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第八章 立体几何初步
（B 能力卷）
班级______ 姓名_______ 考号______
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个
选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图， 是水平放置的 的直观图，则 中 边上的高等于（ ）
A．4 B． C．2 D．
3．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋
融化后正好盛满杯子，则杯子的高 （ ）
A．9cm B．6cm C．3cm D．4.5cm
4．已知两条直线 及两个平面 ，以下说法中正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
5．已知正方体 外接球的表面积为 ，正方体 外接球的表面积为 ，若这两个正方体的
所有棱长之和为 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
6．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆
形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）
是底边边长为 ，顶角为 的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，圆锥的底面直径 ，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦 ， 则异面直
线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
8．在直三棱柱 中， ，则三棱柱
外接球体积等于（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个
选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为 ，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为10．已知 是两个不同平面， 是两条不同直线，则下述正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 是异面直线，则 与 相交
D．若 ，则
11．如图，已知正方体 的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB， 的中
点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为2
B．
C．异面直线EF与 所成角的余弦值为
D．过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是
12．如图，已知A，B是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a，b均相互垂直，垂足分
别为A，B，且 ，动点P，Q分别位于直线A，B上，且P异于A，Q异于B.若直
线PQ与AB所成的角 ，线段PQ的中点为M，下列说法正确的是（ ）
A．PQ的长度为定值
B．三棱锥 的外接球的半径长为定值
C．三棱锥 的体积为定值
D．点M到AB的距离为定值三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．半径为 的球的表面积为_______ ．
14．已知球面上的三点A，B，C满足 ， ， ，球心到平面ABC的距离
为 ，则球的表面积为______．
15．我国南北朝著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即夹在两
个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，若截得的两个截面面
积都相等，则这两个几何体的体积相等．在数学上运用祖暅原理推导球的体积公式时，构
造了一个底面半径与高都为 的圆柱内挖掉一个等高的圆锥的几何体（如图所示），则该
几何体的体积为___________
16．已知 为正方体 表面上的一个动点， ， 是棱 延长线上
的一点，且 ，若 ，则动点 运动轨迹的长为___________.
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．(本小题10分)
如图在三棱锥 中， ， ， ，D为棱AB上一点，
，棱AC的中点E在平面PAB上的投影F在线段PD上．
（1）证明： 平面PDE；
（2）求三棱锥 的体积．
18．(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ，侧棱 ，底面 是直角梯形，其中 是 上一点.
（1）若 平面 ，求 ；
（2）求证：平面 平面 .
19．(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， 平面 ，
是等边三角形.
（1）证明：平面 平面 .
（2）求点 到平面 的距离.
20．(本小题12分)
如图，在三棱锥 中， ， ， ， 平面 ， 是 的
中点， 是 的中点.
（1）求证： ；
（2）过点 作 的垂线，交 于点 ，若四棱锥 的体积为2，求 的长.
21．(本小题12分)
如图，在 中， ，斜边 ，现将 绕AC旋转一周得到一个圆锥，BD为底面圆的直径，点P为圆锥的内切球O与CD的切点， 为圆锥底面圆
周上异于B，D的一点．
（1）求内切球O的体积；
（2）求证： 平面 ．
22．(本小题12分)
如图，三棱锥 中，平面 平面 ， ， 分别是 ， 的中点，且
， ．
（1）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
