存在一点 使 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)存在，
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，假设在棱 （含端点）存在一点 使 ，
利用 ，结合向量垂直的坐标表示即可求得答案.
（2）求出平面 的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）因为点 在下底面 的投影为 的中点 ，故 平面 ，
连接 ，由题意 为正三角形，故 ,
以 为原点， 分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系：
则 ， ，设 ，可得 ，
，
假设在棱 （含端点）上存在一点 使 ，
则 ，
则 ；
（2）由（1）知 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
则 ，
又 ，
则 到平面 的距离为 ，
即点 到平面 距离为 .
12．（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体 中，四边形 是边长为4的正方形， ，
△ABC是正三角形．(1)若 为AB的中点，求证：直线 平面 ；
(2)若点 在棱 上且 ，求点C到平面 的距离．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；
（2）根据题意可证 平面 ， 平面 ，建系，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】（1）连接 ，设 ，由题意可得 为 的中点，连接 ，
因为 分别为 的中点，则 // ，
平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 .
（2）由题意可得： ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
取 的中点 ，连接 ，
因为△ABC是正三角形，则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，则 ，
， 平面 ，
所以 平面 ，如图，以 为坐标原点， 为 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
所以点C到平面 的距离 .
13．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）斜三棱柱 的各棱长都为2， ，点 在
下底面ABC的投影为AB的中点O．
(1)在棱 （含端点）上是否存在一点D使 ？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点 到平面 的距离．【答案】(1)存在，
(2)
【分析】（1）连接 ，以O点为原点，如图建立空间直角坐标系，设 ，根据
，求出 即可；
（2）利用向量法求解即可.
【详解】（1）连接 ，因为 ， 为 的中点，所以 ，
由题意知 平面ABC，
又 ， ，所以 ，
以O点为原点，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
由 得 ，同理得 ，
设 ，得 ，
又 ， ，
由 ，得 ，
得 ，又 ，∴ ，
∴存在点D且 满足条件；
（2）设平面 的法向量为 ， ， ，
则有 ，可取 ，
又 ，∴点 到平面 的距离为 ，
∴所求距离为 .
14．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知多面体 ，四边形 是等腰梯
形， ， ，四边形 是菱形， ，E，F分别为QA，BC的中点，
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理可证 平面 ，进而可得结果；（2）以 为原点、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
求出 和平面 的法向量，利用点到平面的距离公式的向量求法可得答案.
【详解】（1）设 是线段 的中点，连接 ，过 作 ，垂足为 ，
因为四边形 为等腰梯形， ， ，
所以 ， ，
因为 是 的中点，可得 ，
则 ，即四边形 为平行四边形，
可得 ，所以 ，
又因为四边形 是边长为2的菱形，且 ，
则 是边长为2的等边三角形，可得 ，
则 ，可得 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 ，
且 平面 ，所以平面 平面 .
（2）以 为原点、 分别为 轴、 轴、 轴建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ，可得 ，
则点 到平面 的距离为 .
