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空间向量和立体几何高考复习专题一
知识点一 求点面距离,面面角的向量求法
典例1、如图，在长方体 中， ， ，点E是棱AB的中点．
（1）证明： ； （2）求点E到平面 的距离； （3）求二面角
的余弦值．
随堂练习：如图，在长方体 中， ， ，E、M、N分别是
、 、
的中点.
（1）证明： 平面 ；（2）求点C到平面 的距离；
（3）设P为边 上的一点，当直线 与平面 所成角的正切值为 时，求二面
角 的余弦值.典例2、如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是矩形，
， ， 是 的中点， ，垂足为 .
（1）证明： 平面 ；（2）求点 到平面 的距离；（3）求二面角
的正弦值.
随堂练习：如图，正三棱柱 中， ，点 ， 分别为 ， 的中
点.
（1）求点 到平面 的距离； （2）求二面角 的余弦值.典例3、如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角梯
形， ， ， ．
（1）求点 到平面 的距离；（2）设 是线段 上的动点，当直线 与 所成
的角的余弦值为 时，求二面角 的余弦值．
随堂练习：如图，在四棱锥 中，已知底面 为直角梯形， ，
，
，平面 平面 ， ， .
（1）从下列条件①､条件②中再选择一个作为已知条件，求证： 平面PAB；
条件①：E，F分别为棱PD，BC的中点；条件②：E，F分别为棱PC，AD的中点.
（2）若点M在棱PD（含端点）上运动，当 为何值时，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为 .
知识点二 线面垂直证明线线垂直,面面角的向量求法
典例4、如图，四边形 是菱形， ， 平面 ， ，
．
（1）证明： ． （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．随堂练习：如图， 是以 为斜边的等腰直角三角形， 是等边三角形，
， .
（1）求证： ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
典例5、已知四棱锥 中， ， ， ， ，
，面
面ABE， .
（1）求证： （2）求面ADE与面BCE所成的锐二面角的余弦值随堂练习：如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， 平面
， ，
， ， ．
（1）证明： ； （2）若 ，求二面角 的余弦值．典例6、如图，在直三棱柱 中，侧面 是正方形，且平面 平面
.
（1）求证： ；（2）若直线 与平面 所成的角为 ，E为线段 的中点，
求平面 与平面 所成锐二面角的大小.
随堂练习：如图，直三棱柱 ， .
（1）证明： ；（2）设 为 的中点， ，求二面角
的余弦值.空间向量和立体几何高考复习专题一答案
典例1、答案：（1）证明见解析；（2） ；（3） .
解:（1）由长方体性质知： 面 ， 面 ，则 ，
又 ，则 为正方形，即 ，而 ，
∴ 面 ，而 面 ， ∴ .
（2）由题设， ，则 ，
由 ，且E是棱AB的中点，则 ，即
，
若E到平面 的距离为 ，则 ，可得 .
（3）构建如下图示的空间直角坐标系，则 ，∴ ，若 是面 的法向量，
∴ ，令 ，则 ，
又 是面 的一个法向量，
∴ ，则锐二面角 的余弦值 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2） ；（3） .
解: （1）证明：连接 ， ，如图，
因为E、M分别是 、 的中点，所以 且 ，
又N是 的中点，所以 ，
结合长方体的性质可得 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）因为 ， ， 为长方体，
E、M、N分别是 、 、 的中点，
所以 ， ， ，所以 为等腰三角形，其底边上的高为 ，
所以 ， 设点C到平面 的距离为 ，则
，
又 ， 所以 ，解得 ，
所以点C到平面 的距离为 ；
（3）连接 ，如图，
由 平面 可得 即为直线 与平面 所成角，
又 ，所以 ,
分别以 、 、 作为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， 所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 则 ， 得平面 的一个法向量
，
所以 ，
因为二面角 为钝角， 所以二面角 的余弦值为 .典例2、答案：（1）证明见解析；（2） ；（3）1.
解：（1）证明：连接 交 于点 ，连接 ，易知 为 中点，
在 中， ， 分别为 ， 中点， ∴ 为 的一条中位线， ∴
，
∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 .
（2）过点 作 交 于点 ，则点 到平面 的距离，即点 到平面
的距离，
∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，则点 到平面 的距离即为 的长度，
在 中， ， ，故 ，
又 ，故 ，则 ，
∴ ， ∴ ，
∴ ，即点 到平面 的距离为 .
（3）以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（2）可得 ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，则可取
，设平面 的一个法向量为 ，则 ，则可取
，
∴ ， ∴二面角 的正弦值为1.
随堂练习：答案： （1） ；（2） .
解：（1）取 的中点 ，连结 ，则 平面 ，
是等边三角形， ，
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系
，
则 ，0， ， ， ， ， ，0， ， ， ， ， ，0， ，
， ， ， ，0， ， ，0， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ，
令 可得 ，0， ，
点 到平面 的距离为 .
（2） ， ， ， ，0， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ，令 可得 ， ， ， ， ，
二面角 的余弦值为 .
典例3、答案：（1） ；（2） ．
解:（1） ，由于 平面 ，
从而 即为三棱锥 的高，故 ．
设点 到平面 的距离为 ．
由 平面 得 ，又由于 ，故 平面 ，所以
．
由于 ，所以 ．故
．
因为 ，所以 ．
（2）以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，则各点的
坐标为 ， ， ， ．
设 ， 因为 ，所以 ，
由 ，得 ，
又 ， 从而 ．即 时，． 又因为 ，所以 ．
， ，
设平面 的一个法向量为 ， 则 ， ，
即 得： ，令 ，则 ．
所以 是平面 的一个法向量．
又 ， ，
设平面 的一个法向量为 ， 则 ， ，
即 ，取 ，则 ， ， 所以 是平面 的一
个法向量．
从而 ，
由图知二面角为钝角故二面角的余弦值为- ．
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：若选条件①，取AD的中点为G，连接EG，GF，则 ， ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ， ∥平面 ，因为 ， 所以平面 ∥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ∥平面PAB.
若选条件②，取BC的中点为G，连接EG，GF，则 ∥ ， ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
因为 ，所以平面 ∥平面PAB，
又因为 平面EFG，所以 ∥平面PAB.
取AB中点为O，连接PO，CO， 因为 ，所以 ，
又因为 平面PAB，平面 平面ABCD，平面 平面
所以 平面ABCD，
又因为 ， ， ，所以 ，
又因为 ， ， 为AB中点，所以 ， ，
又因为 ，所以四边形OADC为矩形，所以 ，
故以 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向建立
空间直角坐标系如图，则 ， ， ， ，所以
，
又因为M在PD上，所以存在 ，使 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ， ，
设平面PAD的法向量 ，则 ，所以 ，取 ，则 . 所以
.
设直线CM与平面PAD所成角为 ，
则 ，
故 ，所以 或 ， 又因为 ，所以 ， 即
.
典例4、答案：（1）证明见解析 （2）解：（1）证明：连接 ． 因为四边形 是菱形，所以 ．
又 平面 ，所以 ．
因为 ，所以 平面 ． 又 ，所以平面 就是平面
，
因为 平面 ，所以 ．
（2）设 ， 相交于点O，以O为坐标原点，
， 所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设 ，
则
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ．
取 的中点G，连接 ．易证平面 平面 ，
因为 是正三角形，所以 ，从而 平面 ，即 是平面 的一个法向量．
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
随堂练习：答案：（1）证明见解析; （2） .
解：（1）取 中点 ，连接 ， ，
因为 是以 为斜边的等腰直角三角形，所以 .
因为 是等边三角形，所以 .
， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 .
因为 平面 ，故 .
（2）在 中， ， ， ，由余弦定理可得，
，故 .
如图，以 ， 及过 点垂直于平面 的方向为 ， ， 轴的正方向
建立空间直角坐标系 ，
可得 ，所以 ， ， ，
设 为平面 的一个法向量， 则 ，即，
令 ，可得 .
设 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ， 令 ，可得 .
所以 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：过C作 交AB于G，连接 ，
∵面 面ABE，且AB为交线， 平面 ， ∴ 面ABE，
又 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
即 ， ∴ ，即 ，
∵ 平面 ， ∴ 面ABCD，
又 平面 ，∴ ；
（2）过D作 交AB于O， ∴ ，∴ 面ABE，
由（1）得 ，
以O为坐标原点，以 ， ， 分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标
系，如图，
由 ， ，得 ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设面ADE，面BCE的法向量分别为 ， ，
∴ ，即 ，令 ，则 ，
，即 ，令 ，则 ，
∴ ，
∴面ADE与面BCE所成的锐二面角的余弦值为 .随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） ．
解：（1）证明：∵ ， ， ∴ ， ，又 ， ，
∴ ，且四边形 为直角梯形， ，则
，
∴ ， ∴ ，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
又∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面AOP，∴ ．
（2）以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标
系，
，则 ， ， ．
易知平面 的法向量为 ．
设平面 的法向量为 ，∵ ， ， 由 ，有
，
令 ，从而 ， ，∴ ．
设二面角 的平面角为 ，则 ，
即二面角 的余弦值为 ．
典例6、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）设 ，则 中点为M，且
∵平面 平面 且交线为 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ， 又直三棱柱 ，∴ ，
∵ 平面 ， ∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ .
（2）由（1）知 平面 ， 所以直线 与平面 所成的角为 ，不妨设
以B为原点， 分别为x，y，z轴正向建立坐标系，
，
设平面 的法向量为 ，故可设 ，
设平面 的法向量为 ， ，故可设 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ， ∴ .
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1） 直三棱柱 ， 平面 ，并且 平面
，
又 ，且 ， 平面 平面 ，
又 平面 ， .
（2） ， ， 两两垂直，以 为原点，建立空间直角坐标系，
如图，则 ，所以 的中点 ，则 ， ，，
设平面 的一个法向量 ，则 ，可取 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，可取 ，
则 ，因所求角为钝角，所以二面角 的余
弦值为 .
