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空间向量和立体几何高考复习专题九
知识点一 证明面面垂直,面面角的向量求法
典例1、如图，圆锥 的高为 是底面圆 的直径， 为圆锥的母线，四边形
是底面圆
的内接等腰梯形，且 ，点 在母线 上，且 ．
（1）证明：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
随堂练习：如图所示，在四棱锥 中，
，且 平面 .
（1）证明：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值.典例2、如图，在四棱锥 中，底面ABCD为正方形， 底面ABCD，
，E为PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）试确定点 的位置，使平面 与平面 所成的锐二面角为 ．
随堂练习：如图，在直三棱柱 中， ， ， .
（1）证明：平面 平面 ； （2）求二面角 的大小.典例3、如图1，在梯形ABCD中， ， ， ，现将 沿AC翻
折成直二面角 ，如图2．
（1）证明：平面 平面PAC；
（2）若异面直线PC与AB所成角的余弦值为 ，求二面角 的余弦值．随堂练习：如图，图1是由正方形 ，直角梯形 组成的一个平面图形，其中
，将正方形 沿 折起，使得 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
知识点二 证明面面垂直,求二面角
典例4、如图所示，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，其它四个
侧面都是侧棱长为 的等腰三角形．
（1）求二面角 的大小；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使平面 平面 ？若存在，请指出点 的
位置并证明，若不存在请说明理由．随堂练习：如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 是等边三角形，
已知 ，
， ， 为棱 上的一点．
（1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值．
典例5、如图，已知底面为正三角形的直三棱柱ABC-ABC中，AA=AB，D为AB中点，E
1 1 1 1
为CC的中点.
1
（1）证明:平面CDC⊥平面CAB；（2）求二面角A-BC-E的余弦值.
1 1 1随堂练习：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
且 ，
E是MN的中点.
（1）求证：平面AEC⊥平面AMN； （2）求二面角M-AC-N的余弦值.典例6、如图，菱形ABCD的边长为2， ，E为AC的中点，将 沿AC翻折
使点D至点 .
（1）求证：平面 平面ABC；
（2）若三棱锥 的体积为 ，求二面角 的余弦值.
随堂练习：如图，四棱锥 中， 平面 ， ，
．过
点 作直线 的平行线交 于 为线段 上一点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的大小．空间向量和立体几何高考复习专题九答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）连接 ，由已知， ，且 ，
∴四边形 为菱形，∴ ，
在圆锥 中，∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ．
∵ ， 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ．
又∵ 平面 ， ∴平面 平面 ．(2）取 中点 ，易知 平面 ， ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系，则 ， ， ， ，
∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，
．
设平面 的一个法向量为 ．
因为 所以 ，令 ，则 ， ， ∴
，
易知平面 即平面 ，∴平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ， 则 ，∴平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明： 平面 平面 .
. 平面 ， 平
面 .
又 平面 平面 平面 .
（2）由（1）易知 两两垂直.
如图，以 为原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直
角坐标系，
则 .
.
设平面 的法向量为 ， 则 即 取 ，得
.
易知平面 的一个法向量为 ， ,由图可知，平面 与平面 的夹角为锐角，
平面 与平面 夹角的余弦值为 .
典例2、答案：（1）见解析； （2） 为 的中点.
解：（1）因为 底面 ， 底面 ，故 ，
而 ， 平面 ， ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
， 为 的中点，故 ，
平面 ， ，故 平面 ，
因 平面 ，故平面 平面 .
（2）因为 底面 ， ，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
设 ，则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，取 ，则 即 .
设平面 的法向量为 ，则 即 ，取 ，则 即 .
因为平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
故 ，解得 即 为 的中点.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） .
解：（1）连接 ，由三棱柱 为直三棱柱可得 平面 ，
平面 ，所以 ，
因为 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以四边形 是正方形，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 ， ， ，根据勾股定理可知： ，
从而有： ， ， 两两垂直，以 为原点，分别以 ， ， 所在直
线为 轴，
轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，因为 ， ，则 ， ， 令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，因为 ， ，
则 ， ，令 ，则 ，
设二面角 的平面角为 ， 根据几何体特征可知 为锐角，
所以 ， 所以二面角 的大小为 .
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：取AB的中点E，连接CE， 因为AB＝4，CD＝2， 则AE＝DC，
AE∥DC，
故四边形ADCE为平行四边形， 所以CE＝AD＝2 则CE＝AE＝EB，
故∠ACB＝90°，即CB⊥CA，
又平面PAC⊥平面ACB，且平面PAC∩平面ACB＝AC，CB⊂平面ACB，
故CB⊥平面PAC， 又CB⊂平面 ， 故平面 平面PAC；
（2）取AC的中点O，连接OE，则OE∥CB， 所以OE⊥AC，且OP⊥AC，
则OC，OE，OP两两互相垂直， 故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如
图所示，设|OC|＝a（a＞0）， 则 ， ， ，
故 ， 所以
因为异面直线PC与AB所成角的余弦值为 所以 ，解得 ，
故 ，
设面 的法向量为 ， 则 ，令 ，可得
设面 的法向量为 ，
，令 ，可得
又由图可知二面角 为锐角， 故二面角 的余弦值为 .随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）如图：连 ，
在直角三角形 中， ，
在三角形 中， ， ， ，满足 ， 所以
，
又 ， ， 所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 ， ， 所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ， 因为四边形 为正方形，所以
，
因为 ，所以 平面 . 因为 平面 ， 所以平面
平面 .
（2）由（1）知， 两两垂直，
以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图：则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为
，
由 ，得 ， 取 ，得 ，得 ，
由 ，得 ， 取 ，得 ，得 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为
.
典例4、答案： （1） （2）存在；设 是 的中点， 为线段 的中点；证明
见解析.
解：（1）如图，设 分别是 和 的中点，连接 ， ， ,则 , ∵ ， 是 的中点, ∴ ;
又在正方形 中有 , ∴ 为二面角 的平面角,
∵ ， ， 是 的中点, ∴ ,
同理可得 ，又 , ∴ 是等边三角形，故 ,
∴二面角 为 .
（2）存在点 ，使平面 平面 ，此时 为线段 的中点．
证明如下 :设 ， ， 分别为 ， 和 的中点，连接 ， ， ，
,
由（1）知 是等边三角形，故 , 为 的中点，故
，
又∵ ， 平面 ,
∴ 平面 , 平面 ，故 ,又 ,
平面 ,∴ 平面 ,
∵ ， 分别为 和 的中点 ∴ ,
又 为线段 的中点,∴ ，故四边形 为平行四边形,∴ ,∴ 平面 ,又 平面 ,
∴平面 平面 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取 中点 ，联结 ，则 ，
因为平面 平面 且平面 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 且 平面 ， 所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）取PD的中点F，则 ，由（1）的结论知： 平面 ， 平
面PAD，
， 平面PBD， 平面PBD， ，
平面 PBD，即平面 PAB在平面PBD上的投影是PBF，
在 中， ， ，
在 中， ， ，，
设二面角 的平面角为 ，由面积射影法， ，
即二面角 的余弦值为 ；
典例5、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）∵△ABC为等边三角形，D是AB的中点， ∴AB⊥CD.
∵CC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴CC⊥AB.
1 1
∵CC⊂平面CDC，CD⊂平面CDC，CC∩CD=C， ∴AB⊥平面CDC.
1 1 1 1 1
∵AB⊂平面CAB， ∴平面CDC⊥平面CAB；
1 1 1
（2）解法一：取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC，作OH⊥BC于点H，连接AH.
1
∵平面ABC⊥平面BCCB，平面ABC∩平面BCCB=BC， ，∴AO⊥平面
1 1 1 1
BCCB，
1 1
又 平面 ， ， , 平面 ， 平面
，
所以 平面 ，又 平面 ， ∴AH⊥BC，AO⊥OH，
1
∴∠AHO为二面角A-BC-E的平面角.
1
设AB=2a，那么AO= a，BO=a. ∵AA=AB， ∴∠CBC=45°， ∴OH= BO=
1 1
a.
在Rt△AOH中，tan∠AHO= ， ∴cos∠AHO= ， 故二面角A-BC-E
1的余弦值为 ；
解法二：取BC的中点O，连接AO， 则AO⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCCB，平面ABC∩平面BCCB=BC， ∴AO⊥平面BCCB.
1 1 1 1 1 1
以O为原点，OA所在直线为x轴、OB所在直线为y轴建立如图所示的空间直角坐
标系O-xyz，
易知平面BCE的一个法向量为 .
1
设AB=2a，则 . ∵AA=AB， ∴C . ∴
1 1
.
设平面ABC的法向量为 . 则 ，即 ，
1
取y= ，则x=1，z= ， ∴ 为平面ABC的一个法向量，
1
∴ ， 易知二面角A-BC-E为锐二面角，
1
∴二面角A-BC-E的余弦值为 .
1随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：因为MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD， 所以 ∥ ，
又因为 ，四边形ABCD是边长为1的正方形， 所以四边形 为
矩形，
所以 ，
又因为E是MN的中点， 所以 ⊥ ， ⊥ ，
又因为 ， 所以 ⊥平面 , 又因为 平面AMN 所以平面
AEC⊥平面AMN；
（2）连接BD交AC与点O，连接MO，NO，则O为AC中点，
因为 都是边长为 的等边三角形， 所以 ,
所以 为二面角M-AC-N的平面角， 在 中， ，
所以 .
典例6、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在菱形 中， ，∴ 和 均为等边三角形，
又∵E为AC的中点，∴ ， ， ， 平面，
∴ 平面 ， 又∵ 平面ABC， ∴平面 平面ABC.
（2）过 作 于点 ，∵平面 平面ABC ， 平面 ，∴
平面ABC.
∴ .
过M作 于点 ，连接 ，
∵ 平面ABC，∴ ，∵ 平面 ，∴
平面 ，
∵ 平面 ，∴ . ∴ 即为二面角 的平面角，
，∴ ， ，
∴ ，∴ .
故二面角 的余弦值为 .随堂练习：答案：（1）证明过程见解析 （2）
解：（1）因为 平面 ，AB 平面ABCD， 所以PA⊥AB，
因为 ， 所以 ⊥AD， 因为PA AD=A， 平面PAD， 所以
AB⊥平面PAD，
因为CF AB，所以CF⊥平面PAD， 因为CF 平面CFG， 所以平面CFG⊥平面
PAD；
（2） 平面 ，AD，AC 平面ABCD， 所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因为 ， ，
由勾股定理得： ，则∠ADB=30°， 同理可得 ，
∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形， ，
故 ， ， ，
过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，
在△BCP中，由余弦定理得： ，
则 ， ，
在△CDP中，由余弦定理得： ，
在△CDE中， ，
因为 ，所以DE⊥PC，所以∠BED为平面 与平面 所成二面角的平面角，
由余弦定理得： ，
故平面 与平面 所成二面角的大小为 .
