专题2：立体几何截面问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：有关截面的概念............................................................. 2
考点二：截面的的画法................................................................ 2
考点三：正方体中的基本截面类型..................................................2
考点四：圆柱体的基本截面.......................................................... 3
考点五：做截面练习................................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：作截面图形................................................................... 4
题型二：截面形状的判断............................................................. 6
题型三：平行关系确定截面........................................................ 10
题型四：垂直关系确定的截面......................................................12
题型五：截面周长问题.............................................................. 16
题型六：截面面积问题.............................................................. 20
题型七：球截面问题................................................................. 25
题型八：截面分体积................................................................. 29
题型九：曲线形截面................................................................. 35
题型十：截面最值.................................................................... 38
题型十一：截面类综合问题........................................................ 40
模块三：综合巩固....................................................................... 47
专题2：立体几何截面问题
模块一：基础知识
考点一：有关截面的概念
在立体几何中，用一个平面去截几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），
此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．
考点二：截面的的画法
1、确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论．
（2）直线和平面平行的判定和性质．
（3）两个平面平行的性质．
（4）球的截面的性质．
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体的截面的交线。
考点三：正方体中的基本截面类型
考点四：圆柱体的基本截面
正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
考点五：做截面练习
如下图E、F 是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：
1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；
2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时C1 点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，
只要在棱上就可以。
方法一：相交法，做法如图
方法二：平行线法。做法如图
模块二：题型分类
题型一：作截面图形
1.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为6，M 是
1
1
A B 的中点，点N 在棱
1
CC 上，且
1
2
CN
NC
.作出过点
D，M，N 的平面截正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
所得的截面，写出作法；
【答案】答案见解析
【解析】如图所示，五边形DQMFN 即为所求截面.
作法如下：连接DN 并延长交
1
1
D C 的延长线于点E，
连接ME 交
1
1
B C 于点F，交
1
1
D A 的延长线于点H，
连接DH 交
1
AA 于点Q，连接QM ，FN ，
所以五边形DQMFN 即为所求截面.
2.已知四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为直角梯形，PA 平面ABCD，AD
BC
∥
，AB
AD
，
4
PA
AD
，
2
BA
BC
，M 为PA 中点，过C，D，M 的平面截四棱锥P
ABCD
所得的截面为．若与棱PB交于点
F，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F 的位置；
【答案】作图见解析；F 为棱PB上靠近点B 位置的三等分点；
【解析】延长DC
AB
E
，连接ME 交PB于F，连接FC ，
如图，四边形MFCD 为截面.
ADE
V
中，BC
AD
∥
，由
1
2
BC
AD
，
则C 为DE 中点，B 为AE 中点，
过M 作
∥
MN
AB 交PB于N，则
1
1
2
MN
AB
，
~
MNF
EBF
△
△
，
1
2
FN
MN
BF
BE
，
2
BF
NF
，即
1
3
BF
BP
，
F 为棱PB 上靠近点B 位置的三等分点.
3.如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E，F，G 分别为
1
1
1
1
1
,
,
A B BB C D 的中点.过BG 作该正方
体的截面，使得该截面与平面
1
C EF 平行，写出作法，并说明理由；
【答案】答案见解析
【解析】取
1
C C 的中点H，
连接
1
1
,
,
,
A B AG BH GH ，所以截面
1
BAGH 为要求作的截面.
理由如下：
因为E，F 分别为
1
1
1
,
A B BB 的中点，所以
1A B
EF
∥
，
又
1
A B
平面
1
,
C EF EF 平面
1
C EF ，所以
1A B 平面
1
C EF .
在正方形
1
1
1
1
D
C
B
A
中，因为G 为
1
1
C D 的中点，所以
1
1
A E
GC
∥
，且
1
1
A E
GC
，
所以四边形
1
1
A EC G 为平行四边形，所以
1
1
AG
EC
∥
，同理可证
1
1
A B
D C
∥
，
又
1AG 平面
1
1
,
C EF EC 平面
1
C EF ，可得
1AG 平面
1
C EF .
又
1
1
1
A B
AG
A
，
1
1
,
A B AG 平面
1
BAG ，所以平面
1
BAG 平面
1
C EF .
连接
1
D C ，因为G 为
1
1
C D 的中点，H 为
1
C C 中点，所以
1
GH
D C
∥
，
又
1
1
A B
D C
∥
，则
1
GH
A B
∥
，
所以
1A ，B，H，G 四点共面，从而截面
1
BAGH 为要求作的截面.
4.如图所示，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，底面ABCD 是等腰梯形，AB
CD
∥
，
2
AB
CD
，
60
BAD
，
四边形
1
1
CDD C 是正方形．指出棱
1
CC 与平面
1
ADB 的交点E 的位置（无需证明），并在图中将平面
1
ADB
截
该四棱柱所得的截面补充完整；
【答案】E 为
1
CC 的中点，答案见解析
【解析】E 为
1
CC 的中点．
作图如下：如图，取
1
CC 的中点E，连接DE，
1B E ，
平面
1
ADEB 即为该四棱柱所得的截面（可通过证明
1
DE
AB
∥
来判断）.
题型二：截面形状的判断
1.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，
且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项B 正确．
【详解】
如图所示：
因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，
即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是
．故选：B．
2.如图，正四棱锥P
ABCD
的高为12，
6 2
AB
，E ，F 分别为PA ，PC 的中点，过点B ，E ，F 的
截面交PD 于点M ，截面EBFM 将四棱锥分成上下两个部分，规定BD
为主视图方向，则几何体
CDAB
FME
的俯视图为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据主视图所给方向即可知俯视图中底面正方形，计算可知M 点投影位置，即可得出答案.
【详解】
研究平面DPB，设AC 与BD 的交点为O，BM 与EF 交点为N,
,
E F
为
,
PA PC 的中点，
N
为PO 的中点，
12
PO
，
6
ON
OB
，又因为
12
tan
2
6
PO
PDB
OD
,
过点M 作MG
DB
，设GB
x
，
45
NBO
，
GB
MG
x
，又
12
DB
，
12
DG
x
，
tan
2
12
x
PDB
x
,
8
x
GB
,
DG
为4 个格，GB 为8 个格，故选：C
3.正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
, ,
P Q E F 分别是
1
1
1
1
,
,
,
AB AD B C C D 的中点，则正方体的过
,
, ,
P Q E F 的截面
图形的形状是（
）
A．正方形
B．平行四边形
C．正五边形
D．正六边形
【答案】D
【解析】如图所示，由
/ /
EF
PQ ，可以确定一个平面，
这个平面与正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱
1
BB 、
1
DD 分别交于M ，N ，
由正方体的性质得
/ /
FN
MP ，
/ /
NQ
ME ，
且EF
FN
NQ
QP
PM
ME
，
正方体过P ，Q ，E ，F 的截面图形的形状是正六边形．故选：D．
4.（多选）用一个平面去截正方体，则截面可能是（
）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．正方形
D．正六边形
【答案】BCD
【解析】对于A 选项，一个平面与正方体共点的3个面相交，截面为三角形，
此三角形不可能是直角三角形，
如图，截面为ABC
，点O为正方体的顶点，
在三棱锥O
ABC
中，OA、OB 、OC 两两垂直，
若ABC
为直角三角形，不妨令
90
BAC
，则
2
2
2
BC
AB
AC
，
而
2
2
2
BC
OB
OC
，
2
2
2
AB
OA
OB
，
2
2
2
AC
OC
OA
，
因此
2
2
0
OA
，矛盾，A 错误；
对于B 选项，当截面为下图所示的ABC
时，截面为等边三角形，B 对；
对于C 选项，当截面与正方形的底面平行时，截面为正方形，如下图所示：
对于D 选项，一个平面与正方体的6个面相交，截面为六边形，
此六边形可能是正六边形，
如图，N 、P 、Q 、R 、S、T 为正方体所在棱的中点，顺次连接得正六边形，
设正方体棱长为a ，有
2
2
TN
NP
PQ
QR
RS
ST
a
，
6
2
PT
a
，
NPT
中，
2
2
2
1
cos
2
2
NT
NP
PT
PNT
NT NP
，则
120
PNT
，
同理
120
NPQ
PQR
QRS
RST
STN
，
即六边形NPQRST 为正六边形，D 正确.故选：BCD.
5.（多选）用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是（
）
A．长方体
B．圆台
C．四棱台
D．正四面体
【答案】ACD
【解析】对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，
所得截面的形状是正方形，故A 正确；
对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B 错误；
对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，
所得截面的形状是正方形，故C 正确；
对于D：如图所示正四面体S
ABC
，将其放到正方体中，取SB 的中点E ，
SC 的中点D ，取AB 的中点F ，AC 的中点DG ，依次连接EF 、FG 、GD 、DE ，
由正方体的性质可知截面DEFG 为正方形，故D 正确；
故选：ACD
6.在正方体
1
AC 中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段
1
CC 上一动点（不含C）过M、N、P 与正方体
的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______．
①当P 为
1
CC 中点时，截面为六边形；②当
1
1
2
CP
CC
时，截面为五边形；
③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形；
【答案】①③.
【分析】
①延长MN 交AD 于M ，交CD 于N，延长N P交
1
1
C D 于T ，取
1
1
A D 的中点S ，连接M S交
1
AA 于P，连
接
1
1
,
AC AC ，结合图形即可判断；
②延长MN 交AD 于M ，交CD 于N，连接
1
N D
交
1
CC 于P ，连接
1
M D
交
1
AA 于P，此时截面为五边
形，求出
1
CP
CC 即可判断；
③当截面为四边形时，点P 与点
1
C 重合，判断四边形
1
1
A MNC 的形状即可.
【详解】
解：如图①，延长MN 交AD 于M ，交CD 于N，延长N P交
1
1
C D 于T ，取
1
1
A D 的中点S ，连接M S交
1
AA
于P，连接
1
1
,
AC AC ，因为M 为AB 中点，N 为BC 中点，所以MN
AC
∕∕
，同理
1
1
ST
AC
∕∕
，又因
1
1
AC
AC
∕∕
，
所以ST
MN
∕∕
，同理
,
SP
PN MP
PT
∕∕
∕∕
，所以, , ,
,
,
S T P N M P共面，此时六边形STPNMP为截面，
所以截面为六边形；故①正确；
如图②，延长MN 交AD 于M ，交CD 于N，连接
1
N D
交
1
CC 于P ，连接
1
M D
交
1
AA 于P，此时截面为
五边形
因为
1
1
CD
C D
∕∕
，所以
1
1
CPN
C PD
∽
，所以
1
1
1
1
2
CP
CN
C P
C D
，即
1
1
3
CP
CC
，
所以当
1
1
3
CP
CC
时，截面为五边形；故②错误；
当截面为四边形时，点P 与点
1
C 重合，如图，由①得，
1
1
MN
AC
∕∕
，所以四边形
1
1
A MNC 即为截面，
设正方体的棱长为1，则
1
5
2
NC
，
1
5
2
MA
，所以
1
1
NC
MA
，
所以四边形
1
1
A MNC 是等腰梯形；故③正确.故答案为：①③.
题型三：平行关系确定截面
1.在三棱锥A
BCD
中，AB
CD
a
，截面MNPQ与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（
）
A．2a
B．4a
C．a
D．无法确定
【答案】A
【分析】
由线面平行的性质定理确定截面MNPQ 的形状，再利用三角形相似的性质求截面MNPQ的周长.
【详解】
设AM
k
CM
，因为
//
AB
平面MNPQ，平面ABC 平面MNPQ
MN
，AB Ì平面ABC ，所以
//
MN AB ，同
理可得
//
PQ AB ，
//
MQ CD ，
//
NP CD ，故四边形MNPQ为平行四边形，所以
1
1
MN
PQ
AB
AB
k
，
1
MQ
NP
k
CD
CD
k
.
因为AB
CD
a
，所以
1
a
MN
PQ
k
，
1
ak
MQ
NP
k
，
所以四边形MNPQ的周长为
2
2
1
1
a
ak
MN
PQ
MQ
NP
a
k
k
.故选：A.
2.在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________.
【答案】平面
1
1
AC D
平面
1
1
AC B
【分析】
根据题意，结合图形，得出与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是平面
1
1
AC D，平面
1
1
AC B ．
【详解】
解：在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是平面
1
1
AC D，平面
1
1
AC B ．
1
1
/ /
AA
CC
，
1
1
AA
CC
，四边形
1
1
ACC A 是平行四边形；
1
1
/ /
AC
AC
，又AC 平面
1
1
AC D，
1
1
AC 平面
1
1
AC D，
/ /
AC
平面
1
1
AC D；
同理
/ /
AC
平面
1
1
AC B ．故答案为：平面
1
1
AC D，平面
1
1
AC B ．
3.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（
）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．4 条
【答案】C
【分析】
由平行四边形的性质有两对边平行且相等，再应用线面平行的判定可确定线面平行，由线面平行的性质、
判定即可知有几条棱与平面α平行.
【详解】
如下图示，若平面α即为面HEGF 为平行四边形，即
/ /
HE
FG 且HE
FG
，
/ /
EG
HF 且EG
HF
，
又HE 面ACD ，FG 面ACD ，则
/ /
FG
面ACD ，而FG 面ABD ，面ABD 面ACD
AD
，
∴
/ /
FG
AD ，由线面平行判定易知：
/ /
AD
平面α；同理可得
/ /
EG
BC ，易得
/ /
BC
平面α.
∴该三棱锥与平面α平行的棱有AD 、BC ，共2 条.故选：C
4.如图是一个以A1B1C1 为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC．已知AA1=4，BB1=2，
CC1=3.在边AB 上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1.
【答案】存在
【分析】
取AB 的中点O，连接OC，可证明
1
1
/ /
,
OD
CC OD
CC
，即四边形ODC1C 是平行四边形，所以OC∥C1D，
由线线平行证明线面平行，即得证
【详解】
存在，取AB 的中点O，连接OC，作OD∥AA1 交A1B1 于点D，连接C1D，则OD∥BB1∥CC1.
因为O 是AB 的中点，
所以OD= 1
2 (AA1+BB1)=3=CC1，则四边形ODC1C 是平行四边形，
所以OC∥C1D.又C1D⊂平面C1B1A1，且OC平面C1B1A1，所以OC∥平面A1B1C1.
即在边AB 上存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1.
题型四：垂直关系确定的截面
1.已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)
1
1
1
ABC
A B C
的体积为6 3 ，
2 3
AB
，D 是
1
1
B C 的中点，点P
是线段
1A D 上的动点，过BC 且与AP 垂直的截面与AP 交于点E ，则三棱锥P
BCE
的体积的最小值为
A．
3
2
B．3
2
C．2
D．5
2
【答案】A
【分析】
由正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的体积为6 3 ，
2 3
AB
，可求得
1
2
AA
，由于
2 3
P ABC
P BCE
A BCE
V
V
V
，
所以要使三棱锥P
BCE
的体积最小，则三棱锥E
ABC
的体积最大，设BC 的中点为F ，作出截面如图
所示，可得点E 在以AF 为直径的圆上，从而可求出点E 到底面ABC 距离的最大值，进而可求得三棱锥
P
BCE
的体积的最小值
【详解】
如图所示，
因为正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的体积为6 3 ，
2 3
AB
，所以
2
1
3
2 3
6 3
4
AA
，即
1
2
AA
，
因为
2
1
3
2
2 3
2 3
3
4
P ABC
P BCE
A BCE
V
V
V
，所以要使三棱锥P
BCE
的体积最小，则三棱锥
E
ABC
的体积最大，设BC 的中点为F ，作出截面如图所示，
因为AP
，所以AE
EF
，所以点E 在以AF 为直径的圆上，
所以点E 到底面ABC 距离的最大值为
3
1
3
2 3
2
2
2
，
所以三棱锥P
BCE
的体积的最小值为
2
1
3
3
3
2 3
2 3
3
2
4
2
.故选：A.
2.如图，ABCD
A B C D
为正方体，任作平面与对角线AC垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，
记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（
）
A．S 为定值，l 不为定值
B．S 不为定值，l 为定值
C．S 与l 均为定值
D．S 与l 均不为定值
【答案】B
【分析】
将正方体切去两个正三棱锥
'
A
A BD
与
'
'
'
C
D B C
后，得到一个以平行平面
'A BD 与
'
'
D B C 为上、下底面的
几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平
行，将V 的侧面沿棱
'
'
A B 剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形
'
'
1
1
A B B A ，考查
'E 的位置，确定
,
S l
【详解】
解：将正方体切去两个正三棱锥
'
A
A BD
与
'
'
'
C
D B C
后，得到一个以平行平面
'A BD 与
'
'
D B C 为上、下底
面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条
边平行，将V 的侧面沿棱
'
'
A B 剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形
'
'
1
1
A B B A ，如图所示
而多边形W 的周界展开后便成为一条与
'
1
A A 平行的线段（如图中
'
1
E E ），显然，
'
'
1
1
E E
A A
，所以l 为定值，
当
'E 位于
'
'
A B 中点时，多边形W 为正六边形，而当
'E 称到
'A 时，W 为正三角形，则当周长这定值l 的正
六边形与正三角形面积分别为
2
2
3
3
,
24
36
l
l ，所以S 不是定值，故选：B
3.(多选)正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，的棱长为4，已知
1
AC 平面α，
1
AC
，则关于α､β截此正方体所得截
面的判断正确的是（
）
A．α截得的截面形状可能为正三角形
B．
1
AA 与截面α所成角的余弦值为
6
3
C．α截得的截面形状可能为正六边形
D．β截得的截面形状可能为正方形
【答案】ABC
【分析】
首先根据已知条件确定截面,
，然后根据选项依次判断正误即可.
【详解】如图
因为正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
∴AC
BD
，
1
BD
CC
，又∵
1
AC
CC
C
∴BD 平面
1
1
ACC A
又∵
1
AC 平面
1
1
ACC A ∴
1
AC
BD
同理：
1
1
AC
A D
又∵
1A D
BD
D
∴
1
AC 平面
1A BD
∴平面可以是平面
1A BD ，又因为
1
1
A D
BD
A B
∴
1A BD
为等边三角形，故A 正确
取
1
1
1
1
1
1
,
,
,
,
,
A D D D CD CB BB A B 的中点
,
,
,
,
,
E G P K H F 并依次连接
易知
1
1
= 2
EG
A D
∥
，因为EG 平面
1A BD ，
1A D 平面
1A BD ∴
=
EG
∥平面
1A BD
同理：GP 平面
1A BD 又因为EG
GP
G
且EG 平面EGPKHF ，GP 平面EGPKHF
∴平面EGPKHF∥平面
1A BD ∴平面可以是平面EGPKHF ∵
=
EG GP
PK
KH
HF
FE
∴六边形EGPKHF 是正六边形，故C 正确以平面是平面
1A BD 为例计算：设A 到平面
1A BD 的距离为h
等体积法求距离∵
1
1
A A BD
A
ABD
V
V
，∴
1
1
1
1
3
3
A BD
ABD
h S
AA S
又因为
1
1
3
=
4 2
4 2
=8 3
2
2
A BD
S
，
1
=
4
4=8
2
ABD
S
∴
4 3
=
3
h
则
1
AA 与平面
1A BD 所成角的正弦值为
1
3
= 3
h
AA
∴余弦值等于
6
3
，故B 正确对于D 选项：由于直线
1
AC
，在正方体上任取点但异于
1
,
A C ，与
1
,
A C 可
构成平面，但是截面的形状都不是正方形，故D 错误故选：ABC
4.(多选)已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，M 为
1
AA 的中点，平面过点
1
D 且与CM 垂直，则（
）
A．CM
BD
B．
//
BD 平面
C．平面
1
//
C BD
平面
D．平面截正方体所得的截面面积为9
2
【答案】ABD
【分析】
分析出BD 面ACM ，可判断选项A；取AD 的中点E ，由平面几何知识可知，
1
DM
D E
，从而判断出CM
面
1
1
B D EF ，即平面截正方体所得的截面为梯形
1
1
B D EF ，从而可判断剩余的三个选项.
【详解】
连接AC ，则AC
BD
，又因为BD
AM
，AC
AM
A
,
所以BD 面ACM ，又因为CM 面ACM ，所以BD CM ，故选项A 正确；
取AD 的中点E ，AB 的中点F ，连接
1
D F ，EF ，
1B F ，DM ，
1
1
B D ,
在正方形
1
1
ADD A 中，由平面几何知识可知，
1
DM
D E
，
又因为
1
CD
D E
，CD
DM
D
，所以
1
D E 面CDM ，所以
1
D E
CM
,
又因为BD CM ，所以
1
1
B D
CM
，又因为
1
1
1
1
D E
B D
D
,
所以CM 面
1
1
B D EF ，即平面截正方体所得的截面为梯形
1
1
B D EF ，
所以显然
//
BD 平面，选项B 正确；平面
1
C BD 与平面不平行，选项C 错误；
在梯形
1
1
B D EF 中，
1
1
2 2
B D
，
2
EF
，
1
1
5
B F
D E
,所以梯形的高为3 3
2
，
所以梯形
1
1
B D EF 的面积为9
2 ，即平面截正方体所得的截面面积为9
2 ，故选项D 正确.
故选：ABD.
题型五：截面周长问题
1.正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F 分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F 作一截
面，则截面的周长为（
）
A．2+2
5
B．
2
2 5
13
3
C．2 5
13
D．
13
2 5
2
【答案】B
【解析】如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，延长AF 与CC1的延长线交于M，
连接EM 交B1C1于P，连接FP，则四边形AEPF 为所求截面.
过E 作EN 平行于BC 交CC1于N，则N 为线段CC1的中点，
由
1
MFC
相似于
MAC
△
可得MC1=2，
由
1
MPC
△
相似于MEN
可得：
1
1
1
2
4
2
,
2
3
3
3
PC
PC
B P
，
在
1
Rt AA F
中，
1
1
2,
1
AA
A F
，则
2
2
2
1
5
AF
，
在Rt ABE
中，
2,
1
AB
BE
，则
2
2
2
1
5
AE
，
在
1
Rt B EP
中，
1
1
2
1,
3
B E
B P
，则
2
2
2
13
1
3
3
PE
，
在
1
C FP
中，
1
1
1
4
1,
,
60
3
C F
C P
FC P
，
由余弦定理：
2
2
2
4
4
13
1
2 1
cos60
3
3
9
PF
，则
13
3
PF
，
所以截面周长为：
13
13
2 13
5
5
2 5
3
3
3
.故选：B.
2.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为2，E 是侧棱
1
AA 的中点，则平面
1
B CE 截正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
所得的截面图形的周长是________.
【答案】3 2
2 5
【解析】F 为AD 中点，连接
1
,
,
EF FC A D ，
正方体中，
1
1//
A B
DC ，
1
1=
A B
DC ，
则四边形
1
1
A B CD 为平行四边形，
有
1
1
//
A D B C ，
1
1
A D
B C
，
F 为AD 中点，E 是
1
AA 的中点，则
1
//
EF A D ，得
1
//
EF B C ，
则平面
1
B CE 截正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
所得的截面图形为梯形
1B CFE ，
其中
1
4
4
2 2
B C
，
1 1
2
EF
，
1
4 1
5
C
E
F
B
，
则梯形
1B CFE 的周长为3 2
2 5,
即所得的截面图形的周长是3 2
2 5
故答案为：3 2
2 5,
3.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
4
AB
，E 为棱BC 的中点，F 为棱
1
1
A D 的四等分点（靠近点
1
D ），
过点
,
,
A E F 作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
【答案】9 5
25
2 13
3
【分析】
首先根据面面平行的性质定理作出过点
,
,
A E F 的正方体的截面，从而求截面的周长.
【详解】
如图，取
1
1
C D 的中点H ，取
1
CC 上靠近点
1
C 的三等分点G ，
连接
,
,
,
,
AE EG GH HF FA，易证
/ /
,
/ /
AE
HF AF
EG ，则五边形AEGHF 为所求截面.
因为
4
AB
，所以
1
1
1
1
8
2,
3,
1,
3
BE
CE
C H
D H
A F
D F
CG
，
1
4
3
C G
则
10
2 5,
3
AE
EG
，
2 13 ,
5,
5,
3
GH
HF
AF
故该截面的周长是
9 5
25
2 13
3
AE
EG
GH
HF
AF
.
故答案为：9 5
25
2 13
3
.
4.如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，中，点E 为CD 的中点，则过点C 且与
1B E 垂直的平面
被正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
截得的截面周长为_________．
【解析】如图，取AD 中点F ，
1
DD 中点G ，连接
1
,
,
,
,
CF FG CG BE B E ，设BE 与CF 交于点O，因为
1B E 在
平面ABCD内的射影为BE ，
由
,
,
90
CD
BE DF
CE
BCE
FDC
可得BCE
CFD
，
所以
,
BEC
DFC
EBC
FCD
，
又因为
90 ,
90
ABE
EBC
EBC
BEC
，
所以
ABE
BEC
DFC
，
在四边形AFBO 中，
360
A
ABE
BOF
CFA
，
其中
180
90
ABE
AFC
DFC
AFC
A
，
所以
90
BDF
，即BE
CF
，
所以CF 是截面内的一条线，
同理
,
CG GF 是截面内的一条线，
所以过点C 且与
1B E 垂直的平面被正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
截得的截面为CFG ，
因为正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，
所以
4
1
5,
4
1
5,
1 1
2,
CF
CG
FG
截面CFG 的周长为
5
5
2
2 5
2
CF
CG
FG
，
故答案为：2 5
2
5.在棱长为1的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E ，F 分别为棱AB ，
1
1
C D 的中点，G 为棱
1
CC 靠近C 点的三
等分点，用过点E ，F ，G 的平面截正方体，则截面图形的周长为
A．13
2 2
3
B．10
2 2
3
C．13
2 2
6
D．14
3
【解析】连接FG 并延长交DC 延长线于点H，连接EH 交BC 于点M,连接GM，取
1
1
A D 靠近点
1A 的三
等分点N，连接FN 并延长交
1
1
B A 的延长线于点Q,连接QE 交
1A A 于点P,连接NP，则六边形EMGFNP
即为过点E ，F ，G 的截面，
G
由
为棱
1
CC 靠近C 点的三等分点，可得
1
1
2
CH
FC
,即CH= 1
4 ,由
1
2
CH
BE
，知
点M 为靠近点C 的三等分点，即CM= 1
3 ，由勾股定理得GM=
2
3
=NP,
FG=PE=
4
1
9
4
= 5
6 ,同理得EM=FN= 5
6 ，则截面图形的周长为2 2
5
10
2 2
4
3
6
3
，
故选B.
6.（多选）在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，M 为底面ABCD 的中心，
1
1
1
D Q
D A
，
0,1
，
N 为线段AQ 的中点，则下列命题中正确的是（
）
A．CN 与QM 共面
B．三棱锥A
DMN
的体积跟的取值有关
C．当
1
3
时，过A，Q，M 三点的平面截正方体所得截面的周长为4 2
2 13
3
D．
1
4
时，AM
QM
【解析】连接
,
,
,
,
AC AQ QM CN MN ,在AQC
中，
/ /
MN
QC ,所以CN 与QM 共面，故A 对.
1
1
1
1
3
2
24
A DMN
N
DMA
DMA
V
V
S
AA
, 三棱锥A
DMN
的体积跟的取值无关，故B 错.
当
1
3
时，过A，Q，M 三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形，
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
13
2,
,
1
3
3
3
3
3
AC
QE
AC
CE
AQ
CC
C D
所以截面的周长为
4 2
2 13
3
AC
CE
EQ
QA
,故C 对.
当
1
4
时，
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
33
3
5
2
,
4
4
4
4
CQ
CD
QD
AQ
AA
A D
,
AQ
CQ M
是中点，
所以
,
AM QM 不垂直，故D 错误.
故选：AC
题型六：截面面积问题
1.正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，E 是棱
1
DD 的中点，则平面
1
AC E 截该正方体所得的截面面积为
（
）
A．5
B．2 5
C．4 6
D．2 6
【答案】D
【分析】
作出示意图，设F 为
1
BB 的中点，连接
1
,
,
AF FC EF ，易得平面
1
AC E 截该正方体所得的截面为
1
AFC E ，再
计算其面积.
【详解】
如图所示，设F 为
1
BB 的中点，连接
1
,
AF FC ，设G 为
1
CC 的中点，连接
,
EG GB ，
由
//
EG AB 且EG
AB
，得ABGE 是平行四边形，则
//
AE
BG且AE
BG
，
又
1
//
BG C F 且
1
BG
C F
，得
1
//
AE C F 且
1
AE
C F
，则
1
,
,
,
A E C F 共面，
故平面
1
AC E 截该正方体所得的截面为
1
AFC E .
又正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，
1
1
AF
FC
EC
EA
，
1
2 3
AC
，
2 2
EF
，
1
EF
AC
，
故
1
AFC E 的面积为
1
2 2
2 3
2 6
2
S
.故选：D.
2.在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 是棱
1
1
B C 的中点，则过B、E、
1
D 三点的平面截正方体所得
的截面图形的面积为（
）
A．5
B．
6
C．2 6
D．4 6
【解析】设平面
1
BED 交棱AD 于F，
由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得
1 / /
ED
BF ，
1
/ /
D F
BE ，
由勾股定理可得四边形
1
D FBE 所有边长的长度为5 ，
所以
1
D FBE 是菱形，且F 为AD 的中点，
取
1
1
A D 的中点M ，连接
,
FM ME ，则
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2 3
D B
DD
BD
DD
AB
AB
，
2
2
2
2
2
2
2 2
EF
FM
ME
故
1
1
2 3
2 2
2 6
2
2
D FBE
D B FE
S
．
故选：C．
3.已知正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
2
4
BE
BB
，
1
4
3
AB
AA
，则该四棱柱被过点
1A ，C，E 的平面截
得的截面面积为______.
【答案】12 19
【分析】在
1
DD 上取点F ，使得
1
2
D F
，连接
1 ,
A F CF ，则四边形
1A ECF 是平行四边形，
由勾股定理可得
1
1
,
,
A E CE AC ，再结合余弦定理与面积公式即可求解
【详解】由题意，正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
2
4
BE
BB
，
1
4
3
AB
AA
，
可得
1
1
1
8,
2
AA
BB
CC
BE
，在
1
DD 上取点F ，使得
1
2
D F
，连接
1 ,
A F CF ，则有
1
1
,
/ /
A F
CE A F
CE
，
所以四边形
1A ECF 是平行四边形，由勾股定理可得
2
2
2
2
2
2
2
1
1
6
6
6 2,
2
6
2 10,
6
6
8
2 34
A E
CE
AC
，
所以
2
2
2
1
1
1
1
72
40 136
5
cos
2
10
2 6 2
2 10
A E
CE
AC
A EC
A E CE
,所以
1
95
sin
10
A EC
，所以四边形
1A ECF 是
平行四边形的面积为
1
1
95
sin
6 2
2 10
12 19
10
A E
EC
A EC
，故答案为：12 19
4.在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，棱长为3，E 为棱
1
BB 上靠近
1
B 的三等分点，则平面
1
AED 截正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的截面面积为（
）
A．2 11
B．4 11
C．2 22
D．4 22
【解析】延长
1
1
,
AE A B 交于点F ，连接
1
D F 交
1
1
B C 于点G ，如图，
在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，面
1
1//
ADD A
面
1
1
BCC B ，
面
1
AFD 面
1
1
1
ADD A
AD
，面
1
AFD 面
1
1
BCC B
EG
1//
AD
GE
，又
1
3 2,
2
AD
GE
四边形
1
AEGD 是梯形，且为平面
1
AED 截正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的截面.
又
1
13
D G
AE
，在等腰梯形
1
AEGD 中，过G 作
1
GH
AD
，
2
2
1
1
11
GH
D G
D H
1
1
1
2
3 2
11
2 22
2
2
S
AD
EG
GH
.
故选：C.
5.已知正四棱锥S
ABCD
的底面边长为2，侧棱长为2 2 ，SC 的中点为E，过点E 做与SC 垂直的平面，
则平面截正四棱锥S
ABCD
所得的截面面积为（
）
A．4 3
3
B．4 6
3
C．4 2
3
D．8
3
【答案】A
【解析】连接
,
AC AE ，
由题意可得：
2 2
SA
SC
AC
，即SAC
为等边三角形，
且E 为SC 的中点，可得
,
6
AE
SC AE
，故AE 平面，
连接BD，设BD
AC
O
，连接SO ，可得
,
AC
BD SO
平面ABCD，
且BD 平面ABCD，则BD
SO
，
AC
SO
O
，
,
AC SO 平面SAC ，所以BD 平面SAC ，
AE 平面SAC ，则BD
AE
，
在直线SB 取一点M ，连接
,
AM ME ，使得ME
SC
，
在
SBC
△
中，
2
2
2
8
8
4
3
cos
2
4
2
2 2
2 2
SB
SC
BC
BSC
SB SC
，
因为ME
SC
，可得
2
4 2
3
cos
3
4
SE
SM
BSC
，故
2
SM
MB
，
同理在棱SC 取一点N ，使得
2
SN
NC
，
连接
,
,
NE AN MN ，则NE
SC
，
故平面截正四棱锥S
ABCD
所得的截面面为四边形AMEN ，
因为
2
SM
SN
MB
NC
，则MN //
2
4 2
,
3
3
BD MN
BD
，
由BD
AE
，可得MN
AE
，
所以四边形AMEN 的面积1
1
4 2
4 3
6
2
2
3
3
AE MN
.故选：A.
6.已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
，底面边长是2，高是1，过底面一边AB 作与底面ABC 成60角的截面，则
其面积是___________.
【答案】10 3
9
【解析】首先，取AB 中点G ，连接
1
C A，
1
C G ，
1
C B ，
所以CG
AB
，
1
C C AB ，
1
C C
CG
G ，
1 、
C C
CG
平面
1
C CG ，
所以AB 平面
1
C CG ，
1
C G 平面
1
C CG ，所以
1
AB
C G ，
则
1
C GC
为平面
1
C AB 与底面ABC 所成角，
由
2
2
3
CG
AC
AG
，
1
1
C C ，
所以
1
1
3
tan
3
3
C GC
，所以
1
π
6
C GC
，
所以截面为四边形，
如图，设分别与
1
1
1
1
、
AC
B C 的交点为E
D
、
，则截面为ABDE，
连接DE ，设
、
PG
DE 交于F ，
设截面ABDE 与侧棱
1
CC 延长线交于点P ，
连接
1
C F ，易知
PGC
即为截面与底面所成角，
即
60
PGC
，
1
60
PFC
，
在Rt PGC
中，tan
3
PC
PGC
CG
得
3
PC ，∴
1
2
PC
，
由
1
1
PC
PC
C D
CB
，得
1
4
3
C D
，∴
1
2
3
4
4 3
4
3
9
C DE
S
，
1
1
1
1
1
2
1
2
2
C DE
PDE
DE C F
S
C F
S
PF
DE
PF
，所以
8 3
9
PDE
S
，
又
2
3
2
3
4
ABC
S
，
1
1
2
1
2
2
CAB
PAB
AB
CG
S
CG
S
PG
AB
PG
，所以
2 3
PAB
S
△
，
所以
8 3
10 3
2 3
9
9
截面
四边形
PAB
PDE
ABDE
S
S
S
S
.
故答案为：10 3
9
.
7.在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1 的正方形，PA⊥底面ABCD，
3
PA
.过点A 作与棱PC 垂
直的平面α，则四棱锥P﹣ABCD 截平面α所得截面的面积为___________.
【答案】3 15
20
【解析】作AM⊥PC，垂足为M，作MH⊥PC，交PD 于H ，
又AM
HM
M
，所以PC 平面AMH ，
设平面AMH 与PB 交于F ，则MF⊥PC，
所以平面AFMH 即为平面α，
底面ABCD 是边长为1 的正方形，
所以
2
AC
，PA⊥底面ABCD，
3
PA
，
所以
2
2
( 2)
( 3)
5
PC
，
由等面积法可得
1
1
2
3
5
2
2
PAC
S
AM
，解得
6
5
AM
，
由对称性可得到FH / / BD，
在△PAC 中，PM
PA
PA
PC
，所以
2
3
5
PA
PM
PC
，
又
5
3 1
2
PC
PD
，
，CD=1，
所以PC
2=PD
2+DC
2，故∠PDC=90°，
在△PDC 中，PH
PM
PC
PD
，
所以
3
5
3
2
2
5
PM PC
PH
PD
，所以
3
1
3
2
2
4
PH
PD
，
在△PBD 中，
3
4
FH
BD
，所以
3
3 2
4
4
FH
BD
，
所以棱锥P﹣ABCD 截平面α所得截面的面积为
1
1
6
3 2
3 15
2
2
4
20
5
MAFH
S
AM FH
.
故答案为：3 15
20
题型七：球截面问题
1.三棱锥A-BCD 的四个顶点都在表面积为16的球O 上，点A 在平面BCD 的射影是线段BC 的中点，
2 3
AB
BC
，则平面BCD 被球O 截得的截面面积为（
）
A．2 3
B．3
C．4
D．3 3
【解析】∵球O 的表面积为16，
∴球O 的半径为2，
∵点A 在平面BCD 的射影是线段BC 的中点，
∴AB
AC
，平面ABC 平面BCD，
∵
2 3
AB
BC
，
∴ABC
为边长为2 3 的等边三角形，
设ABC
的外接圆的半径为r ，
2 3
2
sin 60
r
，
2
r
，
∴ABC
的外接圆的圆心就是球心O，
∴BC 为
BCD
△
的外接圆的直径，
∴平面BCD 被球O 截得的截面面积为
2
3
3
.
故选：B.
2.（多选）已知正四面体ABCD的棱长为2 6 ．点E，F 满足
,
BC
BE BD
BF
，用过A，E，F 三点的
平面截正四面体ABCD的外接球O，当
[1,3]
时，截面的面积可能为（
）
A．6π
B．7π
C．8π
D．9π
【解析】如图1,
在棱BC 上取点R，在棱BD 上取点S，使得
3
,
3
BC
BR BD
BS
，取CD 的中点G，连接AR，AS，RS，
BG，AG，记RS∩BG=M，连接AM. 过点A 作AH 平面BCD，垂足为H，则H 为△BCD 的中心，正四
面体ABCD 外接球的球心O在AH 上，AO 为球O的半径.
由题中数据可得
3
3
3 2,
4
AM
AG
HG
HM
AH
.
设球O的半径为R，则
2
2
2
2
(
)
R
AH
OH
BH
OH
，解得
3,
1
R
OH
.
当
[1,3]
时，截面AEF 从平面ARS 转动到平面ACD，要求截面的面积只需考虑球心O到截面的距离的
取值范围即可.
由题意可知CD//RS 且CD 平面ABG，如图2，
过点O作ON
AM
，垂足为N，则ON 平面ARS.
因为
H
AON
AM
△
△
，所以
1
AO MH
ON
AM
，即球心O到截面的距离
[0,1]
d
，
则截面圆的半径
2
2
2
[8,9]
r
R
d
，故所求截面的面积
8π,9π
S
.
故选：CD
3.已知球O 是正三棱锥A
BCD
（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，
6
BC
，
4 3
AB
，点E 在线段BD 上，且
3
BD
BE
.过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（
）
A．3
B．4
C．8
D．9
【解析】如图，
1
O 是A 在底面的射影，由正弦定理得，
BCD
△
的外接圆半径1
6
1
2 3
sin60
2
r
，
由勾股定理得棱锥的高
2
2
1
(4 3)
(2 3)
6
AO
，
设球O 的半径为R，则
2
2
2
(6
)
(2 3)
R
R
，解得
4
R
，所以
1
2
OO
，
在
1
BO E
中，由余弦定理得
2
1
3
4
12
2
2
2 3
4
2
O E
，所以
1
2
O E
，所以在
1
OEO
中，
2 2
OE
，
当截面垂直于OE 时，截面面积最小，此时半径为
2
2
2 2
R
OE
，截面面积为8.
故选：C.
4.已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的各棱长均为2，D 为棱AB 的中点，则过点D 的平面截该三棱柱外接球所得
截面面积的取值范围为___________.
【解析】正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的外接球的球心O 为上下底面的外接圆圆心的连线
1
2
O O 的中点，连接
2
AO , AO
OD
，
，设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，
2
2 3
3
r
AO
，则
2
2
7
1
3
R
r
，
（1）当过点D 的平面过球心时，截得的截面圆最大，截面圆的半径即为球的半径，所以截面圆的面积最
大为
2
7
3
R
；
（2）当过点D 的平面垂直OD 时截面圆的面积最小，
2
2
2
7
4
1
3
3
OD
OA
AD
，
截面圆的半径为
2
2
7
4
1
3
3
R
OD
，所以截面圆的面积最小为
2
1
，
综上，截面面积的取值范围为
7
, 3
故答案为：
7
, 3
5.在正四棱锥P
ABCD
中，
4,
2 6
AB
PA
，则平面PAB 截四棱锥P
ABCD
外接球的截面面积是
__________.
【解析】如图，作PO平面ABCD，垂足为O，则O是正方形ABCD外接圆的圆心，从而正四棱锥
P
ABCD
外接球的球心O在PO上，
取棱AB 的中点E ，连接
,
,
,
O D O E OD PE
，作OH
PE
，垂足为H .
由题中数据可得
2 2,
2,
2 5,
4
O D
O E
PE
O P
，
设四棱锥P
ABCD
外接球的半径为R ，
则
2
2
2
2
2
R
O D
O O
OP
O P
O O
，
即
2
2
2
8
4
R
O O
O O
，
解得
3
R
.
由题意易证OPH
EPO
∽
，
则PH
OP
O P
PE
，
故
6 5
5
PH
.
故所求截面圆的面积是
2
36π
π
5
PH
.
故答案为：36π
5
题型八：截面分体积
1.已知正四棱柱中
1
1
AC 、
1
1
B D 的交点为
1
O ，AC、BD 的交点为
2
O ，连接
1
2
O O ，点O 为
1
2
O O 的中点.过点O 且
与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1 和10 ，则正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的体积为______________.
【答案】3
【分析】
当截面平行于平面ABCD 时，截面面积最小；当截面为平面
1
1
A B CD 时，截面面积最大，根据题设条件列
出方程，然后求出正四棱柱的底面边长和高，即可求出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 的体积．
【详解】
设正四棱柱的底面边长为a，高为h，由题知当截面平行于平面ABCD 时，截面面积最小；当截面为平面
1
1
A B CD 时，截面面积最大，
因为过点O 且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1 和10 ，
所以
2
2
2
1
10
a
a a
h
，解得
1
3
a
h
，于是正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的体积为
2
3
a h
.
故答案为：3.
2.正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E，F 分别是棱
1
1
B C ，
1
1
C D 的中点，则正方体被截面BEFD 分成两部分的体积
之比为___________.
【答案】17：7 或7：17
【分析】
如图，正方体被截面BEFD 所截的一部分为棱台，求出棱台的体积，然后用正方体的体积减去棱台的体积
可得另一部分的体积，从而可求得结果
【详解】
设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为E，F 分别是棱
1
1
B C ，
1
1
C D 的中点，
所以棱台
1
EFC
BDC
的体积为1
1
1
1
1
7
2 (
2 2
1 1
2 2
1 1)
3
2
2
2
2
3
，
所以另一部分的体积为
7
17
8
3
3
，所以正方体被截面BEFD
分成两部分的体积之
比为17：7 或7：17，故答案为：17：7 或7：17
3.如图所示，在长方体ABCD
A B C D
中，用截面截下一个棱锥C
A DD
则棱锥C
A DD
的体积与剩
余部分的体积之比为（
）
A．1：5
B．1：4
C．1：3
D．1：2
【答案】A
【分析】
由长方体的性质，结合三棱锥的体积公式、长方体的体积公式求C
A DD
及剩余部分的体积，进而求其
比例即可.
【详解】由图知：
1
3
C
A DD
A DD
V
C D S
，
ABCD A B C D
A D DA
V
C D S
，而
2
A D DA
A DD
S
S
，
∴剩余部分的体积为
5
3
ABCD A B C D
C
A DD
A DD
V
V
C D S
，
∴棱锥C
A DD
的体积与剩余部分的体积之比为1：5.
故选：A
4.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AA 底面ABC，
1
AB
BC
CA
AA
，点D 是棱
1
AA 上的点，
1
1
4
AD
AA
，
若截面
1
BDC 分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（
）
A．1:2
B．4:5
C．4:9
D．5:7
【答案】D
【解析】不妨令
1
4
AB
BC
CA
AA
，且上下底面等边三角形，
又
1
AA 底面ABC，易知
1
1
1
ABC
A B C
-
为直三棱柱，即侧面为矩形，
所以三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
体积
2
1
1
3
4
4
16 3
2
2
ABC
V
AA S
，
而
1
1,
4
AD
CC
，故
1
1
1
(
)
10
2
ACC D
S
AC
AD
CC
，
所以
1
1
20 3
2 3 10
3
3
B ACC D
V
，故
1
1 1
1
28 3
3
C
A B BD
B ACC D
V
V
V
，
所以
1
1
1 1
5
7
B ACC D
C
A B BD
V
V
.故选：D
5.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的一个截面经过顶点
,
A C 及棱
1
1
A B 上一点K ，截面将正方体分成体积比为
2:1的两部分，则
1
1
A K
KB 的值为（
）
A．2
3
B．
5
1
2
C．
5
1
2
D．3
5
2
-
【解析】设正方体棱长为1，
1
KB
x
，
如图所示，该截面把正方体分为几何体
1
ABC
KB M
和另一几何体，
由面面平行的性质可知：KM //AC ，
延长
,
AK CM ，相交于点O，则O 平面
1
1
ABB A ，且O 平面
1
1
BCC B ，
又平面
1
1
ABB A 平面
1
1
BCC B
1
BB
，
所以O在直线
1
BB 上，即
1
,
,
AK CM BB 三线共点，
所以几何体
1
ABC
KB M
为三棱台，
其中三棱台
1
ABC
KB M
上底面积是
2
1
2 x ，下底面积为1
2 ，高等于1，
所以
2
2
1 1
1
1
1
1
1
3 2
2
2
2
3
V
x
x
，解得：
5
1
2
x
，
所以
1
1
1
5
1
3
5
3
5
2
5
1
1
,
2
2
2
2
5
1
A K
A K
KB
.
故选：C
6.如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 是棱
1
CC 的中点，过
1
,
,
A D E 三点的截面把正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
分成两部分，则这两部分中大的体积与小的体积的比值为（
）
A．17
7
B．13
7
C．7
3
D．7
4
【答案】A
【解析】连接
1
BC ，设平面
1
AD E 与平面
1
1
BCC B 交于EF ，
因为平面
1
1
BCC B 平面
1
1
ADD A ，平面
1
AD E 与平面
1
1
ADD A 交于
1
AD ，
则
1
EF
AD
∥
，又
1
1
AD
BC
∥
，
则
1
EF
BC
∥
，又E 是棱
1
CC 的中点，则F 是BC 的中点.
1
1
2
1
1
1
1 1
,
2
2
2
2
2
2
CEF
ADD
S
S
S
S
，
2
h
CD
,
1
1
2
1
2
1
1
1
7
2 1
2
3
3
2
3
CEF
ADD
V
S
S
S S
h
，
1
7
17
8
3
3
CEF
ADD
V
V
V
正方体
剩余
，故17
7
17
3
3
7
.故选：A.
7.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E，F 分别为棱BC，
1
CC 的中点，过点A，E，F 作一截面，该截面
将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（
）
A．2
B．15
7
C．17
7
D．19
7
【答案】C
【解析】如图，连接
1
AD ，
1
1
,
D F BC ，
∵E，F 分别为棱BC，
1
CC 的中点，则EF
1
BC ，
又∵AB
1
1
C D ，且
1
1
AB
C D
，则
1
1
ABC D 为平行四边形，
∴
1
AD
1
BC ，可得
1
EF
AD
∥
，
故则过点A，E，F 的截面即为截面
1
AEFD ，
截面将正方体分成上、下两部分，
其中下部分
1
ADD
ECF
为三棱台，且三棱台
1
ADD
ECF
的高为DC ．
设正方体的棱长为2，则
1
1
1
1
2
2
2,
1 1
2
2
2
△
△
ADD
ECF
S
S
，
可得正方体的体积
1 1
1
1
2
2
2
8
ABCD A B C D
V
，
三棱台
1
ADD
ECF
的体积
1
1
1
1
7
2
2
2
3
2
2
3
ADD
ECF
V
，
故分成的上、下两部分几何体的体积比为
7
8
17
3
7
7
3
．故选：C．
8.矩形ABCD 中，
3,
1
AB
AD
（如图1），将
DAC
△
沿AC 折到
1
D AC
的位置，点
1
D 在平面ABC 上的射
影E 在AB 边上，连结
1
D B （如图2）.
（1）证明：
1
AD
BC
；
（2）过
1
D E 的平面与BC 平行，作出该平面截三棱锥
1
D
ABC
所得截面（不要求写作法）.记截面分三棱
锥所得两部分的体积分别为
1
2
1
2
,
,
V V V
V
，求
1
2
V
V .
【答案】（1）证明见解析；（2）1
8 .
【解析】（1）因为
1
D E 平面ABC ，BC 平面ABC ，
所以
1
D E
BC
，且由翻折关系可知BC
AB
，
且
1
D E
AB
E
,
1 ,
D E AB 平面
1
D AB ，
所以BC 平面
1
D AB ，
又因为
1
AD 平面
1
D AB ，所以
1
AD
BC
.
（2）由（1）可知，BC 平面
1
D AB ，
又因为
1
BD 平面
1
D AB ，所以
1
BD
BC
.
且
1
1,
3
BC
AD
D C
DC
AB
，
所以
1
3 1
2
D B
,
且
1
1,
3
D A
AB
,所以
2
2
2
1
1
AB
D A
D B
,所以
1
1
D A
D B
，
所以
1
1
1
1
1
2
2
AB
D E
D A D B
,解得
1
1
1
6
3
D A D B
D E
AB
，
所以
2
2
1
1
3
3
AE
D A
D E
，所以
1
3
AE
AB
，
所以取AC 的三等分点为F ，且
1
3
AF
AC
，
连接
1
,
EF D F ，
则有BC
EF
∥
, BC 平面
1
D EF , EF 平面
1
D EF ,
所以BC 平面
1
D EF ,所以所作截面为平面
1
D EF ,
因为
,
AEF
ABC
△
△
的相似比为1:3 ，
所以
1
9
AEF
ABC
S
S
，所以
1
8
AEF
EFCB
S
S
△
，
所以
1
1
2
1
1
8
1
3
1
3
ABC
EF
AEF
EFC
CB
B
V
S
E
S
S
D
V
S
D E
△
△
.
题型九：曲线形截面
1.如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为
0
90
的平面所截，截面是一个椭圆，当
为30°时，这个椭圆的离心率为（
）
A．1
2
B．
3
2
C．1
3
D．
3
3
【答案】A
【分析】
根据几何关系用圆柱的地面半径表示椭圆的长轴和短轴，再计算椭圆的离心率即可.
【详解】
设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c 根据题意可知，
2
4 3
2
2 ,2
cos30
3
R
R
b
R
a
2
2
2
2
4
3
3
3
c
a
b
R
R
R
所以椭圆的离心率
1
2
c
e
a
，选项A 正确。故选：A.
2.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面
截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.
图②，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中
点，F 是线段EO 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的圆锥曲线的一部分，
则该曲线为____________，
,
M N 是该曲线上的两点且
//
MN
CD ，若MN 经过点F ，则MN __________.
【答案】抛物线
2
【分析】
根据圆锥曲线的定义直接判断即可，再根据抛物线通径的性质直接得出答案即可.
【详解】
由已知底面半径和高均为1，得
2
AP
，又E 为PB 中点，
1
2
2
2
OE
AP
，且
/ /
OE
AP ，
所以
/ /
AP
平面CDE ，根据圆锥曲线的定义可知截面与圆锥母线平行时，曲线为抛物线，
又F 为OE 中点，故
1
2
2
2
4
p
OE
，
2
2
p
，又OP 底面，故OP
CD
，
由CD
AB
，AB
AP
A
I
，故CD 平面PAB ，CD
OE
，
又
//
MN
CD ，故MN 为抛物线的通径，
2
2
MN
p
.
3.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆
锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点
1F ，
2
F .过椭圆上一点P 作圆锥的母线，分别与两个
球相切于点
,
M N .由球和圆的几何性质可知，
1
PN
PF
，
2
PM
PF
.已知两球半径分为别1和3 ，椭圆的离
心率为
2
2
，则两球的球心距离为_______________.
【答案】2 7
【分析】设两球的球心距离为d ，通过圆锥的轴截面进行分析，根据两球半径可求得
1
2
cos
DOO
；利用三
角形相似可求得
1
4
d
CO
，进而得到
1
2
cos
OCF
；利用椭圆离心率
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
cos
2
cos
2
O O
O CF
F F
e
AB
O O
DO O
可构造
方程求得结果.
【详解】
作出圆锥的轴截面如图所示，
圆锥面与两球
1
2
,
O O 相切于
,
B A两点，则
1
O B
AB
^
，
2
O A
AB
^
，
过
1
O 作
1
2
O D
O A
^
，垂足为D ，连接
1
2
O F ，
2
1
O F ，设
1
2
F F 与
1
OO 交于点C ，
设两球的球心距离为d ，
在
1
2
Rt O O D
中，
2
3 1
2
DO =
- =
，
2
1
4
O D
d
，
2
1
2
4
cos
d
DO O
d
；
1
2
2
1
FO C
F OC
，
2
1
2
1
1
2
CO
CO
O F
O F
，
2
1
CO
d
CO
，
1
1
3
1
d
CO
CO
，解得：
1
4
d
CO
，
2
2
2
1
16
1
4
d
CF
O C
，
2
2
1
2
1
16
cos
CF
d
O CF
O C
d
；
由已知条件
1
PN
PF
，
2
PM
PF
知：
1
2
2
PM
PN
PF
PF
a
，即轴截面中
2
AB
a
，
又
1
2
2
F F
c
，
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
16
cos
2
cos
2
4
d
O O
O CF
F F
d
e
AB
O O
DO O
d
d
，解得：
2 7
d
，
即两球的球心距离为2 7 .故答案为：2 7 .
4.如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过
研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个
大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任
取一点A，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，
于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲
线是以E，F 为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2 的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知
1
2
A A
是椭圆的长轴，
1
PA 垂直于桌面且与球相切，
1
5
PA
，则椭圆的离心率为__________．
【答案】2
3
【分析】
利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，
求出
c
a、，得出离心
率.
【详解】
O
切
1
2
A A 于
1F ,切
1A P 于E，
1
5
A P
，球半径为2，所以
3
EP
，
2
3
tan EPO
，
1
2
2
2
12
3
4
5
1
9
tan A PA
，
1
2
A PA
中，
1
5
A P
，
1
2
1
12
12
5
A A
A P
，故2
12
a
,
6
a
,根据椭圆在圆锥中截面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球O
与
1
2
A A
相切的切点
1F 为椭圆的一个焦点，且
1
1
2
A F
，
c
2
a
,c=4，椭圆的离心率为
2
3
c
e
a
.故答案为：2
3
题型十：截面最值
1.已知长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
2
BB
AB
BC
，点E 在线段
1
CC 上，
1
0
1
EC
CC
，平面过线
段
1
AA 的中点以及点
1,
B E ，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（
）
A．
0,1
B．1 1
,
4 2
C．1 2
,
2 3
D．1 ,1
2
【答案】D
【分析】
设线段
1
AA 的中点为M，平面与
1
DD 交于点G，连接GE，由已知得四边形
1
MGEB 是平行四边形，所以
1
//
MG EB ，随着点E 从C 向
1
C 移动，则点G 沿着
1
D D 向下运动，当点G 仍在线段
1
DD 上时，面截长方
体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
所得截面始终是平行四边形，临界状态为点E 为
1
CC 的中点，由此可得选项.
【详解】
解：设
1
1
2
BB
AB
BC
，则
1
2
BB
，设线段
1
AA 的中点为M，平面与
1
DD 交于点G，连接GE，
若平面截长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
所得截面为平行四边形，即四边形
1
MGEB 是平行四边形，所以
1
//
MG EB ，
随着点E 从C 向
1
C 移动，则点G 沿着
1
D D 向下运动，当点G 仍在线段
1
DD 上时，面截长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
所得截面始终是平行四边形，则点G 从
1
DD 的中点开始运动，此时点E 与
1
C 重合，直到
点G 运动到点D 为止，此时点E 为
1
CC 的中点，所以临界状态为点E 为
1
CC 的中点，此时
1
1
2
EC
CC
，所以
1 ,1
2
，
故选：D.
2.在如图所示的直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
4
AA
，AB
AC
，过点
1A 作平面分别交棱AB ，AC 于点D ，
E ，且AF
DE
，
1
60
AA F
°，则截面
1A DE
△
面积的最小值为（
）
A．16 3
B．32 3
C．36 3
D．48 3
【答案】B
【分析】设
,
AD
x AE
y
，由等面积法可知
2
2
1
1
1
48
x
y
，推导出DE 平面
1
FAA ，
1
DE
A F
，从而
1
2
2
1
1
4
2
A DE
S
DE
A F
x
y
△
，即可求解.
【详解】在
1
Rt
FAA
△
中，由
1
60
AA F
°，
1
4
AA
，可得
1
8
A F
，
4 3
AF
，
设
,
AD
x AE
y
，在Rt
ADE
△
中，AF
DE
，由等面积法可知
2
2
1
1
1
48
x
y
，
因为
1
AA
DE
，AF
DE
，
1
AA
AF
A
，
1
AA ，AF 平面
1
FAA ，所以DE 平面
1
FAA ，
又由
1A F 平面
1
FAA ，所以
1
DE
A F
，所以
1
2
2
1
1
4
2
A DE
S
DE
A F
x
y
△
，
因为
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
48
48 2
48
2
2
192
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
，
当且仅当
4 6
x
y
时，等号成立，所以
1
min
32 3
A DE
S
△
.故选：B.
3.如图所示，在长方
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
3,
4,
5
AB
AD
AA
，点E 是棱
1
CC 上的一个动点，若平面
1
BED
交棱
1
AA 于点F，则四棱锥
1
1
B
BED F
的体积为___________，截面四边形
1
BED F 的周长的最小值为
___________.
【答案】20
2 74
【分析】
根据锥体的体积计算，利用切割法可得四棱锥
1
1
B
BED F
的体积；将几何体展开，根据两点之间直线最短，
即可求出最短周长的截面，进而根据勾股定理即可求得结果.
【详解】
由题意可得
1
//
D F BE ，利用切割法可得
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
B
BED F
B
BED
B
BFD
D
BEB
D
BFB
V
V
V
V
V
1
1
1
1
1 1
1
3 2
2
BB BC AB
BB D A AB
1
1 5 4 3
5 4 3
20
3
2
；
将长方体展开，如图所示，
当点E 为
1
BD 与
1
CC 的交点、点F 为
1
BD 与
1
AA 的交点时，截面周长最小，此时截面的周长为
1
2BD ，
而在
1
BDD
中，
2
2
1
5
3
4
74
BD
，所以截面周长的最小值为2 74 .
故答案为：20；2 74 .
题型十一：截面类综合问题
1.正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2 ，设P 为BC 中点，Q 为线段
1
CC 上的动点，
(0
2)
CQ
t
t
，过点A ，
P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为.S 以下结论正确的有___________.(填上所有正确的说法的序号)
①S不可能是菱形；
②S可能是五边形；
③
1
t 时，S的面积为9
2 ；
④
3
2
t
时，S将棱
1
1
C D 截成长度比为2:1的两部分.
【解析】①当
2
t
时，Q 与
1
C 重合，取
1
1
A D 的中点F ，连接AF ，
根据正方体的性质可知
1
1
//
,
AF PC AF
PC
，且
1
1
PC
C F
AF
AP
，
所以截面
1
APC F 为菱形，
故①错误；
对于②④，当
3
2
t
CQ
时，
延长AP ，交DC 的延长线于O，连接OQ 并延长，交
1
1
C D 于R ，
设
1
4
3
A F
，连接
,
AF FR ，
由于
1
3
tan
tan
2
A FA
QPC
，结合正方体的性质可知
//
AF PQ ，
结合
, ,
,
,
A P O Q R 共面可知APQRF 为截面S，
如图所示，
点P 是BC 的中点，可得CO
CD
AB
，
1
1
1
3
C R
C Q
CO
CQ
，
S
与
1
1
C D 的交点R 满足
1
2
3
C R
，此时S是五边形，且S将棱
1
1
C D 截成长度比为2:1的两部分.
故②④正确；
对于③，当
1
t
CQ
时，根据正方体的性质可知
1
1
1
//
,
2
PQ AD PQ
AD
，且
1
AP
DQ
，
如图所示，S为等腰梯形，
可得
2
PQ
，
1
2 2
AD
，等腰梯形得高为
2
2
3
5
(
)
2
2
2
，
则S的面积为
1
3
9
2
2 2
2
2
2
2
.
故③正确.
故答案为：②③④
2.（多选）正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为1，E，F，G 分别为BC，CC1，BB1 的中点.则（
）
A．直线D1D 与直线AF 垂直
B．直线A1G 与平面AEF 平行
C．平面AEF 截正方体所得的截面面积为9
8
D．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等
【解析】对于A，若
1
D D
AF
，因为
1
D D
AE
且AE
AF
A
，所以
1
D D 平面AEF ，
所以
1
D D
EF
，所以
1
CC
EF
，此时不成立，所以线
1
D D 与直线AF 不垂直，故A 错误；
对于B，如图所示，取
1
1
B C 的中点Q ，连接
1AQ，GQ ，
由条件可知：GQ
EF
∥
，
1AQ
AE
∥
，且
1
GQ
AQ
Q
，EF
AE
E
，
又GQ 平面AEF ，EF 平面AEF ，
1AQ 平面AEF ，AE 平面AEF ，
∴GQ∥平面AEF ，
1AQ∥平面AEF ，又
1
GQ
AQ
Q
，
所以平面
1AGQ∥平面AEF ，又因为
1AG 平面
1AGQ ，所以
1AG∥平面AEF ，故B 正确；
对于C，因为E ，F 为BC ，
1
C C 的中点，所以
1
EF
AD
∥
，所以A ，E ，F ，
1
D 四点共面，所以截面即
为梯形
1
AEFD ，
由题得该等腰梯形的上底
2
2
EF
，下底
1
2
AD
，腰长为
5
2 ，所以梯形面积为9
8 ，故C 正确；
对于D，假设C 与G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，
连接CG 交EF 于H ，而H 不是CG 中点，则假设不成立，故D 错误.
故选：BC.
3.（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2（如图所示），点M 为线段
1
CC （含端点）上的动点，
由点A，
1
D ，M 确定的平面为，则下列说法正确的是（
）
A．平面截正方体的截面始终为四边形
B．点M 运动过程中，三棱锥
1
1
A
AD M
的体积为定值
C．平面截正方体的截面面积的最大值为4 2
D．三棱锥
1
1
A
AD M
的外接球表面积的取值范围为41π,12π
4
【解析】正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，点M 为线段
1
CC （含端点）上的动点，
对于A，当点M 与点C 重合时，平面只与正方体的共点D 的三个面有公共点，所得截面为三角形，A
不正确；
对于B，点M 到平面
1
1
ADD A 的距离为2，而
1
1
1
1
1
1
1
4
2
3
3
A
AD M
M
AA D
AA D
V
V
S
，B 正确；
对于C，当点M 与点C 重合时，截面为正三角形，其边长为
1
2 2
AD
，截面面积为
2
1
3
2 3
4 AD
，
当点M 与点C 不重合时，平面平面
1
1
BCC B
MN
，如图，
1
/ /
MN
AD ，
当点M 与点
1
C 重合时，截面是正方体的对角面
1
1
ABC D ，其面积为4 2 ，
令
(0
2)
MC
x
x
，截面是等腰梯形
1
AD MN ，则
2
MN
x
，
2
1
4
(2
)
AN
D M
x
，
等腰梯形
1
AD MN 的高
2
2
2
1
1
(
)
4
(2
)
2
2
AD
MN
h
AN
x
，
截面面积
2
2
2
2
2
2 2
1
1
4
(2
)
8(
2)
(
4)
2
2
2
x
S
x
x
x
，
令
2
2
2
4
( )
8(
2)
(
4)
32
48
f x
x
x
x
x
，显然
( )
f x 在(0,2) 上递增，48
( )
128
f x
，则2 3
4 2
S
，
所以截面面积
[2 3,4 2]
S
，最大值为4 2 ，C 正确；
对于D，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
(2,0,0)
A
，设点
(0,2, )
M
t ，0
2
t
，
三棱锥
1
1
A
AD M
的外接球截平面
1
1
AA D 所得截面小圆是
1
1
Rt
AA D
△
的外接圆，其圆心为
1
AD 中点
(1,0,1)
E
，
三棱锥
1
1
A
AD M
的外接球球心O 在过点E 垂直于平面
1
1
AA D 的直线l 上，设点
(1, ,1)
O
y
，
由|
| |
|
OM
OA
得：
2
2
2
1 (2
)
(
1)
2
y
t
y
，即
2
1
3
[(
1)
3]
[ ,1]
4
4
y
t
，有
2
41
(2
)
[
,3]
16
y
，
所以三棱锥
1
1
A
AD M
的外接球表面积
2
2
1
41
4 |
|
4 (2
)
[
,12 ]
4
S
OA
y
，D 正确.
故选：BCD
4.（多选）在正方体ABCD—
1
1
1
1
D
C
B
A
中，
1
2
AA
，点P 在线段
1
BC 上运动，点Q 在线段
1
AA 上运动，则
下列说法中正确的有(
)
A．当P 为
1
BC 中点时，三棱锥P-
1
ABB 的外接球半径为
2
B．线段PQ 长度的最小值为2
C．三棱锥
1
D -APC 的体积为定值
D．平面BPQ 截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形
【解析】对于A，当P 为
1
BC 中点时，
∵
1
1
BCC B 是正方形，∴
1
1
B P
BC
，
∵AB⊥平面
1
1
BCC B ，
1B P 平面
1
1
BCC B ，∴AB⊥
1B P ，
∵AB∩
1
BC =B，AB、
1
BC 平面ABP，∴
1
B P 平面ABP，
∵
1B P 平面AP
1
B ，∴平面AP
1
B ⊥平面ABP，
易知Rt△ABP 外接圆圆心为AP 中点，Rt△AP
1
B 外接圆圆心为
1
AB 中点，
则过Rt△ABP 外接圆圆心作平面ABP 的垂线，过Rt△AP
1
B 外接圆圆心作平面AP
1
B 的垂线，易知两垂
线交点为
1
AB 中点，则三棱锥P-
1
ABB 的外接球球心即为
1
AB 中点，外接球半径即为
1
2
2
AB
，故A 正确；
对于B，如图过P 作PG⊥BC 于G，过Q 作QE⊥PG 于E，
易知PQ≥QE=AG≥AB，故线段PQ 长度的最小值为AB=2，故B 正确；
对于C，
∵
1
BC ∥
1
AD ，
1
AD 平面
1
ACD ，
1
BC 平面
1
ACD ，∴
1
BC ∥平面
1
ACD ，
∵P∈
1
BC ，故P 到平面
1
ACD 的距离为定值，又
1
ACD
S
为定值，则
1
1
D
APC
P ACD
V
V
为定值，故C 正确；
对于D，易知，截面BPQ 与平面
1
1
BCC B 的交线始终为
1
BC ，连接
1
AD ，易知
1
BC ∥
1
AD ，过Q 作QF∥
1
AD
交
1
1
A D 于F，连接
1
FC 、QB，则
1
BQFC 即为截面，其最多为四边形：
当Q 与
1A 重合，P 与
1
C 重合，此时截面BPQ 为三角形：
平面BPQ 截该正方体所得截面不可能为五边形，故D 错误﹒
故选：ABC﹒
模块三：综合巩固
1.如图，已知底面为平行四边形的四棱锥P
ABCD
中，平面MNGH 与直线PB和直线AC 平行，点E 为PD
的中点，点F 在CD 上，且
:
1: 2
DF FC
.
（1）求证：四边形MNGH 是平行四边形；
（2）求作过EF 作四棱锥P
ABCD
的截面，使PB 与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定
义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）∵
/ /
PB
平面MNGH ，PB 平面PAB ，平面MNGH 平面
=
PAB MH ，∴
/ /
MH
PB
∵
/ /
PB
平面MNGH ，PB 平面PBC ，平面MNGH 平面
=
PBC NG ，
∴
/ /
NG
PB ∴
/ /
MH
NG ，
∵
/ /
AC
平面MNGH ，AC 平面ABCD，平面MNGH 平面
=
ABCD MN ，
∴
/ /
MN
AC
∵
/ /
AC
平面MNGH ，AC 平面PAC ，平面MNGH 平面
=
PAC HG ，
∴
/ /
HG
AC ，∴
/ /
MN
HG ，
∴四边形MNGH 是平行四边形.
（2）如图，延长FO ，与AB 交于点R ，过点P 作直线
/ /
PS
AB ,
则直线PS 为平面PAB 和平面PCD的交线，
延长FE ，交PS 于点S，连接SR ，与PA 交于点Q ，连接QE .
∵点E 为PD 的中点，点O为BD的中点，
∴EO 是
PBD
△
的一条中位线，∴
/ /
PB
EO，
又∵PB 平面EFRQ ，EO 平面EFRQ ，∴
/ /
PB
截面EFGH .
故平面EFRQ 即为所求截面.
2.如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E，F，G 分别为
1
1
A B ，
1
BB ，
1
1
C D 的中点.过BG 作该正
方体的截面，使得该截面与平面
1
C EF 平行，写出作法，并说明理由；
【答案】作法见解析，理由见解析；（2）8
9
【解析】取
1
C C 的中点H，连接
1A B ，
1AG ，BH，GH，
即截面
1
BAGH 为要求作的截面.
理由如下：
因为E，F 分别为
1
1
A B ，
1
BB 的中点，所以
1A B
EF
∥
，
又
1
A B
平面
1
C EF ，EF 平面
1
C EF ，所以
1A B∥平面
1
C EF .
在正方形
1
1
1
1
D
C
B
A
中，因为G 为
1
1
C D 的中点，
所以
1
1
A E
GC
∥
，且
1
1
A E
GC
，
所以四边形
1
1
A EC G 为平行四边形，所以
1
1
AG
EC
∥
，
由于
1AG 平面
1
C EF ，
1
EC 平面
1
C EF ，
所以
1AG∥平面
1
C EF .
又
1
1
1
A B
AG
A
，
1
1
,
A B AG 平面
1
BAG ，
所以平面
1
BAG∥平面
1
C EF .
连接
1
D C ，易证
1
//
GH D C ，
1
1
//
A B D C ，则
1
//
GH A B ，
所以
1A ，B，H，G 四点共面，从而截面
1
BAGH 为要求作的截面.
3.（多选）用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（
）
A．直角三角形
B．直角梯形
C．正五边形
D．正六边形
【答案】ABC
【分析】
根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答
案中的图形进行比照，即可判断选项．
【详解】
当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；
截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；
当截面为五边形时，不可能出现正五边形；
截面为六边形时，可能出现正六边形，
故选：ABC．
4.在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
M N 分别为
1
1
A D ，
1
1
A B 的中点，过直线BD 的平面//平
面AMN ，则平面截该正方体所得截面为（
）
A．三角形
B．五边形
C．平行四边形
D．等腰梯形
【答案】D
【解析】根据题意，取
1
1
B C 的中点E，
1
1
C D 的中点F，连接
1
1
,
,
,
EF BE DF B D ，
则
1
1
1
1
,
EF
B D B D
BD
∥
∥
，所以EF
BD
∥
，且
1
1
1
1
2
2
EF
B D
BD
,
故BDFE 在同一平面内，
连接ME ，因为
,
M E 分别为
1
1
1
1
,
A D B C 的中点，
所以
1
1
ME
A B
AB
∥
∥
，且ME
AB
，
所以四边形ABEM 是平行四边形，所以AM
BE
∥
，
又因为BE 平面BDFE ，AM 平面BDFE ，所以AM ∥平面BDFE ，
同理AN ∥平面BDFE ，
因为
,
,
AM
AN
A AM AN
平面AMN ，所以平面AMN ∥平面BDFE ，
即平面截该正方体所得截面为梯形BDFE ；
又由梯形BDFE 中，
1
5
1
4
2
BE
DF
，
即平面截该正方体所得截面为等腰梯形,故选：D
5.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，点P 在线段
1
CB 上，且
1
2
B P
PC
，平面经过点
1
, ,
A P C ，则
正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
被平面截得的截面为___________，其面积为___________.
【答案】四边形
1
AEC Q
2 6
【分析】
第一空，先画出
1
, ,
A P C 所在平面，由平面
1
1 / /
AA DD
平面
1
1
BB CC 得出
1
/ /
AQ
EC ，
1
/ /
AQ
EC ，
1
A
E
C
Q
，，
，
四点共面，即为所求截面；
第二空由已知条件可求出
1
1
5,
2 3
AE
EC
AC
，再求出
1
AEC
的面积，再乘以2 可得截面的面积.
【详解】如图所示：
1
, ,
A P C 确定一个平面，因为平面
1
1 / /
AA DD
平面
1
1
BB CC ，所以
1
/ /
AQ
EC ，同理
1
/ /
AQ
EC ，
所以四边形
1
AEC Q 是平行四边形.即正方体被平面截的截面.
因为
1
2
B P
PC
，所以
1
1
2
C B
CE
，即
1
EC
EB
所以
1
1
5,
2 3
AE
EC
AC
由余弦定理得：
2
2
2
1
1
1
1
1
cos
2
5
AE
EC
AC
AEC
AE
EC
，所以
1
2 6
sin
5
AEC
，所以
1
AEC Q
S四边形
1
1
1
2
sin
2 6
2 AE
EC
AEC
.故答案为：四边形
1
AEC Q 。2 6
6.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为1，点P 是线段
1
AD 上的动点，给出以下四个结论：
①
1
1
PC
B C
；
②三棱锥
1
1
B
PBC
体积为定值；
③当
1
1
2
AP
PD
时，过P，D，C 三点的平面与正方体表面形成的交线长度之和为3；
④若Q 是对角线
1
AC 上一点，则PQ＋QC 长度的最小值为4
3 ．
其中正确的序号是______．
【解析】由AB 平面
1
1
BCC B ，
1
B C 平面
1
1
BCC B ，得
1
AB
B C
，
又
1
1
B C
BC
．
1
AB
BC
B
I
，
1
,
AB BC 平面
1
1
ABC D ，
所以
1
B C 平面
1
1
ABC D ，
1
PC 平面
1
1
ABC D ，所以
1
1
B C
PC
，①正确；
正方体中，平面
1
1 / /
ADD A
平面
1
1
BCC B ，P 平面
1
1
ADD A ，因此P 到平面
1
1
BB C 的距离不变，
1
1
BB C
的面
积不变，所以三棱锥
1
1
P
BB C
的体积不变，即三棱锥
1
1
B
PBC
体积为定值，②正确；
由于正方体的对面平行，因此截面PDC 与正方体的表面的交线相互平行，
连结DP 延长交
1
AA 于M ，过M 在
//
//
MN
AB
CD 交
1
BB 于N ，连结NC ，
则
//
NC
DM ，四边形CDMN 是过P，D，C 三点的平面与正方体表面形成的交线，
正方体棱长为1，
1
CD
MN
，
5
2
CN
DM
，
因此四边形CDMN 周长为2
5
3
，③错误；
正方体中，易知
1
1
AD C
!
与
1
ACC
△
是两个全等的直角三角形，
1
1
1
1
C D
C C
，
1
3
AC
，
1
2
AC
AD
，
把这两个三角形沿
1
AC 摊平形成一个平面四边形
1
1
ACC D ，如下图，
当
1
CP
AD
，Q 是CP 与
1
AC 的交点时，PQ
QC
最小．
1
1
1
2
cos
cos
3
CAC
D AC
，
2
2
1
cos
2 (
)
1 3
3
CAP
，
2
1
2 2
sin
1 ( )
3
3
CAP
，
所以
2 2
4
sin
2
3
3
CP
AC
CAP
，④正确．
故答案为：①②④．
7.在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
2
AB
A B
，
1
2 3
AA
，M 为棱
1
1
B C 的中点，当正四棱台的体积最大
时，平面MBD 截该正四棱台的截面面积是__________.
【答案】10 3
【解析】设
1
1
4
2
AB
A B
x
，上底面和下底面的中心分别为
1
O ，O，
过
1A 作
1A H
AC
，该四棱台的高
1
OO h
，
在上下底面由勾股定理可知，
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2 ,
4
4
2 2
2
2
AO
x
x
x AO
x
x
x
.
在梯形
1
1
AO OA 中，
2
2
2
2
2
2
2
1
1
12
2 2
2
12
2
A A
AH
A H
x
x
h
h
x
，
所以该四棱台的体积为
2
2
2
2
2
1
28
16
16
4
4
3
3
V
x
x
x
x
h
x h
，
所以
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
784
784
784
12
2
12
2
9
9
9
3
x
x
x
V
x
x
h
x
x
x
，
当且仅当
2
2
12
2
x
x
，即
2
x
时取等号，此时
8
AB
，
1
1
4
A B
，
1
2
O O
h
.
取
1
1
C D ，BC 的中点N ，E ，连接NM ，ND ，显然有
1
1
//
//
MN D B
DB ，
由于MN 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以MN // 平面ABCD，
因此平面MBDN 就是截面.
显然
1
1
1
2 2,
8 2
2
MN
B D
BD
，
在直角梯形
1
O MEO 中，
2
2
1
4
4
2 2
ME
h
OE
O M
，
因此在等腰梯形
1
1
BC CB 中，
2
2
8
16
2 6
MB
ME
EB
，
同理在等腰梯形
1
1
D C CD 中，
2 6
DN
，
在等腰梯形MBDN 中，设
//
MF DN ，MG
BD
，
则
2 6,
8 2
2 2
6 2
MF
BF
，
2
2
1
2 6
6 2
6
2
MG
，
所以梯形MBDN 的面积为2 2
8 2
6
10 3
2
.
故答案为:10 3 .
8.如图，空间四边形ABCD的边AD ，BC 成60的角，且AD
a
，BC
b
，平行于AD 与BC 的截面分别
交AB ，AC ，CD ，BD于
,
,
,
E F G H ，则截面EHGF 面积的最大值为______.
【答案】
3
8 ab
【解析】∵BC ∥平面EHGF ，BC平面ABC ，平面ABC 平面EHGF
EF
，
∴BC
EF
∥
，同理BC
HG
∥
，∴EF
HG
∥
，同理EH
FG
∥
，
∴四边形EHGF 是平行四边形.
∵AD 与BC 所成的角为60，∴
60
HEF
（或120），
设
0
1
EF
AE
x
x
BC
AB
，∵BC
b
，∴EF
bx
，
由
1
1
EH
BE
x
AD
AB
，AD
a
，得
1
EH
x a
，
∴
2
3
3
3
1
3
sin
1
1
2
2
2
2
8
EHGF
x
x
S
EF EH
HEF
bx a
x
ab x
x
ab
ab
，
当且仅当
1
x
x
，即
1
2
x
时等号成立，
即E 为AB 的中点时，截面EHGF 的面积最大，为
3
8 ab .
故答案为：
3
8 ab .
9.已知三棱锥A
BCD
的所有棱长均相等，四个顶点在球O 的球面上，平面经过棱AB ，AC ，AD 的中
点，若平面截三棱锥A
BCD
和球O 所得的截面面积分别为
1S ，
2
S ，则
1
2
S
S （
）
A．3 3
8
B．3 3
16
C．3
8
D．
3
64
【答案】B
【分析】
根据平面截三棱锥A
BCD
所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解.
【详解】
设平面截三棱锥A
BCD
所得正三角边长为a，截面圆的半径为r，则
2
1
3
4
S
a
，
由正弦定理可得
2 3
sin 60
3
a
r
a
，
2
2
2
4
3
πa
S
πr
，
1
2
3 3
16
S
S
π
，故选：B
10.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为3 的球O 上，
当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球O 的截面面积是（
）
A．
B．4
C．8
D．9
【答案】C
【分析】
作出图形，可知四棱锥P
ABCD
为正四棱锥，由勾股定理可得出
2
2
3
2
9
h
a
，分析得出
3
h
，可
设
3
3cos
h
，2
3sin
a
，其中0
2
，可得出
2
18 1 cos
1 cos
P ABCD
V
，令
cos
0,1
x
，
2
1
1
f x
x
x
，利用导数求出
f x 取最大值时对应的x 的值，求出sin的值，可得出AE 的长，进
而可求得结果.
【详解】
如下图所示，可知四棱锥P
ABCD
为正四棱锥，设AC
BD
E
，则球心O 在直线PE 上，
设PE
h
，
2
AB
a
，则
2
AE
a
，由勾股定理可得
2
2
2
OA
OE
AE
，即
2
2
3
2
9
h
a
，
当四棱锥P
ABCD
的体积最大时，则点O 在线段PE 上，则
3
h
，
可设
3
3cos
h
，
2
3sin
a
，其中0
2
，
2
2
2
2
1
2
4
9sin
3 1
cos
18 1
cos
1
cos
18 1
cos
1
cos
3
3
P ABCD
V
a h
，
令
cos
0,1
x
，
2
1
1
f x
x
x
，则
2
2 1
1
1
3
1
1
f
x
x
x
x
x
x
.
当
1
0
3
x
时，
0
f
x
，此时函数
f x 单调递增，当1
1
3
x
时，
0
f
x
，此时函数
f x 单调递减，
所以，
max
1
3
f
x
f
，此时
1
cos
3
，
2
2 2
sin
1 cos
3
，则
3sin
2 2
AE
，
因此，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球O 的截面面积是
2
8
AE
.故选：C.
11.已知球O 是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3，AB= 2 3 ，
点E 在线段BD 上，且BD=3BE．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】
如图，O1 是A 在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，利用余弦定理求出O1E=1，
当截面垂直于OE 时，截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.
【详解】
解：如图，O1 是A 在底面的射影，由正弦定理得，△BCD 的外接圆半径1
0
3
1
3
sin 60
2
r
；
由勾股定理得棱锥的高AO1
2
2
(2 3)
3
3
；设球O 的半径为R，则
2
2
2
3
3
R
R
，解得
2
R
，所以OO1=1；在△BO1E 中，由余弦定理得
2
1
3
1 3
2 1
3
1,
2
O E
所以O1E=1；所以在△OEO1 中，OE=
2 ；
当截面垂直于OE 时，截面面积最小，此时半径为
2
2
2
R
OE
，截面面积为2.故选：A
12.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面ABC 是边长为2 的正三角形，
1
2
AA
，D 为AC 上的点，过
1A ，
1
B ，D 的截面交BC 于E
（1）证明：
/ /
DE
AB ；
（2）若二面角
1B
DE
B
的大小为60，求几何体
1
1
1
CDE
A B C
的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）26
3
27
【解析】（1）由题：
1
1 / /
A B
AB ，
因为
1
1
A B 平面
1
1
A B DE ，AB 平面
1
1
A B DE ，
所以
/ /
AB
平面
1
1
A B DE ，
又AB 平面ABC ，且平面
1
1
A B DE 平面ABC
DE
，
所以
/ /
AB
DE .
（2）过B 作DE 的垂线，垂足为F ，连接
1B F ，
因为
1
BB 平面ABC ，DE 平面ABC ，所以
1
BB
DE
，
因为
1
BB
BF
B
，
1,
BB BF 平面
1
BB F ，所以DE ⊥平面
1
BB F ，
因为
1B F 平面
1
BB F ，所以
1
DE
B F
所以
1
BFB
就是二面角
1B
DE
B
的平面角，即有
1
60
BFB
又
1
2
BB
，所以
1
2
3
tan 60
3
BB
BF
，
底面ABC 是边长为2 的正三角形，
取AB 的中点G，连接CG，交AE 于点H，
则CG⊥AB，且
2sin 60
3
CG
，
2 3
3
GH
BF
，
故
2 3
3
3
3
3
CH
所以
1
3
CE
CH
CB
CG
，
1
2
3
3
2
ABC
S
1
3
9
9
CDE
ABC
S
S
△
△
，
因为
1
1
/ /
DE
A B ，所以
1
1
,
,
,
A B E D 四点共线，
又
1A D ，
1B E 不平行，故
1A D ，
1B E 相交，且由公理可知交点必定在
1
CC 上，
所以几何体
1
1
1
CDE
A B C
是三棱台，
因为
1
2
AA
，所以三棱台的高
2
h
，
所以几何体
1
1
1
CDE
A B C
的体积为
1 1 1
1 1 1
1
3
A B C
A
D
B
CDE
E
C
C
S
S
S
S
h
1
3
3
26
3
3
2
3
3
9
9
27
13.如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点P 是棱AB 上的动点，过
1
1
A
C
，
，P 三点作正方体的
截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25 的两部分，则该截面的周长为（
）
A．3
5 2
2
B．
3 2
3
2
C．
3 2
5
2
D．
5 2
5
2
【解析】如图所示，过点P 作
1
1
//
PQ AC ,交BC 于点Q ,则四边形
1
1
PQC A 就是过点
1
1
,
,
A C P的截面，设
PB
BQ
x
，(0
2)
x
，
则台体
1
1
1
PBQ
A B C
的体积
2
2
1
1
1
7
2 (2
2
)
8
3
2
2
32
x
x
，
解之得
1
2
x
，
所以
1
1
2
9
5
,
4
2
4
2
PQ
A P
C Q
,
1
1
2 2
AC
,
所以截面的周长为5
2
5
2+2 2+
=5+
2
2
2
2
.
故选：D
