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空间向量和立体几何高考复习专题二
知识点一 证明线面平行,求平面的法向量,面面角的向量求法
典例1、如图，四边形 是正方形， 平面 ， ， ，
， 为 的中点.
（1）求证: ; （2）求二面角 的大小.
随堂练习：如图，在正四棱锥 中， ，点M，N分别在 上，且
．
（1）求证： 平面 ； （2）当 时，求平面 与平面 所成二面角
的正弦值．典例2、如图所示多面体中，底面 是边长为3的正方形， 平面 ，
，
， 是 上一点， ．
（1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值．
随堂练习：在四棱锥 中， ， ， ， ，且
，，平面 平面 .
（1）证明： //平面 ； （2）求二面角 的余弦值.
典例3、如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，且 ， ，
， ，
， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）点 在线段 上，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面
的距离.随堂练习：如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ， 是线段 的
中点，设平面
与平面 的交线为 .
（1）证明 ∥平面BCM
（2）已知 ， 为 上的点，若 与平面 所成角的正弦值为是 ，求线
段 的长.
（3）在（2）的条件下，求二面角 的正弦值.知识点二 求点面距离,面面角的向量求法
典例4、如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面ABCD， .
（1）求点A到平面SBC的距离；（2）求二面角 的大小.
随堂练习：如图，在长方体 中， ， ， 为 的中点．
（1）证明： ；（2）求点 到平面 的距离；（3）求二面角 的
平面角的余弦值．典例5、已知正三棱柱底面边长为2，M是BC上一点，三角形 是以M为直角顶点等
腰直角三角形.
（1）证明M是BC中点；（2）求二面角 的大小；（3）直接写出点C到平面
的距离.
随堂练习：如图，三棱柱 的棱长均为2，点 在底面 的射影O是 的
中点.
（1）求点 到平面 的距离；（2）求平面 与平面 所成角的余弦
值.典例6、如图所示，平面 平面 ，且四边形 为矩形， ，
， ， ．
（1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦
值；
（3）求点 到平面 的距离．
随堂练习：如图， 平面 ， ， ， ，
，
点 ， ， 分别为 ， ， 的中点．（1）求证： 平面 ；（2）求平面 与平面 夹角的大小；
（3）若 为线段 上的点，且直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长．
空间向量和立体几何高考复习专题二答案
典例1、答案：（1）证明见解析； （2） .
解：（1）依题意， 平面 ，如图，以 为原点，
分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意，可得 ， ，
， ， 即 ；
∵ ， 为 的中点，∴
（2） ， 平面 ,
平面 ，故 为平面 的一个法向量.设平面 的法向量为 ，
， 即 ，
令 ，得 ，故 . ，
由图可得二面角 为钝角，
二面角 的余弦值为 ，则二面角 的大小为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析 2（2）
解：（1）证明：连接AN并延长交BC于点E，
因为正四棱锥P−ABCD，所以ABCD为正方形，所以 ．
又因为 ，所以 ，所以在平面PAE中， ，
又 平面PBC， 平面PBC，所以 平面PBC．
（2）连接AC交BD于点O，连接PO，
因为正四棱锥P−ABCD，所以 平面ABCD，
又OA， 平面ABCD，所以 ， ，
又正方形ABCD，所以 ．以 ， ， 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
因为 ，所以 ，则 ， ，
设平面AMN的法向量为 ，则 ，
取 ， ； ， ，
设平面PBC的法向量为 ， 则
取 ， ； 所以 ，
设平面AMN与平面PBC所成的二面角为 ， 则 ，
所以平面AMN与平面PBC所成二面角的正弦值为 ．
典例2、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：过点 作 ，交 于点 ， 则 ，即 ，
因为 ，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 .又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 .
（2）由题意以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空
间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
则 ， ， 即 ， ，
令 ， ，则 ， ，
设二面角 为 ， 所以 ，即
，
所以二面角 的正弦值为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）解：（1）设点 满足 ，即 ，结合条件 ，
即 ， ，即 ；
由条件 ，即 ，可得： ，显然 线段不共线，
从而可得四边形 为平行四边形，即可得： // ， 平面 ，
平面 ，故可得： //平面
（2）过点作 作 的垂线，垂足为 ， 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，可得： 平面
∵ ，∴ ，故可得 ， ， ， .在直
角梯形 中， ， ，可得 ，在 中，根据余
弦定理： ，
根据上述分析可得： ，从而可得： .
综上可得： 三条直线两两垂直.故以点 为原点， 方向为 轴，
方向为 轴， 方向为 轴建立空间直角坐标系.则有点 ，， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则可得： ，
即有 ，令 ，可得 ；
平面 与平面 为同一个平面，显然平面 的一个法向量为 .
可得： ，结合图形可知是锐二面角，
从而可得二面角 的余弦值为
典例3、答案：（1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）记 的中点为 ，连结 ，
因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，则 ，
因为 ，所以平行四边形 是矩形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，则
两两垂直，
（2）故以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴建立空间直角坐标系，如
图，则 ， ， ， ， ， ，
因为 为 的中点，所以 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，而 ， ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，则 ，
又 平面 ，所以 平面 ．
.
设平面 的一个法向量为 ，而 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，而 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
记平面 与平面 夹角为 ，则 ，
所以 ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
（3）依题意，不妨设 ，则 ， ，
又由（2）得平面 的一个法向量为 ，记直线 与平面 所成
角为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ，则 ， 而由（2）得平面 的一个法向量为
，
所以点 到平面 的距离为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）在正方形 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
因为 平面
， 平面 ，所以 ∥平面
（2）如图建立空间直角坐标系 ，因为 ，则有 ， ， ， ， ，
设 ，则有 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则
，
所以平面 的一个法向量为 ，则
因为 与平面 所成角的正弦值为是 ，
所以 ， 解得 .所以 .
（3）由（2）可知平面 的一个法向量为
因为 是线段 的中点，所以
于是 ， ，设平面 的法向量
则 ，即 .令 ，得 ， ，，所以二面角 的正弦值为 .
典例4、答案：（1） ；（2） .
解:（1）设点A到平面SBC的距离为 ，因为 平面ABCD， 平面ABCD， 所以
，
因为四边形 为正方形，所以 ， 因为 ，所以 平
面 ，
因为 平面 ，所以 ， 因为 ，所以 ，
因为 ， 所以 ，
所以 ，解得 ， 所以点A到平面SBC的距离为
，
（2）如图，以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标
系，
则 ， 所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
平面 的一个法向量为 ， 所以 ，
由图可知二面角 为锐角， 所以二面角 的大小为随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2） ；（3） .
解:（1）如图，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴正方向建立空
间直角坐标系，
则 ， ， ， ， 所以 ，
．
因为 ， 所以 ．
（2）由（1），得 ， ， 所以 ， ，
．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， ， 所以 ，
则点 到平面 的距离 ．
（3）因为 ，所以 ． 由（1）可知 ，且
，
所以 平面 ，即 是平面 的一个法向量．
由（2）得 是平面 的一个法向量，
所以 ．
又二面角 的平面角是锐角， 所以二面角 的平面角的余弦值为
典例5、答案：（1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）证明： 在正三棱柱 中，有 底面 ， 面 ，
，
又 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形， 且
， 面 面 ，
面 ， ，
底面 是边长为2的正三角形， 点 为 中点．
（2）过 作 ，交 于 ．
以 为坐标原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标
系．
由（1）知， ， ， ，
，则 、 ， ， ，
所以 ， ， ，
设面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
令面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，则
设二面角 的大小为 ，由图知 为锐角，
故 ，解得 ． 故二面角 的大小为 ．（3）过点 作 ，由（1）知 且 ， 平面
，
平面 ， 在平面 内， ，
又 ， 平面 ， 平面
由（1）知， ， ， ，
， ， 点 到平面 的距
离为 ．
随堂练习：答案：（1） ；（2） .
解:（1）由点 在底面 的射影O是 的中点，可得 平面 ，
又由 是等边三角形，所以 两两垂直，
以 分别为 建立如图所示的空间直角坐标系，
因为三棱柱 的棱长都是2，所以得 ，
可得 ，所以 ，
在平面 中， ，设法向量为 ，则有 ，可得 ，
取 ，可得 ，所以平面 的一个法向量为 ，
记点 到平面 的距离d，则 .
（2）在平面 中， ，
设法向量为 ，则有 ，可得 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设平面 与平面 所成角为 ，则 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值 .
典例6、答案：（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
解:（1）证明：∵四边形 为直角梯形，四边形 为矩形， ∴ ，
，
又∵平面 平面 ，，且平面 平面 ，∴ 平面
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
所在直线为 轴建立空间直角坐标系，， ， ， ， ， 则 ，
．
∵ ， ， ∴ 为平面 的一个法向量．
又 ， ∴ ，即 平面 ．
（2）由（1）知 ， 由（1）知 ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，∴ ， ∴平面AEF的一个法向量 ，
则 ， 平面 与平面 所成锐二面角的余弦值
为 ．
（3）由（1）知 ，又平面 的一个法向量 ，
所以点 到平面 的距离 ．
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2） ； （3） .
解：（1）证明：连接 ， ， ， ，
又 ， 四边形 为平行四边形.点 ， 分别为 ， 的中点， ， .
， ， 为 的中点， ， , ，
.
四边形 为平行四边形. .
平面 ， 平面 ， 平面 .
（2） 平面 ， ，可以建立以 为原点，
分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐
标系：
依题意可得， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，即 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，即 .
设平面 与平面 夹角为 ， 则 .
所以平面 与平面 夹角为 .
（3）设 ，即 ，则 ，所以 . 由 知平面 的法向量为
，
由题意可得 ，
即 ，整理得 ， 解得 或 .
因为 ，所以 . 所以 ， ， 则
.
