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专题 5.3 运用空间向量解决立体几何中的角与距离
一、单选题
1、若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )
A. l∥α B. l⊥α
C. l⊂α D. l与α斜交
2、 已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A. (－1，1，1) B. (1，－1，1)
C. D.
3、在正方体ABCD－AB C D 中，E为BC的中点，F为B C 的中点，则异面直线AF与C E所成角的正
1 1 1 1 1 1 1
切值为( )
A. B. C. D.
4、如图所示，在正方体ABCDABC D 中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则BM与DN所成角的
1 1 1 1 1 1
余弦值为( )
A. B．
C. D.
5、.如图，已知长方体ABCDABC D 中，AD＝AA＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC
1 1 1 1 1 1
与平面DEC所成角的正弦值为( )
1
A. B．
C. D.
A B C D
6、(2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)在正方体 中， 是底面 1 1 1 1的中心， 是棱 上的点，且 ，记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面
所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则( )
A． B． C． D．
7、在正方体ABCD ABC D 中，点E为BB 的中点，则平面AED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值
1 1 1 1 1 1
为( )
A. B．
C. D.
8、如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.
则M点的坐标为( )
A．(1,1,1) B．
C. D.
9、(2020届浙江省十校联盟高三下学期开学)如图，矩形 中， ， ， 为 的中点，
沿着 向上翻折，使点 到 .若 在平面 上的投影 落在梯形 内部(不含边界)，
设二面角 的大小为 ，直线 ， 与平面 所成角分别为 ， ，则( )
A． B． C． D．
10、(2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学)如图正四棱锥 ， 为线段 上的一个动点，记二面角 为 ， 与平面 所成的角为 ， 与 所成的角为 ，则( )
A． B． C． D．
11、(2018年高考浙江卷)已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端
点)，设SE与BC所成的角为θ ，SE与平面ABCD所成的角为θ ，二面角S−AB−C的平面角为θ ，则(
1 2 3
)
A．θ ≤θ ≤θ B．θ ≤θ ≤θ
1 2 3 3 2 1
C．θ ≤θ ≤θ D．θ ≤θ ≤θ
1 3 2 2 3 1
12、(2019年高考浙江卷)设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．
记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则
( )
A．β<γ，α<γ B．β<α，β<γ
C．β<α，γ<α D．α<β，γ<β
13、(2018年高考全国Ⅱ卷理数)在长方体 中， ， ，则异面直线
与 所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
14、(2019年11月北京市清华大学中学生标准学术能力诊断性测试测试数学(理)试题)如图，在菱形ABCD
中，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，CD的中点，现将△ABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面
ACD所成角的正切值最大值为( )A． B． C． D．
二、多选题
15、(2010建邺区校级期中)已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ， ， ，
，2， ， ，2， ．下列结论正确的有
A． B．
C． 是平面 的一个法向量 D．
16、(2020届山东省滨州市高三上期末)已知菱形 中， ， 与 相交于点 ，将
沿 折起，使顶点 至点 ，在折起的过程中，下列结论正确的是( )
A． B．存在一个位置，使 为等边三角形
C． 与 不可能垂直 D．直线 与平面 所成的角的最大值为
17、(2019秋•桥西区校级月考)如图正方体 的棱长为 ，以下结论正确的是A．异面直线 与 所成的角为
B．直线 与 垂直
C．直线 与 平行
D．三棱锥 的体积为
18、如图所示，在正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，其中正确的结论为
A．直线 与 是相交直线 B．直线 与 是平行直线
C．直线 与 是异面直线 D．直线 与 所成的角为
三、填空题
19、在长方体ABCDABC D 中，AB＝2，BC＝AA＝1，则DC 与平面ABC 所成角的正弦值为________．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
20、(2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟)已知正四面体 和平面 ， ，正四面体绕边 旋转，当 与平面 所成角最大时， 与平面 所成角的正弦值为______
21、(北京市昌平区新学道临川学校2019--2020学年高三上学期期末)已知圆锥的顶点为 ， 为底面中心，
， ， 为底面圆周上不重合的三点， 为底面的直径， ， 为 的中点.设直线 与
平面 所成角为 ，则 的最大值为__________．
22、如图，已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，
PO⊥底面 ABCD，PO＝2，AB＝2，E，F 分别是 AB，AP 的中点，则二面角 F OE A 的余弦值为
________．
23、(一题两空)如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面
ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD的中点．
(1)则直线PB与平面POC所成角的余弦值为________；
(2)则B点到平面PCD的距离为________．四、解答题
24、(2020届山东省烟台市高三上期末)如图，在四棱锥 中， 为直角梯形， ，
，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，
， 为 上一点，且 .
(1)证明：直线 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
25、(2020 年高考全国Ⅰ卷理数)如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，
． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．26、(2020届山东省泰安市高三上期末)如图，在三棱锥P—ABC中，△PAC为等腰直角三角形，
为正三角形，D为A的中点，AC=2．
(1)证明：PB⊥AC；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求二面角A—PC—B的余弦值
27、(2020届山东省潍坊市高三上期中)如图，在棱长均为 的三棱柱 中，平面 平面
， ， 为 与 的交点．
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．28、(2020年高考全国Ⅱ卷理数)如图，在长方体 中，点 分别在棱 上，且
， ．
(1)证明：点 在平面 内；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
30、(2020年高考江苏)在三棱柱ABC－A B C 中，AB⊥AC，B C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B C的中点．
1 1 1 1 1
(1)求证：EF∥平面AB C ；
1 1
(2)求证：平面AB C⊥平面ABB ．
1 131、(2020 年高考浙江)如图，在三棱台 ABC—DEF 中，平面 ACFD⊥平面 ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC
=2BC．
(Ⅰ)证明：EF⊥DB；
(Ⅱ)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
