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微专题16 立体几何经典题型精练
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥 ，底面ABCD是平行四边形，
，且平面SCD 平面ABCD，点E在棱SC上，直线 平
面BDE.
(1)求证：E为棱SC的中点；
(2)设二面角 的大小为 ，且 .求直线BE与平面ABCD所成的角的正切
值.
例2．（2023·浙江·三模）如图，四面体 的棱 平面 ，
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成锐二面角的正切值为 ，线段 与平面 相交，求平面
与平面 所成锐二面角的正切值．例3．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）如图（1），在正方形
中， 、 、 分别为 、 、 的中点，点 在对角线 上，且 ，
将 、 、 分别沿 、 、 折起，使 、 、 三点重合（记为
），得四面体 （如图（2）），在图（2）中.
(1)求证： 平面 ；
(2)在 上，求一点 ，使二面角 的大小为 .
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知梯形 ，现将梯形沿对角线 向上
折叠，连接 ，问：
(1)若折叠前 不垂直于 ，则在折叠过程中是否能使 ？请给出证明；
(2)若梯形 为等腰梯形， ，折叠前 ，当折叠至面 垂直于
面 时，二面角 的余弦值．
例5．（2023秋·福建福州·高三福建省福州格致中学校考阶段练习）如图，C是以 为直
径的圆O上异于A，B的点，平面 平面 为正三角形，E，F分别是
上的动点.(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面
与平面 的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范
围.
例6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，几何体 中， 均为正三
角形，四边形 为正方形， 平面 ， ，M，N分别为线段
与线段 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【过关测试】
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图四棱锥 在以 为直径的圆上， 平面 为 的中点，
(1)若 ，证明： ⊥ ；
(2)当二面角 的正切值为 时，求点 到平面 距离的最大值.
2．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）在四棱锥 中， ，
， ， ，平面 平面 .
(1)证明： ；
(2)若 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的大小.
3．（2023秋·河南开封·高三统考期末）如图,在四棱锥 中, 平面 ,
平面 ,底面 为矩形,点 在棱 上,且 与 位于平面 的两侧.(1)证明: 平面 ;
(2)若 , , ,试问在线段 上是否存在点 ,使得 与 的
面积相等？若存在,求 到 的距离;若不存在,说明理由.
4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）异面直线 、 上分别有两点A、B.则将
线段AB的最小值称为直线 与直线 之间的距离.如图，已知三棱锥 中， 平
面PBC， ，点D为线段AC中点， .点E、F分别位于线段AB、
PC上（不含端点），连接线段EF.
(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：
.
(2)若 ，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的
距离.5．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在等腰直角三角形ABC中， ，D是
AC的中点，E是AB上一点，且 .将 沿着DE折起，形成四棱锥 ，
其中点A对应的点为点P，如图2.
(1)在图2中，在线段PB上是否存在一点F，使得 ∥平面PDE？若存在，请求出 的
值，并说明理由；若不存在，请说明理由；
(2)在图2中，平面PBE与平面PCD所成的锐二面角的大小为 ，求四棱锥 的体
积.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱台 中，底面 是边长
为2的菱形， ，平面 平面 ，点 分别为 的中点，
均为锐角.
(1)求证： ；
(2)若异面直线 与 所成角正弦值为 ，四棱锥 的体积为1，求二面角
的平面角的余弦值.7．（2023·陕西渭南·统考一模）在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形
ACDE为直角梯形， ，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F为DE的中点，
且点 满足 ．
(1)证明：GF 平面ABC；
(2)当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A-BE-D的正弦值．
8．（2023·全国·高三专题练习）在三棱柱 中， ， 平面 ，
、 分别是棱 、 的中点.
(1)设 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正切值为 ，求多面体 的体
积 .
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形，
， ， .(1)求证： 平面ABCD；
(2)设 ，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为 时，求 的值.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中，四边形 是边长
为4的菱形， ，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面 与棱
交于点E.
(1)求证： ；
(2)若 ，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB
与平面 所成角的正弦值.条件①：平面 平面 ；条件②： ；
条件③： .
11．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）如图，在四棱锥
中，四边形 是矩形， 是正三角形，且平面 平面 ， ， 为棱 的中点，四棱锥 的体积为 ．
(1)若 为棱 的中点，求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ？若
存在，指出点 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
12．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点 ，
别是边BC，CD的中点， ， ．沿MN将 翻折到
的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．
(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面
PMN夹角的余弦值为 ？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
13．（2023·上海·高三专题练习）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底
面直径 ，母线 ，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.(1)设平面 平面 ，证明： ；
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN
的长.
14．（2023秋·安徽·高三校联考期末）如图，在四棱锥 中，
，E是PB的中点．
(1)求CE的长；
(2)设二面角 平面角的补角大小为 ，若 ，求平面PAD和平面PBC夹
角余弦值的最小值．
15．（2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考期末）如图所示，圆锥的高 ，底面圆O
的半径为R，延长直径AB到点C，使得 ，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切
线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．(1)证明：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点A到平面 的距离．
16．（2023秋·江苏南通·高三海安高级中学期中）如图，在三棱锥 中，平面
平面 ， ， ，O为BD中点．
(1)求二面角 的正弦值；
(2)E为 内的动点（包含边界），且 平面 ，求OE与平面 所成角的正
弦值的最大值．
17．（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）如图①所示，长方形
中， ， ，点 是边 靠近点 的三等分点，将△ 沿 翻折
到△ ，连接 ， ，得到图②的四棱锥 .(1)求四棱锥 的体积的最大值；
(2)设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小
值.
18．（2023秋·天津北辰·高三校联考期中）如图，在三棱锥 中， 底面 ，
，点 分别为棱 的中点， 是线段 的中点，
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)已知点 在棱 上，且直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求线段AH的长．
19．（2023秋·海南·高三海南华侨中学校考阶段练习）已知四棱锥 的底面ABCD
是平行四边形，侧棱 平面ABCD，点M在棱DP上，且 ，点N是在棱PC
上的动点（不为端点）.(1)若N是棱PC中点，完成：
（i）画出 的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证： 平面AMN；
(2)若四边形ABCD是正方形，且 ，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所
成角的正弦值取最大值.
20．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）如图，在直角梯形
中， ， ， 平面 ， ，
．
(1)求证： ；
(2)在直线 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长；
若不存在，请说明理由．21．（2023秋·安徽·高三校联考开学考试）如图，在三棱柱 中，
平面 .
(1)求证: ;
(2)若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的正弦
值.
22．（2023·全国·高三专题练习）如图在四面体 中， 是边长为2的等边三角形，
为直角三角形，其中D为直角顶点， .E､F､G､H分别是线段 ､ ､
､ 上的动点，且四边形 为平行四边形.
(1)求证： 平面 ；
(2)设二面角 的平面角为 ，求 在区间 变化的过程中，线段 在平面
上的投影所扫过的平面区域的面积；
(3)设 ，且平面 平面 ，则当 为何值时，多面体 的
体积恰好为 ？
