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专题07 均值不等式
题型一：对均值不等式的理解
题型二：由均值不等式比较大小
题型三：由均值不等式证明不等关系
题型四：利用均值不等式求积的最大值
题型五：利用均值不等式求和的最小值
题型六：利用均值不等式求二次与二次（一次）商式的最值
题型七：利用均值不等式求条件等式求最值
题型八：均值不等式中的恒成立问题
题型九：均值不等式的应用
题型一：对均值不等式的理解
1．已知
，那么以下关于式子
的分析判断正确的选项是（ ）
（1）
；
（2）上式当且仅当
即
时，等号成立；
（3）所以当
时，
取得最小值
A．以上全正确
B．（1）错
C．（2）错
D．（3）错
2．设
，
，则下列不等式中一定成立的是（ ）
①
②
③
④
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
4．（多选）以下说法正确的有（ ）
A．实数
是
成立的充要条件
B．
对
恒成立
C．命题“
，使得
”的否定是“
，使得
”
D．若
，则
的最小值是8
5．（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
且
，则
D．若
，则
题型二：由均值不等式比较大小
6．已知
，
，
，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．下列不等式恒成立的是（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．
．
8．设
（
、
为互不相等的正实数），
，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知P＝a2＋
(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q 的大小关系为（ ）
A．P＞Q
B．P＜Q
C．P≥Q
D．P≤Q
10．若
且
，则
，
，
，
中的最大值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知a>1，b>1，记M＝
，N＝
，则M 与N 的大小关系为（ ）
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．不确定
题型三：由均值不等式证明不等关系
12．（1）已知
，求函数
的最小值；
（2）若
，
， 证明:
.
13．（1）已知
，且
，求证，
．
（2）若
，求证：
；
14．（1）求函数
的最大值；
（2）已知
，求证：
．
15．已知
，且
．
(1)若
恒成立，求x 的取值范围；
(2)证明：
．
16．已知函数
.
(1)求不等式
的解集；
(2)设函数
的最小值为
，正实数
，
满足
，求证：
.
题型四：利用均值不等式求积的最大值
17．已知
，且
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．1
D．
18．已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
19．已知实数
，
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．已知
，则
的最大值为 ．
21．已知
，
，且
，则
的最大值为 .
22．已知
，则
的最大值为 ．
题型五：利用均值不等式求和的最小值
23．
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知正数m，n 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．已知
，则
的最大值为（ ）
A．
B．0
C．4
D．
26．已知正数
，
，满足
，则
的最小值为 .
27．已知当
时，代数式
取得最小值，则
．
28．已知
，
，且
，求
的最小值．
题型六：利用均值不等式求二次与二次（一次）商式的最值
29．已知正实数x，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
30．若
，则
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值
D．最小值
31．若
，则
的最小值是 .
32．已知
，且
，则
最大值为 ．
33．已知
，则
的最大值是
34．求解下列各题：
（1）求
的最大值；
（2）求
的最小值.
35．求下列函数的最小值
（1）
；
（2）
.
题型七：利用均值不等式求条件等式求最值
36．若
，
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
37．已知
，
，若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
38．已知
，且
，则
的最小值是 ．
39．若两个正实数
，
满足
，则
的最小值为 ．
40．已知x，y 为正实数，
，求
的最大值．
题型八：均值不等式中的恒成立问题
41．已知正实数
，
满足
，且不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
42．已知
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．9
D．10
43．已知
，且
，若
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
44．若对任意
，
恒成立，则a 的最小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
45．（多选）若对于任意
，
恒成立，则实数
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
46．若对任意正实数a，b；不等式
恒成立，则实数k 的取值范围为 .
47．若对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 .
题型九：均值不等式的应用
48．一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买
黄金，售货员先将
的砝码放在左
盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将
的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾
客，则商店在销售后（ ）
A．黄金少给了
B．黄金刚好
C．黄金多给了
D．与砝码放置顺序有关
49．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度
（单
位：
）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数
刻画．由此可以判
断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ）
A．1h
B．2h
C．3h
D．4h
50．甲、乙两地相距1000 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）
由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度
（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为
720 元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时.
51．某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的
关系式为y=ax2+3000，且当年产量是100 吨时，总成本为6000 万元．平均成本=
．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；
(2)若企业每吨产品的出厂价为90 万元，当年利润不少于3000 万元时，则该生产线年产量的最小值应为多
少吨？（利润=销售额-成本）
52．某工厂生产一批产品，在生产过程中会产生一些次品，其合格率
与日产量
（万件）之间满足如下
函数关系：
已知每生产1 万件合格的产品该厂可以盈利15 万元，但每生产1 万件次
品将亏损5 万元．故厂方希望定出合适的日产量使得每天的利润最大（注：合格率
）．
(1)将生产这批产品每天的利润
（万元）表示为日产量
（万件）的函数（利润
盈利-亏损）；
(2)当日产量为多少万件时，该厂每天的利润达到最大？
