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专题1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
教学目标
1.在理解空间向量基本定理的基础上掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示.
2.能正确地运用空间向量的坐标,进行向量的线性运算与数量积运算.
3.初步学会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题.
教学重难点
1.教学重点：掌握空间向量坐标表示并能进行向量的线性运算与数量积运算.
2.教学难点： 会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题
知识点01 空间向量的正交分解
1、单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用
表示．
2、正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量
，均可以分解为三个向量
，
，
使得
. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
我们把
称作向量
在单位正交基底
下的坐标．记作
此时向量
的坐标恰是点
在
空间直角坐标系
中的坐标
其中
分别叫做点
的横坐标、纵坐标、竖坐标．
3、特殊向量的坐标表示
（1）当向量
平行于
轴时，纵坐标、竖坐标都为
，即
（2）当向量
平行于
轴时，纵坐标、横坐标都为
，即
（3）当向量
平行于
轴时，横坐标坐标、纵坐标都为
，即
（4）当向量
平行于
平面时，竖坐标为
，即
（5）当向量
平行于
平面时，横坐标为
，即
（6）当向量
平行于
平面时，纵坐标为
，即
知识点02 空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点
和一个单位正交基底
，以
为原点，分别以
的方
向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：
轴、
轴、
轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就
建立了一个空间直角坐标系
.
(2)相关概念：
叫做原点，
都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为
平面、
平面、
平面，它们把空间分成八个部分．
知识点03 空间向量的坐标表示
1 空间一点的坐标：在空间直角坐标系
中，
为坐标向量，对空间任意一点
，对应一个向量
，且点
的位置由向量
唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组
，使
.在单位正交基底
下与向量
对应的有序实数组
叫做点
在此空间
直角坐标系中的坐标，记作
，其中
叫做点
的横坐标，
叫做点
的纵坐标，
叫做点
的
竖坐标．
2 空间向量的坐标：在空间直角坐标系
中，给定向量
，作
.由空间向量基本定理，存在唯
一的有序实数组
，使
.有序实数组
叫做
在空间直角坐标系
中的坐
标，上式可简记作
.
【即学即练】在空间直角坐标系
中，已知点
，若点
与点
关于
平面对
称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点04 空间向量运算的坐标表示
设
，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
【即学即练】已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点05 空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
平行（
）
垂直（
）
（
均
非零向量）
特别提醒：在
中，应特别注意，只有在
与三个坐标平面都不平行时，
才能写成
.例如，若
与坐标平面
平行，则
，这样
就没有意义了.
2、向量长度的坐标计算公式
若
，则
，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的
体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设
，则
【即学即练】已知两平行直线的方向向量分别为
，
，则实数
的值为 ．
题型01 空间向量的坐标表示
【典例1】在空间直角坐标系
中，若点
关于
轴的对称点为点
，点
关于
平
面的对称点为点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知空间直角坐标系中，O 为坐标原点，点
，则向量
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】在空间直角坐标系
中，点
，点
关于
轴对称的点为
，点
关于
平面
对称的点为
，则向量
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知点
，若向量
，则点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知空间两点
，
，则向量
=
题型02 空间向量的运算
【典例1】若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知
满足
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】在空间直角坐标系中，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【变式3】若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知向量
，
，则
题型03 空间向量模长（定值）
【典例1】已知
，向量
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知空间向量
，若
与
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．14
【变式2】在空间直角坐标系中，已知三点
，
，
，且
，则实数
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【变式3】若向量
，且
，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．
【变式4】已知
，
，且
，则
．
向量长度的坐标计算公式
若
，则
，即
题型04 空间向量夹角大小
【典例1】已知向量
，
，且
．
(1)求
的值；
(2)求向量
与
夹角的余弦值．
【变式1】设空间两个单位向量
与向量
的夹角等于
，则向量
夹角的余弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知在空间直角坐标系
中，三点
，则向量
与
夹角的余
弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】向量
与
的夹角是 .
【变式4】已知向量
，
，
(1)求
的值；
(2)求
；
两个向量夹角的坐标计算公式
设
，则
题型05 空间向量夹角（锐角或钝角）
【典例1】知向量
，
(1)若
，求实数
；
(2)若向量
与
所成角为锐角，求实数
的范围．
【变式1】已知空间向量
，
，若
与
的夹角是锐角，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知
，
且
与
的夹角为钝角，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）已知向量
，
，若
，
的夹角是钝角，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【变式4】已知向量
，且向量
的夹角为锐角则的取值范围是
．
题型06 空间向量平行与垂直
【典例1】已知
，
，若
，则
．
【变式1】向量
，
，若
，则实数m 的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【变式2】设
，向量
，
，
，且
，
，则
（ ）
A．5
B．1
C．
D．
【变式3】已知向量
，且
，则
（ ）
A．5
B．11
C．-5
D．-11
【变式4】已知空间向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
两个向量的平行与垂直
平行（
）
垂直（
）
（
均
非零向量）
题型07 最值与范围问题
【典例1】已知空间四点
．
(1)求以
为邻边的平行四边形面积；
(2)若
四点共面，求
的值；
(3)求直线AB 和直线CD 夹角余弦值的取值范围．
【变式1】在棱长为1 的正方体
中，
为线段
上一动点，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知正方体
的棱长为4，点
分别为线段
上的动点，则
的最小
值为 ，此时
.
【变式3】在三棱锥
中，
两两垂直，且
．若M 为该三棱锥外接球上
的一动点，则
的最小值为 .
【变式4】如图，四棱锥
中，
平面
，底面是边长为1 的正方形，且
，点
是线段
上异于
的点，当
为钝角时，
的取值范围为 ．
1．在空间直角坐标系中，点
关于
平面的对称点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
，若
，则x 的值为（ ）
A．7
B．-8
C．6
D．-5
3．已知点
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，
，
，若
三点共线，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
5．已知空间中有两个动点
，
．则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．3
D．6
6．已知向量
，
，
，若
、
、共面，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知动点
是棱长为1 的正方体
的对角线
上一点，记
，当
为钝角
时，
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
是边长为2 的正方形，点
，
在平面
的同侧，
平面
，
平面
，且
，点
为
的中点，点
是线段
上的动点，则线段
的长度不可能为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
9．（多选）已知向量
，点
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
10．（多选）在空间直角坐标系
中，已知点
，
（与点
不重合），则下列结论正
确的是（ ）
A．若点
，
关于
平面对称，则
B．若点
，
关于
轴对称，则
C．若
，则
D．若
，则
11．已知向量
，若
，则
；若
，则
．
12．已知空间向量
，
，若
的夹角为钝角，则实数
的取值范围为 ．
13．已知向量
.
(1)求
；
(2)求
；
(3)求向量
与
的夹角．
14．对于空间任意两个非零向量
，定义新运算：
.
(1)若向量
.求
；
(2)若两个单位向量
满足
，求向量
夹角的余弦值.
15．已知
.
(1)求向量
的坐标；
(2)设向量
，求
；
(3)若
，求
的值.
16．已知向量
.
(1)若
，求的值；
(2)求
的最小值.
