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空间向量和立体几何高考复习专题十五
知识点一 证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,线面角的向量求法
典例1、如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）记 和 的交点为M，点N在线段 上，满足 平面 ，求直线
与平面 所成角的正弦值．
随堂练习：如图，在三棱柱 中，
，F是
的中点．
（1）证明： ； （2）求 与平面 所成角的正弦值．典例 2、在直角梯形 中， ， ， ， ，M为线段
中点，将 沿 折起，使平面 平面 ，得到几何体 .
（1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
随堂练习：如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD为折痕把△ABD
折起，使点A到达点P的位置，且PC⊥BC．（1）证明：PD⊥平面BCD；
（2）若M为PB的中点，二面角P﹣BC﹣D等于60°，求直线PC与平面MCD所成角的
正弦值．
知识点二 证明线面平行,求组合体的体积
典例3、如图所示，在直三棱柱 中，D是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）设 ，求三棱锥 的体积．随堂练习：已知四棱锥 中， ， 平面 ，点 为 三等分点
（靠近 点）， ， ， .
（1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积．
典例4、如图，已知在长方体 中， ， ，点E是 的
中点.
（1）求证： 平面EBD； （2）求三棱锥 的体积.随堂练习：如图，在四棱锥 中， 是边长为2的等边三角形，梯形
满足 ， ， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ； （2）若 ，求三棱锥 的体积．
典例5、如图所示，在直三棱柱 中，
（1）当P为 的中点时，求证： 平面 ；
（2）当 时，求三棱锥 的体积.随堂练习：如图，在三棱柱 中，侧棱 平面 ， ， ，
， ，点 是 的中点．
（1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积．
典例6、如图，在四棱柱 中，点M是线段 上的一个动点，E，F分别是的中点.
（1）设G为棱 上的一点，问：当G在什么位置时，平面 平面 ？
（2）设三棱锥 的体积为 ，四棱柱 的体积为 ，求 .
随堂练习：已知正三棱柱 中， ， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）点 是直线 上的一点，当 与平面 所成的角的正切值为 时，求三棱锥
的体积．空间向量和立体几何高考复习专题十五答案
典例1、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：∵在三棱柱 中， 平面 ，因为 平面 ，故
，
因为 ， ，所以 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，因为 ∥ ，所以 ，
因为 ，故四边形 为菱形，故 ，
∵ ，∴ 平面
（2）由 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
故 ，又M为 中点，故N为 中点.
以B为坐标原点，分别以 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
则， ，设平面 的法向量 ，
由 ，得 ，取 ，
又 ，设直线 与平面 所成的角大小为 ，
则
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取 中点为G，连接 ，在 中，根据勾股定理可得 ，
因此 ，
而已知 平面 ，
∴ ，∴ ，
由余弦定理可得 ， 故 ,
因此 平面 ，
而 平面 ， ∴ ．
（2）由（1）得， ，又 平面 ，
故以C为坐标原点， 分别 为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系，则： ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可取 ，又 ，
所以 与平面 所成角 的正弦值
．
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在直角梯形 中， ， ， ，
∴ ， ，从而
又平面 平面 ，且平面 平面
∴ 平面 ， 平面 ，∴ .
又 ，且 ，∴ 平面（2）取 的中点O，连接 ，
由题设知 为等腰直角三角形，
又平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面
连接 ，因为M，O分别为 和 的中点，
由（1）可知 ，以 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐
标系，
则 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ，则
设直线 与平面 所成角为θ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）∵BC⊥CD，BC⊥PC，且PC∩CD＝C， ∴BC⊥平面PCD，又∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．
∵PD⊥BD，BD∩BC＝B， ∴PD⊥平面BCD；
（2）∵PC⊥BC，CD⊥BC， ∴∠PCD是二面角P﹣BC﹣D的平面角，则∠PCD＝
60°，
因此 ， 取BD的中点O，连接OM，OC，
由已知可得OM，OC，OD两两互相垂直，
以O为坐标原点，分别以OC，OD，OM所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标
系，
设OB＝1，则P（0，1， ），C（1，0，0），D（0，1，0），M（0，0，
），
， ， ．
设平面MCD的一个法向量为 ，
由 ，取z ，得 ． ∴cos
．
故直线PC与平面MCD所成角的正弦值为 ．典例3、答案： （1）证明见解析 （2） .
解： （1）连 ，交 于 ，则 为 的中点，连 ，
因为 为 的中点，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 ， ，所以 ， 所以 ，
所以 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）取 三等分点 ，
所以 ， ，即 又因为 ， ，
，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ， 即 平面 .
（2）因为 为 三等分点，所以 ，
， 平面 ，平面 平面 ，
且平面 平面 ，过点 作 的垂线交 延长线于 ，如下图所
示：
由线面垂直的性质有 平面 ，
所以点 到平面 的距离为 ，记 ，
因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
.
即三棱锥 的体积为 .
典例4、答案： （1）证明见解析 （2）1
解：（1）因为四边形ABCD为矩形，且 ，则O为AC的中点，又因为E为 的中点，则 ， ∵ 平面EBD， 平面EBD，
因此， 平面EBD；
（2）在长方体 中， 平面 ，
因此， .
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）
解：（1）取 中点 ，连接 ，易得 且 ，又 ，
，
则 ， 则四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面 ；（2）取 中点 ，连接 ，则 ，又 ，
则四边形 为平行四边形，则 ，
，又 ， ，则 ，
又 平面 ， ，
则 平面 ，又 ， ，
则 .
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）连接 交 于 点，连接 ，因为 为棱柱，
所以四边形 为平行四边形，
所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 所以 ∥平面 ..（2）因为 为直棱柱，所以 平面 ， 平面 ， 所以
，
又 ， 交 于C点， 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以
在直棱柱 中. ，则 ，
所以 ，则 . 所以 ，
所以
又 ， 平面 ，
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）4.
解：（1）证明：设 与 的交点为 ，连接 ，
∵ 是 的中点， 是 的中点，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
（2）取 的中点 ，连接 ， ，
直三棱柱 中， 平面 ，而 平面 ， 故 ，∵ 为 的中点，∴ 且 ．
又∵ ， ， ， ∴ 平面 ，∴ 平面
．
∵ ， ∴ ．
典例6、答案：（1）G为 中点时，平面 平面 ； （2）
解：（1）G为 中点时，平面 平面 ，
理由如下：连接 ，取 的中点 ，连接 ，
因为E，F分别是 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ，则 平面 ，
同理可得 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 ， 平面 ，则平面 平面 ；（2）由F是 的中点得 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又点M是线段 上的一个动点，则
，
则 ，则 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 为平行四边形， ，则 为 的中点，
因为 为 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 .
（2）因为 平面 ， 与平面 所成的角为 ，
因为 是边长为 的等边三角形，则 ，
平面 ， 平面 ， ，则 ， 所以，，
平面 ， ，
所以，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
因为 为 的中点，则 ，
则 .
