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专题 06 立体几何（解答题）（理科专用）
1．【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面
ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=√3．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
2．【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，
AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面
ABD所成的角的正弦值．
3．【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A B C 的体积为4，△A BC的面积
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为2√2．(1)求A到平面A BC的距离；
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(2)设D为A C的中点，A A =AB，平面A BC⊥平面ABB A ，求二面角A−BD−C
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的正弦值．
4．【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是
PB的中点．
(1)证明：OE//平面PAC；
(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．
5．【2021年甲卷理科】已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
6．【2021年乙卷理科】如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
， 为 的中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
7．【2021年新高考1卷】如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
为 的中点.（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角
的大小为 ，求三棱锥 的体积.
8．【2021年新高考2卷】在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
9．【2020年新课标1卷理科】如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面
直径， ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
10．【2020年新课标2卷理科】如图，已知三棱柱ABC-ABC 的底面是正三角形，侧面
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BBC C是矩形，M，N分别为BC，BC 的中点，P为AM上一点，过BC 和P的平面交
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AB于E，交AC于F.
（1）证明：AA∥MN，且平面AAMN⊥EBC F；
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（2）设O为△ABC 的中心，若AO∥平面EBC F，且AO=AB，求直线BE与平面
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AAMN所成角的正弦值.
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11．【2020年新课标3卷理科】如图，在长方体 中，点 分别在棱
上，且 ， ．（1）证明：点 在平面 内；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
12．【2020年新高考1卷（山东卷）】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面
ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
13．【2020年新高考2卷（海南卷）】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD 底面
ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为 ．
（1）证明： 平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为 上的点，QB= ，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
14．【2019年新课标1卷理科】如图，直四棱柱ABCD–A BC D 的底面是菱形，AA=4，
1 1 1 1 1AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB，AD的中点．
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（1）证明：MN∥平面C DE；
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（2）求二面角A-MA-N的正弦值．
1
15．【2019年新课标2卷理科】如图，长方体ABCD–ABC D 的底面ABCD是正方形，点
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E在棱AA 上，BE⊥EC .
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（1）证明：BE⊥平面EBC ；
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（2）若AE=AE，求二面角B–EC–C 的正弦值.
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16．【2019年新课标3卷理科】图1是由矩形ADEB，Rt ABC和菱形BFGC组成的一个
平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿A△B，BC折起使得BE与BF重合，
连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.
17．【2018年新课标1卷理科】如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，
以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
18．【2018年新课标2卷理科】如图，在三棱锥 中， ，
， 为 的中点．（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
19．【2018年新课标3卷理科】如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧
所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值．
