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空间向量和立体几何高考复习专题十二
知识点一 证明线面平行,面面角的向量求法
典例1、在三棱锥 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，
， ， 分别为 ， ， 的中点， 平面 ， 与平面 所成的
角为 ．
（1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
随堂练习：在正方体 中，E，F分别是 ， 的中点．
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求平面 与平面EDC所成的二面角的正弦值．典例2、如图1，已知△ABC是边长为4的正三角形，D，E，F分别是AB，AC，BC边的中
点，将△ADE沿DE折起，使点A到达如图2所示的点P的位置，M为DP边的中点．
（1）证明： 平面MEF．
（2）若平面 平面BCED，求平面MEF与平面PDE所成锐二面角的余弦值．
随堂练习：如图，在四棱锥E-ABCD中， ， ，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面 平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．
（1）求证： 平面ABE；
（2）当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．
典例3、如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
沿DE把 折起，得到如图2所示的四棱锥.
（1）证明： 平面 .
（2）若二面角 的大小为60°，求平面 与平面 的夹角的大小.随堂练习：已知正方形的边长为4，E、F分别为AD、BC的中点，以EF为棱将正方形
ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
（1）若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点
O的位置，并证明直线 平面EMC；
（2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为 ；若存在，求此时二面角
的余弦值，若不存在，说明理由．
知识点二 线面垂直证明线线垂直,面面垂直证线面垂直,面面角的向量求法
典例4、已知矩形 所在的平面与直角梯形 所在的平面垂直，
，且 .
（1）求证： ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值.随堂练习：如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边
形，AC = CD = 2， ， ，PC = 3.
（1）证:AD⊥PC
（2）求平面PAB与平面PCD的夹角的正弦值.
典例5、如图1是直角梯形ABCD， ， ， ， ， ，以BE为折痕将 折起，使点C到达 的位置，且 ，如图
（1）证明： （2）求二面角 余弦值.
随堂练习：如图，在直三棱柱 ， ， ．
（1）证明： ；
（2）若三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．典例6、四棱锥 ，底面 为矩形，侧面 底面 ，
．
（1）证明： ；
（2）设 与平面 所成的角为 ，求二面角 的大小．
随堂练习：如图，直三棱柱 中， ，E，F分别是AB， 的中点．
（1）证明：EF⊥BC；
（2）若 ，直线EF与平面ABC所成的角为 ，求平面 与平面FEC夹角的
余弦值．空间向量和立体几何高考复习专题十二答案
典例1、答案：（1）证明见解析； （2） .
解：（1）连结 ． ∵ ， 分别为 ， 的中点， ∴ ，即四边形
是梯形，
∵ ， 为分别为 ， 的中点， ∴ ，而 平面 ， 平
面
∴ 平面 ，∵ 、 为分别为 、 的中点， ∴ ，而 平面 ， 平
面
∴ 平面 ，又 ， 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ；
（2）∵ ， 为 的中点， ∴ ，
∵ 平面 ，故 ， ， 两两垂直．
分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ．
不妨设 ，由 得 ， ，
∵ 与平面 所成的角为 ，而 平面 ， ∴ ，∴
，
∴ ， ， ，
易知 为平面 的法向量， ， ，
设 为平面 的法向量， ∴ ，令 ，则 为平面 的一个法向量，
∴ ， ∴平角 与平面 的夹角的余
弦值为 .
随堂练习：答案：（1）见解析； （2） .
解：（1）如图，连接 ， ，连接 ，
∵BC∥ 且BC＝ ，∴四边形 是平行四边形， ∴ ∥ 且
，
∵E是 中点，G是 中点，∴ ∥CG且 ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ∥CE，
∵ 平面 ，CE 平面 ，∴CE∥平面 ；
（2）如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则 ，则 ，
设平面 的法向量为 ， 则 ，取
；
设平面EDC的法向量为 ， 则
，
取 ，则 ；
设平面 与平面EDC所成的二面角的平面角为α，
则 ， ∴
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：连接DF，DC，设DC与EF交于点 ，连接MQ．
因为D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，所以 且 ，
则四边形DFCE为平行四边形，所以 为DC的中点，
因为 为DP的中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面MEF，所以 平面MEF
（2）取DE的中点 ，连接OP，OF，则 ，
因为平面 平面BCED，平面 平面 ，
所以 平面BCED，PO，OD，OF两两垂直．如图所示，以 为原点，以 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系
，
则 ， ， ， ， ， ，
．
设平面MEF的法向量为 ，则 ，
即 令 ，得 ．
易知 为平面PDE的一个法向量，由 ，
得平面MEF与平面PDE所成锐二面角的余弦值为 ．
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：如图所示，取EC的中点的F，连接MF，NF，
因为M，F分别为ED和EC的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以平面 平面
，
因为 平面 ，所以 平面 .
（2）如图所示，过E作 交AB于O，
因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面ABCD，故EO为四棱锥E-ABCD的高，
要使四棱锥E-ABCD体积最大，则E为弧 的中点，所以O与AB的中点，
取CD的中点G，连接OG，因为 ， ，所以 ，
因为 平面ABCD，所以 ， ，所以EO，AB，OG两两垂直，
以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标
系，
设 ，所以 ，
可得 ， ， ，则 ， ，设平面 的一个法向量 ，则 ，可得 ，
令 ，则平面 的一个法向量为 ，
平面 的一个法向量为 ，则 ，
由图可知二面角 的平面角为锐角， 所以二成角 的余弦值为
．
典例3、答案：（1）证明见解析； （2） .
解：（1）在 中，因为E，F分别是AC，BC的中点，所以 ，
则在图2中， ，而 平面 ， 平面 ， 所以 平面
.
（2）依题意， 是正三角形，四边形 是菱形，取DE的中点M，连接 ，
FM，如图，则 ， ，即 是二面角 的平面角， ，
取 中点N，连接 ，则有 ，在 中，
由余弦定理得：
，
于是有 ， ，即 ，
而 ， ， ， 平面 ，则 平面
，
又 平面 ，从而有平面 平面 ，
因平面 平面 ， 平面 ，
因此， 平面 ，过点N作 ，则 两两垂直，
以点N为原点，射线 分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系
，
则 ， ， ， ，
， ， ，设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得
，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，
得 ，
显然有 ，即 ， 所以平面 与平面 的
夹角为 .
随堂练习：答案： （1）点O在EA的延长线上，且 ，证明见解析； （2）存
在， .
解：（1）依题意，四边形 是矩形，点M为AB的中点，如图1，延长FM与EA的延
长线交于点O，又 平面ADE，即有 平面ADE，因 ，且 ，
因此点A为线段EO中点，即AO=2，M为线段FO的中点，
连接DF交CE于N，连接MN，矩形CDEF中，N是线段DF中点，
于是得 ，而 平面 ， 平面 ， 所以 平面 .
（2）依题意， ， ， ， 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，且 为二面角 的平面角，即 .
连接 ，而 ，
即有 为正三角形，取 的中点H，连接DH，则 ，
由 平面 ， 平面 ，得平面 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，于是得 平面 ，
取BF中点G，连接HG，由矩形 得 ，即有 两两垂直，
以点H为原点，射线 分别为 轴非负半轴建立空间直角坐标系，
如图2，
则点 ， ， .
假设存在点M满足条件，因点M在线段AB上，设 ， ，
， ， .设平面 的一个法向量 ，则 ，
令 ，得 ，
因直线DE与平面EMC所成的角为60°，
则 ，解得 或 ，
即存在点 满足直线DE与平面EMC所成的角为60°，
点 为线段AB的靠近点A或B的四等分点.
设平面 的一个法向量 ，则 ，
令 ，得 ， 则
.
令平面MEC与平面ECF的夹角为 ，
则 ，
显然 或 时， . 由图可知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
典例4、答案： （1）证明见解析； （2） .
解：（1）如图，在 上取一点H，使得 ，连接 ,因为 ，所以 , 平面 , 平面 ,
故 平面 ，
因为 , ，再由条件知 ，所以 是平行四边形，
所以 ， 平面 , 平面 ,故 平面 ，
又 平面 ， 所以平面 平面 .
由条件 可知 ，
又因为平面 平面 ，交线为 ， 平面 ,
所以 平面 ，所以 平面 ， 平面 , 所以 .
（2）由（1）知 平面 ，而 ，故 平面 ，
故分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， 则 ,
设平面 的法向量为 ，
则 ， 令 ，得 ，
平面 的一个法向量为 ，设平面 与平面 的夹角为 ， 则
.
随堂练习：答案： （1）证明详见解析 （2）
解：（1）设 是 的中点，连接 .
由于 ，所以 ， 由于平面 平面 且交线为
，
平面 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以 ，则 ， 所以 ，
由于 ，所以 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以 .
（2）在三角形 中，延长 ，过 作 ，交 的延长线于 ，
由于 ，所以 ，
，所以 ，
，则 ，
所以 .平面 平面 且交线为 ， ， 以 为原点建立如图所示空间
直角坐标系，
则平面 的法向量可设为 ， ，
，
设平面 的法向量为 ， 则 ，故可设 ，
设平面 和平面 的夹角为 ，
则 ，所以 .
典例5、答案：（1）证明见解析 （2） 或
解：（1）在直角梯形ABCD中，连接AC交BE于F，
由题意知： 且 ， 四边形CEAB是平行四边形，
又 ， ， 四边形CEAB是菱形故 ，即在折叠后端的图形中 ，又 ，
面
面 ，又 平面 ，
（2）由 可得 ，又
设二面角 的平面角为 ，则 ， 或
过 作 于 则 面 ，则可过 点作 轴
如图建系： 或 ，
设面 的一个法向量为 ，则 则
或 取 而面ABD的一个法向量为或
由图可知二面角 为锐角 则二面角 余弦值为 或 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）连接 ，如下图：
由直三棱柱 的性质可知， ，
因为 ， ， 所以 平面 ． 因为 平面 ，
所以 ，
因为 ，则四边形 为正方形， 所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，
因为 平面 ， 所以 ．
（2）由（1）得 平面 ，从而点 到平面 的距离为 ，
故 ，即 .
以 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图空间直角坐
标系:则 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，
令 ，则 ，即 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，
令 ，则 ， ，即 ，
设平面 与平面 夹角为 ， 则 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
典例6、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）取 中点 ，连接 ，由 ，故 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，平面 ，而 平面 ， ，
而 ，故 ，故 ，
而 平面 ， 平面 ， ， 平面 ，
又 平面 ， ，
（2）如图所示建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，设 ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 得 ，
而 与平面 所成的角为 ，故 ， 解得
，
而 ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 得
，
同理得平面 的一个法向量为 则 ，
而二面角 为钝角，故二面角 大小为随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）取BC中点H，分别连结EH，FH，因为F为 的中点，所以 ，
因为三棱柱为直棱柱，所以 平面ABC，所以FH⊥平面ABC，
由 平面ABC，所以FH⊥BC，
又E为AB的中点，则 ，且 ，所以 ，
因为EH， 平面EFH， ，
所以BC⊥平面EFH，因为 平面EFH，所以 ．
（2）由（1）知∠FEH为EF与平面ABC所成的角，所以 ，由 ，
得 ．
如图，以CA，CB， 分别为x轴，y轴，z轴正向，建立空间直角坐标系．则 ， ， ， ， ， ， ，
，
， ， ，
设平面CEF的一个法向量为 ， 由 得 ，取
，
平面 的法向量为 ， 由 得 ，取
，
设平面CEF与平面 的夹角为 ，则 ．
所以平面CEF与平面 夹角的余弦值为 .
