专题34
极坐标系与参数方程
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2011
文理23[来
源:Z&xx&k.Com]
极坐标系与参数方程
直线和圆的参数方程，极坐标方程的应用[来源:学*科*网]
2012
文理23
极坐标系与参数方程
极坐标与直角坐标的互化，椭圆参数方程的应用
2013
卷1
文理23[来
源:学科网]
极坐标系与参数方程
参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用
卷2
文理23
极坐标系与参数方程
参数方程的求法，参数方程的应用
2014
卷1
文理23
极坐标系与参数方程
直线和椭圆的参数方程及其应用
卷2
文理23
极坐标系与参数方程
圆的极坐标方程与参数方程的互化，圆的参数方程的应用
2015
卷1
文理23
极坐标系与参数方程
直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆极坐标方程的应用
卷2
文理23
极坐标系与参数方程
极坐标方程与参数方程的互化，极坐标方程的应用
2016
卷1
文理23
极坐标系与参数方程
极坐标方程与参数方程的互化，极坐标方程的应用
卷2
文理23
极坐标系与参数方程
圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，圆的弦
长公式
卷3
文理23
极坐标系与参数方程
椭圆的参数方程，直线的极坐标方程，参数方程的应用
2017
卷1
文理22
极坐标系与参数方程
直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的
互化，椭圆参数方程的应用
卷2
文理22
极坐标系与参数方程
直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用
卷3
文理22
极坐标系与参数方程
参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用
2018
卷1
文理22
极坐标系与参数方程
极坐标与直角坐标方程互化，直线与圆的位置关系，圆的几
何性质
卷2
文理22
极坐标系与参数方程
直线和椭圆的参数方程，直线参数方程参数几何意义的应用
卷3
文理22
极坐标系与参数方程
直线与圆的位置关系，圆的参数方程，点的轨迹方程求法
2019
卷1
文理22
极坐标系与参数方程
参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的
互化，参数方程的应用
卷2
文理22
极坐标系与参数方程
直线和圆的极坐标方程及其应用
卷3
文理22
极坐标系与参数方程
极坐标方程及其应用
2020
卷1
文理22
极坐标系与参数方程
参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化
卷2
文理22
极坐标系与参数方程
参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，极坐标
与参数方程的综合应用
卷3
文理22
极坐标系与参数方程
极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程及其应用
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点116 平面直角坐标系中的伸缩变换
23 次考0 次
2021 年高考在试题难度、知识点考查等方
面，不会有太大的变化，主要考查极坐标方
程和直角坐标方程的互化、及常见曲线的极
坐标方程与极坐标方程的简单应用．
考点117 极坐标和直角坐标的互化
23 次考5 次
考点118 参数方程与普通方程的互化
23 次考1 次
考点119 极坐标方程与参数方程的综合应用
23 次考17 次
十年试题分类*探求规律
考点116
平面直角坐标系中的伸缩变换
考点117
极坐标和直角坐标的互化
1．(2020 全国Ⅱ文理21)已知曲线
1
2
,
C
C 的参数方程分别为
2
1
2
4cos
,
:
4sin
x
C
y
(为参数)，2
1 ,
:
1
x
t
t
C
y
t
t
( t 为
参数)．
(1)将
1
2
,
C
C 的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设
1
2
,
C
C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过
极点和P 的圆的极坐标方程．
【解析】(1)由
2
2
cos
sin
1
得
1
C 的普通方程为：
4
x
y
，
由
1
1
x
t
t
y
t
t
得：
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
x
t
t
y
t
t
，两式作差可得
2
C 的普通方程为：
2
2
4
x
y
．
(2)由
2
2
4
4
x
y
x
y
得：
5
2
3
2
x
y
，即
5 3
,
2 2
P
．
设所求圆圆心的直角坐标为
,0
a
，其中
0
a
，则
2
2
2
5
3
0
2
2
a
a
，解得：
17
10
a
，
所求圆的半径
17
10
r
，所求圆的直角坐标方程为：
2
2
2
17
17
10
10
x
y
，即
2
2
17
5
x
y
x
，
所求圆的极坐标方程为
17 cos
5
．
2．(2020 全国Ⅲ文理22)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
2
2
2
,
2
3
x
t
t
y
t
t
(t 为参数且
1
t )，C
与坐标轴交于
,
A B 两点．
(1)求AB ；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．
【解析】(1)令
0
x
，则
2
2
0
t
t
，解得
2
t 或
1
t (舍)，则
2
6
4
12
y
，即
(0,12)
A
．
令
0
y
，则
2
3
2
0
t
t
，解得
2
t
或
1
t (舍)，则
2
2
4
4
x
，即
( 4,0)
B
．
2
2
(0
4)
(12
0)
4 10
AB
．
(2)由(1)可知
12
0
3
0
( 4)
AB
k
，则直线AB 的方程为
3(
4)
y
x
，即3
12
0
x
y
．
由
cos ,
sin
x
y
可得，直线AB 的极坐标方程为3 cos
sin
12
0
．
3．(2020 江苏22)在极坐标系中，已知点
1
π
(
,
)
3
A
在直线:
cos
2
l
上，点
2
π
(
,
)
6
B
在圆
:
4sin
C
上
(其中
0
，0
2
)．
(1)求
1，
2
的值
(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．
【解析】(1)
1
1
2
2
cos
2
4;
4sin
2
3
6
Q
Q
．
(2)
5
cos
2,
4sin
4sin
cos
2,
sin 2
1
[0,2 )
,
4
4
Q
Q
，
当
4
时
2 2
；当
5
4
时
2 2
0
(舍)；即所求交点坐标为当(2 2,
)
4
．
4．(2019 全国II 文理22)在极坐标系中，O 为极点，点
0
0
0
(
,
)(
0)
M
在曲线
:
4sin
C
上，直线l
过点
(4,0)
A
且与OM 垂直，垂足为P．
(1)当
0= 3
时，求
0
及l 的极坐标方程；
(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．
【解析】(1)因为
0
0
,
M
在C上，当
0
3
时，
0
4sin
2 3
3
．
由已知得|
| |
| cos
2
3
OP
OA
．
设
( , )
Q
为l上除P的任意一点．在Rt
OPQ
△
中
cos
|
| 2
3
OP
，
经检验，点
(2,
)
3
P
在曲线
cos
2
3
上．
所以，l的极坐标方程为
cos
2
3
．
(2)设
( , )
P ，在Rt
OAP
△
中，|
| |
| cos
4cos ,
OP
OA
即
4cos
．．
因为P在线段OM上，且AP
OM
，故的取值范围是
,
4 2
．
所以，P点轨迹的极坐标方程为
4cos ,
,
4 2
．
5．(2019 全国III 文理22)如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)
A
，( 2,
)
4
B
，( 2,
)
4
C
，
(2, )
D
，弧
AB ，
BC ，
CD 所在圆的圆心分别是(1,0) ，(1,
)
2
，(1, )
，曲线
1
M 是弧
AB ，曲线
2
M 是弧
BC ，曲线
3
M 是
弧
CD ．
(1)分别写出
1
M ，
2
M ，
3
M 的极坐标方程；
(2)曲线M 由
1
M ，
2
M ，
3
M 构成，若点P 在M 上，且|
|
3
OP
，求P 的极坐标．
【解析】(1)由题设可得，弧
,
,
AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为
2cos
，
2sin
，
2cos
，所以
1
M 的极坐标方程为
π
2cos
0
4
-
-
，
2
M 的极坐标方程为
π
3π
2sin
4
4
-
-
，
3
M 的极坐标方程为
3π
2cos
π
4
-
-
．
(2)设
( , )
P ，由题设及(1)知
若
π
0
4
-
-
，则2cos
3
，解得
π
6
；
若π
3π
4
4
-
-
，则2sin
3
，解得
π
3
或
2π
3
；
若3π
π
4
-
-
，则2cos
3
，解得
5π
6
．
综上，P的极坐标为
π
3, 6
或
π
3, 3
或
2π
3, 3
或
5π
3, 6
．
考点118
参数方程与普通方程的互化
6．(2020 上海14)已知直线方程3
4
1
0
x
y
的一个参数方程可以是(
)
A．
1
3
1
4
x
t
y
t
B．
1 4
1 3
x
t
y
t
C．
1 3
1
4
x
t
y
t
D．
1
4
1 3
x
t
y
t
【答案】D
【解析】A．参数方程可化简为4
3
7
0
x
y
，故A 不正确；B．参数方程可化简为3
4
7
0
x
y
，故
B 不正确；C．参数方程可化简为4
3
1
0
x
y
，故C 不正确；D．参数方程可化简为3
4
1
0
x
y
，
故D 正确．故选D．
7．(2018 全国Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系xOy 中，
O
的参数方程为
cos
sin
x
y
，(为参数)，过点(0,
2)
且倾斜角为的直
线l 与
O
交于A ，B 两点．
(1)求的取值范围；
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
【解析】(1)
O
的直角坐标方程为
2
2
1
x
y
．
当
2
时，l 与
O
交于两点．
当
2
时，记tan
k
，则l 的方程为
2
y
kx
．l 与
O
交于两点当且仅当
2
2
|
| 1
1
k
，解得
1
k 或
1
k ，即
(
,
)
4 2
或
(
,
)
2
4
．
综上，的取值范围是(
,
)
4
4
．
(2)l 的参数方程为
cos ,
(
2
sin
x
t
t
y
t
为参数，4
4
) ．
设A ，B ，P 对应的参数分别为
At ，
Bt ，
Pt ，则
2
A
B
P
t
t
t
，且
At ，
Bt 满足
2
2 2 sin
1
0
t
t
．
于是
2 2 sin
A
B
t
t
，
2 sin
Pt
．又点P 的坐标( , )
x y 满足
cos ,
2
sin .
P
P
x
t
y
t
所以点P 的轨迹的参数方程是
2 sin 2 ,
2
2
2 cos2
2
2
x
y
(为参数，4
4
) ．
考点119
极坐标方程与参数方程的综合应用
8．(2018 北京文理)在极坐标系中，直线
cos
sin
(
0)
a a
与圆
=2cos
相切，则a =___．
【答案】1
2
【解析】利用
cos
x
，
sin
y
，可得直线的方程为
0
x
y
a
，圆的方程为
2
2
(
1)
1
x
y
，所以圆心(1,0) ，半径
1
r
，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即
|1
|
1
2
a
，∴
1
2
a
或1
2
，又
0
a
，∴
1
2
a
．
9．(2017 北京文理)在极坐标系中，点A 在圆
2
2 cos
4 sin
4
0
上，点P 的坐标为(1,0) )，则
|
|
AP 的最小值为___________．
【答案】1【解析】圆的普通方程为
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
，即
2
2
(
1)
(
2)
1
x
y
．
设圆心为
(1,2)
C
，所以
min
|
|
|
|
2 1
1
AP
PC
r
．
10．(2017 天津文理)在极坐标系中，直线4
cos(
)
1
0
6
与圆
2sin
的公共点的个数为_____．
【答案】2【解析】直线的普通方程为2 3
2
1
0
x
y
，圆的普通方程为
2
2
(
1)
1
x
y
，因为圆心到直
线的距离
3
1
4
d
，所以有两个交点．
11．(2016 北京文理)在极坐标系中，直线
cos
3 sin
1
0
与圆
2cos
交于
,
A B 两点，则
|
|
AB
．
【答案】2【解析】将
cos
3 sin
1
0
化为直角坐标方程为
3
1
0
x
y
，将ρ=2cos θ化为直
角坐标方程为
2
2
(
1)
1
x
y
，圆心坐标为(1，0)，半径r=1，又(1，0)在直线
3
1
0
x
y
上，所以|AB|=2r=2．
12．(2015 广东文理)已知直线l 的极坐标方程为2 sin(
)
2
4
，点Α 的极坐标为
7
2 2,
)
4
，则点Α 到直线l 的距离为
．
【答案】5 2
2
【解析】由2 sin(
)
2
4
-
=
得
2
2
(sin
cos )
2
2
´
-
=
，所以
1
y
x
-
= ，
故直线l 的直角坐标方程为
1
0
x
y
-
+ =
，而点
7
(2 2,
)
4
A
对应的直角坐标为
(2, 2)
A
-
，所以点
(2, 2)
A
-
到直线l ：
1
0
x
y
-
+ =
的距离为| 2
2 1|
5 2
2
2
+
+
=
．
13．(2015 安徽文理)在极坐标系中，圆
8sin
上的点到直线
(
)
3
R
距离的最大值
是
．
【答案】6【解析】圆
8sin
=
即
2
8 sin
=
，化为直角坐标方程为
2
2
(
4)
16
x
y
+
-
=
，
直线
3
=
，则tan
3
=
，化为直角坐标方程为
3
0
x
y
-
=
，圆心(0,4) 到直线
的距离为| 4 |
2
4
-
=
，所以圆上的点到直线距离的最大值为6．
14．(2020 全国Ⅰ文理21)
在直角坐标系xOy 中，曲线
1
C 的参数方程为
cos
,
sin
k
k
x
t
y
t
(t 为参数) ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线
2
C 的极坐标方程为4 cos
16 sin
3
0
．
(1)当
1
k
时，
1
C 是什么曲线？
(2)当
4
k
时，求
1
C 与
2
C 的公共点的直角坐标．
【解析】(1)当
1
k
时，曲线
1
C 的参数方程为
cos ,
sin
x
t
y
t
(t 为参数)，两式平方相加得
2
2
1
x
y
，
∴曲线
1
C 表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆．
(2)当
4
k
时，曲线
1
C 的参数方程为
4
4
cos
,
sin
x
t
y
t
(t 为参数)，∴
0,
0
x
y
，曲线
1
C 的参数方程化为
2
2
cos
(
sin
x
t t
y
t
为参数)，两式相加得曲线
1
C 方程为
1
x
y
，得
1
y
x
，平方得
2
1,0
1,0
1
y
x
x
x
y
，
曲线
2
C 的极坐标方程为4 cos
16 sin
3
0
，曲线
2
C 直角坐标方程为4
16
3
0
x
y
，
联立
1
2
,
C C 方程
2
1,
4
16
3
0
y
x
x
x
y
，整理得12
32
13
0
x
x
，解得
1
2
x
或
13
6
x
(舍去)，
1
1
,
4
4
x
y
，
1
2
,
C C
公共点的直角坐标为1 1
( , )
4 4
．
15．(2019 全国1 文理22)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
2
2
2
1
1
4
1
t
x
t
t
y
t
，
(t 为参数)，以坐标原点
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2
cos
3 sin
11
0
．
(1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)求C 上的点到l 距离的最小值．
【解析】(1)因为
2
2
1
1
1
1
t
t
，且
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
1
2
1
1
y
t
t
x
t
t
，所以C的直角坐标方程为
2
2
1(
1)
4
y
x
x
．
l 的直角坐标方程为2
3
11
0
x
y
．
(2)由(1)可设C的参数方程为
cos ,
2sin
x
y
(为参数，π
π
)．
C上的点到l 的距离为
π
4cos
11
| 2cos
2 3sin
11|
3
7
7
．
当
2π
3
时，
π
4cos
11
3
取得最小值7，故C上的点到l 距离的最小值为
7 ．
16．(2018 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系xOy 中，曲线
1
C 的方程为
| |
2
y
k x
．以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线
2
C 的极坐标方程为
2
2 cos
3
0
．
(1)求
2
C 的直角坐标方程；
(2)若
1
C 与
2
C 有且仅有三个公共点，求
1
C 的方程．
【解析】(1)由
cos
x
，
sin
y
得
2
C 的直角坐标方程为
2
2
(
1)
4
x
y
．
(2)由(1)知
2
C 是圆心为
( 1,0)
A
，半径为2 的圆．
由题设知，
1
C 是过点
(0,2)
B
且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由
于B 在圆
2
C 的外面，故
1
C 与
2
C 有且仅有三个公共点等价于1l 与
2
C 只有一个公共点且2l 与
2
C 有两个公共
点，或2l 与
2
C 只有一个公共点且1l 与
2
C 有两个公共点．
当1l 与
2
C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2 ，所以
2
|
2 |
2
1
k
k
，故
4
3
k
或
0
k
．
经检验，当
0
k
时，1l 与
2
C 没有公共点；当
4
3
k
时，1l 与
2
C 只有一个公共点，2l 与
2
C 有两个公共点．
当2l 与
2
C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2 ，所以
2
|
2 |
2
1
k
k
，故
0
k
或
4
3
k
．
经检验，当
0
k
时，1l 与
2
C 没有公共点；当
4
3
k
时，2l 与
2
C 没有公共点．
综上，所求
1
C 的方程为
4 |
| 2
3
y
x
．
17．(2018 全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
2cos ,
4sin ,
x
θ
y
θ
(θ 为参数)，直线l 的参数
方程为
1
cos
2
sin
x
t
α
y
t
α
(t 为参数)．
(1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求l 的斜率．
【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为
2
2
1
4
16
x
y
．
当cos
0
时，l 的直角坐标方程为
tan
2
tan
y
x
；
当cos
0
时，l 的直角坐标方程为
1
x
．
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
2
2
(1 3cos
)
4(2cos
sin
)
8
0
t
t
．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2) 在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则1
2
0
t
t
．
又由①得1
2
2
4(2cos
sin
)
1 3cos
t
t
，故2cos
sin
0
，于是直线l 的斜率
tan
2
k
．
18．(2018 江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为
π
sin(
)
2
6
，曲线C 的方程为
4cos
，求直线l 被曲
线C 截得的弦长．
【解析】因为曲线C 的极坐标方程为
=4cos
，所以曲线C 的圆心为(2,0) ，直径为4 的圆．
因为直线l 的极坐标方程为
π
sin(
)
2
6
，则直线l 过
(4,0)
A
，倾斜角为π
6 ，所以A 为直线l 与圆C 的一
个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB= π
6 ，连结OB，因为OA 为直径，从而∠OBA= π
2 ，所以
π
4cos
2 3
6
AB
．
因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3 ．
19．(2017 全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
3cos
sin
x
y
，(为参数)，直线l 的参
数方程为
4
1
x
a
t
y
t
(t 为参数)．
(1)若
1
a ，求C 与l 的交点坐标；
(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17 ，求a ．
【解析】(1)曲线C 的普通方程为
2
2
1
9
x
y
．
当
1
a 时，直线l 的普通方程为
4
3
0
x
y
．
由
2
2
4
3
0
1
9
x
y
x
y
解得
3
0
x
y
或
21
25
24
25
x
y
，从而C 与l 的交点坐标为(3,0) ，
21 24
(
,
)
25 25
．
(2)直线l 的普通方程为
4
4
0
x
y
a
，故C 上的点(3cos ,sin )
到l 的距离为
| 3cos
4sin
4 |
17
a
d
．
当
4
a
≥
时，d 的最大值为
9
17
a
．由题设得
9
17
17
a
，所以
8
a
；
当
4
a 时，d 的最大值为
1
17
a
．由题设得
1
17
17
a
，所以
16
a
．
综上，
8
a
或
16
a
．
20．(2017 全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线
1
C
的极坐标方程为
cos
4
．
(1) M 为曲线
1
C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|
| |
| 16
OM
OP
，求点P 的轨迹
2
C 的直角坐标
方程；
(2)设点A 的极坐标为(2,
)
3
，点B 在曲线
2
C 上，求OAB
面积的最大值．
【解析】(1)设P 的极坐标为( , )
(
0)
，M 的极坐标为
1
(
, )
1
(
0)
．
由椭圆知|
|
OP
，
1
4
|
|
cos
OM
．由|
| |
| 16
OM
OP
得
2
C 的极坐标方程
4cos
(
0)
，
因此
2
C 的直角坐标方程为
2
2
(
2)
4(
0)
x
y
x
．
(2)设点B 的极坐标为(
,
)
B
(
0)
B
．由题设知|
| 2
OA
，
4cos
B
，于是OAB
面积
1 |
|
sin
2
B
S
OA
AOB
4cos
| sin(
) |
3
3
2 | sin(2
)
|
3
2
2
3
≤
．
当
12
时，S 取得最大值2
3
，所以OAB
面积的最大值为2
3
．
21．(2017 全国Ⅲ文理)在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为
2
x
t
y
kt
(t 为参数)，直线2l 的参数方
程为
2
x
m
m
y
k
(m 为参数)．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos
sin )
2
0
，M 为3l 与C 的
交点，求M 的极径．
【解析】(1)消去参数t 得1l 的普通方程
:
l
y
k x
1
2 ，消去参数m 得2l 的普通方程
:
l
y
x
k
2
1
2 ．
设
( , )
P x y ，由题设得
y
k x
y
x
k
2
1
2
，消去k 得
x
y
y
2
2
4
0 ，所以C 的普通方程为
x
y
y
2
2
4
0 ．
(2)C 的极坐标方程为
cos
sin
2
2
2
4
,
0＜＜2
，联立
cos
sin
cos
sin
2
2
2
4
+
- 2=0
得
cos
sin
cos
sin
=2
+
，故tan1
3
，从而cos
sin
2
2
9
1
=
，
=
10
10
，代入
cos
sin
2
2
2
-
=4 得
2=5，所以交点M 的极径为5 ．
22．(2017 江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为
8
2
x
t
t
y
(t 为参数)，曲线C 的参数方
程为
2
2
2 2
x
s
y
s
( s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
【解析】直线l 的普通方程为
2
8
0
x
y
．
因为点P 在曲线C 上，设
2
(2
,2 2 )
P
s
s ，从而点P 到直线l 的的距离
2
2
2
2
| 2
4 2
8|
2(
2)
4
5
( 1)
( 2)
s
s
s
d
，当
2
s
时，
min
4 5
5
d
．
因此当点P 的坐标为(4,4) 时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值4 5
5
．
23．(2016 全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线
1
C 的参数方程为
cos
1
sin
x
a
t
y
a
t
(t 为参数，a＞0)．在以
坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
2
C ：
4cos
．
(I)说明
1
C 是哪种曲线，并将
1
C 的方程化为极坐标方程；
(II)直线
3
C 的极坐标方程为
0
=a
，其中
0a 满足
0
tan
=2
a
，若曲线
1
C 与
2
C 的公共点都在
3
C
上，求a．
【解析】(1)
cos
1
sin
x
a
t
y
a
t
(t 均为参数)，∴
2
2
2
1
x
y
a
①
∴
1
C 为以
0
1
，为圆心，a 为半径的圆．方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
y
a
．
∵
2
2
2
sin
x
y
y
，
，∴
2
2
2 sin
1
0
a
，即为
1
C 的极坐标方程．
(2)
2
4cos
C
：
，两边同乘得
2
2
2
2
4 cos
cos
x
y
x
，
，
2
2
4
x
y
x
，
即
2
2
2
4
x
y
②
3
C ：化为普通方程为
2
y
x
，由题意：
1
C 和
2
C 的公共方程所在直线即为
3
C ，
①—②得：
2
4
2
1
0
x
y
a
，即为
3
C ，∴
2
1
0
a
，∴
1
a ．
24．(2016 全国II 文理)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为
2
2
6
25
x
y
．
(I)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(II)直线l 的参数方程是
cos
sin
x
t
y
t
(t 为参数)，l 与C 交于A、B 两点，
10
AB
，求l 的斜率．
【解析】(Ⅰ)整理圆的方程得
2
2
12
11
0
x
y
，由
2
2
2
cos
sin
x
y
x
y
可知圆C 的极坐标方程为
2
12 cos
11
0
．
(Ⅱ)记直线的斜率为k ，则直线的方程为
0
kx
y
，由垂径定理及点到直线距离公式知：
2
2
6
10
25
2
1
k
k
，即
2
2
36
90
1
4
k
k
，整理得
2
5
3
k
，则
15
3
k
．
25．(2016 全国III 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线
1
C 的参数方程为
3 cos
sin
x
y
(为参数)，以坐标原
点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
2
C 的极坐标方程为
sin(
)
2 2
4
．
(Ⅰ)写出
1
C 的普通方程和
2
C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)设点P 在
1
C 上，点Q 在
2
C 上，求|
|
PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．
【解析】(Ⅰ)
1
C 的普通方程为
2
2
1
3
x
y
，
2
C 的直角坐标方程为
4
0
x
y
．
(Ⅱ)由题意，可设点P 的直角坐标为( 3 cos
,sin
)
，因为
2
C 是直线，所以|
|
PQ
的最小值，即为P 到
2
C
的距离( )
d 的最小值，
|
3 cos
sin
4 |
( )
2 | sin(
)
2 |
3
2
d
．
当且仅当
2
(
)
6
k
k
Z
时，( )
d 取得最小值，最小值为
2 ，此时P 的直角坐标为3 1
( , )
2 2
．
26．(2016 江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为
1
1
,
2
3 ,
2
x
t
t
y
t
为参数，椭圆C 的参数
方程为
cos ,
2sin ,
x
y
为参数，设直线l 与椭圆C 相交于
,
A B 两点，求线段AB 的长．
【解析】椭圆C 的普通方程为
2
2
1
4
y
x
，将直线l 的参数方程
1
1
2
3
2
x
t
y
t
，代入
2
2
1
4
y
x
，得
2
2
3
(
)
1
2
(1
)
1
2
4
t
t
，即
2
7
16
0
t
t
，解得1
0
t
，2
16
7
t
，所以
1
2
16
|
|
7
AB
t
t
．
27．(2015 全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，直线
1
C ：
2
x ，圆
2
C ：
2
2
(
1)
(
2)
1
x
y
，以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(Ⅰ)求
1
C ，
2
C 的极坐标方程；
(Ⅱ)若直线
3
C 的极坐标方程为
4
R
，设
2
C 与
3
C 的交点为M ，N ，求
2
C MN
的面积．
【解析】(Ⅰ)因为
cos ,
sin
x
y
，
∴
1
C 的极坐标方程为
cos
2
，
2
C 的极坐标方程为
2
2 cos
4 sin
4
0
．
(Ⅱ)将= 4
代入
2
2 cos
4 sin
4
0
，得
2
3 2
4
0
，解得
1
= 2 2 ，
2
=
2 ，
|MN|=
1
－
2
=
2 ，因为
2
C 的半径为1，则
2
C MN
的面积
o
1
2 1 sin 45
2
= 1
2
．
28．(2015 全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线
1
C ：
cos ,
sin
,
x
t
y
t
(t 为参数，t ≠0)其中0
≤
，在
以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
2
C ：
2sin
，
3
C ：
2 3 cos
．
(Ⅰ)求
2
C 与
3
C 交点的直角坐标；
(Ⅱ)若
1
C 与
2
C 相交于点A，
1
C 与
3
C 相交于点B，求|
|
AB 的最大值．
【解析】(Ⅰ)曲线
2
C 的直角坐标方程为
2
2
2
0
x
y
y
，曲线
3
C 的直角坐标方程为
2
2
2 3
0
x
y
x
．联
立
2
2
2
2
2
0,
2 3
0,
x
y
y
x
y
x
解得
0,
0,
x
y
或
3 ,
2
3 ,
2
x
y
所以
2
C 与
1
C 交点的直角坐标为(0,0) 和
3 3
(
, )
2
2
．
(Ⅱ)曲线
1
C 的极坐标方程为
(
,
0)
R
，其中0
．
因此A 得到极坐标为(2sin
,
)
，B 的极坐标为(2 3 cos
,
)
．
所以
2sin
2 3 cos
AB
4
in(
)
3
s
，当
5
6
时，AB 取得最大值，最大值为4 ．
29．(2015 江苏)已知圆C 的极坐标方程为
2
2 2 sin(
)
4
0
4
，求圆C 的半径．
【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xoy ．
圆C 的极坐标方程为
2
2
2
2 2
sin
cos
4
0
2
2
，化简，得
2
2 sin
2 cos
4
0
．
则圆C 的直角坐标方程为
2
2
2
2
4
0
x
y
x
y
，即
2
2
1
1
6
x
y
，所以圆C 的半径为
6 ．
30．(2015 陕西文理)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
1
3
2
3
2
x
t
y
t
(t 为参数)．以原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为
2 3sin
．
(Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程；
(Ⅱ) P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
【解析】(Ⅰ)由
2
2 3sin ,
2 3 sin
得
，从而有
2
2
2
2
+
2 3 ,
+
3
3
x
y
y
x
y
所以
．
(Ⅱ)设
1
3
(3
t,
t),
C(0, 3)
2
2
P
+
又
，则
2
2
2
1
3
| PC |
3
3
12
2
2
t
t
t
，
故当t =0 时，| PC |取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0) ．
31．(2014 全国Ⅰ文理)已知曲线C ：
2
2
1
4
9
x
y
，直线l ：
2
2
2
x
t
y
t
(t 为参数)．
(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为
o
30 的直线，交l 于点A ，求|
|
PA 的最大值与最小值．
【解析】
2cos .(
).
3sin .
x
y
（I）曲线C的参数方程为
为参数
6
0.
l
x
y
直线的普通方程为2
……5 分
(Ⅱ)
cos
sin
l
曲线C上任意一点P(2
.3
)到的距离为
5 4cos
3sin
6 .
5
d
2 5
4
5sin(
)
6 ,
tan
.
sin30
5
3
d
PA
则
其中为锐角，且
22 5
sin
.
5
PA
当
( + )=-1时，
取得最大值，最大值为
2 5
sin(
)
1
.
5
PA
当
时，
取得最小值，最小值为
32．(2014 全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C
的极坐标方程为
2cos
，
0, 2
．
(Ⅰ)求C 的参数方程；
(Ⅱ)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:
3
2
l y
x
垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定D 的
坐标．
【解析】(I)C 的普通方程为
2
2
(
1)
1(0
1)
x
y
y
，可得C 的参数方程为
1 cos ,
sin ,
x
t
y
t
(t 为参数，
0
t
x
)．
(Ⅱ)设D(1
cos ,sin )
t
t
．由(I)知C 是以G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆．
因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan
3,
3
t
t
．
故D 的直角坐标为(1
cos
,sin
)
3
3
，即3
3
( ,
)
2
2
．
33．(2013 全国Ⅰ文理)已知曲线
1
C 的参数方程为
4
5cos
5
5sin
x
t
y
t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线
2
C 的极坐标方程为
2sin
．
(Ⅰ)把
1
C 的参数方程化为极坐标方程；
(Ⅱ)求
1
C 与
2
C 交点的极坐标(
0
≥
，0
2
≤≤
)．
【解析】将
4
5cos
5
5sin
x
t
y
t
消去参数t ，化为普通方程
2
2
(
4)
(
5)
25
x
y
，
即
1
C ：
2
2
8
10
16
0
x
y
x
y
，将
cos
sin
x
y
代入
2
2
8
10
16
0
x
y
x
y
得，
2
8 cos
10 sin
16
0
，∴
1
C 的极坐标方程为
2
8 cos
10 sin
16
0
．
(Ⅱ)
2
C 的普通方程为
2
2
2
0
x
y
y
，由
2
2
2
2
8
10
16
0
2
0
x
y
x
y
x
y
y
解得
1
1
x
y
或
0
2
x
y
，
∴
1
C 与
2
C 的交点的极坐标分别为(
2, 4
)，(2,
)
2
．
34．(2013 全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C ：
2cos
2sin
x
y
为参数
上，对应参数分别为
与
2
(0
2
) M 为PQ 的中点．
(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．
【解析】(Ⅰ)由题意有
2cos ,2sin
,
2cos2 ,2sin 2
,
P
Q
因此
cos
cos2 ,sin
sin 2
M
，
M 的轨迹的参数方程为
cos
cos2 ,
sin
sin 2 ,
x
y
(0
2
)．
(Ⅱ) M 点到坐标原点的距离
2
2
2
2cos
d
x
y
(0
2
)，
当
时，
0
d
，故M 的轨迹过坐标原点．
35．(2012 全国文理)已知曲线
1
C 的参数方程是
sin
3
cos
2
y
x
(为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线
2
C 的极坐标方程是
2
．正方形ABCD的顶点都在
2
C 上，且A 、B 、C 、
D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为
)
3
,2
(
．
(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；
(Ⅱ)设P 为
1
C 上任意一点，求
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
|
|
PD
PC
PB
PA
的取值范围．
【解析】(1)点
, ,
,
A B C D 的极坐标为
5
4
11
(2,
),(2,
),(2,
),(2,
)
3
6
3
6
，
点
, ,
,
A B C D 的直角坐标为(1, 3),(
3,1),( 1,
3),( 3, 1)
．
(2)设
0
0
(
,
)
P x
y
；则
0
0
2cos
(
)
3sin
x
y
为参数，
2
2
2
2
2
2
0
0
4
4
16
t
PA
PB
PC
PD
x
y
2
32
20sin
[32,52]
．
36．(2011 全国文理)在直角坐标系xOy 中，曲线
1
C 的参数方程为
2cos
2
2sin
x
y
(为参数)，M 是
1
C 上
的动点，P 点满足
2
OP
OM
uuuv
uuuv
，P 点的轨迹为曲线
2
C
(Ⅰ)求
2
C 的方程
(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
3
与
1
C 的异于极点的交点为A，与
2
C 的
异于极点的交点为B，求AB ．
【解析】(I)设
( , )
P x y ，则由条件知M(
,
2 2
x y )．由于M 点在
1
C 上，
所以
2cos
2
2
2sin
2
x
y
，即
4cos
4
4sin
x
y
，从而
2
C 的参数方程为
4cos
4
4sin
x
y
(为参数)，
(Ⅱ)曲线
1
C 的极坐标方程为
4sin
，曲线
2
C 的极坐标方程为
8sin
．
射线
3
与
1
C 的交点A 的极径为
1
4sin 3
，射线
3
与
2
C 的交点B 的极径为
2
8sin 3
．
所以
2
1
|
| |
| 2 3
AB
．
