文档内容
专题 7.2 期末检测综合压轴题分类专题（考点梳理与分类讲解）
第一部分【考点目录】
一、选择填空题（常考综合题）
【考点1】数轴上的动点.......................................................2
【考点2】整体思想求值.......................................................3
【考点3】转换器.............................................................3
【考点4】数字规律...........................................................4
【考点5】图形规律...........................................................5
【考点6】方程思想...........................................................5
【考点7】三角板中的角.......................................................6
【考点8】列方程（选择）.....................................................7
【考点9】折叠中的角.........................................................8
【考点10】折叠中的线段......................................................8
【考点11】旋转中的角........................................................8
二、解答题（常考综合题）
【考点12】计算或解方程......................................................9
【考点13】化简求值.........................................................10
【考点14】线段的和与差、线段中点有关计算...................................11
【考点15】角的和与差、角平分线有关计算.....................................12
三、选择填空题（压轴题）
【考点16】分类讨论.........................................................13
【考点17】动点问题.........................................................13
【考点18】规律问题.........................................................13
【考点19】方程思想.........................................................13
四、解答题（压轴题）
【考点20】列方程应用题.....................................................13
【考点21】线段上的动点问题.................................................13【考点22】角中的旋转问题...................................................14
【考点23】综合探究题.......................................................14
第二部分【考点展示与方法点拨】
一、选择填空题（综合部分）
【考点1】数轴上的动点
【1-1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点
P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段 和 的大小关系满足
时，点P表示的数是 ．
【1-2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知 在数轴上， 对应的数是 ，点 在 的右边，
且距 点4个单位长度，点 是数轴上两个动点；如果 分别从点 出发，均沿数轴向左运
动，点 每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点 每秒走3个单位长度，当 、 两点相距2个单位长
度时，点 对应的数为 ．
【考点2】整体思想求值
【2-1】（24-25七年级上·全国·期末）若 ，则 的值为 ．
【2-2】（24-25八年级上·山东威海·期中）若实数x满足 ，则 的值为
．
【考点3】转换器
【3-1】（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的m的值是 时，输
出的结果是 ．
【3-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）在如图所示的运算程序中，若第一次输入 的值为 ，则第次输出的结果为 ．
【考点4】数字规律
【4-1】（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列式子： ， ， ， ， ，
，…那么 的结果的个位上的数字是 ．
【4-2】（2023七年级上·四川眉山·竞赛）有一列数： ， ， ， ，从第二个数开始，每一个数都等
于1与它前面的那个数的倒数的差，若 ，设 ，则式子： 的值为
．
【考点5】图形规律
【5-1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示，以O为端点画六条射线 ， ， ， ，
， ，再从射线 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依
次记为 ， ， ， ， ， ， ， ，那么所描的第2024个点在射线 上．
【5-2】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现
在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余
各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1．图1中第8行第5个数是 ；图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下
每层小球的个数依次为：1，3，6，10 ，记第n层的圆球数记 ，则 ．
【考点6】方程思想
【6-1】（23-24八年级上·四川成都·期末）已知 ， 是有理数，单项式 的次数为3，而且方程
是关于 的一元一次方程．若关于 的一元一次方程的解是负整数，则满足条件
所有整数 的和为 ．
【6-2】（2024七年级上·全国·专题练习）小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化
为分数，例如，化 为分数，方法如下：
设 ，即 ．将方程两边都乘10，得 ，即 ．又因为
，所以 ，所以 ，则 ，所以 ．
尝试解决下列各题：
（1）把 化成分数为 ；
（2）利用小明的方法，把纯循环小数 化成分数为 ．
【考点7】三角板中的角
【7-1】（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，一副三角板的直角 与 的顶点O重合在一起，
若 ，则 的度数为 ．【7-2】（22-23七年级上·河北唐山·期中）如图， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，
将一直角三角板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，将图1中的三角板绕点 以每秒 的速
度沿顺时针方向旋转一周，经过t秒后直线 恰好平分 ，则 （直接写结果）．
【考点8】列方程（选择）
【8-1】（2024七年级上·河南·专题练习）在做科学实验时，老师将第一个量筒（圆柱）中的水全部倒入
第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【8-2】（2024七年级上·全国·专题练习）如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按
出工，求各村出工的人数．
①设甲、乙、丙三村分别出工 人、 人、 人，依题意，得 ；
②设甲村出工 人，依题意，得 ；③设乙村出工 人，依题意，得 ；
④设丙村出工 人，依题意，得 ．
上面所列方程中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点9】折叠中的角
【9-1】（2024七年级上·云南·专题练习）将一张长方形纸片 按如图所示的方式折叠， 、 为
折痕，点 、 折叠后的对应点分别为 、 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【9-2】（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）如图，把一张长方形的纸片按如图那样折叠后，C、D两
点落在H、G点处，若得 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点10】折叠中的线段
【10-1】（2025七年级下·江苏泰州·专题练习）如图，已知线段AB与直线BC的夹角 ，D是
直线BC上的一个动点，平移线段AB，使点B移到点D的位置，得到线段DE，连接BE，再将 沿
BE折叠，点D落在点F处．若BF平分 ，则 的度数为 ．
【10-2】（23-24七年级上·浙江温州·期中）在长方形纸片上有一条数轴，小周裁剪了10个单位长度（
到8）的一条线段，如图，其中 点表示的数为 ， 点表示的数为3，点 表示的数为1.5，小周先将
纸片对折，再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点 与点 重合，经过两次折叠后数轴上与点 重合的点所表示的数是 ．
【考点11】旋转中的角
【11-1】（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知 ，现将射线 绕点 顺时
针匀速旋转，射线 保持不动，当射线 与射线 重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两
个角相等（重合除外）时，射线 旋转的角度为 ．
【11-2】（24-25七年级上·全国·期末）如图①，点O在直线 上，过O作射线 ，三角
板的顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板绕点O按 的速度沿逆
时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线 恰好平分锐角 （图②）．
二、解答题（常考综合题）
【考点12】计算或解方程
【12-1】（23-24七年级上·四川成都·期末）
（1）计算： ； （2）计算： ；
（3）解方程： ； （4）解方程： ．
【12-2】（22-23七年级上·河北石家庄·期末）计算或解方程：(1) (2)
(3) (4)
【考点13】化简求值
【13-1】（21-22七年级上·重庆璧山·期末）先化简，再求值： ，其
中 ．
【13-2】（23-24七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：已知 ，先化简，再求值：
．
【考点14】线段的和与差、线段中点有关计算
【14-1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，C、D是线段 上的点， ， ．
(1)线段 与 相等吗？请说明理由；
(2)如果M是 的中点， ，求线段 的长．
【14-2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，线段 ，C为线段AB延长线上一点， ．
(1)求线段 的长；
(2)若D是图中最长线段的中点，求线段BD的长．
【考点15】角的和与差、角平分线有关计算
【15-1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线 、 相交于O， ， ．
(1)求 的度数；
(2)试说明 平分 ．【15-2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，点O为直线 上的一点， ， 平
分 ， ，求 和 的度数．
三、选择填空题（压轴题）
【考点16】分类讨论
【16-1】（23-24七年级上·四川达州·期中）若 ，则 的值可能是（ ）
A．1和3 B． 和3 C．1和 D． 和
【16-2】（23-24七年级上·江苏南京·期末）已知线段 ， 是直线 上一点， 是 的中点，
是 中点，若 ，则 的长为 ．
【16-3】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，长方形纸片 ，点E在边 上，点F，G在
边 上，连接 ， ．将 对折，点B落在直线 上的点 处，得折痕 ；将 对折，
点A落在直线 上的点 处，得折痕 ．若 ，则
【考点17】动点问题
【17-1】（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，且 、 满足
，动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点 从点出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒．若点 、 同时出
发，当 、 两点相距 个单位长度时， 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【17-2】（24-25六年级上·山东淄博·期中）如图，数轴上 两点之间的距离为1个单位长度， 两
点之间的距离为3个单位长度．现有一动点 从点 开始沿该数轴的正方向运动，到达点 停止．若运动
过程中，点 到 三点的距离之和的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点18】规律问题
【18-1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，甲、乙两动点分别同时从正方形 的顶点
沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的 倍，
那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第 次相遇在哪条边上?（ ）
A． B． C． D．
【考点19】方程思想
【19-1】（24-25七年级上·湖南永州·期中）数轴上点A、B分别表示数字a、b，且 若动
点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出
发向A做匀速运动，当运动时间为（ ）秒时，P、Q相距3个单位长度．
A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定
【19-2】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线 与 相交于点 ， ，将一等
腰直角三角尺 的直角顶点与 重合， 平分 ．将三角尺 以每秒 的速度绕点 顺时针
旋转，同时直线 以每秒 的速度绕点 顺时针旋转，设运动时间为 秒 ，若直线 平分，则 的值为 ．
四、解答题（常考压轴题）
【考点20】列方程应用题
【20-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销
售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱；
(1)每件服装标价多少元？
(2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂
同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？
甲服装厂 乙服装厂
订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代 订购超过100件，服装全部打八折后再减4
金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠 元，同时超过出300件服装，每件服装返款
35件同样价格的服装． 0.12元包装费．
(3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价 ，进行销售，由于接近
年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有 需要降价以5折出售，该服装店要想获得
利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次
购进服装多少件？
【20-2】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示：
停车时段 收费方式
白天
8元/小时
夜间
4元1小时
1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收
备注 费；
2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费；
3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小
时停车时间收费；
4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费．
(1)若某日刘老师 进场停车， 离场，则需付停车费_______元；
(2)若某日刘老师 进场停车， 离场，则需付停车费_______元；
(3)若某日刘老师 进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的 间，
则他此次停车的费用为多少元？
(4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（ 均
为非负整数），请你写出三种符合条件的 的值．
【考点21】线段上的动点问题
【21-1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线 上有A、B两点， ， 上有两个动点
P、Q．点P从点A出发，以每秒 个单位长度的速度沿直线 向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒
个单位长度的速度沿直线 向右运动．设运动时间为 （秒）．
(1)请用含t的代数式表示线段 的长．
(2)当点B是线段 的中点时，求t的值．
(3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？
(4)运动过程中，线段 与线段 的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由．
【21-2】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段AB上，线段 厘米，
厘米，点M，N分别是 ， 的中点．
(1)求线段 的长度；
(2)根据第（1）题的计算过程和结果，设 ，其他条件不变，求 的长度；
(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿 向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时：
①点P恰好为线段 的中点？
②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外）
【考点22】角中的旋转问题
【22-1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）探究与实践
将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知 ， ，按如图1所示摆放，将 、
边重合在直线 上， 、 边在直线 的两侧：
【问题发现】
（1）保持三角板 不动，将三角板 绕点O旋转至如图2所示的位置，则
① __________；
② __________．
【问题探究】
（2）若三角板 按每分钟 的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板 按每分钟 的速度也绕点O
逆时针方向旋转， 旋转到射线 上时都停止运动，设旋转t分钟，计算 （用含t的代
数式表示）．
【问题解决】
（3）保持三角板 不动，将三角板 绕点O逆时针方向旋转 ，若射线 平分 ，
射线 平分 ，求 的大小．
【22-2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的
图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广
播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为 、 两点，两脚脚跟位置分别为 、
两点，定义 、 、 、 平面内 为定点，将手脚运动看作绕点 进行旋转．(1)如图2， 、 、 三点共线，点 、 重合， ，则 ；
(2)如图3， 、 、 三点共线，且 ， 平分 ，求 的大小；
(3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然 、 、 三点共线，却不在水平方向上，且
，他经过计算发现， 的值为定值，请写出这个定值为 ；
(4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线 平分 ，且
，开始运动前 、 、 三点在同一水平线上， 、 绕点 顺时针旋转， 旋转速度
为每秒 ， 旋转速度为每秒 ，当 旋转到与 重合时运动停止（ 是竖直方向的一条射
线）
① 运动停止时， ；
② 请帮助乐乐写出运动过程中 与 的数量关系为 ．
【考点23】综合探究题
【23-1】（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）【知识准备】
若数轴上点 对应的数为 ，点 对应的数为 ， 为 的中点，则我们有中点公式：点 对应的数
为 ．
（1）在一条数轴上， 为原点，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，且有 ，则
的中点 所对应的数为______；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点 从点 出
发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为 ， 为______时， 的中点所对应的数为5．
【拓展延伸】
（3）若数轴上点 对应的数为 ，点 对应的数为 ， 为 靠近点 的三等分点，则我们有三等分点公式：点 对应的数为 ：若数轴上点 的对应数为 ，点 的对应数为 ， 为 最靠近点
的四等分点，则我们有四等分点公式：点 对应的数为： ．
①填空：若数轴上点 的对应数为 ，点 的对应数为 ， 为 最靠近点 的五等分点．则点 对
应的数为______．
②在（2）的条件下，若 是 最靠近 的五等分点， 为 的中点，则是否存在 ，使得
为定值？若存在，请求出 的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由．
【23-2】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】
如果两个角的差的绝对值等于30°，就称这两个角互为“和谐角”，其中一个角叫做另一个角的“和谐
角”，例如： ， ， ，则 和 互为“和谐角”，即 是 的“和谐
角”， 也是 的“和谐角”．
【初步感知】
（1）如图， ， ，则下列各角：① ，② ，③ ，④
，⑤ 中，是 的“和谐角”的有______(填入正确的序号)．
【拓展探究】
（2）在（1）的条件下，若射线 绕点 以每秒 逆时针旋转，射线 绕点 以每秒 顺时针旋转，
射线 绕点 每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线 重合时，三条射线同时
停止运动．
①当运 秒后， ， ；(用含t的代数式表示)
②在三条射线的运动过程中， 与 的关系为：______；
③在运动过程中，当 为何值时， 和 互为“和谐角”？
