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第 03 讲 相似三角形的判定（1）
课程标准 学习目标
①相似三角形的判定：三边定理
②相似三角形的判定：两边夹角 1. 掌握相似三角形的判定方法并能够熟练的判定三角形相似。
定理
知识点01 相似三角形的判定——三边定理
1. 相似三角形的判定：三边定理：
（1）文字语言：三边 的两个三角形相似。
（2）数学语言：∵
∴
【即学即练1】
1．△ABC的三边长分别为6、8、12，△A B C 的三边长分别为2、3、2.5，△A B C 的三边长分别为6、
1 1 1 2 2 2
3、4，则△ABC与 相似．
【即学即练2】
2．如图，在方格纸上有△A B C 和△A B C ，这两个三角形是否相似？如果相似，△A B C 与△A B C 的
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
周长比和面积比分别是多少？知识点02 相似三角形的判定——两边夹角定理
1. 相似三角形的判定“两边夹角定理”：
（1）文字语言：两个三角形的两组对应边的 相等且这两组对应边的
相等的两个三角形相似。。
（2）数学语言：∵ 且
∴
【即学即练1】
如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
【即学即练2】
4．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA．题型01 用三边定理判定三角形相似
【典例 1】如图所示，小正方形的边长均为 1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与
△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 2】网格图中每个方格都是边长为 1 的正方形．若 A，B，C，D，E，F 都是格点，试说明
△ABC∽△DEF．
【变式3】如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线 OA，
OB ， OC 上 取 一 点 A′ ， B′ ， C′ ， 使 得
， 连 接 A′ B′ ， B′ C′ ，C′A′，所得△A′B′C′与△ABC是否相似？证明你的结论．
题型02 用两边夹角定理判定三角形相似
【典例1】如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，当 ＝ 时，△AEF∽△BCE．
【变式2】如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．
【变式3】如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝ °，AC＝ ；
（2）判断：△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．1．如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有（ ）对相似三角形
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若△ABC的三边长分别是3，5，6，则与△ABC相似的△DEF的边可能是（ ）
A．DE＝6，DF＝8，EF＝10 B．DE＝9，EF＝18，DF＝25
C．DE＝1，EF＝2，DF＝2.5 D．DE＝6，DF＝10，EF＝12
4．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剩下的阴影三角形与原
三角根的不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，D为△ABC的边AB上一点，若AB＝15，AC＝10，AD＝3，在AC边上取一点E，使△ADE与
△ABC相似，则AE的长为（ ）A．2 B．3.5 C．2或4.5 D．2或3.5
6．下列说法中，正确的有（ ）
①三边成比例的两个三角形相似；
②两个等边三角形相似；
③两个直角三角形相似．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．已知△ABC的三边长分别为1， ， ，△DEF的三边长分别 ， ， ，则△ABC与△DEF
（ ）
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判定是否相似
8．如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一
个与△AMN相似的三角形，某同学得到两个三角形：①△ABC；②△ABD．关于这两个三角形，下列
判断正确的是（ ）
A．只有①是 B．只有②是
C．①和②都是 D．①和②都不是
9．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝5，D为BC边一点且BD＝4，若过点D作直线截△ABC，使截得
的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q
从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时△QBP与
△ABC相似．
A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒11．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的点，要使△ADE∽△ACB，需添加一个条件是 .
（只要写一个条件）
12．△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是
．
13．如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，且 AB＝4，AC＝6．当 AD＝ 时，
△ABC∽△ACD．
14．如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，P是AC的中点，过 P点的直线交 AB于点Q，若以A、
P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 ．
15．如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，BC＝8，D是AC的中点，E是BC上的一个动点，当△CDE与
△CAB相似时，则DE的长是 ．
16．如图，已知线段AB与CD交于点O，OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，求证：△AOC∽△DOB．
17．求证：三边成比例的两个三角形相似．
如 图 ： 已 知 在 △ ABC 和 △ A′ B′ C′ 中 ， ， 求 证 ：
△ABC∽△A′B′C′．18．如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s，动点Q从
点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P
为顶点的三角形与△ABC相似．
19．如图，在平面直角坐标系中，点 A（1，0），点B在y轴正半轴，点C在x轴的负半轴上，且满足
．
（1）求点B、C的坐标；（2）在BC上是若存在一点P，使△COP∽△CAB？若存在，请求出OP的长；若不存在，请说明理由．
