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空间向量和立体几何高考复习专题七
知识点一 锥体体积的有关计算,证明线面垂直,已知面面角求其他量
典例1、如图所示，圆锥的高 ，底面圆 的半径为 ，延长直径 到点 ，使得
，分别过点 、 作底面圆 的切线，两切线相交于点 ，点 是切线
与圆 的切点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求该圆锥的体积 ．
随堂练习：已知平面四边形 ， ， （如图1
所示），现将 沿 边折起，使得平面 平面 ，点 为线段
的中点， 为线段 上一点，（如图2所示）．
（1）求证： 平面 ；（2）若二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的体积．
典例2、如图，在三棱柱 中， 平面 ，四边形 为菱形．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的
体积．
随堂练习：如图所示，在三棱锥 中， ， 为的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求三棱锥 的体积.
典例3、如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为矩形，
，G为 的重心，M为线段 的中点， 与 交于点F．
（1）当 时，证明： 平面 ；
（2）当平面 与平面 所成锐二面角为 时，求三棱锥 的体积．随堂练习：如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 是正三角形，侧
面 底面
，M是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，且二面角 的大小为30°，求四棱锥 的体积．
知识点二 证明线面垂直,面面角的向量求法
典例4、如图，在四棱锥 中，底面 是矩形且 ，M为 的中点，， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， 与平面 所成的角为45°，求二面角 的正弦值．
随堂练习：如图，四边形 是正方形， 平面 ， ， ，
．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．典例5、已知四棱锥 中， 底面 ，平面 平面 ， ，
.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
随堂练习：如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面 为等边三角形
且垂直于底面
， 分别为 的中点．
（1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值．典例6、如图，已知等边 中，E，F分别为AB，AC边的中点，N为BC边上一点，且
，将 沿EF折到 的位置，使平面 平面 ，M为
EF中点.
（1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值.随堂练习：如图，等腰梯形 中， ， ，现以 为折痕把
折起，使
点 到达点 的位置，且 .
1、证明： 平面 ；
2、若 为 上一点，且三棱锥 的体积是三棱锥 体积的2倍，求平面
与平面 夹角的余弦值.
【正确答案】 1、证明见解析 2、
空间向量和立体几何高考复习专题七答案
典例1、答案： （1）证明见解析； （2） .解：（1）由题设， 底面圆 ，又 是切线 与圆 的切点，
∴ 底面圆 ，则 ，且 ，而 ， ∴ 平面 .
（2）由题设，若 ，可构建 为原点， 、 、 为x、y、z轴的空间直
角坐标系，
又 ，可得 ，
∴ ， ， ，有 ，
，
若 是面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ， 又面 的一个法向量为 ，
∴ ，可得 ， ∴该圆锥的体积
．
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：因为 ， 所以 为等边三角形，因为 为 的中点，所以 ． 因为平面 平面 ，
平面 平面 平面 ， 所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又因为 平面 ， 所以 平面 ．
（2）如图所示以 为坐标原点，分别以 为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ． 所以 ，
，
设 ， 则 ，
设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 ，
取 ，有 ， 即 ．
平面 的一个法向量 ．
设二面角 的平面角为 ， 则 ，
解得 ，即 为 中点． 此时 ，又因为 ， 所以
．
典例2、答案：（1）证明见解析；（2） .
解:（1）因为四边形 为菱形，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ．
（2）以B为坐标原点，分别以 ，BC所在的直线为x轴和z轴，
以过B点垂直平面 的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图所示．
设 ，则 ， ， ， ．所以
， ．
设平面 的法向量为 ，则
即 令 ，得 ．由条件知 为平面 的一个法向量．
设二面角 的平面角为 ，易知 为锐角． 则 ，
解得 ．
所以 ．
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）在三棱锥 中， ，O为 的中点. ，且
，连接 ，
，得 ，
则 ，又 ，得 ， ，
平面ABC.
（2）如图，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐
标系由已知得 ，
，取平面 的一个法向量
设 ，则
设平面 的法向量为 ，
取 ，得 ，
二面角 为 ，
解得： （舍去）或 ，则 ，
所以 ，
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）延长 交 于N，连接 ，
因为G为 的重心， 所以点N为 的中点，且 ，
因为 ，故 ，所以 ， 故 ，故 ，因为 平面 ，所以 ， 因为底面 为矩形，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，故 ，
因为 ，所以 ， 又因为 ， 所以 平面 ，所
以 平面 .
（2）以C为原点，以 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设点G到平面 的距离为 ， 则
，
故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ,即 ，
取 ，则 ，即 ，
设平面 的法向量为 ，则 ,即 ，
取 ，则 ，则 ，所以 ，解得 ， 又 ，
故点G到平面 的距离为 ，
因为 ，所以 ， 所以 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2） ．
解：（1）因为侧面 底面 ， 侧面 底面 ，
又底面 为矩形， 所以 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， 所以 ，
又侧面 是正三角形，M是 的中点，
所以 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ．
（2）取 中点O，过点O作 的平行线 连接 ， 由（1）同理知 平面
，
以O为原点， ， ， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ， ， ，
，
记平面 的法向量 ，则 ， ，
从而 ，则可得 ，因为 平面 ， 则平面 的法向量跟 共线，可取 ，
因为二面角 的大小为30°，
， 解得 ，
所以四棱锥 的体积为 ．
典例4、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）因为在 和Rt 中，
， ， 所以 ，
因为 ， ， 所以 ，
因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，
因为 平面 ， 所以 ，
因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ．
（2）因为 ， 所以 ，
因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，
所以 为 与平面 所成的角， 则 ， 所以 ，
由勾股定理知： ，
可如图建立空间直角坐标系 ， 所以 ， ， ，
，
所以 ， ，
由（1）知，平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ， 即
，
取 ，得 ， 所以 ，
设二面角 的大小为 ， 则 ．
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2） .解：（1）四边形 是正方形，有 ，而 平面 ， 平面 ，
则 ，
又 ， 平面 ， 所以 平面 .
（2）由（1）知， 两两垂直，以 为原点 分别为 轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ， ，
即有 ， ， ，
由（1）知 是平面 的一个法向量，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，设平面 与平面 夹角
为 ，
则有
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
典例5、答案： （1）证明见解析 （2）解：（1）证明；因为平面 平面 ，平面 平面 ，
在平面 内作 ，则 平面 ， 平面 ， 所以
.
因为PA⊥底面ABCD， 平面 ，所以 ,
平面 ，则 平面 ，
因为 ,∴ 平面 .
（2）由（1）可知 平面 , 平面 ,所以 ，
以A为原点 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ， 则 ，
所以
设平面 的法向量为 ，则 ,即 ,
令 ，则取 .设平面 的法向量为 ，则 ,即 ,
令 ,则取 .
所以 ，
由图可知所求二面角为钝角，故二面角 的余弦值为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2） .
解：（1）如图，取 中点 ，连接 ，
则 , 因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面
所以 平面 ,
因为 平面 ，所以 , 又因为F为CD的中点，所以 ，
又 ， 平面PGB， 所以 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， 为 的中点，
所以 ，又 ， 平面 ， 平面 ， 所以
平面 .（2）不妨设正方形 的边长为2，以点 为坐标原点， 为 轴，
垂直于 的直线 为 轴， 为 轴建立空间坐标系，
则 ,
，
设平面 与平面 的法向量分别为 ，夹角为 ，
则
不妨设 ,所以 ，
， 所以 .
典例6、答案：（1）证明见解析； （2） .
解：（1）证明：因为 为等边 的 边的中点，
所以 是等边三角形，且 ， ，
因为 是 的中点，所以 ， ，
又由于平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，且 ， 则四边形 是平行四边形，
则 ，在正 中，知 ，所以 ， 而 ，所以 平
面 .
又因为 平面 ， 所以平面 平面 .
（2）设等边 的边长为4，取 中点 ，连接 ，
由题设知 ，由（1）知 平面 ，
又 平面 ，所以 ，如图建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则由 ，得 ，令 ，则 ，
平面 的一个法向量为 ， 所以
，
显然，二面角 的平面角为锐角， 二面角 的平面角的余弦值
为 .随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以点 在以 为直径的圆上，所以 .
又因为 ， ， 平面 所以 平面 .
（2）取 中点 ，连接 ，因为 ，所以 ，
由（1）得 平面 ，又因为 面 ，
所以平面 面 ，因为 为两平面交线， 所以 面 ，
以 为原点， 为 轴，过 且与 垂直的直线为 轴， 为 轴建立直角坐
标系，
设 ，则 ， ， ， ，
由 ，得 ， 所以 ，设平面 的法向量为 ， 所以 ，即 ，
取 ，则 ， ，所以 ，
又因为平面 的法向量 ， 所以 ,
因为二面角 为锐二面角，所以其余弦值为 .
