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空间向量和立体几何高考复习专题十
知识点一 证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,已知面面角求其他量
典例1、如图，在四棱锥 中，平面 平面
，点 在棱 上，设
.
（1）证明： .
（2）设二面角 的平面角为 ，且 ，求 的值.
随堂练习：如图，四棱锥 的底面 是直角梯形，且 ， ，
， ，正三角形 所在平面与平面 相互垂直， 、 分
别为 、 的中点.
（1）求证： ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的值.典例 2、如图，在四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形，
．
（1）求证： ；
（2）已知点E在棱 上，且 ，设 ，若二面角 的余弦值为
，求 ．随堂练习：如图，在三棱锥 中， 二面角 是直二面角， ，
且 ，
为 上一点， 且 平面 ． 分别为棱 上的动点， 且
．
（1）证明： ；
（2）若平面 与平面 所成角的余弦值为 ， 求 的值．
典例3、三棱锥 中， ， ， ，直线 与平面
所成的角为 ，点 在线段 上.
（1）求证： ；
（2）若点 在 上，满足 ，点 满足 ，求实数 使得二
面角 的余弦值为 .
随堂练习：如图，四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形， ，
， .
（1）求证： 平面ABCD；
（2）设 ，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为 时，求 的值.知识点二 面面垂直证线面垂直,线面角的向量求法
典例4、如图，在四棱锥 中， 已知 底面 ， 底面 是正方形，
.
（1）求证： 直线 平面 ； （2）求直线 与平面 所成的角的正弦值.
随堂练习：如图，在直三棱柱 中， ， ， ，交 于点E，D为 的中点.
（1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
典例5、如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ， 为 中点，点 在线段 上，且 .
（1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求平面 与平面 所成角的正弦值.随堂练习：已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形， ，F为棱PC上的点，过
AF的平面分别交PB，PD于点E，G，且BD∥平面AEFG．
（1）证明：EG⊥平面PAC．
（2）若F为PC的中点， ，求直线PB与平面AEFG所成角的正弦值．
典例6、如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，点 在底面 内的投影
恰为 中点，且 ．
（1）若 ，求证： 面 ；
（2）若平面 与平面 所成的锐二面角为 ，求直线 与平面 所成角的正
弦值．随堂练习：三棱柱 中， ， ，侧面 为矩形，
，二面角 的正切值为 ．
（1）求侧棱 的长；
（2）侧棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正切值为 ，若存
在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．空间向量和立体几何高考复习专题十答案
典例1、答案：（1）证明见解析； （2） .
解：（1）证明：取 的中点 ，连接 . 因为 ，所以 .
又 ，所以四边形 是平行四边形，从而 .
因为 ，所以 ，从而 .
因为 ，所以 ，则 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
，
所以 平面 ， 平面 ，从而 .
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ；
（2）由（1）知 两两垂直，以 为坐标原点， 的方向分别为
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
，，可得 .
设平面 的法向量为 ， 由 ，
不妨令 ，则 .
因为 平面 ，所以可取平面 的一个法向量为 ，
因为 ，所以 ，
解得 或 （舍去）.
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）6.
解：（1）在四棱锥 中， 是正三角形， 是 的中点，则 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
则有 平面 ，而 平面 ， 所以 .
（2）取 的中点 ，连接 ，
在直角梯形 中， ， 、 分别为 、 的中点，
则 ，又 ，即有 ，
由（1）知 平面 ，又 、 平面 ，则 ， .
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
如图，则 ，
，设平面 的一个法向量 ，
则 ，令 ，得 ，
由（1）知， 平面 ，则 是平面 的一个法向量，
，
因二面角 的余弦值为 ，则 ，又 ，解得 ，
的值是6.
典例2、答案： （1）证明见解析； （2） .
解：（1）证明：因为 是正三角形，所以
因为 ， 公共边，所以 ，所以 ，
因为 是直角三角形，所以 ，
取 的中点O，连接 ， ，则 ， ，因为 是正三角形，所以 ， 因为 ，所以 平面
，
又因为 平面 ，所以 ．
（2）在直角 中， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
以O为坐标原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
则 ．
可得平面 的法向量为
设 ，由 ，可得 ， 可得
设面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ， 则
，
又因为 ，解得 ．随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明： 平面 平面 ，平面 平面 ， ，且
平面 ，
平面 ， 又 平面 ， ，
又 平面 ， 平面 ， ， 且 ，
平面 ，
平面 ， 又 平面 ， ．
（2）如图，
以点 为原点，分别以 ， ，过点 且与平面 垂直的直线为x轴，y轴，
z轴
建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，，
则 ， ， ，
由 ，可得 ，
， ，
，
因为平面 与平面 所成角的余弦值为 ，所以 ，
设 为平面 的法向量，则 ，
即 ，令 ，则 ， ， 所以
，
取平面 的法向量 ， 则 ，
令 ，则 ，化简得 ，即 （负值舍去）， 所
以 ．
典例3、答案： （1）证明见解析； （2） .解：（1）证明：因为 ， ，则 且 ，
， 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的线面角，即 ，
，故 ， ，
， 平面 ， 平面 ，因此， .
（2）设 ，由（1）可知 且 ， ，
因为 平面 ， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线
分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，由 ，取 ，则 ，
由已知可得 ，解得 .
当点 为线段 的中点时，二面角 的平面角为锐角，合乎题意.
综上所述， .
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取CD的中点E，连接BE，
四边形ABCD为直角梯形， ，
且E为CD的中点， 且 ，所以，四边形ABED为矩形，
， ，
，
，
， 平面 ， 平面 ， 平面PAD，
平面PAD， ，
， 平面 ， 平面 ， 平面ABCD；
（2）由（1）可知，PA､AB､AD两两垂直，以点A为坐标原点，分别以AB､AD､AP所
在直线为x､y､z轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，则 ， 所以， ，
设平面PBD的法向量为 ， 由 ，得 ，
令 ，得 .
，
设平面PAM的法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，则 ，
，
由于平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为 ，
则 ，整理可得 ，
，解得 .
典例4、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）因为 平面 ， 且 平面 ，所以 .
在正方形 中， . 而 , 平面 ， 故平面 .
（2）以 为坐标原点，分别以 为 轴， 建立如图所示空间直角坐标
系.
设 ，则 ， 从而
.
设平面 的法向量为 ， ，令 ， 则
.
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
故直线 与平面 的所成角的正弦值为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2） .
解：（1）在直三棱柱 中， 平面 ，
因为 平面 ， 所以 ．因为 ， ，
平面 ,所以 平面 ，因为 平面 ，
所以 ．又因为 ， 平面 ， 所以
平面 .
（2）由（1）知知 两两垂直，
则以点A为原点， 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标
系，
则 ，
设 , , ， 因为 ，∴ ，
故 ,
由（1）知 平面 故平面 的一个法向量为 ，
,
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .典例5、答案：（1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）证明：如图，以 为原点，分别以 ， 为 轴， 轴,
过D作AP平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，得 ， ，
，
所以 ， ，即 ， ，又 ，所以
平面 ；
（2）由 可是 ，
由 ，可得 ，所以 ，
设 为平面 的法向量，
则 不妨设 ，则 ，故 ，
设直线 与平面 所成角为 ，所以 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（3）因为 为平面 的法向量，设二面角 的大小为 ，
所以 ，所以 .则二面角 的正弦值为．
随堂练习：答案：（1）见解析 （2）
解：（1）连接 相交于 ，连接 ,
因为底面ABCD为正方形，所以 ，又 ， 为 中点，
所以 , , 平面 ，所以 平面 ,
又平面 平面 , 平面 ,BD∥平面AEFG,
因此 ,所以 EG⊥平面PAC
（2）由 ， 为 的中点,故 ， 又 ，且 为 的中点，所
以 ，
平面 所以 平面 ，
设正方形 的边长为2，则 ，
所以， ， ，故建立如图所示的空间直角坐标系，所以， ， ， ,
,
， ， ， 所以， ，
，
记平面 的法向量为 ，所以 即 ，
令 ，解得 ， ，所以 ，
记直线 与平面 所成的角是 ， 则
．
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 ．
典例6、答案： （1）证明见解析 （2）解：（1）如图，连接 ， .
已知 ，不妨设 ， .
已知点 在底面的投影落在 中点，所以四棱锥 为正四棱锥，
即 ，
底面 为正方形， ，得 ，同理得
，
为 的中点， ， ，得 ，
， ，同理可得 ，
平面 ， 平面 ，且 ， 平面 .
（2）如图，过 点做底面垂线，垂足为 中点 .
以 所在直线为 轴，以过 点且与 平行的直线为 轴，
以 所在直线为 轴如图建立空间直角坐标系.不妨假设底面正方形 的边长为 ， .
因此得 ， ， ， ， ， .
， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，解得： ， ， ，故 ；
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，解得： ， ， ，故 ；
由平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
得 ，解得 或 （舍）.
得 ， ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .随堂练习：答案： （1）2； （2）在侧棱 上存在点 ，证明见解析.
解：（1） ， . 侧面 为矩形， ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ，则 .
则 是二面角 的平面角，则 ，所以 ，
.
设 . ， ， ，
， ，
又 ，
在 中，由余弦定理
得： ， 即 ，平方整理得 ，得 或 （舍 ， 即侧棱 的长为2.
（2）建立以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的空间直角坐标系如
图：
过 作 底面 . ， ，则 ，
， 则 ， .
所以 ，0， ， ，0， ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ， ，
则 ，令 ，则 ，即 ，0， ， ，0， ，
设 ，0， ， ，
， ， ，0， ， ， ，
与平面 所成角的正切值 ， .
即，
平方得 ，得 ，即 在 处．
即在侧棱 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正切值为 ．
