文档内容
空间向量和立体几何高考复习专题三
知识点一 线面垂直证明线线垂直,空间垂直的转化,已知线面角求其他量
典例1、四棱锥 中，底面 为梯形， ， ， ，
，
为直二面角．
（1）证明： ；（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长度．
随堂练习：如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面 平面 ，
为正三角
形，E，F分别是棱 上的点，且满足 ．
（1）求证： ；（2）是否存在 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为
？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．典例2、在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD， ，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，
．
（1）证明： ；
（2）点F在线段PD上，试确定点F的位置使BF与平面PAB所成的角的正弦值为 ．
随堂练习：在如图所示的多面体中， 平面 ， 平面 ， ，且，
是 的中点．
（1）求证： ．（2）在棱 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所
成的角是60°．若存在，指出点 的位置；若不存在，请说明理由．
典例3、如图（1）， 是 中 边上的高线，且 ，将 沿
翻折，使得平
面 平面 ，如图（2）．
（1）求证： ；（2）图（2）中， 是 上一点，连接 、 ，当 与底面
所成角的正切值为 时，求直线 与平面 所成角的正弦值．随堂练习：如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 平面 ，
点 ， 分别
为 ， 的中点．
（1）取 的中点 ，连接 ，若平面 平面 ，求证： ；
（2）已知 ， ，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面
与平面 的夹角的余弦值．知识点二 面面平行证明线线平行,面面角的向量求法,点到平面距离的向量求法
典例4、如图，在直三棱柱 中， 为棱 上
靠近 的三等分点， 为棱 的中点，点 在棱 上，且直线 平面 .
（1）求 的长;（2）求二面角 的余弦值.
随堂练习： 已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ， ，三棱锥GACD的体积为 ，直线AF与底面ABCD所成角
的正切值为 ，求锐二面角 的余弦值.典例5、如图，在正方体 中， 为棱 的中点，棱 交平面 于点 ．
（1）求证：平面 平面 ；（2）求证： ；（3）求二面角
的余弦值．
随堂练习： 如图，三棱柱 中，面 面 ，
．过
的平面交线段 于点 （不与端点重合），交线段 于点 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；（2）若 到平面 的距离为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
典例6、已知 是边长为4的等边三角形，E，F分别是 ， 的中点，将
沿着 翻折，得到四棱锥 ，平面 平面 ，平面 平面
.
（1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求点C到平面 的距离.随堂练习： 如图所示，在 中，斜边 ， ，将 沿直线AC旋
转得到 ，
设二面角 的大小为 ．
（1）取AB中点E，过点E的平面与AC，AD分别交于点F，G，当平面 平面BDC时，
求FG的长；
（2）当 时，求二面角 的余弦值．
（3）是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
空间向量和立体几何高考复习专题三答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）取 的中点 ,连接 ，交 于 ,连接 ,所以 ,
因为 ， ， ， 所以 且 ,所以四边形 为菱形，所以 , 因为 ， 为 的中点，所
以 ,
所以 为 的二面角的平面角，
因为二面角 为直二面角， 所以 ，即 ,
因为 ， ， 平面 , 所以 平面
,
又因为 平面 ，所以 . 又因为 为 的中点， 为 的中
点，
所以 ,所以 ；
（2）由（1）知， ， ， ，以 为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ， ，由 ,得 ，
所以 ， 所以 ，
设 为平面 的一个法向量，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ， ，
所以 ，解得 ，
由（1）知， 为 的中点，所以 . 所以 的长度为 .
随堂练习：答案：（1）证明过程见解析； （2）存在， .
解：（1）设 的中点为 ，连接 ， 因为 是圆O的直径，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ， 所以 ；
（2）连接 ，因为 ，所以 ，
因为 为正三角形， 的中点为 ， 所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，
所以 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，
，
设平面 的法向量为 ，，
所以有 ，
所以 ， ，
假设存在 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以有 ，或 （舍去），
即存在 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .
典例2、答案：（1）证明见解析 （2）点F在PD的中点处
解：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD 面ABCD，∴
取AB中点E，连接DE，∵ ，
∴ ，又∵ ，∴ ．
∴△ABD为直角三角形，且AB为斜边，∴ ，
又 ，PD 面PAD， AD 面PAD， ∴BD⊥面PAD，又PA 面PAD，
∴（2）由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，分别以DA，DB，DP为x、y、z轴
建立如图空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0, ,0)，P(0,0, )，
设平面PAB的一个法向量为 ， 则 ，则可取
．
设点F的坐标是 ，则BF的坐标是(0,－ ,t)，
设BF与平面PAB所成的角为 ，
则 解得 或
点F在线段PD上，则 ，即点F在PD的中点处满足题意.
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）存在， 为棱 的中点.
解：（1）∵ ， 是 的中点，∴ . 又 平面 ，∴ .∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴ ．
（2）以 为原点，分别以 ， 为x，y轴，如图建立坐标系 .
则： ， ， ， ， ，
， ， ， .
设平面 的一个法向量 ，则： ，
不妨取 ， ， ，所以 .
假设在棱 上存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角是60°，
设 且 ， ，∴ ，
∴ ， ， ， ∴ ，
若直线 与平面 所成的角为60°，
则： ，解得 . 即点 为棱
的中点所以在棱 上存在一点 ，使直线 与平面 所成的角是60°.
典例3、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：由图（1）知，在图（2）中 ， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ；
（2）以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
不妨设 则 ， ， ， ，
设 ，由 ， ，可得 ，
又平面 的一个法向量为 ，，
由 与底面 所成角的正切值为 ，可得 ，
，解得 ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 可取 ， 所以 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）平面 平面 ，且交线为 ， 过 点作 的垂线，垂足记为 ，
由于 平面 ，所以 平面 ， 由于 平面 ，所以
，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
由于 是平面 内的相交直线，
所以 平面 ， 由于 平面 ，所以 .
（2）由于 ， ，所以 ，
所以 ，由于 平面 ， 平面 ，
所以 ，即 两两垂直.
以 为坐标原点，向量 ， ， 方向分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标
系．
设 ，则 ， ， ， 故 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，则 ， 即 ，
令 ，则 ， ，故 ，
易得平面 的一个法向量为 ，又 ，设直线 与平面 所成角为 ， 则 ，解得
，
设平面 与平面 的夹角为 ， 则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）在 上取一点 ，使得 ，连接 .
由已知得 ，所以 所以 .
因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 .
又因为 平面 ， 平面 ， 所以平面 平
面 .
平面 平面 ，平面 平面 ，
根据面面平行的性质可知 .
在矩形 中，可得 ， 所以 ，所以.
（2）以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系.
则 .
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，所以 ，取 得
设平面 的法向量为 ，
则 所以 取 ，得
所以
结合图可知二面角 的余弦值为 .随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，∴ ，
由直四棱柱得 底面ABCD，又 平面ABCD，∴ ，
又 ，BD， 平面BDG， ∴ 平面BDG，因为 平面BDG，
∴
已知 ，又 ，AC， 平面ACE， ∴ 平面ACE，
因为 平面BDG，∴平面 平面CFGD
平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，则
（2）已知 ， ，可求 ，
由 ，则
在直四棱柱中， 底面ABCD，
所以 为直线AF与底面ABCD所成角， ，则
在平面ACF内作 ，可知 底面ABCD，如图，以 为原点，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
则
设平面BCE的法向量为 ， 则
取 ，得 ， ，得 ，
由（1）知 平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为
则 ， 所以锐二面角 的余弦值为
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）
解：（1）在正方体 中， 平面 .
因为 平面 ，所以 ． 又因为 是正方形，所以
．
又因为 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）在正方体 中，平面 平面 .又平面 平面 ，平面 平面 ，则 ．
又因为 且 ，所以 是平行四边形．所以 ． 所以
.
（3）因为 底面 ， ，所以 两两垂直. 以 所
在直线分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系 ．设正方体边长
为 ，
则 ， ， ，
．
设平面 的一个法向量为 ， 由 得
令 ， 得 .
因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量
所以 ． 由图可知，二面角 的余弦
值 ．随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2） .
解：（1）在三棱柱 中， ， 平面 ， 平面 ，则
平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，于是得 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面
，
则 ，所以四边形 为平行四边形.
（2）在平面 内过点A作 ，因平面 平面 ，平面 平
面 ，
于是得 平面 ，又 ，以点A为原点，建立如图所以的空间直角
坐标系，
因 ， ，则 ，
，
，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得，
点B到平面 的距离 ，解得
，
因此， ，而 ，设直线 与平面 所成角为 ，
于是得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
典例6、答案： （1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）在 中，E，F分别是 ， 的中点，所以 .
在四棱锥 中，因为 ， 平面 ， 平面 ，所以
平面 .
又 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）在四棱锥 中，取 的中点O， 的中点D，连结 ， ，
因为 ， ，又平面 平面 ，平面 平面
，平面 ， 所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
以点O为坐标原点， ， ， 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标
系，如图所示：
则 ， ， ， ， ，
， .
设 是平面 的一个法向量，
则 ，令 ，得 ， ，即 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）由（2），点C到平面 的距离 .
随堂练习：答案：（1）1；（2） ；（3）不存在.
解:（1）如图所示：因为平面 平面BDC，平面 平面BDC=BD，平面 平面EFG=EG， 所
以 ，
因为E为AB的中点，所以G为AD的中点， 同理可证F为AC的中点， 所以
，
在 中，斜边 ， ， 所以 ，即 ， 所
以 ；
（2）过点B作 ，连接DO，则 ， 面 ，
因为 ，则平面 平面ABC，因为平面 平面ABC=AC， 所以 平
面ABC，
以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系；
在 中，斜边 ， ， 所以
，
则 ， 所以 ，设平面BCD的一个法向量为 ， 则 ，即 ，
令 ，得 ，则 ， 因为 平面ACD，
所以 是平面ACD的一个法向量， 所以
.
即二面角 的余弦值是 ．
（3）假设存在，则 ， ，
，
解得 ，则 ， 因为 ， 所以不存在 ，使得 .
